Cap23-PotencialEletrico

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Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: F´ısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky
Edic¸a˜o: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
6 de abril de 2011
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importaˆncia do potencial ele´trico.
I Como calcular o potencial ele´trico que um conjunto de cargas
produz em um ponto do espac¸o.
I Como usar superf´ıcies equipotenciais para visualizar como o
potencial ele´trico varia no espac¸o.
I Como usar o potencial ele´trico para calcular o campo ele´trico.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importaˆncia do potencial ele´trico.
I Como calcular o potencial ele´trico que um conjunto de cargas
produz em um ponto do espac¸o.
I Como usar superf´ıcies equipotenciais para visualizar como o
potencial ele´trico varia no espac¸o.
I Como usar o potencial ele´trico para calcular o campo ele´trico.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importaˆncia do potencial ele´trico.
I Como calcular o potencial ele´trico que um conjunto de cargas
produz em um ponto do espac¸o.
I Como usar superf´ıcies equipotenciais para visualizar como o
potencial ele´trico varia no espac¸o.
I Como usar o potencial ele´trico para calcular o campo ele´trico.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importaˆncia do potencial ele´trico.
I Como calcular o potencial ele´trico que um conjunto de cargas
produz em um ponto do espac¸o.
I Como usar superf´ıcies equipotenciais para visualizar como o
potencial ele´trico varia no espac¸o.
I Como usar o potencial ele´trico para calcular o campo ele´trico.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como calcular a energia potencial de um conjunto de cargas.
I O significa e a importaˆncia do potencial ele´trico.
I Como calcular o potencial ele´trico que um conjunto de cargas
produz em um ponto do espac¸o.
I Como usar superf´ıcies equipotenciais para visualizar como o
potencial ele´trico varia no espac¸o.
I Como usar o potencial ele´trico para calcular o campo ele´trico.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Introduc¸a˜o
Quando uma part´ıcula carregada se desloca em um campo ele´trico, o campo exerce
uma forc¸a que realiza trabalho sobre a part´ıcula.
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
a
F cosφdl
onde, d~l e´ um deslocamento infinitesimal ao longo da trajeto´ria da part´ıcula e φ e´
o aˆngulo entre ~F e d~l em cada ponto da trajeto´ria.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Introduc¸a˜o
Quando uma part´ıcula carregada se desloca em um campo ele´trico, o campo exerce
uma forc¸a que realiza trabalho sobre a part´ıcula.
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
a
F cosφdl
onde, d~l e´ um deslocamento infinitesimal ao longo da trajeto´ria da part´ıcula e φ e´
o aˆngulo entre ~F e d~l em cada ponto da trajeto´ria.
Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial ele´trica.
A energia potencial ele´trica depende da posic¸a˜o da part´ıcula carregada no campo
ele´trico.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Introduc¸a˜o
Quando uma part´ıcula carregada se desloca em um campo ele´trico, o campo exerce
uma forc¸a que realiza trabalho sobre a part´ıcula.
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
a
F cosφdl
onde, d~l e´ um deslocamento infinitesimal ao longo da trajeto´ria da part´ıcula e φ e´
o aˆngulo entre ~F e d~l em cada ponto da trajeto´ria.
Esse trabalho realizado pode ser expresso em termos da energia potencial ele´trica.
A energia potencial ele´trica depende da posic¸a˜o da part´ıcula carregada no campo
ele´trico.
A energia potencial ele´trica sera´ descrita pelo conceito de potencial ele´trico ou
simplesmente potencial.
A diferenc¸a de potencial entre dois pontos e´, geralmente, chamada de voltagem.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de duas cargas puntiformes
~F =
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de duas cargas puntiformes
~F =
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ · d~l
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de duas cargas puntiformes
~F =
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ · d~l
=
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
cosφdl
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de duas cargas puntiformes
~F =
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ · d~l
=
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
cosφdl
=
q0q
4pi�0
∫ rb
ra
r−2dr = − q0q
4pi�0
1
r
∣∣∣rb
ra
Wa→b =
1
4pi�0
q0q
ra
− 1
4pi�0
q0q
rb
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de duas cargas puntiformes
~F =
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ · d~l
=
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
cosφdl
=
q0q
4pi�0
∫ rb
ra
r−2dr = − q0q
4pi�0
1
r
∣∣∣rb
ra
Wa→b =
1
4pi�0
q0q
ra
− 1
4pi�0
q0q
rb
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de duas cargas puntiformes
~F =
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ · d~l
=
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
cosφdl
=
q0q
4pi�0
∫ rb
ra
r−2dr = − q0q
4pi�0
1
r
∣∣∣rb
ra
Wa→b =
1
4pi�0
q0q
ra
− 1
4pi�0
q0q
rb
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U =
1
4pi�0
q0q
r
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de duas cargas puntiformes
~F =
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
rˆ · d~l
=
∫ rb
ra
1
4pi�0
q0q
r2
cosφdl
=
q0q
4pi�0
∫ rb
ra
r−2dr = − q0q
4pi�0
1
r
∣∣∣rb
ra
Wa→b =
1
4pi�0
q0q
ra
− 1
4pi�0
q0q
rb
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U =
1
4pi�0
q0q
r
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Teorema trabalho energia
~FR = m~a = m
d~v
dt
e ~v =
d~l
dt
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Teorema trabalho energia
~FR = m~a = m
d~v
dt
e ~v =
d~l
dt
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
a
m
d~v
dt
· d~l
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Teorema trabalho energia
~FR = m~a = m
d~v
dt
e ~v =
d~l
dt
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
a
m
d~v
dt
· d~l
Wa→b =
∫ b
a
m
d~v
dt
· ~vdt =
∫ b
a
mv dv
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Teorema trabalho energia
~FR = m~a = m
d~v
dt
e ~v =
d~l
dt
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫b
a
m
d~v
dt
· d~l
Wa→b =
∫ b
a
m
d~v
dt
· ~vdt =
∫ b
a
mv dv
Wa→b =
mv2
2
∣∣∣vb
va
= Kb − Ka
Wa→b = ∆K
K =
mv2
2
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Conservac¸a˜o da energia
Wa→b = −∆U
Wa→b = ∆K
∆K = −∆U
Kb − Ka = −(Ub − Ua)
Ka + Ua = Kb + Ub
Emeca = E
mec
b
Emec = K + U = Cont.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E jˆ
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E jˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
a
jˆ · d~l
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E jˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
a
jˆ · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E jˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
a
jˆ · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E jˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
a
jˆ · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U = q0Ey
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E jˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
a
jˆ · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U = q0Ey
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E jˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
a
jˆ · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U = q0Ey
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica de um campo uniforme
~F = q0~E = −q0E jˆ
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l = −q0E
∫ b
a
jˆ · d~l
= −q0E
∫ yb
ya
dy
Wa→b = q0E(ya − yb)
Wa→b = Ua − Ub = −(Ub − Ua)
Wa→b = −∆U
U = q0Ey
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica com diversas cargas puntiformes
U =
q0
4pi�0
(
q1
r1
+
q2
r2
+
q3
r3
...
)
(1)
(2)
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica com diversas cargas puntiformes
U =
q0
4pi�0
(
q1
r1
+
q2
r2
+
q3
r3
...
)
U =
q0
4pi�0
∑
i
qi
ri
(1)
(2)
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Energia potencial ele´trica com diversas cargas puntiformes
U =
q0
4pi�0
(
q1
r1
+
q2
r2
+
q3
r3
...
)
U =
q0
4pi�0
∑
i
qi
ri
(1)
U =
1
4pi�0
∑
i<j
qiqj
rij
(2)
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Interpretac¸a˜o da energia potencial ele´trica
Quando uma part´ıcula se desloca de um ponto a ate´ um ponto b, o trabalho
realizado pelo campo ele´trico e´ Wa→b = Ua − Ub.
Portanto, a diferenc¸a de energia potencial Ua − Ub e´ igual ao trabalho realizado
pela forc¸a ele´trica quando a part´ıcula de move de a ate´ b.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Energia potencial ele´trica
Interpretac¸a˜o da energia potencial ele´trica
Quando uma part´ıcula se desloca de um ponto a ate´ um ponto b, o trabalho
realizado pelo campo ele´trico e´ Wa→b = Ua − Ub.
Portanto, a diferenc¸a de energia potencial Ua − Ub e´ igual ao trabalho realizado
pela forc¸a ele´trica quando a part´ıcula de move de a ate´ b.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Potencial ele´trico
Denomina-se potencial ele´trico a energia potencial por unidade de carga.
V =
U
q0
ou U = q0V
No S.I. [v]=1J/C=1volt.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Potencial ele´trico
Denomina-se potencial ele´trico a energia potencial por unidade de carga.
V =
U
q0
ou U = q0V
No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferenc¸a de potencial ele´trico sera´ dada por:
Wa→b
q0
= −∆U
q0
= −
(
Ub
q0
− Ua
q0
)
= −(Vb − Va)
Wa→b
q0
= Va − Vb = Vab
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Potencial ele´trico
Denomina-se potencial ele´trico a energia potencial por unidade de carga.
V =
U
q0
ou U = q0V
No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferenc¸a de potencial ele´trico sera´ dada por:
Wa→b
q0
= −∆U
q0
= −
(
Ub
q0
− Ua
q0
)
= −(Vb − Va)
Wa→b
q0
= Va − Vb = Vab
Vab e´ o potencial de a em relac¸a˜o a b, que e´ igual ao trabalho
realizado pela forc¸a ele´trica quando uma carga UNITA´RIA se
desloca de a ate´ b.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Potencial ele´trico
Denomina-se potencial ele´trico a energia potencial por unidade de carga.
V =
U
q0
ou U = q0V
No S.I. [v]=1J/C=1volt. A diferenc¸a de potencial ele´trico sera´ dada por:
Wa→b
q0
= −∆U
q0
= −
(
Ub
q0
− Ua
q0
)
= −(Vb − Va)
Wa→b
q0
= Va − Vb = Vab
Vab e´ o potencial de a em relac¸a˜o a b, que e´ igual ao trabalho
realizado pela forc¸a ele´trica quando uma carga UNITA´RIA se
desloca de a ate´ b.
Vab, o potencial de a em relac¸a˜o a b, e´ igual ao trabalho realizado
contra a forc¸a ele´trica para deslocar lentamente uma carga
UNITA´RIA de b ate´ a.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Calculo do potencial ele´trico
A energia potencial entre duas cargas
puntiformes, q e q0 e´ dada por:
U =
1
4pi�0
q0q
r
I r e´ a distaˆncia entre q e o ponto
onde o potencial esta´ sendo
calculado.
I q > 0 → V > 0.
I q < 0 → V < 0.
I r =∞ → V = 0.
I V e´ independente da carga q0.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Calculo do potencial ele´trico
A energia potencial entre duas cargas
puntiformes, q e q0 e´ dada por:
U =
1
4pi�0
q0q
r
O potencial V para uma u´nica carga q
sera´:
V =
U
q0
=
1
4pi�0
q
r
I r e´ a distaˆncia entre q e o ponto
onde o potencial esta´ sendo
calculado.
I q > 0 → V > 0.
I q < 0 → V < 0.
I r =∞ → V = 0.
I V e´ independente da carga q0.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Calculo do potencial ele´trico
A energia potencial entre duas cargas
puntiformes, q e q0 e´ dada por:
U =
1
4pi�0
q0q
r
O potencial V para uma u´nica carga q
sera´:
V =
U
q0
=
1
4pi�0
q
r
I r e´ a distaˆncia entre q e o ponto
onde o potencial esta´ sendo
calculado.
I q > 0 → V > 0.
I q < 0 → V < 0.
I r =∞ → V = 0.
I V e´ independente da carga q0.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Calculo do potencial ele´trico
A energia potencial entre um conjunto de cargas
puntiformes, e´ dada por:
U =
q0
4pi�0
∑
i
qi
ri
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Calculo do potencial ele´trico
A energia potencial entre um conjunto de cargas
puntiformes, e´ dada por:
U =
q0
4pi�0
∑
i
qi
ri
O potencial V para um conjunto de carga sera´:
V =
U
q0
=
1
4pi�0
∑
i
qi
ri
ri e´ a distaˆncia entre qi e o ponto onde o
potencial esta´ sendo calculado.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Calculo do potencial ele´trico
A energia potencial entre um conjunto de cargas
puntiformes, e´ dada por:
U =
q0
4pi�0
∑
iqi
ri
O potencial V para um conjunto de carga sera´:
V =
U
q0
=
1
4pi�0
∑
i
qi
ri
ri e´ a distaˆncia entre qi e o ponto onde o
potencial esta´ sendo calculado.
Para um distribuic¸a˜o continua de cargas o
somato´rio se torna uma integral,
V =
1
4pi�0
∫
dq
r
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Como determinar o potencial ele´trico a partir do campo ele´trico
Quando conhecemos ~E e na˜o a distribuic¸a˜o de cargas podemos calcular o potencial
ele´trico a partir do campo ele´trico. Como ~F = q0~E , enta˜o:
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
a
q0~E · d~l
I Ao se mover no sentido de ~E , voceˆ se desloca
para valores decrescentes de V .
I Ao se mover no sentido oposto de ~E , voceˆ se
desloca para valores crescentes de V .
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Como determinar o potencial ele´trico a partir do campo ele´trico
Quando conhecemos ~E e na˜o a distribuic¸a˜o de cargas podemos calcular o potencial
ele´trico a partir do campo ele´trico. Como ~F = q0~E , enta˜o:
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
a
q0~E · d~l
Wa→b
q0
=
∫ b
a q0
~E · d~l
q0
= Va − Vb
Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l =
∫ b
a
E cosφdl
I Ao se mover no sentido de ~E , voceˆ se desloca
para valores decrescentes de V .
I Ao se mover no sentido oposto de ~E , voceˆ se
desloca para valores crescentes de V .
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Como determinar o potencial ele´trico a partir do campo ele´trico
Quando conhecemos ~E e na˜o a distribuic¸a˜o de cargas podemos calcular o potencial
ele´trico a partir do campo ele´trico. Como ~F = q0~E , enta˜o:
Wa→b =
∫ b
a
~F · d~l =
∫ b
a
q0~E · d~l
Wa→b
q0
=
∫ b
a q0
~E · d~l
q0
= Va − Vb
Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l =
∫ b
a
E cosφdl
I Ao se mover no sentido de ~E , voceˆ se desloca
para valores decrescentes de V .
I Ao se mover no sentido oposto de ~E , voceˆ se
desloca para valores crescentes de V .
No S.I. a unidade de campo ele´trico pode ser:
1N/C = 1V/m.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Potencial ele´trico
Ele´tron-volt
Ele´tron-volt e´ uma unidade de energia.
Ua − Ub = q(Va − Vb) = qVab
Quando q possui modulo igual a e = 1, 602× 10−19C a carga do ele´tron e
Vab = 1Volt, enta˜o:
1eV = (1, 602× 10−19C)(1Volt) = 1, 602× 10−19J
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial ele´trico, V (x , y , z). Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial ele´trico, V (x , y , z). Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Va − Vb =
∫ a
b
dV = −
∫ b
a
dV
−
∫ b
a
dV =
∫ b
a
~E · d~l → dV = −~E · d~l
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial ele´trico, V (x , y , z). Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Va − Vb =
∫ a
b
dV = −
∫ b
a
dV
−
∫ b
a
dV =
∫ b
a
~E · d~l → dV = −~E · d~l
Dado que, ~E = Ex iˆ + Ey jˆ + Ez kˆ, d~l = dxiˆ + dy jˆ + dzkˆ e V = V (x , y , z) enta˜o,
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial ele´trico, V (x , y , z). Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Va − Vb =
∫ a
b
dV = −
∫ b
a
dV
−
∫ b
a
dV =
∫ b
a
~E · d~l → dV = −~E · d~l
Dado que, ~E = Ex iˆ + Ey jˆ + Ez kˆ, d~l = dxiˆ + dy jˆ + dzkˆ e V = V (x , y , z) enta˜o,
dV = −~E · d~l = −Exdx − Eydy − Ezdz
dV =
∂V
∂x
dx +
∂V
∂y
dy +
∂V
∂z
dz
Ex = −∂V
∂x
; Ey = −∂V
∂y
; Ez = −∂V
∂z
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Gradiente de potencial
Gradiente de potencial
Conhecendo ~E(x , y , z) obtemos o potencial ele´trico, V (x , y , z). Va − Vb =
∫ b
a
~E · d~l
Como obter ~E a partir de V ?
Va − Vb =
∫ a
b
dV = −
∫ b
a
dV
−
∫ b
a
dV =
∫ b
a
~E · d~l → dV = −~E · d~l
Dado que, ~E = Ex iˆ + Ey jˆ + Ez kˆ, d~l = dxiˆ + dy jˆ + dzkˆ e V = V (x , y , z) enta˜o,
dV = −~E · d~l = −Exdx − Eydy − Ezdz
dV =
∂V
∂x
dx +
∂V
∂y
dy +
∂V
∂z
dz
Ex = −∂V
∂x
; Ey = −∂V
∂y
; Ez = −∂V
∂z
~E(x , y , z) = −
(
∂V
∂x
iˆ +
∂V
∂y
jˆ +
∂V
∂z
kˆ
)
= −~∇V (x , y , z)
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Superf´ıcies Equipotenciais
Uma superf´ıcie equipotencial e´ uma superf´ıcie em treˆs dimenso˜es, sobre a qual o
potencial ele´trico V permanece constantes em todos os pontos.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Superf´ıcies Equipotenciais
Uma superf´ıcie equipotencial e´ uma superf´ıcie em treˆs dimenso˜es, sobre a qual o
potencial ele´trico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superf´ıcie, a energia potencial
q0V permanece constante, assim, o campo
ele´trico ~E na˜o realiza trabalho.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Superf´ıcies Equipotenciais
Uma superf´ıcie equipotencial e´ uma superf´ıcie em treˆs dimenso˜es, sobre a qual o
potencial ele´trico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superf´ıcie, a energia potencial
q0V permanece constante, assim, o campo
ele´trico ~E na˜o realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a` superf´ıcie
em todos os pontos, de modo que a forc¸a ~F seja
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superf´ıcie.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Superf´ıcies Equipotenciais
Uma superf´ıcie equipotencial e´ uma superf´ıcie em treˆs dimenso˜es, sobre a qual o
potencial ele´trico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superf´ıcie, a energia potencial
q0V permanece constante, assim, o campo
ele´trico ~E na˜o realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a` superf´ıcie
em todos os pontos, de modo que a forc¸a ~F seja
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superf´ıcie.
As linhas de campo ele´trico e as superf´ıcies
equipotenciais sa˜o sempre mutuamente
perpendiculares.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Superf´ıcies Equipotenciais
Uma superf´ıcie equipotencial e´ uma superf´ıcie em treˆs dimenso˜es, sobre a qual o
potencial ele´trico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superf´ıcie, a energia potencial
q0V permanece constante, assim, o campo
ele´trico ~E na˜o realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a` superf´ıcie
em todos os pontos, de modo que a forc¸a ~F seja
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superf´ıcie.
As linhas de campo ele´trico e as superf´ıcies
equipotenciais sa˜o sempre mutuamente
perpendiculares.
Em regio˜es onde o mo´dulo de ~E e´ grande, as
superf´ıcies equipotenciais ficam agrupadas mais
compactamente.
Em regio˜es onde o mo´dulo de ~E e´ fraco, as
superf´ıcies equipotenciais ficam agrupadas mais
espac¸adamente.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Superf´ıcies Equipotenciais
Uma superf´ıcie equipotencial e´ uma superf´ıcie em treˆs dimenso˜es, sobre a qual o
potencial ele´trico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superf´ıcie,a energia potencial
q0V permanece constante, assim, o campo
ele´trico ~E na˜o realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a` superf´ıcie
em todos os pontos, de modo que a forc¸a ~F seja
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superf´ıcie.
As linhas de campo ele´trico e as superf´ıcies
equipotenciais sa˜o sempre mutuamente
perpendiculares.
Em regio˜es onde o mo´dulo de ~E e´ grande, as
superf´ıcies equipotenciais ficam agrupadas mais
compactamente.
Em regio˜es onde o mo´dulo de ~E e´ fraco, as
superf´ıcies equipotenciais ficam agrupadas mais
espac¸adamente.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Superf´ıcies Equipotenciais
Uma superf´ıcie equipotencial e´ uma superf´ıcie em treˆs dimenso˜es, sobre a qual o
potencial ele´trico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superf´ıcie, a energia potencial
q0V permanece constante, assim, o campo
ele´trico ~E na˜o realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a` superf´ıcie
em todos os pontos, de modo que a forc¸a ~F seja
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superf´ıcie.
As linhas de campo ele´trico e as superf´ıcies
equipotenciais sa˜o sempre mutuamente
perpendiculares.
Em regio˜es onde o mo´dulo de ~E e´ grande, as
superf´ıcies equipotenciais ficam agrupadas mais
compactamente.
Em regio˜es onde o mo´dulo de ~E e´ fraco, as
superf´ıcies equipotenciais ficam agrupadas mais
espac¸adamente.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Superf´ıcies Equipotenciais
Uma superf´ıcie equipotencial e´ uma superf´ıcie em treˆs dimenso˜es, sobre a qual o
potencial ele´trico V permanece constantes em todos os pontos.
Se uma carga de teste q0 se desloca de um ponto
a outro sobre essa superf´ıcie, a energia potencial
q0V permanece constante, assim, o campo
ele´trico ~E na˜o realiza trabalho.
Portanto, ~E deve ser perpendicular a` superf´ıcie
em todos os pontos, de modo que a forc¸a ~F seja
perpendicular ao deslocamento de uma carga que
se mova sobre essa superf´ıcie.
As linhas de campo ele´trico e as superf´ıcies
equipotenciais sa˜o sempre mutuamente
perpendiculares.
Em regio˜es onde o mo´dulo de ~E e´ grande, as
superf´ıcies equipotenciais ficam agrupadas mais
compactamente.
Em regio˜es onde o mo´dulo de ~E e´ fraco, as
superf´ıcies equipotenciais ficam agrupadas mais
espac¸adamente.
Figura: Esfera pro´xima a uma superf´ıcie.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Condutores e Equipotenciais
Quando todas as cargas esta˜o em repouso, a
superf´ıcie de um condutor e´ sempre uma
superf´ıcie equipotencial.
Quando todas as cargas esta˜o em repouso, o
campo ele´trico nos pontos pro´ximos da superf´ıcie
externa de um condutor deve ser sempre
perpendicular em todos os pontos da superf´ıcie.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Superf´ıcies Equipotenciais
Condutores e Equipotenciais
Quando todas as cargas esta˜o em repouso, a
superf´ıcie de um condutor e´ sempre uma
superf´ıcie equipotencial.
Quando todas as cargas esta˜o em repouso, o
campo ele´trico nos pontos pro´ximos da superf´ıcie
externa de um condutor deve ser sempre
perpendicular em todos os pontos da superf´ıcie.
Todos os pontos no interior de uma cavidade
possuem o mesmo potencial.
Em equil´ıbrio eletrosta´tico, se um condutor possui
uma cavidade, e se na˜o existe nenhuma carga no
interior da cavidade, enta˜o na˜o pode existir carga
sobre qualquer ponto da superf´ıcie da cavidade.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
b
dV = Va − Vb = 0
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
b
dV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
b
dV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
1
4pi�0
q
r2
rˆ
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
b
dV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
1
4pi�0
q
r2
rˆ
dV = −~E · d~l = − q
4pi�0
rˆ · d~l
r2
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
1
4pi�0
q
r2
rˆ
dV = −~E · d~l = − q
4pi�0
rˆ · d~l
r2
dV = − q
4pi�0
dr
r2
=
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
1
4pi�0
q
r2
rˆ
dV = −~E · d~l = − q
4pi�0
rˆ · d~l
r2
dV = − q
4pi�0
dr
r2
=∫ a
b
dV = − q
4pi�0
∫ a
b
r−2dr
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
1
4pi�0
q
r2
rˆ
dV = −~E · d~l = − q
4pi�0
rˆ · d~l
r2
dV = − q
4pi�0
dr
r2
=∫ a
b
dV = − q
4pi�0
∫ a
b
r−2dr
Va − Vb = Vab =
q
4pi�0
(r−1a − r−1b )
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Esfera condutora carregada
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
1
4pi�0
q
r2
rˆ
dV = −~E · d~l = − q
4pi�0
rˆ · d~l
r2
dV = − q
4pi�0
dr
r2
=∫ a
b
dV = − q
4pi�0
∫ a
b
r−2dr
Va − Vb = Vab =
q
4pi�0
(r−1a − r−1b )
Para r > R o potencial ele´trico e´ dado por
V = 1
4pi�0
q
r
e na superf´ıcie e´ igual a V = 1
4pi�0
q
R
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo ele´trico e´ dado por,
~E = −E jˆ = − σ
�0
jˆ
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo ele´trico e´ dado por,
~E = −E jˆ = − σ
�0
jˆ
dV = −~E · d~l
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo ele´trico e´ dado por,
~E = −E jˆ = − σ
�0
jˆ
dV = −~E · d~l
dV =
σ
�0
dy
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo ele´trico e´ dado por,
~E = −E jˆ = − σ
�0
jˆ
dV = −~E ·d~l
dV =
σ
�0
dy∫ a
b
dV =
∫ a
b
σ
�0
dy
Va − Vb = Vab =
σ
�0
(ya − yb)
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo ele´trico e´ dado por,
~E = −E jˆ = − σ
�0
jˆ
dV = −~E · d~l
dV =
σ
�0
dy∫ a
b
dV =
∫ a
b
σ
�0
dy
Va − Vb = Vab =
σ
�0
(ya − yb)
Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab = σ�0 d = Ed
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Placas paralelas carregadas com cargas opostas
Como o campo ele´trico e´ dado por,
~E = −E jˆ = − σ
�0
jˆ
dV = −~E · d~l
dV =
σ
�0
dy∫ a
b
dV =
∫ a
b
σ
�0
dy
Va − Vb = Vab =
σ
�0
(ya − yb)
Como ya = d e yb = 0 ⇒ Vab = σ�0 d = Ed
Segue deste resultado que o modulo do campo
ele´trico no interior de duas placas planas e
paralelas (capacitor) e´ dado por E = Vab
d
.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
b
dV = Va − Vb = 0
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
b
dV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
b
dV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
λ
2pi�0
rˆ
r
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Para r ≤ R o campo ele´trico e´ dado por,
~E = 0
dV = −~E · d~l = 0∫ a
b
dV = Va − Vb = 0
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
λ
2pi�0
rˆ
r
dV = −~E · d~l = − λ
2pi�0
rˆ · d~l
r
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
λ
2pi�0
rˆ
r
dV = −~E · d~l = − λ
2pi�0
rˆ · d~l
r
dV = − λ
2pi�0
dr
r
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
λ
2pi�0
rˆ
r
dV = −~E · d~l = − λ
2pi�0
rˆ · d~l
r
dV = − λ
2pi�0
dr
r∫ a
b
dV = − λ
2pi�0
∫ a
b
dr
r
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
λ
2pi�0
rˆ
r
dV = −~E · d~l = − λ
2pi�0
rˆ · d~l
r
dV = − λ
2pi�0
dr
r∫ a
b
dV = − λ
2pi�0
∫ a
b
dr
r
Va − Vb = Vab = −
λ
2pi�0
ln
(
ra
rb
)
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio infinito carregado ou cilindro condutor carregado
Logo o potencial para r ≤ R e´ constante pois,
Va − Vb = 0 e igual ao da superf´ıcie.
Para r > R o campo ele´trico e´ dado por,
~E =
λ
2pi�0
rˆ
r
dV = −~E · d~l = − λ
2pi�0
rˆ · d~l
r
dV = − λ
2pi�0
dr
r∫ a
b
dV = − λ
2pi�0
∫ a
b
dr
r
Va − Vb = Vab = −
λ
2pi�0
ln
(
ra
rb
)
Para r > R o potencial ele´trico e´ dado por
V = λ
2pi�0
ln
(
r
R
)
e na superf´ıcie definimos que
V = λ
2pi�0
ln
(
R
R
)
= 0 pois o ln(x)→∞ para
x → 0,∞ .
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um anel carregado
Cap´ıtulo 23 - Potencial Ele´trico
Determinac¸a˜o do potencial ele´trico
Um fio carregado
	Introdução
	Energia potencial elétrica
	Potencial elétrico
	Gradiente de potencial
	Superfícies Equipotenciais
	Determinação do potencial elétrico