equações

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Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Me´todos para equac¸o˜es
na˜o-lineares
Ricardo Biloti
biloti@g.unicamp.br
Ca´lculo Nume´rico – UNICAMP
2S/2018
http://goo.gl/rYq41
http://goo.gl/rYq41 Ricardo Biloti Me´todos para equac¸o˜es na˜o-lineares
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
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Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exemplo
d
θ
y ′′(t) = −g
y(0) = 0, y ′(0) = v0 sin θ
y(t) = (v0 sin θ)t − g
2
t2
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Suponha que um canha˜o dispara proje´teis a uma velocidade v0. O objetivo e´ calibrar o
aˆngulo de tiro para que o proje´til acerte um alvo a` distaˆncia d conhecida.
Apo´s o disparo, a u´nica forc¸a agindo sobre o proje´til e´ a forc¸a da gravidade.
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Exemplo
y(t) = (v0 sin θ)t − g
2
t2
Impacto:
y(T ) = 0⇒ T = 2v0 sin θ
g
Distaˆncia percorrida:
(v0 cos θ)T = d
f (θ) ≡ 2v
2
0 sin θ cos θ
g
− d = 0
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O momento do impacto pode ser encontrado resolvendo-se y(T ) = 0. Feito isso, sabendo-
se que a distaˆncia horizontal percorrida e´ (v0 cos θ)T , para calibrar o aˆngulo de tiro basta
resolver a equac¸a˜o na˜o-linear em θ, f (θ) = 0.
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Exemplo
f (θ) ≡ 2v
2
0 sin θ cos θ
g
− d = 0
I Pode na˜o ter soluc¸a˜o (d > v20 /g)
I Pode na˜o haver unicidade
I Nem todas as soluc¸o˜es fazem sentido
I f pode ser simplificada?
I f pode ser diferenciada?
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Antes de tentar resolver uma equac¸a˜o como esta, devemos pensar sobre algumas questo˜es:
• A equac¸a˜o tem soluc¸a˜o? O que poderia acontecer com um me´todo nume´rico para
aproximar a soluc¸a˜o de equac¸o˜es quando aplicado a uma equac¸a˜o que na˜o tenha
soluc¸a˜o?
• Havendo soluc¸a˜o, sera´ que ela e´ u´nica? Como um me´todo nume´rico se comportaria se
a equac¸a˜o que ele tenta resolver tivesse mais de uma soluc¸a˜o? Ele deveria encontrar
todas? Ele encontraria alguma? Ele ficaria indeciso sobre qual soluc¸a˜o aproximar?
• Sera´ que todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o fazem sentido f´ısico? O me´todo nume´rico tem
obrigac¸a˜o de encontrar a soluc¸a˜o que eu quero? E´ poss´ıvel guiar o me´todo para
buscar uma soluc¸a˜o espec´ıfica?
• Sera´ que na˜o tem como simplificar a equac¸a˜o, antes de aplicar um me´todo nume´rico?
Isto pode fazer a diferenc¸a entre o me´todo ser bem sucedido ou na˜o, ou mesmo na
velocidade com que a uma aproximac¸a˜o e´ obtida.
• Por fim, como muito me´todos (como veremos) utilizam informac¸a˜o de derivada, e´
preciso saber se f pode ou na˜o ser diferenciada. Isso influencia a escolha do me´todo
nume´rico.
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Existeˆncia
Teorema de Bolzano
Seja f e´ cont´ınua em [a, b]. Se f (a) · f (b) < 0, enta˜o existe
x ∈ (a, b) tal que f (x) = 0.
a
x b
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Uma func¸a˜o cont´ınua que troca de sinal nos extremos de um intervalo, tem que ter
atravessado o eixo das ordenadas. Essa e´ a esseˆncia do Teorema de Bolzano. Esse e´ o
principal resultado utilizado para garantir a existeˆncia de um ponto onde a func¸a˜o se anula.
Esse teorema e´ consequeˆncia direta do Teorema do Valor Intermedia´rio.
Mesmo que a func¸a˜o na˜o troque de sinal nos extremos de um intervalo, ainda pode haver
pontos onde a func¸a˜o se anula. Observe o gra´fico e imagine que o intervalo de interesse,
ao inve´s de ser [a, b] fosse [0, b]. A func¸a˜o e´ positiva tanto em 0 como em b, mas mesmo
assim, se anula em dois pontos no interior deste intervalo.
A dificuldade em aplicar esse resultado e´ conseguir exibir um intervalo [a, b] onde f (a) e f (b)
teˆm sinais opostos. Isso e´ feito principalmente por tentativa e erro.
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Exemplo
f (x) = x3 − 6x + 3
f (−3) = −6, f (3) = 12
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Como todo polinoˆmio e´ cont´ınuo e exibimos dois pontos, −3 e 3, onde o valor de f troca de
sinal, pelo Teorema de Bolzano, e´ poss´ıvel garantir que ha´ pelo menos um zero de f nesse
intervalo.
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Unicidade
Teorema
Seja f e´ diferencia´vel em [a, b]. Se f (a) · f (b) < 0 e f ′(x) na˜o
troca de sinal em (a, b), enta˜o existe um u´nico x ∈ (a, b) tal que
f (x) = 0.
a
x b
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Enquanto que a existeˆncia de zeros para func¸o˜es cont´ınuas e´ garantida examinando-se apenas
os extremos de intervalos, a unicidade na˜o pode ser assegurada sem que todo o intervalo
seja analisado.
Note que garantir que na˜o exista apenas um zero em um intervalo e´ o mesmo que pedir que
a func¸a˜o corte o eixo das ordenadas uma u´nica vez. Uma maneira de garantir isso e´ pedir
que a func¸a˜o seja estritamente crescente (se f (a) < 0 < f (b)) ou estritamente decrescente
(se f (a) > 0 > f (b)). Dessa forma, apo´s cruzar o eixo uma vez na˜o haveria como cruza´-lo
novamente. Essa e´ a esseˆncia do teorema apresentado.
Atenc¸a˜o: para dizer que uma func¸a˜o e´ estritamente crescente no intervalo (a, b) e´ preciso
verificar se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), e na˜o apenas nos pontos a e b. O mesmo vale
para func¸o˜es estritamente decrescentes.
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Exemplo
f (x) = x3 − 6x + 3, f ′(x) = 3x2 − 6
f (−3) = −6, f (3) = 12
f ′(−3) > 0, f ′(0) < 0
Pore´m
f ′(x) > 0, se x >
√
2, e f (1.5) < 0, f (3) > 0
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No exemplo anterior, hav´ıamos conclu´ıdo que f tinha zeros no intervalo [−3, 3]. Entretanto
f ′ troca de sinal nesse intervalo. Logo, na˜o e´ poss´ıvel assegura a unicidade da soluc¸a˜o da
equac¸a˜o f (x) = 0.
Pore´m e´ fa´cil verificar que f ′(x) > 0 se x >
√
2, isto e´ f e´ estritamente crescente depois de√
2. Como f (1.5) < 0 < f (3), podemos assegurar que no intervalo (1.5, 3) ha´ apenas um
zero de f .
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Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o abaixo, tente localizar seus zeros. Dentro de cada
intervalo que voceˆ encontrou, e´ poss´ıvel garantir que a func¸a˜o tem
apenas um zero?
f (x) = x2 −
√
5x +
1
4
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A func¸a˜o f na˜o esta´ definda para x < 0. Observe que f (1) < 0 < f (2). Ale´m disso,
f ′(x) = 2x − 5
2
√
5x
e na˜o e´ dif´ıcil perceber que f ′(x) > 0 se x> 1. Logo, existe um u´nico
zero de f no intervalo (1, 2).
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Me´todo da bissecc¸a˜o
a
b
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No me´todo da bissecc¸a˜o, parte-se de um intervalo inicial [a, b] onde f (a) · f (b) < 0.
Calcula-se enta˜o o valor da func¸a˜o no ponto me´dio e com base nisso reduz-se o intervalo de
maneira a ficar com o subintervalo da direita ou da esquerda onde ainda e´ poss´ıvel observar
a alternaˆncia de sinal da func¸a˜o.
Dessa forma, sucessivamente o intervalo de confinamento do zero da func¸a˜o e´ contra´ıdo.
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Me´todo da bissecc¸a˜o
a
b
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Me´todo da bissecc¸a˜o
a a
b
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Me´todo da bissecc¸a˜o
a a
b
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Me´todo da bissecc¸a˜o
a a
bb
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Me´todo da bissecc¸a˜o
a a
bb
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Me´todo da bissecc¸a˜o
a a a
bb
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Me´todo da bissecc¸a˜o
a a a
bb
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Me´todo da bissecc¸a˜o
a a a
bb
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Caracter´ısticas
I [a, b]?
I Convergeˆncia assegurada (dado [a, b])
I Convergeˆncia lenta
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A grande dificuldade para a aplicac¸a˜o do me´todo da bissecc¸a˜o e´ a sua inicializac¸a˜o, que
requer a determinac¸a˜o de um intervalo inicial [a, b] onde haja a alternaˆncia de sinal no
valores da func¸a˜o.
Uma vez iniciado, o me´todo a bissecc¸a˜o tem convergeˆncia assegurada, pore´m a obtenc¸a˜o
de uma aproximac¸a˜o com a precisa˜o desejada pode implicar numa grande quantidade de
iterac¸o˜es. O grande problema disso e´ que, em algumas situac¸o˜es de interesse real, a avaliac¸a˜o
da func¸a˜o f pode ser muito cara.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Aproximac¸a˜o linear
xkxk+1 x
y
r(x) = f (xk) + f
′(xk)(x − xk)
r(xk+1) = 0 ⇒ xk+1 = xk − f (xk)
f ′(xK )
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O me´todo de Newton parte do fato de que encontrar o zero de uma reta e´ simples e uma
func¸a˜o diferencia´vel pode ser aproximada pela reta tangente, pelo menos pro´ximo do ponto
de tangeˆncia. Desta forma, se xk e´ uma aproximac¸a˜o para o zero de f , no me´todo de Newton,
a func¸a˜o e´ aproximada pela reta tangente no ponto xk e depois e´ computado o zero da reta
tangente. Esse ponto e´ enta˜o definido como a nova aproximac¸a˜o para o zero da func¸a˜o,
denotada por xk+1.
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Me´todo de Newton
I Seja x0 uma aproximac¸a˜o razoa´vel de x∗
I Para k = 0, 1, 2, . . .
I Se f ′(xk) 6= 0, xk+1 = xk − f (xk)
f ′(xk)
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Em linhas gerais, o algoritmo para o me´todo de Newton e´ bem simples.
Parte-se de uma aproximac¸a˜o inicial para o zero da func¸a˜o, denominada x0.
Depois, sucessivamente computam-se as aproximac¸o˜es seguintes pela fo´rmula de iterac¸a˜o,
desde que em nenhum dos iterandos a derivada seja nula.
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Exemplo: aproximando
√
3
xk+1 = xk − f (xk)
f ′(xk)
f (x) = x2 − 3, f ′(x) = 2x
xk+1 = xk − x
2
k − 3
2xk
=
1
2
(
xk +
3
xk
)
x0 = 2, f (x0) = 1
x1 = x0 − x
2
0 − 3
2x0
= 1.7500, f (x1) = 0.0625
x2 = x1 − x
2
1 − 3
2x1
= 1.7321, f (x2) = 0.0002
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O problema de computar
√
3 pode ser formulado como encontrar o zero da func¸a˜o
f (x) = x2 − 3. Desta forma a iterac¸a˜o de Newton e´ dada por xk+1 = (xk + 3/xk )/2.
Como aproximac¸a˜o inicial, escolhemos x0 = 2. Apo´s duas iterac¸o˜es de Newton ja´ temos uma
aproximac¸a˜o para a qual f (x) ≈ 2 · 10−4 e |x2 −
√
3| ≈ 5 · 10−5.
Observe o qua˜o ra´pido conseguimos progredir de uma aproximac¸a˜o inicial grosseira para uma
aproximac¸a˜o aceita´vel. De fato, uma grande vantagem do me´todo de Newton e´ sua velocidade
de convergeˆncia.
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Taylor ⇒ Newton
Se f ∈ C 2 enta˜o
f (x∗) = f (x) + f ′(x)(x∗ − x) +O(|x∗ − x |2)
Se x for uma aproximac¸a˜o razoa´vel para x∗, enta˜o |x∗ − x | e´
pequeno. Logo
0 = f (x∗) ≈ f (x) + f ′(x)(x∗ − x)
ou, se f ′(x) 6= 0,
x∗ ≈ x − f (x)
f ′(x)
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Outra maneira de chegarmos ao me´todo de Newton e´ atrave´s da expansa˜o de Taylor de
primeira ordem. Ao utilizar tal caminho e´ poss´ıvel estimar tambe´m a taxa de convergeˆncia
do me´todo.
Teorema de Taylor: Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o com n derivadas cont´ınuas em [a, b] e
f (n+1) cont´ınua em (a, b). Enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que
f (b) = f (a) + f ′(a)(b − a) + f
′′(a)
2
(b − a)2 + · · ·+ f
(n)(a)
n!
(b − a)n︸ ︷︷ ︸
Tn(b)
+
f (n+1)(c)
(n + 1)!
(b− a)n+1.
Isto significa que
|f (b)− Tn(b)| ≤ K(b − a)n+1.
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Histo´ria
1600 Franc¸ois Vie`te proˆpos te´cnica de perturbac¸a˜o para soluc¸a˜o
de equac¸o˜es polinomiais escalares.
1664 Newton conhece o trabalho de Vie`te.
1669 Newton aperfeic¸oa Vie`te, linearizando os sucessivos
polinoˆmios.
1687 O me´todo e´ aplicado a` primeira equac¸a˜o na˜o polinomial.
1690 Joseph Raphson transforma o me´todo em iterativo.
1740 Thomas Simpson introduz derivadas e extende o me´todo
para sistemas de equac¸o˜es.
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Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Algoritmo
I Seja x0 uma aproximac¸a˜o razoa´vel de x∗ E se na˜o for?
I Para k = 0, 1, 2, . . . Ate´ quando?
I Se f ′(xk) 6= 0, xk+1 = xk − f (xk)
f ′(xk)
E se f ′(xk) = 0?
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O nu´cleo do algoritmo para o me´todo de Newton e´ bem simples. Ele consiste apenas de
computar sucessivamente uma aproximac¸a˜o linear para a func¸a˜o e resolver o problema de
encontrar o zero dessa aproximac¸a˜o, tomando-o como nova estimativa para o zero da func¸a˜o.
Entretando, ao sair do campo teo´rico para o computacional, devemos nos atentar a algumas
questo˜es perguntas importantes. Vimos que a convergeˆncia do Me´todo de Newton e´
asseguranda apenas quando partimos de um ponto inicial pro´ximo. E se este na˜o for o caso?
Na˜o temos como ter certeza, pois em geral na˜o conhecemos uma vizinhac¸a onde a soluc¸a˜o
deve estar.
Quando dissemos que as aproximac¸o˜es sa˜o computadas sucessivamente, precisamos especi-
ficar ate´ quando ou por quanto tempo, visto que na pra´tica na˜o e´ poss´ıvel interar ao infinito.
Por fim, como a fo´rmulade interac¸a˜o do Me´todo de Newton realiza uma divisa˜o, pode
acontecer do denominador ser zero. O que fazer enta˜o nessa situac¸a˜o?
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E se x0 na˜o for razoa´vel?
I Aplicar um me´todo menos restritivo para comec¸ar
I Globalizar o me´todo de Newton
I Busca linear
I Regia˜o de confianc¸a
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Como o me´todo de Newton precisa de uma boa estimativa inicial, uma estrate´gia pode ser
utilizar um me´todo menos exigente, que funcione mesmo que essa aproximac¸a˜o inicial na˜o
seja ta˜o boa. Depois desse me´todo melhora´-la um pouco, enta˜o emprega-se o Me´todo de
Newton. O me´todo da Bissecc¸a˜o poderia ser utilizado com essa finalidade.
Outra estrate´gia e´ Globalizar o me´todo de Newton, ou seja, modifica-lo para que o me´todo
convirja independentemente de ponto de partida. As duas principais formas de globalizar o
me´todo de Newton sa˜o atrave´s da inserc¸a˜o de uma busca linear na direc¸a˜o apontada pelo
me´todo de Newton ou atrave´s da definic¸a˜o de uma Regia˜o de confianc¸a, dentro da qual
a aproximac¸a˜o linear e´ va´lida. Ambas as estrate´gias sa˜o melhor discutidas no contexto de
me´todos de otimizac¸a˜o e fogem ao escopo desta notas.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Crite´rios de parada
Gostar´ıamos de parar as iterac¸o˜es quando
|ek | ≤ �|e0|
Pore´m, na˜o temos como medir ek diretamente!
ek = xk − x∗
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Um algoritmo computacional na˜o pode deixar de explicitar o crite´rio de parada de execuc¸a˜o.
O deseja´vel seria pedir que o erro ficasse abaixo de um certo n´ıvel aceita´vel. Pore´m o problema
e´ como medir o erro absoluto, sem o conhecimento do zero de f , x∗?
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Crite´rios de parada
|f (xk)| ≤ �
�
−�
|f ′(x∗)| � 1
�
−�
|f ′(x∗)| ≈ 1
�
−�
|f ′(x∗)| � 1
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Um dos crite´rios que sim podemos aplicar e´ sobre o valor da f (xk ). O ideal seria relacionar
um decre´scimo no valor de f (xk ) com um decre´scimo em ek . Quando a soluc¸a˜o existe,
esta relac¸a˜o de fato pode ser estabelecida. Pore´m, a constante de proporcionalidade esta´
relacioanda ao valor de f ′(x∗).
Pelos treˆs gra´ficos e´ poss´ıvel observar que se |f ′(x∗)| � 1, a func¸a˜o corta o eixo x muito
“rasante”, o que significa que mesmo para pontos ainda relativamente distantes de x∗, ja´
ter´ıamos a condic¸a˜o |f (xk )| ≤ � satisfeita.
Por outro lado, se |f ′(x∗)| � 1, a func¸a˜o cortaria o eixo x muito abruptamente. Desta
forma, apenas quando xk estivesse realmente muito pro´ximo de x∗ e´ que o crite´rio de parada
seria satisfeito.
Podemos ver isso expandido f em torno de x∗, em primeira ordem:
f (xk ) ≈ f (x∗) + f ′(x∗)(xk − x∗) = f ′(x∗)(xk − x∗),
pois f (x∗) = 0. Logo
|ek | = |xk − x∗| ≈
∣∣∣∣ f (xk )f ′(x∗)
∣∣∣∣ / �|f ′(x∗)| ,
se |f (xk )| ≤ �.
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Crite´rios de parada
I |f (xk)| ≤ �|f (x0)|
I |f (xk)| ≤ �1|f (x0)|+ �2
I |sk | ≤ �|s0|, para sk = xk+1 − xk
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Na pra´tica, os crite´rios mais usados, ale´m de um limite ma´ximo para o nu´mero de iterac¸o˜es,
sa˜o:
1. Uma reduc¸a˜o relativa no valor de func¸a˜o: O problema deste crite´rio e´ que se f (x0) for
muito grande, o me´todo pode parar ainda com f (xk ) muito grande. Por outro lado, se
f (x0) ja´ for muito pequeno, enta˜o o me´todo vai se esforc¸ar em demasia para reduzir
demais o valor de f (xk ).
2. Uma combinac¸a˜o entre uma toleraˆncia relativa e uma absoluta para o valor de func¸a˜o:
A escolha apropriada de �1 e �2 evita as mazelas do crite´rio anterior.
3. Uma reduc¸a˜o relativa no comprimento dos passos dados pelo me´todo: Isso evita
prosseguir quando o me´todo parece estagnar.
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Derivada nula
I Trocar de ponto
I Fazer uma iterac¸a˜o de outro me´todo
I Utilizar a derivada do passo anterior
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A iterac¸a˜o de Newton para ser computada precisa de uma divisa˜o pela derivada de f em xk .
Se essa derivada for nula, a u´nica possibilidade e´ evitar isso, quer seja pela escolha de outro
ponto, quer seja pela troca do me´todo de iterac¸a˜o.
Claro que a change de voceˆ acertar um ponto, no curso das iterac¸o˜es de Newton, que tenha a
derivada exatamente nula, e´ muit´ıssima pequena. Sera´ que podemos nos tranquilizar enta˜o?
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Derivada quase nula
x0
x1 x2
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Na pra´tica, a derivada ser quase nula ja´ e´ um problema. Como a reta tangente, num ponto
onde a derivada e´ muito pequena, e´ praticamente paralela ao eixo horizontal, sua intersec¸a˜o
com o eixo (pro´ximo iterando do Me´todo de Newton) acontecera´ muito distante. Com isto
o iterando pode se afastar da regia˜o onde procura´vamos por um zero da func¸a˜o, levando a`
convergeˆncia para outro zero ou mesmo a` divergeˆncia.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Taxas de convergeˆncia
Convergeˆncia linear
|ek+1| ≤ C |ek |, 0 < C < 1, ∀k > K
Convergeˆncia superlinear
lim
k→∞
ek+1
ek
= 0
Convergeˆncia quadra´tica
lim
k→∞
|ek+1|
|e2k |
= C , C > 0
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A taxa de convergeˆncia linear e´ observada quando o erro em cada passo e´ aproximadamente
um frac¸a˜o do erro no passo anterior.
A convergeˆncia superlinear acontece quando essa frac¸a˜o, ao inve´s de ser aproximadamente
fixa, vai progressivamente reduzindo, ao longo das iterac¸o˜es.
Ja´ a taxa de convergeˆncia quadra´tica e´ observada quando o erro em cada passo e´, a grosso
modo, o quadrado do erro no passo anterior. Na pra´tica, e´ como se a cada passo o nu´mero
de d´ıgitos corretos na aproximac¸a˜o dobrasse.
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Resultado
Convergeˆncia do me´todo de Newton
Hipo´teses:
I f tem segunda derivada cont´ınua
I f (x∗) = 0 e f ′(x∗) 6= 0
Enta˜o existe uma vizinhanc¸a V de x∗ tal que para qualquer
x0 ∈ V , a sequeˆncia gerada pelo me´todo de Newton converge
quadraticamente para x∗.
Pro´ximo da soluc¸a˜o: ek+1 ≈ C e2k
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Convergeˆncia do me´todo de Newton
Seja f ∈ C2, uma func¸a˜o com segunda derivada cont´ınua. Suponha que x∗ e´ tal que
f (x∗) = 0, f ′(x∗) 6= 0.
Enta˜o existe uma vizinhanc¸a V de x∗ tal que para qualquer x0 ∈ V , a sequeˆncia gerada pelo
me´todo de Newton converge quadraticamente para x∗.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exerc´ıcio
Estime pi aplicando o me´todo de Newton para f (x) = 1 + cos(x)
I Partindo de x0 = 3, quantas iterac¸o˜es sa˜o necessa´rias para
obter uma aproximac¸a˜o xˆ para pi, tal que |xˆ − pi| ≤ 10−2?
I Qual a taxa de convergeˆncia observada?
I Explique o comportamento do me´todo e proponha outra
func¸a˜o que se anule em pi e seja mais adequada para o
me´todo de Newton.
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Propriedades
I Necessidade de uma aproximac¸a˜o inicial
I Convergeˆncia local
I Taxa de convergeˆncia quadra´tica, se pro´ximo da soluc¸a˜o
I Necessidade da derivada a cada passo
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Me´todo de Newton Me´todos Quase-NewtonSistemas na˜o-lineares
Exemplo
f (z) = z3 − 1 = 0, z ∈ C
Quantas soluc¸o˜es existem?
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As treˆs soluc¸o˜es de z3 = 1, sa˜o 1 e − 1
2
± i√3.
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Fractal
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Nesta figura, cada uma das treˆs ra´ızes esta´ associada a um cor (laranja, azul escuro e azul
claro). Cada ponto do plano foi pintado com uma dessas treˆs cores para indicar para qual
zero a sequeˆncia gerada pelo me´todo de Newton converge quando iniciado naquele ponto.
A intencidade da cor indica a quantidade de iterac¸o˜es necessa´rias para declara convergeˆncia.
Se a sequeˆncia gerada na˜o convergir o ponto e´ pintado de preto.
Repare que pro´ximo a cada um dos zeros, na˜o ha´ du´vida e o me´todo converge como esperado.
Pore´m se o ponto inicial na˜o esta´ assim ta˜o pro´ximo de um dos zeros, e´ imposs´ıvel saber para
onde o me´todo convergira´.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Me´todos Quase-Newton
Me´todos Quase-Newton sa˜o aqueles que utilizam uma
aproximac¸a˜o da derivada.
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Como a operac¸a˜o mais cara do me´todo de Newton e´ a avaliac¸a˜o da derivada, uma classe de
me´todos, conhecidos como me´todos quase-Newton, barateam as iterac¸o˜es, evitando computar
a derivada da func¸a˜o, que e´ trocada por uma aproximac¸a˜o. Os me´todos diferem entre si, pela
forma como a derivada e´ aproximada.
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Me´todo das cordas
x0x1x2 x
y
xk+1 = xk − f (xk)
f ′(x0)
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No me´todo das cordas, a derivada e´ computada apenas no iterando inicial e depois mantida
fixa no decorrer das iterac¸o˜es.
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Me´todo da secante
x0x1x2 x
y
xk+1 = xk − f (xk)
gk
gk =
f (xk)− f (xk−1)
xk − xk−1
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No me´todo da secante, a inclinac¸a˜o da reta secante ao gra´fico da func¸a˜o nas u´ltimas duas
iterac¸o˜es e´ utilizada como aproximac¸a˜o para o valor da derivada.
Esse me´todo tem convergeˆncia superlinear e precisa de dois pontos para ser inicializado.
Observe que o ponto x2 obtido pelo me´todo da secante foi melhor que o ponto x2 do me´todo
das cordas.
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Me´todo de Newton
x1x2 x
y
xk+1 = xk − f (xk)
f ′(xk)
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Para efeito de comparac¸a˜o, veja qual seria o ponto x2 obtido pelo me´todo de Newton.
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Exemplo: aproximando
√
3 (Newton)
xk+1 = xk − f (xk)
f ′(xk)
f (x) = x2 − 3, f ′(x) = 2x
x0 = 2, f (x0) = 1
x1 = x0 − x
2
0 − 3
2x0
= 1.7500, f (x1) = 0.0625
x2 = x1 − x
2
1 − 3
2x1
= 1.7321, f (x2) = 0.0002
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Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exemplo: aproximando
√
3 (Secante)
xk+1 = xk − f (xk)
gk
, gk =
f (xk)− f (xk−1)
xk − xk−1
f (x) = x2 − 3, f ′(x) = 2x
x0 = 2, f (x0) = 1
x1 = 1.7500, f (x1) = 0.0625
x2 = x1 − x
2
1 − 3
g1
= 1.7333, f (x2) = 0.0044
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Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exerc´ıcio: Resolver f (x) = 0
f (x) = 3x2 − ex
I Identifique intervalos que contenham uma u´nica ra´ız.
I Quantas ra´ızes a equac¸a˜o admite?
I Aplique o me´todo de Newton para encontrar todas as ra´ızes
(utilize � = 10−5).
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Sistemas na˜o-lineares
Queremos agora resolver o sistema na˜o-linear
f1(x1, x2, . . . , xn) = 0
f2(x1, x2, . . . , xn) = 0
...
fn(x1, x2, . . . , xn) = 0
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A extensa˜o do problema de encontrar uma soluc¸a˜o de uma u´nica equac¸a˜o real e´ procurar
uma soluc¸a˜o para um sistema de equac¸o˜es na˜o-lineares. As varia´veis agora sa˜o x1, x2, . . . , xn.
Para na˜o confundir (ou ja´ confundindo), o sub´ındice j em xj indica a j-e´sima varia´vel e na˜o
mais a aproximac¸a˜o computada na j-e´sima iterac¸a˜o. Para discriminar iterac¸o˜es, utilizaremos
ı´ndices acima, por exemplo x
(2)
3 representa a aproximac¸a˜o para a varia´vel x3 computada na
segunda iterac¸a˜o.
Cada func¸a˜o fj que compo˜e o sistema e´ uma func¸a˜o escalar, ou seja, fj : Rn → R, que a cada
(x1, x2, . . . , xn) 7→ f (x1, x2, . . . , xn) ∈ R.
Atenc¸a˜o: Na discussa˜o que se segue, vamos nos restringir a sistema com igual nu´mero de
equac¸o˜es e varia´veis.
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Exemplo
{
(x − x0)2 + (y − y0)2 − 1 = 0
ax + by + c = 0
x0
y0
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Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Caracter´ısticas
I Pode ter ou na˜o soluc¸a˜o
I Pode ter uma, algumas ou infinitas soluc¸o˜es
I Na˜o e´ ta˜o simples localizar soluc¸o˜es
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Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Sistemas na˜o-lineares
Em notac¸a˜o vetorial,
x ∈ Rn, x = (x1, x2, . . . , xn)T , e
F : Rn → Rn, F (x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x))T .
Queremos encontrar x∗ ∈ Rn tal que
F (x∗) = 0
Hipo´tese: F e´ diferencia´vel
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A maneira de simplificar a notac¸a˜o e poder perceber as semelhanc¸as e diferenc¸as entre o
problema unidimensional e multidimensional, e´ reescrever um sistema na˜o-linear usando
notac¸a˜o vetorial.
1-D n-D
x ∈ R x ∈ Rn
f : R→ R F : Rn → Rn
Queremos x∗ tal que:
f (x∗) = 0 F (x∗) = 0
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exemplo
{
x21 − e−x1x2 = 0
x1x2 + sin x1 = 0
Neste caso,
F (x) =
(
x21 − e−x1x2
x1x2 + sin x1
)
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Neste caso, f1(x) = x21 − e−x1x2 e f2(x) = x1x2 + sin x1 sa˜o as componentes de F (x).
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Taylor ⇒ Newton
F (x + s) = F (x) + J(x)s +O(‖s‖2)
J(x) e´ a matriz Jacobiana de F
J(x) =

∇T f1(x)
∇T f2(x)
...
∇T fn(x)

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Em 1-D:
f (x + s) = f (x) + f ′(x)s +O(s2), f ′(x)s ≈ f (x + s)− f (x)
Em n-D:
F (x + s) = F (x) + J(x)s +O(‖s‖2), Js ≈ F (x + s)− F (x)
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exemplo
F (x) =
(
x21 − e−x1x2
x1x2 + sin x1
)
J(x) =
(
2x1 + x2e
−x1x2 x1e−x1x2
x2 + cos x1 x1
)
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Observe as linhas da matriz Jacobiana sa˜o os gradientes das componentes de F .
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Me´todo de Newton para sistemas
F (x + s) = F (x) + J(x)s +O(‖s‖2)
F (x + s) ≈ F (x) + J(x)s
Impondo que F (x + s) = 0, temos que
J(x)s = −F (x)
Nova aproximac¸a˜o
x + s = x − J(x)−1F (x)
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O me´todo de Newton para sistemas e´ constru´ıdo de maneira ana´loga ao me´todo de Newton
para uma equac¸a˜o escalar, ou seja, considerando-se a aproximac¸a˜ode Taylor de primeira
ordem apenas.
Em cada iterac¸a˜o, um sistema linear deve ser resolvido para descobrir s, denominado passo.
Esse passo e´ enta˜o somado a` aproximac¸a˜o atual para obter a nova aproximac¸a˜o.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Algoritmo
I Seja x (0) uma aproximac¸a˜o razoa´vel de x∗
I Para k = 0, 1, 2, . . .
I Se J(x (k)) for na˜o-singular, resolver J(x (k))s(k) = −F (x (k))
I x (k+1) = x (k) + s(k)
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Repare a semelhanc¸a entre esse algoritmo e o algoritmo para o me´todo de Newton no caso
de uma u´nica equac¸a˜o escalar.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exemplo: ponto inicial
F (x) =
(
x21 − e−x1x2
x1x2 + sin x1
)
J(x) =
(
2x1 + x2e
−x1x2 x1e−x1x2
x2 + cos x1 x1
)
Se x (0) = (2, 1)T , enta˜o
F (x (0)) =
(
3.8647
2.9093
)
J(x (0)) =
(
4.1353 0.2707
0.5839 2.0000
)
‖F (x (0))‖∞ = 3.8647
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Abritrariamente foi escolhido como ponto inicial x(0) = (2, 1)T . Nesse ponto, avaliar a
func¸a˜o F e da matriz Jacobiana J. Observe que a ‖F (x(0))‖ da uma medida de qua˜o perto
x(0) esta´ de satisfazer F (x) = 0.
Aqui usamos a norma infinito apenas por ser mais simples. Outras normas poderiam ser
usadas tambe´m.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exemplo: primeira iterac¸a˜o
(
4.1353 0.2707
0.5839 2.0000
)
s(0) = −
(
3.8647
2.9093
)
s(0) = (−0.8557,−1.2049)T , x (1) = x (0)+s(0) = (1.1443,−0.2049)T
F (x (1)) =
(
0.0453
−0.6760
)
‖F (x (1))‖∞ = 0.6760
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Para progredir de x(0) a x(1) e´ necessa´rio resolver o sistema linear que determina o passo
s(0). Feito isso, obtemos a nova aproximac¸a˜o.
Repare que nesse novo ponto, o valor de ‖F (x(1))‖ < ‖F (x(0))‖, indicando que houve melhora
em satisfazer o sistema na˜o-linear.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exemplo: segunda iterac¸a˜o
(
2.0297 1.4466
0.2088 1.1443
)
s(1) = −
(
0.0453
−0.6760
)
s(1) = (0.4584,−0.6744)T , x (2) = x (1)+s(1) = (1.6026,−0.8793)T
F (x (2)) =
( −1.5239
−0.4097
)
‖F (x (2))‖∞ = 1.5239
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Estranhamente, nesta segunda iterac¸a˜o parece que tivemos uma piora na aproximac¸a˜o visto
que ‖F (x(2))‖ > ‖F (x(1))‖.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exemplo: terceira iterac¸a˜o
( −0.3930 6.5589
−0.9111 1.6027
)
s(2) = −
( −1.5239
−0.4097
)
s(2) = (0.0457, 0.2296)T , x (3) = x (2)+s(2) = (1.5569,−0.6497)T
F (x (3)) =
( −0.3256
−0.0115
)
‖F (x (3))‖∞ = 0.3256
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Nesse exemplo, temos que
k ‖F (x(k))‖
0 3.8647
1 0.6760
2 1.5239 ← aumentou!
3 0.3256
Esse comportamento significa o queˆ? Da´ para confiar que a sequeˆncia esta´ convergindo?
Pense em um exemplo em uma dimensa˜o, isto e´, um exemplo com uma u´nica equac¸a˜o na˜o-
linear, onde esse mesmo comportamento e´ observado.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exemplo: trajeto´ria
x0
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Observe que neste exemplo, mesmo com o valor de func¸a˜o tendo aumentado, em todos os
iterandos se aproximaram gradativamente da soluc¸a˜o do sistema. De fato, a partir da terceira
iterac¸a˜o e´ poss´ıvel perceber que os iterandos devem estar dentro da regia˜o de convergeˆncia
quadra´tica do me´todo de Newton.
k ‖F (x(k))‖∞ ‖x(k) − x∗‖∞
0 3.8647 1.6057
1 0.6760 0.5021
2 1.5239 0.2734
3 0.3256 0.0894 ← conv. quadra´tica
4 0.0210 0.0061
5 0.0001 0.0000
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Crite´rios de parada
I ‖s(k)‖ ≤ �‖s(0)‖
I ‖F (x (k))‖ ≤ �‖F (x (0))‖
I ‖F (x (k))‖ ≤ �1‖F (x (0))‖+ �2
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Os crite´rios de parada sa˜o totalmente ana´logos aos crite´rios utilizados no caso de uma u´nica
equac¸a˜o na˜o-linear.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Algoritmo
I Seja x (0) uma aproximac¸a˜o razoa´vel de x∗
I Enquanto ‖F (x (k))‖ > �‖F (x (0))‖ e k < K
I Se J(x (k)) for na˜o-singular, resolver J(x (k))s(k) = −F (x (k))
I x (k+1) = x (k) + s(k)
I k ← k + 1
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Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Subproblema – Sistema Linear
J(x (k))s(k) = −F (x (k))
I Me´todos diretos
I Me´todos iterativos
I Soluc¸a˜o exata
I Soluc¸a˜o aproximada (Newton Inexato)
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No caso do me´todo de Newton para sistemas na˜o-lineares surge a questa˜o de como re-
solver o sistema linear gerado em cada iterac¸a˜o. Esse problema e´ denominado de subproblema.
Para o subproblema, tanto me´todos diretos quanto iterativos podem ser utilizados, e no
caso de me´todos iterativos, pode-se emprega´-los ate´ atingir convergeˆncia na soluc¸a˜o ou para
em uma soluc¸a˜o aproximada. Neste caso deve-se apenas tomar o cuidado de exigir que a
qualidade dessas soluc¸o˜es aproximadas aumentem a medida que progredimos nas iterac¸o˜es do
me´todo de Newton.
Me´todo de Newton Me´todos Quase-Newton Sistemas na˜o-lineares
Exerc´ıcio
{
x21 + x
2
2 − 2 = 0
x1x2 − 1 = 0
I Analisando graficamente, discuta a existeˆncia e unicidade de
soluc¸o˜es.
I Obtenha a matriz jacobiana, J.
I Exiba o sistema linear a ser resolvido em cada iterac¸a˜o do
me´todo.
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	Método de Newton
	Métodos Quase-Newton
	Sistemas não-lineares