Álgebra Linear, Elon Lages Lima
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Álgebra Linear, Elon Lages Lima


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Álgebra Linear 
 
 
 
 
Este livro ganhou o prêmio Jabuti de 
Ciências Exatas e Tecnologia, outorgado 
pela Câmara Brasileira do Livro, em 1996 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lima, Elon Lages 
 Álgebra linear / Elon Lages Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : 
IMPA, 2014. 
 357 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) 
 
 Inclui bibliografia. 
 e-ISBN 978-85-244-0390-3 
 
 1. Matrizes. 2. Espaços Vetoriais. I. Título. II. Série. 
 
 CDD-512 
 
 
COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA 
 
 
 
 
 
 
Álgebra Linear 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elon Lages Lima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright \uf8e9 2014 by Elon Lages Lima 
 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
 
Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz 
 
 
 
Coleção Matemática Universitária 
Comissão Editorial: 
 Elon Lages Lima 
 S. Collier Coutinho 
 Paulo Sad 
 
 
Títulos Publicados: 
\u2022 Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 EDP. Um Curso de Graduação \u2013 Valéria Iório 
\u2022 Curso de Álgebra, Volume 1 \u2013 Abramo Hefez 
\u2022 Álgebra Linear \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Introdução às Curvas Algébricas Planas \u2013 Israel Vainsencher 
\u2022 Equações Diferenciais Aplicadas \u2013 Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves 
\u2022 Geometria Diferencial \u2013 Paulo Ventura Araújo 
\u2022 Introdução à Teoria dos Números \u2013 José Plínio de Oliveira Santos 
\u2022 Cálculo em uma Variável Complexa \u2013 Marcio G. Soares 
\u2022 Geometria Analítica e Álgebra Linear \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Números Primos: Mistérios e Recordes \u2013 Paulo Ribenboim 
\u2022 Análise no Espaço Rn \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Álgebra Exterior \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Equações Diferenciais Ordinárias \u2013 Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes 
\u2022 Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial \u2013 Elon Lages Lima 
\u2022 Álgebra Linear. Exercícios e Soluções \u2013 Ralph Costa Teixeira 
\u2022 Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes \u2013 Paulo Ribenboim 
 
 
Distribuição: 
 IMPA 
 Estrada Dona Castorina, 110 
 22460-320 Rio de Janeiro, RJ 
 e-mail: ddic@impa.br 
 http://www.impa.br 
 
Prefa´cio
A´lgebra Linear e´ o estudo dos espac¸os vetoriais e das transformac¸o\u2dces
lineares entre eles. Quando os espac¸os te\u2c6m dimenso\u2dces finitas, as
transformac¸o\u2dces lineares possuem matrizes. Tambe´m possuem ma-
trizes as formas bilineares e, mais particularmente, as formas qua-
dra´ticas. Assim a A´lgebra Linear, ale´m de vetores e transformac¸o\u2dces
lineares, lida tambe´m com matrizes e formas quadra´ticas. Sa\u2dco nu-
merosas e bastante variadas as situac¸o\u2dces, em Matema´tica e em suas
aplicac¸o\u2dces, onde esses objetos ocorrem. Da\u131´ a importa\u2c6ncia central da
A´lgebra Linear no ensino da Matema´tica.
O presente livro apresenta uma exposic¸a\u2dco introduto´ria de A´lge-
bra Linear. Ele na\u2dco pressupo\u2dce conhecimentos anteriores sobre o as-
sunto. Entretanto conve´m lembrar que a posic¸a\u2dco natural de um tal
curso no curr\u131´culo universita´rio vem apo´s um semestre (pelo menos)
de Geometria Anal\u131´tica a duas e tre\u2c6s dimenso\u2dces, durante o qual o
estudante deve adquirir alguma familiaridade, em n\u131´vel elementar,
com a representac¸a\u2dco alge´brica de ide´ias geome´tricas e vice-versa.
Tornou-se quase obrigato´rio, ja´ faz alguns anos, dedicar as pri-
meiras sessenta ou mais pa´ginas de todo livro de A´lgebra Linear ao
estudo dos sistemas de equac¸o\u2dces lineares pelo me´todo da eliminac¸a\u2dco
gaussiana, motivando assim a introduc¸a\u2dco das matrizes e dos deter-
minantes. Somente depois disso sa\u2dco definidos os espac¸os vetoriais.
Esse costume na\u2dco e´ seguido neste livro, cuja primeira sentenc¸a
e´ a definic¸a\u2dco de espac¸o vetorial. Mencionarei tre\u2c6s razo\u2dces para isso:
(a) A definic¸a\u2dco de A´lgebra Linear dada acima; (b) Na\u2dco vejo vantagem
em longas motivac¸o\u2dces; (c) Sistemas lineares sa\u2dco entendidos mais in-
teligentemente depois que ja´ se conhecem os conceitos ba´sicos de
A´lgebra Linear. De resto, esses conceitos (nu´cleo, imagem, base,
posto, subespac¸o, etc), quando estudados independentemente, te\u2c6m
muitas outras aplicac¸o\u2dces.
O me´todo da eliminac¸a\u2dco gaussiana e´ apresentado na Sec¸a\u2dco 9 e
retomado na Sec¸a\u2dco 17. Ele e´ aplicado para obter respostas a va´rios
outros problemas ale´m da resoluc¸a\u2dco de sistemas lineares.
O livro e´ dividido em vinte e duas sec¸o\u2dces. As oito primeiras de-
senvolvem os conceitos fundamentais e as proposic¸o\u2dces ba´sicas, que
formam a linguagemm\u131´nima necessa´ria para falar inteligentemente
sobre A´lgebra Linear. A nona sec¸a\u2dco faz a primeira aplicac¸a\u2dco dessas
ide´ias, tratando da eliminac¸a\u2dco gaussiana.
A partir da Sec¸a\u2dco 10, os espac¸os dispo\u2dcem de produto interno,
o que possibilita o emprego de evocativas noc¸o\u2dces geome´tricas como
perpendicularismo, comprimento, dista\u2c6ncia, etc. Sa\u2dco destacados
tipos particulares de operadores lineares, cujas propriedades
especiais sa\u2dco demonstradas nas Sec¸o\u2dces 13, 14 e 15. O Teorema
Espectral para operadores auto-adjuntos e´ provado na Sec¸a\u2dco 13,
onde se demonstra tambe´m o Teorema dos Valores Singulares
(Teorema 13.10), cuja grande utilidade na\u2dco corresponde a` sua cons-
p\u131´cua ause\u2c6ncia na maioria dos textos elementares.
Outro assunto igualmente importante e igualmente esquecido
no ensino da A´lgebra Linear e´ a pseudo-inversa, que expomos na
Sec¸a\u2dco 16. Trata-se de um to´pico fa´cil, atraente, de grande apelo
geome´trico, que constitui um bom campo de aplicac¸a\u2dco para os con-
ceitos anteriormente estudados.
A Sec¸a\u2dco 17 e´ um interlu´dio matricial, onde se mostra como as
propriedades das transformac¸o\u2dces lineares estudadas antes se tradu-
zem imediatamente em fatos na\u2dco-triviais sobre matrizes, principal-
mente algumas decomposic¸o\u2dces de grande utilidade nas computac¸o\u2dces.
As formas bilineares e quadra´ticas sa\u2dco estudadas na Sec¸a\u2dco 18,
onde e´ estabelecida a corresponde\u2c6ncia fundamental (isomorfismo)
entre formas e operadores (Teorema 18.2) e provado o Teorema dos
Eixos Principais (Teorema 18.3), que e´ a versa\u2dco do Teorema Espec-
tral para formas quadra´ticas. E´ ainda exposto o me´todo de Lagrange
para reduzir uma forma quadra´tica a uma soma (ou diferenc¸a) de
quadrados e e´ feito um estudo das superf\u131´cies qua´dricas.
Os determinantes sa\u2dco estudados na Sec¸a\u2dco 19, onde se define di-
retamente o determinante de um operador sem recurso a bases nem
matrizes. Em seguida, o determinante de uma matriz n × n e´ ca-
racterizado como a u´nica func¸a\u2dco n-linear alternada de suas colunas
(ou linhas) que assume o valor 1 na matriz unita´ria. A colocac¸a\u2dco dos
determinantes quase no final do livro, depois de ja´ terem sido es-
tabelecidos os resultados principais da A´lgebra Linear e ensinados
os me´todos mais eficientes para resolver sistemas, inverter matri-
zes etc, e´ uma atitude deliberada, que visa po\u2c6r esse conceito em seu
devido lugar. Trata-se de uma noc¸a\u2dco de grande importa\u2c6ncia teo´rica,
indispensa´vel em va´rias a´reas da Matema´tica, a qual foi, e ainda
na\u2dco deixou inteiramente de ser, equivocadamente considerada como
instrumento computacional. Usar a Regra de Cramer para resolver
um sistema linear, ou calcular o determinante de um operador para
ver se ele e´ invert\u131´vel ou na\u2dco, sa\u2dco me´todos que funcionam bem no
caso 2 × 2, e ate´ mesmo 3 × 3, mas se tornam altamente invia´veis a
partir da\u131´.
Depois que se te\u2c6m os determinantes, o polino\u2c6mio caracter\u131´stico e´
estudado na