Cónicas: Elipse, Parábola e Hipérbole

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Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006 1
1 Cónicas
As cónicas são curvas planas obtidas por intersecção de um cone circular recto com um
plano.
• Se o plano intersecta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é uma elipse.
• Se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola.
• Se o plano é paralelo a duas geratrizes, a curva obtida é uma hipérbole.
Elipse Parábola Hipérbole
Equação Geral das Cónicas (eq. de 2ograu em x e y):
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+Ey + F = 0, (1)
com A,B,C,D,E, F ∈ IR, sendo A,B e C não simultaneamente nulos.
• Se B2 − 4AC < 0, (1) é a equação de uma elipse.
• Se B2 − 4AC = 0, (1) é a equação de uma parábola.
• Se B2 − 4AC > 0, (1) é a equação de uma hipérbole.
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1.1 Elipse
Elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos)
é constante e maior que a distância entre eles.
Equação Reduzida
x2
a2
+ y
2
b2
= 1 (a > b)
Equação Reduzida
x2
a2
+ y
2
b2
= 1 (b > a)
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
x
-1
-0.5
0.5
1
y
-1 -0.5 0.5 1
x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
y
Focos : (±c, 0) , sendo c2 = a2 − b2 Focos : (0,±c) , sendo c2 = b2 − a2
Eixo maior = 2a Eixo maior = 2b
Eixo menor = 2b Eixo menor = 2a
Distância focal =2c Distância focal =2c
Vértices : (±a, 0) , (0,±b) Vértices : (±a, 0) , (0,±b)
Equação Reduzida da Elipse centrada em (α, β):
(x− α)2
a2
+
(y − β)2
b2
= 1.
-1 0 1 2 3 4 x
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
y
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1.2 Parábola
Parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma
recta (directriz), que não contém o ponto.
Equação Reduzida
y2 = 2px (p > 0)
Equação Reduzida
y2 = −2px (p > 0)
1 2 3 4 x
-4
-2
2
4
y
-4 -3 -2 -1 x
-4
-2
2
4
y
Foco : F
¡
p
2
, 0
¢
Foco : F
¡
0,−p
2
¢
Directriz : x = −p
2
Directriz : x = p
2
Vértice : V (0, 0) Vértice : V (0, 0)
Equação Reduzida
x2 = 2py (p > 0)
Equação Reduzida
x2 = −2py (p > 0)
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
x
2
4
6
8
10
y
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
x
-10
-8
-6
-4
-2
y
Foco : F
¡
0, p
2
¢
Foco : F
¡
0,−p
2
¢
Directriz : y = −p
2
Directriz : y = p
2
Vértice : V (0, 0) Vértice : V (0, 0)
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Equação Reduzida da Parábola com vértice em (α, β):
(y − β)2 = 2p (x− α) (x− β)2 = 2p (y − α)
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 x
1
2
3
4
y
-4 -2 2 4 6 8
5
10
15
20
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1.3 Hipérbole
Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias
a dois pontos fixos (focos) é constante e menor que a distância entre eles.
Equação Reduzida
x2
a2
− y2
b2
= 1
Equação Reduzida
y2
b2
− x2
a2
= 1
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Focos : (±c, 0) , sendo c2 = a2 + b2 Focos : (0,±c) , sendo c2 = a2 + b2
Eixo transverso = 2a Eixo transverso = 2b
Eixo não transverso = 2b Eixo não transverso = 2a
Distância focal = 2c Distância focal = 2c
Vértices : (±a, 0) Vértices : (0,±b)
Assimptotas: y = ± b
a
x Assimptotas: y = ± b
a
x
Equação Reduzida da Hipérbole centrada em (α, β):
(x− α)2
a2
− (y − β)
2
b2
= 1.
-4 -2 2 4 6 8
x
-2
2
4
6
y