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Algebra moderna Róbinson Castro Puche FREELIBROS.ORG

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Róbinson Castro Puche
moderna
Álgebra
e introducción al
álgebra geométrica
ECOE EDICIONES
Róbinson Castro Puche. 
Licenciado en Matemáticas, 
Universidad Nacional de 
Colombia, Bogotá. 
Master of Arts Mathematics 
Education, Ball State University, 
Muncie, Indiana, USA. Profesor 
titular de la Universidad de 
Córdoba, Montería, donde 
además ejerció las funciones de 
Secretario Académico de la 
Facultad de Ciencias, Director del 
departamento de Matemáticas y 
Director de la oficina de Registro 
y Admisiones. Es además, 
docente adscrito a la Universidad 
Nacional de Colombia, 1993 a 
1994.
A´LGEBRA MODERNA
e introduccio´n al a´lgebra
geome´trica
RO´BINSON CASTRO PUCHE
A´lgebra moderna
e introduccio´n al a´lgebra geome´trica
Copyright c© Ro´binson Castro Puche. Es propiedad intelectual del autor.
Todos los derechos reservados. Prohibida la reproduccio´n total o parcial, por
cualquier medio o con cualquier propo´sito, sin autorizacio´n escrita del autor.
Monter´ıa – Colombia
robinson castro p@hotmail.com
ISBN: 978-958-648-850-1
Primera edicio´n: 2013
Diagramacio´n: En LATEX realizada por Ro´binson Castro Puche
Disen˜o de Cara´tula: Wilson Marulanda
Impreso por Ecoe Ediciones Ltda., Bogota´
E-mail: correo@ecoeedicioes.com
www.ecoeedicioes.com
Carrera 19 No 63C-32, Pbx: 2481449, fax. 346 1741
Coordinacio´n editorial: Andrea del Pilar Sierra
Impreso en Colombia
Depo´sito legal: Hecho.
Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia
Castro Puche, Róbinson
Álgebra moderna e introducción al álgebra geométrica / Róbinson 
Castro Puche – 1ª. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2013
 ��� p. – (Ciencias exactas. Matemáticas)
ISBN 978-958-648-850-1
 1. Aritmética 2. Álgebra 3. Geometría algebraica I. Título II. Serie
CDD: 512 ed. 20� CO-BoBN– a834338
A Olga, la esposa; Milton, Tania, Jaime y Glenna, los hijos;
Alejandro, Andrea, Paula, Valery, Daniel y Sara, los nietos.
I´ndice general
EL AUTOR V
PRESENTACIO´N VII
PREFACIO IX
1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA 3
Introduccio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. El m.c.d y el m.c.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5. Sistemas de numeracio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.1. Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.2. Operaciones en base cualquiera . . . . . . . . . . . . . 45
2. GRUPOS 53
2.1. Leyes de composicio´n internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3. Grupos finitos y construccio´n de tablas . . . . . . . . . . . . . 61
2.4. Notacio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5. Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7. Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.8. Aplicaciones geome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS 101
3.1. Grupos con operadores externos . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
i
ii I´NDICE GENERAL
3.2. Producto de las partes de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3. Δ–Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4. ANILLOS 141
4.1. Definicio´n y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2. El Anillo Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3. El anillo de los Endomorfismos de A . . . . . . . . . . . . . . 147
4.4. Divisores de Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5. Dominios–Semicampos–Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.5.1. Subdominios–Subcampos . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.6. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.7. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.8. Otras clases de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.9. Dominios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.10. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.11. Dominios de factorizacio´n u´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.12. El campo de cocientes de un dominio . . . . . . . . . . . . . . 185
4.13. Caracter´ısticas de Dominios y Campos . . . . . . . . . . . . . 192
5. ANILLOS DE POLINOMIOS 199
5.1. Construccio´n del anillo F [ x ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.2. Polinomios Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3. Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4. Los ceros de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.5. El Dominio de Factorizacion Unica D[ x ] . . . . . . . . . . . . 230
6. A´LGEBRA GEOME´TRICA 239
6.1. A´lgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1.1. Bases y dimensio´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.1.2. El producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.1.3. El producto de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.2. A´lgebras del plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2.1. El a´lgebra tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.2.2. Trivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
I´NDICE GENERAL iii
6.3. El a´lgebra Cln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.3.1. Bases algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.4. La transformacio´n dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.4.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.4.2. Involuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.5. Los productos interno y externo . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.6. Multivectores de grado k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6.7. La norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
6.7.1. El inverso de A〈k〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8. Representacio´n matricial del producto . . . . . . . . . . . . . . 288
6.9. El inverso de un multivector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
6.9.1. El producto geome´trico en Cl3 . . . . . . . . . . . . . . 294
6.10. Versores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6.11. El plano euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.11.1. Interpretacio´n geome´trica de los bivectores en el plano
euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.11.2. El i-plano espinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
EL AUTOR
RO´BINSON CASTRO PUCHE
Licenciado en Matema´ticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogota´.
Master of Arts Mathematics Education, Ball State University, Muncie, In-
diana, USA.
En la Universidad de Co´rdoba, en Monter´ıa, ejercio´ las funciones de secreta-
rio acade´mico de la Facultad de Ciencias, director de la Oficina de Registro
y Admisiones, director del Departamento de Matema´ticas y profesor titular.
Tambie´n fue rector del Colegio El Carmen de Cotorra, Co´rdoba y entre di-
ciembre de 1993 y noviembre de 1994, fue docente adscrito a la Universidad
Nacional de Colombia.
v
PRESENTACIO´N
A´lgebra moderna e introduccio´n al a´lgebrageome´trica es un texto
cuyo objetivo es promover una actitud matema´tica positiva entre los estu-
diantes de una asignatura reconocida tradicionalmente como una disciplina
abstracta, en la que se estudian entes aparentemente distantes de la realidad
concreta y de la experiencia tangible.
¿Que´ se persigue con la ensen˜anza del a´lgebra moderna en las instituciones
de educacio´n superior? Ciertamente no es hacer conocer al futuro matema´tico
una serie de teoremas y ejercicios ingeniosos relacionados con las estructuras
algebraicas, sino ensen˜arle a ordenar el pensamiento con arreglo al me´todo
axioma´tico, para desarrollar el rigor del juicio lo´gico, indispensable en la
labor del matema´tico.
En ese aspecto, el autor presenta un trabajo prolijo que sera´ de gran ayu-
da a los estudiantes que se inician en el conocimiento del a´lgebra moderna.
El texto esta´ agradablemente redactado y en algunos aspectos presenta ori-
ginalidad en la exposicio´n y concatenacio´n lo´gica de los temas, cosa dif´ıcil de
lograr con un material que hoy es completamente esta´ndar. De acuerdo con
mi criterio, esto u´ltimo representa un aspecto muy valioso del libro.
Conociendo las cualidades pedago´gicas del profesor Ro´binson Castro, veo
en la presente obra la continuacio´n de su conviccio´n de poner en pra´ctica las
teor´ıas de la ensen˜anza de las matema´ticas desarrolladas por Piaget; por esta
razo´n puedo afirmar que estamos, sin duda, frente a un material valioso para
los interesados en conocer de cerca los fundamentos del a´lgebra moderna.
RAFAEL OBREGO´N, Msc.
Los A´ngeles, California, USA. enero de 2013.
vii
PREFACIO
Si nos ubicamos en la posicio´n del maestro, de ensen˜ar la teor´ıa o en la del
epistemo´logo, que tiene que ver con la naturaleza de los entes matema´ticos;
el problema consiste en saber si las conexiones matema´ticas son engendradas
por la inteligencia o si esta las descubre como una relidad exterior.
Jean Piaget en su disertacio´n, con motivo del Coloquio de la Rochette
de Melun en 1952, refirie´ndose a las estructuras matema´ticas; expreso´: Un
grupo es un sistema operatorio; la cuestio´n estriba en saber si los elementos
de diversa naturaleza a los que se aplica la estructura existen previamente
a esta, o si, por el contrario, es la accio´n de la estructura la que confiere
a los elementos sus propiedades esenciales. El problema sicolo´gico consiste
en establecer si los entes que sirven de elementos a las estructuras son el
resultado de las operaciones que los engendran o si preexisten a aquellas
operaciones que se aplican a ellos.
Para dar respuesta al dilema, continuo´ diciendo: En vez de definir los
elementos aisladamente por convenio, la definicio´n estructural consiste en
carcterizarlos por las relaciones operatorias que mantienen entre s´ı, en fun-
cio´n del sistema. Y la definicio´n estructural de un elemento hara´ las veces
de demostracio´n de la necesidad de este elemento, en cuanto esta´ concebido
como perteneciente a un sistema cuyas partes son interdependientes.
Teniendo en cuenta el criterio de Piaget, el objetivo principal de este
trabajo es poner a la consideracio´n de la comunidad matema´tica un texto
que proporcione a los estudiantes las bases teo´ricas del a´lgebra moderna que
les permita abordar con e´xito una disciplina con un alto grado de abstraccio´n.
Dominar las ideas expuestas en el texto constituye un paso fundamental para
el estudio de teor´ıas ma´s avanzadas relacionadas con el desarrollo axioma´tico
de las matema´ticas.
En concordancia con lo anterior, el texto esta´ disen˜ado para usarlo co-
mo guia para un primer curso de a´lgebra moderna. Se encuentra dividido
ix
x PREFACIO
en seis cap´ıtulos. En el primero se estudian los aspectos ma´s relevantes de
la aritme´tica elemental, comenzando con la caracterizacio´n de los nu´meros
naturales tomando como fundamento los postulados de Peano. A partir del
concepto de divisibilidad se estudian las congruencias, concluyendo con una
presentacio´n suscinta de los sistemas de numercio´n de base diferente a la
decimal.
Los cap´ıtulos segundo y tercero esta´n dedicados al desarrollo de los gru-
pos. El material consignado es el que tradicionalmente se estudia, pero he
considerado que desde el punto de vista dida´ctico los subgrupos normales se
introduzcan a trave´s de los automorfismos internos.
Los cap´ıtulos cuarto y quinto esta´n dedicados a los anillos. El cuarto se
inicia con una descripcio´n detallado de los enteros mo´dulo n, se extiende el
estudio de la divisibilidad a los anillos en general y se desarrolla la teor´ıa
correspondiente a las estructuras algebraicas hasta la nocio´n de campo. El
quinto correponde al anillo de los polinomios.
El a´lgebra geome´trica es un to´pico que en la actualidad no cuenta con
una amplia difusio´n como herramienta matema´tica aplicada a la solucio´n de
algunos problemas de la ingenier´ıa; donde el ana´lisis vectorial esta´ndar, en
dos y tres dimensiones, y el a´lgebra matricial son las ayudas ampliamente
usadas. Pero lo cierto es que cada d´ıa aumenta el nu´mero de investigadores
convencidos de la utilidad de esta rama descubierta por Gu¨nther Grassmann.
Presentar las bases mı´nimas de esta teor´ıa, tiene como propo´sito invitar
a los interesados a profundizar en su estudio e investigar acerca de la im-
portancia de esta herrmienta en la reformulacio´n de algunos conceptos de la
f´ısica.
El autor.
Monter´ıa, enero de 2013.
A´LGEBRA MODERNA
e introduccio´n al a´lgebra
geome´trica
Cap´ıtulo 1
TEORI´A DE LA
ARITME´TICA
Introduccio´n
El punto de partida es aceptar que los enteros y sus operaciones aritme´ticas
han sido objeto de ana´lisis. El intere´s primario sera´ estudiar los fundamentos
de la aritme´tica elemental. Se supone conocido el desarrollo axioma´tico de
los naturales propuesto por G. Peano en 1889 que permite concebirlos como
la coleccio´n {0, 1, 2, . . . , n, . . . } y una operacio´n unaria, la funcio´n siguiente
o sucesor que verifica los postulados de Peano:
1. Cero es un nu´mero.
2. El sucesor de un nu´mero es u´nico.
3. Cero no es el sucesor de ningu´n nu´mero.
4. Si Sig(n) = Sig(m), entonces n = m.
5. El principio de induccio´n completa: Dado un conjunto M de nu´meros
naturales con las dos propiedades siguientes:
a) Cero pertenece a M.
b) Si n pertenece a M implica que Sig(n) tambie´n pertenece a M ;
entonces M contiene a todos los nu´meros naturales.
3
4 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Partiendo de estos fundamentos se define la adicio´n mediante las fo´rmulas:
Sig(n) = n + 1
Sig[Sig(n)] = n + 2
y as´ı sucesivamente,
n + Sig(m) = Sig(n + m)
llamadas fo´rmulas de recurrencia.
La multiplicacio´n se expresa en te´rminos de la adicio´n por:
nm = m + m + · · ·+ m︸ ︷︷ ︸
n veces
indicando que el nu´mero m se ha sumado n veces.
Los enteros sera´n el resultado de reunir los naturales con sus respectivos
inversos aditivos, o sea:
{. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Ma´s tarde se estudiara´n como ejemplos de sistemas nume´ricos espec´ıficos
objeto del a´lgebra moderna.
La representacio´n polino´mica de los enteros sera´ igualmente asumida,
da´ndose por cierto que para todo entero t > 1, cada uno de los enteros a > 0
puede representarse en forma u´nica como
a = c0 + c1t + · · ·+ cn−1tn−1 + cntn =
n∑
i=0
cit
i
donde cn es positivo y 0 ≤ ci < t, para 0 ≤ i ≤ n. Esta proposicio´n garantiza
que cada entero mayor que 1 puede servir como base para un sistema de
numeracio´n.
Las precisiones expuestas servira´n para movernos con libertad suficiente
en el desarrollo de algunos to´picos cuya construccio´n esta´ por fuera de los
objetivos planteados.
Construir tria´ngulos recta´ngulos con lados enteros fue objeto de investi-
gacio´n por parte de los babilonios 1600 an˜os antes de Cristo. No solamente
le dieron solucio´n a esteproblema sino que lo aplicaron a la trigonometr´ıa
5
construyendo tablas. Euclides en el de´cimo libro de los Elementos escribio´ un
ana´lisis detallado al plantear la solucio´n en los enteros de la ecuacio´n:
x2 + y2 = z2
conocida como ecuacio´n pitago´rica, debido a la creencia que fue Pita´goras
quien la planteo´ por primera vez en el an˜o 550 antes de Cristo. Las soluciones
ma´s simples esta´n conformadas por 3, 4, 5 y 5, 12, 13 y mu´ltiplos de estos, por
ejemplo 6, 8, 10 que es el doble de la primera y 25, 60, 65 que es cinco veces la
segunda. Tal vez se piense que no haya otras, pero efectivamente las hay. En
los tria´ngulos de lados 3, 4, 5 y 5, 12, 13 la hipotenusa es una unidad mayor
que uno de los catetos. Si a y b son los catetos y la hipotenusa es b + 1, de
acuerdo con el teorema de Pita´goras
a2 + b2 = (b + 1)2.
Realizando las operaciones pertinentes se llega a la igualdad
a2 = 2b + 1
de donde se concluye que a2 es impar y por lo tanto a tambie´n lo es. Tomando
a = 2n + 1,
reemplazando en la igualdad anterior se observa que
b = 2n2 + 2n
lo que lleva a deducir que (2n+1), (2n2+2n), (2n2+2n+1) son los lados de un
tria´ngulo recta´ngulo, donde la u´ltima expresio´n corresponde a la hipotenusa.
Pero los anteriores distan de ser todos, estos se encuentran a trave´s de la
solucio´n de la ecuacio´n
x2 + y2 = z2
ecuacio´n que tiene infinitas soluciones si x, y, z son primos relativos; y es par
positivo; x, z ambos impares positivos. Las soluciones vienen dadas por
x = u2 − v2, y = 2uv, z = u2 + v2
donde u, v son enteros que satisfacen las condiciones u > v > 0, son primos
relativos y uno de los dos es par. Si u = 2, v = 1 se tiene la solucio´n 3, 4, 5.
Si u = 3, v = 2, la solucio´n es 5, 12, 13.
6 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
La mejor contribucio´n de Euclides a la aritme´tica fue el desarrollo de las
demostraciones del algoritmo euclidiano, la existencia de un nu´mero infinito
de primos y el teorema fundamental de la aritme´tica que establece que todo
entero distinto de cero se puede expresar como el producto de un nu´mero
finito de factores primos, conceptos que tienen su fundamento en la relacio´n
de divisibilidad.
Fermat estudio´ la ecuacio´n
xn + yn = zn
para enteros n ≥ 3. Afirmo´ tener una solucio´n asegurando que, excepto para
el caso en que n = 2, no hab´ıa solucio´n diferente a 0, 0, 0. Desafortunadamente
no la dio a conocer siendo este uno de los tres problemas insolubles ma´s
famosos. Este hecho se nombra en la historia como el u´ltimo teorema de
Fermat o el teorema grande de Fermat, en contraposicio´n al conocido como
el teorema menor de Fermat, cuyo enunciado establece que si p es primo,
entonces para todo a,
ap ≡ a mod p.
Y si p no divide a a,
ap − 1 ≡ 1 mod p.
Lo de menor tal vez fue para resaltar la importancia del primero. Un caso
especial del teorema menor de Fermat establece que si p es primo, entonces
p|(2p − 2).
Los chinos creyeron por mucho tiempo que el rec´ıproco tambie´n era cierto y
lo verificaron hasta 300. Consideraron durante ma´s de 23 siglos que era una
regla infalible para decidir primalidad, pero falla para 341 = 11× 31.
Debido a que 2341− 2 consta de 103 cifras comprobarlo se pospone hasta
cuando haya la teor´ıa suficiente.
1.1. Divisibilidad
Definicio´n 1.1.1. Conside´rense los enteros a, b con a �= 0. Si existe un
entero c tal que b = ac, se dice que a divide a b y se escribe a|b. Si a no
divide a b, se escribe a � b.
1.1. DIVISIBILIDAD 7
Como 8 = 2× 3 + 2 , se deduce que 3 � 8. Otros ejemplos son:
5|15, 1|4, (−2)|6, 2|(−8), 5 � 14.
La relacio´n de divisibilidad no es una equivalencia debido a que no es sime´tri-
ca, por ejemplo 3|6, pero 6 � 3.
Es fa´cil verificar que es reflexiva y transitiva.
Para todo entero a diferente de cero, existe el entero 1, tal que a = a× 1
y de acuerdo con la definicio´n a|a indicando que es reflexiva.
Sean a, b, c tres enteros donde a y b son ambos diferentes de cero tales
que a|b y b|c entonces existen enteros d, e que satisfacen las igualdades
b = ad, c = be.
Si el valor de b en la primera igualdad lo reemplazamos en la segunda se
obtiene
c = (ad)e = a(de)
y como de es un entero se concluye que a|c, infirie´ndose que es una relacio´n
transitiva.
Las siguientes proposiciones son otras propiedades de la divisibilidad que
se pueden deducir usando la definicio´n. Como es tradicional las letras se
usara´n para representar enteros. Para evitar confusiones las cifras enteras se
escriben sin usar los puntos correspondientes a la escritura formal. El punto
y el signo × se usan para expresar producto, por ejemplo, 23 · 45 y 23× 45
significan ��23 por 45��, mientras que 2345 debe leerse ��dos mil trescientos
cuarenta y cinco��.
1. Si a|b y b|a, entonces a = b o a = −b.
2. Si a|b y a|c, entonces a|(bx ± cy) para toda pareja x, y. En particular
a|(b± c). Si a|b, entonces a|bx, para todo x.
3. Si a|b y b > 0, entonces a ≤ b.
4. Para todo a �= 0 y para todo b, a|0 y ±1|b.
5. Sean a, b, k con a �= 0, k �= 0, entonces a|b si y solo si ak|bk.
6. Si a|b y b �= 0, entonces | a | ≤ | b |.
8 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Note que el orden en que aparecen las anteriores proposiciones no es impor-
tante, por ejemplo la proposicio´n (3) se puede considerar como una conse-
cuencia de (6) pero es posible hacer una demostracio´n directa de (3) sin usar
(6).
Definicio´n 1.1.2. Dos enteros a, b ambos diferentes de cero tales que a|b y
b|a se dice que son asociados.
De acuerdo con (1) los u´nicos asociados de un entero a son a y −a.
Para demostrar la propiedad (1) se deben tomar dos asociados y concluir
que son iguales o que solo difieren en el signo. Para el efecto to´mense los
asociados a, b. Por definicio´n existen c y d tales que
b = ac, a = bd.
Si el valor de a, en la igualdad de la derecha, lo reemplazamos en la de la
izquierda se obtiene
b = (bd)c = b(dc)
y de esta u´ltima se deduce que dc = 1, pero debido a que d y c son enteros,
u´nicamente se pueden tener dos posibilidades, d = c = 1 o d = c = −1. Si
ocurre la primera posibilidad, reemplazando a c se concluye de la primera
igualdad que b = a. Si ocurre la segunda se obtiene b = −a.
Para demostrar la propiedad (2) se supone que a|b y a|c, luego existen
enteros m,n tales que
b = am
c = an.
Multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por x y los de la
segunda por y, sumando miembro a miembro y factorizando a, se tiene
bx + cy = a(mx + ny).
Por la seleccio´n de m, x, n, y, (mx+ny) es un entero, t lo que permite concluir
que
bx + cy = at
de donde se puede afirmar que a|(bx + cy). Haciendo x = y = 1, obtenemos
a|(b + c). Si reemplazamos a x por 1, a y por −1 entonces a|(b − c). Si se
iguala c con cero se concluye que a|bx.
1.1. DIVISIBILIDAD 9
Hay dos hechos importantes de la aritme´tica que usaremos a lo largo
del texto. El primero afirma que cualquier conjunto de enteros positivos que
contenga al menos un elemento contiene un elemento mı´nimo, y es conocido
como el principio de la buena ordenacio´n. El segundo es una consecuencia
del primero y se ha mencionado con anterioridad, es el algoritmo de Euclides
o algoritmo de la divisio´n. Se denomina algoritmo porque proporciona un
me´todo mediante el cual se pueden hallar cocientes y residuos al momento
de dividir.
Definicio´n 1.1.3. Un entero p es primo si siendo distinto de cero y de ±1
es divisible solamente por ±1 y ±p.
Definicio´n 1.1.4. Un natural n �= 1 se dice compuesto si no es primo, esto
es, si existen naturales d1 y d2 tales que 1 < d1 < n, 1 < d2 < n con n = d1d2.
Teorema 1.1.1 (El algoritmo de la divisio´n). Si a es un nu´mero natural
y b es un entero, existen enteros u´nicos q, r tales que b = aq+r, con 0 ≤ r < a.
Demostracio´n. De la igualdad b = at + r, se obtiene r = b − at. To´mese el
conjunto
S = {b− at, t ∈ Z} ⊆ Z.
Consideremos b ≥0, como t recorre el conjunto de los enteros, sea t = 0. En
este caso b− at ≥ 0.
Supongamos que b < 0 por ide´ntica razo´n hagamos t = b. En dicho caso,
b− at = b− ab = b(1− a).
Pero, 1 ≤ a entonces, b(1−a) ≥ 0 es decir, b−at ≥ 0, lo que permite afirmar
que el conjunto S posee elementos no negativos. Sea D ⊆ S formado por
los elementos no negativos de S. Por el principio de la buena ordenacio´n, D
tiene un elemento mı´nimo. Tomando r como este nu´mero y a q como el mayor
entero que satisface la condicio´n b− aq ≥ 0, se deduce que, r = b − aq ≥ 0.
Restando a a ambos miembros y factorizando,
r − a = b− aq − a = b− a(q + 1).
Pero, q + 1 > q y por la seleccio´n de q debe tenerse que
b− a(q + 1) < 0
10 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
o sea,
r − a < 0
de donde se concluye que r < a lo que permite escribir
0 ≤ r < a.
Para demostrar la unicidad supongamos que q y r no son u´nicos. Sean q1 y
r1 enteros tales que b = aq1 + r1, con 0 ≤ r1 < a. Por la propiedad transitiva
de la igualdad,
aq1 + r1 = aq + r.
Supongamos que r > r1, entonces r − r1 > 0. Trasponiendo te´rminos y
factorizando,
0 < r − r1 = a(q1 − q)
de donde se tiene que a|(r − r1).
Pero 0 ≤ r1 < a, implica que −a < −r1 ≤ 0 y como 0 ≤ r < a se pueden
sumar miembro a miembro estas desigualdades dando como resultado
−a < (r − r1) < a
o sea,
(r − r1) < a.
De acuerdo con la propiedad (3) de divisibilidad, como a|(r − r1), necesa-
riamente a < (r − r1); lo cual es una contradiccio´n. Por lo tanto, r no es
mayor que r1. Suponer que r1 es mayor que r conduce a una contradiccio´n
similar, de donde se deduce que r1 no es mayor que r, quedando como u´nica
posibilidad, r = r1.
De la expresio´n r − r1 = a(q1 − q) observamos que 0 = a(q1 − q) y como
a es diferente de cero se concluye que (q1 − q) = 0 y por lo tanto, q = q1. En
s´ıntesis la unicidad del cociente y el residuo quedan demostradas.
El quinto axioma de Peano es el principio de induccio´n, este enuncia-
do establece que dada una proposicio´n P (n). Si P (0) es verdadera y para
cualquier k, la veracidad de P (k) implica la de P (k + 1), entonces P (n) es
verdadera para todo natural n. De este principio se conocen cinco formas,
la tercera tiene relacio´n con el buen orden y es la clave para demostrar que
todo subconjunto S de los naturales que contenga a cero y contenga a n+1,
siempre que contenga a n, contiene tambie´n a todos los naturales. La quinta
forma nos permite realizar induccio´n a partir de un determinado natural k.
1.1. DIVISIBILIDAD 11
Para ilustrar el me´todo de induccio´n matema´tica realizamos el siguiente
ejercicio.
Ejemplo 1.1.1. Para todo natural s, 11|(102s+1 + 1).
Demostracio´n. Por induccio´n.
102+1 + 1 = 103 + 1
= 1001
= 11× 91.
De las igualdades se ve que la proposicio´n es va´lida para s = 1.
Supongamos que es va´lida para s, esto es,
102s+1 + 1 = 11k.
Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por 100,
102s+3 + 100 = 100× 11k.
Descomponiendo y factorizando el exponente y transponiendo te´rminos,
102(s+1)+1 = 100× 11k − 100.
Sumando 1 a ambos miembros,
102(s+1)+1 + 1 = 100× 11k − 99
= 100× 11k − 11× 9
= 11(100k − 9).
Lo anterior permite inferir que la proposicio´n es va´lida para s+1, luego debe
serlo tambie´n para todo natural.
Con respecto a los primos surgen algunas inquietudes referentes a su
nu´mero, a la existencia de una regla para calcular su secuencia, fo´rmulas para
determinarlos y muchos otros interrogantes estudiados por los matema´ticos
de todos los tiempos entre los que se pueden mencionar, Euclides, Fermat,
Euler, Po`lya. En 1914 D. N. Lehmer calculo´ la lista de los primos desde el
primero hasta el que ocupa el 664999-e´simo lugar, este u´ltimo resulto´ ser
10006721.
El siguiente enunciado sirve para establecer primalidad en un solo sentido
12 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Ejemplo 1.1.2. Si 2n − 1 es primo, entonces n es primo, para n ≥ 2.
Solucio´n. Para demostrarlo supongamos que n es compuesto, es decir, existen
naturales a, b tales que, 1 < a < n, 1 < b < n, con n = ab, entonces
2n − 1 = 2ab − 1
= (2a)b − 1
= cb − 1
= (c− 1)(cb−1 + cb−2 + · · ·+ c + 1)
donde c ≥ 4. En consecuencia, 2n − 1 es el producto de un entero mayor o
igual a 3, por un entero mayor o igual a 5, contradiciendo la hipo´tesis, luego
la proposicio´n se sigue.
El rec´ıproco no es cierto, ya que para 11, 211−1 = 2047 que es compuesto.
Ejemplo 1.1.3. La suma de los cuadrados de dos nu´meros impares no puede
ser un cuadrado perfecto
Solucio´n. Para un entero cualquiera k, los posibles residuos al dividir por 4
son 0, 1, 2, 3, lo que significa que k es de una de las formas 4t, 4t+ 1, 4t+ 2,
4t + 3, y por consiguiente k2 se puede escribir como 16t2, 4(4t2 + 2t) + 1,
4(4t2 +4t+ 1), 4(4t2 + 6t+ 2) + 1. Por lo visto el residuo de dividir k2 por 4
es 0 o 1.
Tomemos los impares x = 2n+ 1, y = 2m+ 1, eleva´ndolos al cuadrado y
sumando
x2 + y2 = (4n2 + 4n + 1) + (4m2 + 4m + 1)
= 4(n2 + m2 + n + m) + 2
lo que lleva a concluir que al dividir x2 + y2 por 4 el residuo es 2. En mejores
palabras x2 + y2 no es un cuadrado perfecto.
Teorema 1.1.2. El menor divisor positivo mayor que 1, de un entero n > 1
es un primo.
Demostracio´n. Sea n ∈ N− {1}, m > 1 el menor divisor positivo de n. Por
definicio´n m|n. Si n es primo, n = m luego m es primo.
Sea n compuesto y suponga que m no es primo. Como m > 1, debe ser
compuesto, esto es, existe un natural d tal que 1 < d < m y d|m, pero por
hipo´tesis m|n. Por la propiedad transitiva de la divisibilidad, d|n contradi-
ciendo la minimalidad de m. Por consiguiente m debe ser primo.
1.1. DIVISIBILIDAD 13
Teorema 1.1.3. Todo compuesto es el producto de un nu´mero finito de
factores primos.
Demostracio´n. Supongamos que existen compuestos que son el producto de
un infinito nu´mero de factores primos. Por el principio de la buena ordenacio´n
existe m el menor compuesto que puede expresarse como un nu´mero infinito
de factores primos. Por el teorema 1.1.2, existe un primo p, 1 < p < m
adema´s p|m, entonces
1
p
< 1 <
m
p
.
Multiplicando por m la primera desigualdad tenemos, m
p
< m, luego
1 <
m
p
< m.
Como m
p
es un natural, entonces
m
p
= p1p2 · · · pr
con pi un primo, para 1 ≤ i ≤ r, r es un nu´mero fijo. Dicho en otras palabras
m
p
debe ser el producto de un nu´mero finito de factores primos ya que es menor
que m y como es sabido, m es el menor compuesto que puede escribirse como
el producto de un infinito nu´mero de factores primos. Pero,
m = p(
m
p
) = p(p1p2 · · · pr)
indicando que m es el producto de un nu´mero finito de factores primos,
contradiciendo el supuesto. En conclusio´n, todo compuesto es el producto de
un nu´mero finito de factores primos.
Teorema 1.1.4 (Teorema fundamental de la aritme´tica). Todo entero
distinto de cero puede expresarse como el producto de (±1) por un nu´mero
finito de factores primos. Esta expresio´n es u´nica salvo el orden en que los
factores se consideren.
Demostracio´n. Si n es primo el teorema es inmediato. Si es compuesto basta
aplicar el teorema 1.1.3 teniendo en cuenta el signo y asunto concluido.
Unicidad. Dado n > 1 suponga que se puede escribir en dos formas
diferentes como producto de primos
n = p1p2 · · ·pr = q1q2 · · · qs
14 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
como p1 es un factor de n, p1|q1q2 · · · qs, por tanto p1|qj para 1 ≤ j ≤ s.
Ordenando nuevamente los sub´ındices de ser necesario se concluye que p1|q1.
Pero al ser primos cada uno de ellos, obligatoriamente p1 = q1. Cancelando
a ambos miembros de la igualdad se llega a
p2 · · · pr = q2 · · · qs.
Siguiendo un proceso similar se concluye que p2 = q2. Y as´ı sucesivamente,
p3 = q3, . . . , pr = qs.
Sin pe´rdida de generalidad se puede aceptar que r ≤ s. Si r < s cancelando
factores iguales en la primera igualdad se llega a
1 = qr+1· · · qs
lo que es imposible porque cada uno de los primos de la derecha es mayor
que 1, llegando a la conclusio´n que r = s y de aqu´ı a que pi = qi, para todo
i, 1 ≤ i ≤ r. Si n es negativo el primer factor sera´ (−1) seguido por factores
primos positivos.
Para responder a la inquietud relacionada con la cantidad total de primos,
supongamos que existe un nu´mero finito de ellos y escribamos la sucesio´n de
todos los primos {p1, p2, . . . , pr}. Sea p el entero definido como sigue
p = (p1p2 . . . pr) + 1, p > pi para 1 ≤ i ≤ r,
p necesariamente es compuesto y debe existir un primo pj de la coleccio´n
dada tal que pj |p y como pj |p1p2 . . . pr sigue que pj|(p − p1p2 . . . pr) pero
esta afirmacio´n equivale a decir que pj |1, contraviniendo el hecho de ser
pj �= 1. Ahora podemos asegurar formalmente que el nu´mero de primos es
infinito.
Como aplicacio´n del teorema 1.1.4 se propone el siguiente ejercicio.
Ejemplo 1.1.4. Hallar todos los primos que son una unidad menor que un
cuadrado perfecto.
Solucio´n. Para el efecto tomemos un primo p = x2− 1. El teorema de facto-
rizacio´n u´nica establece que p = (x − 1)(x + 1). Como p es primo se tienen
las dos posibilidades siguientes:
(x− 1) = 1 y (x + 1) = p o (x− 1) = p y (x + 1) = 1.
1.1. DIVISIBILIDAD 15
De estas ecuaciones se obtienen las soluciones,
x = 2 y p = 3 o x = 0 y p = −1.
La de la derecha hay que desecharla puesto que p es primo, quedando en
definitiva p = 3. Por tanto 3 es el u´nico primo que es una unidad menor que
un cuadrado perfecto.
Ejemplo 1.1.5. Si n > 1 es compuesto, existe un primo p ≤ √n tal que p|n.
Solucio´n. El teorema 1.1.2 dice que el menor divisor positivo mayor que 1
de un entero n mayor que 1 es un primo. Sea p tal primo, como p|n existe d,
1 < d < n tal que n = pd.
Por la definicio´n de p, p ≤ d y por consiguiente p2 ≤ pd, de donde se
obtiene por reemplazo p2 ≤ n, esto es, p ≤ √n.
En las igualdades
3 = 2 + 1
7 = 2× 3 + 1
31 = 2× 3× 5 + 1
se observa que 1 ma´s el producto de los primeros k primos es un primo al
menos para k = 2, 3, 5. Se puede pensar que es cierto para todo k pero un
ejemplo muestra lo contrario,
2× 3× 5× 7× 11× 13 + 1 = 30031 = 59× 509.
EJERCICIOS
1. Demostrar las propiedades 3, 4, 5, 6 de divisibilidad enunciadas ante-
riormente.
2. Demostrar que para todo natural n, 11 divide a 102n − 1.
3. Demostrar que para todo natural n, 3 divide a 10n − 1.
4. Demostrar que si 2 no divide a n y 3 no divide a n, entonces 24 divide
a n2 + 23.
16 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
5. Demostrar que para todo entero n, 3 divide a alguno de los nu´meros n,
n + 2, n + 4.
6. Demostrar que todo primo impar puede ser expresado de manera u´nica
como la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo, 11 = 36− 25.
7. Para todo natural n demostrar que ninguno de los siguientes n − 1
enteros consecutivos es primo: n! + 2, n! + 3, n! + 4, . . . , n! + n.
8. Usando la idea del ejercicio anterior hallar una sucesio´n de k consecu-
tivos naturales compuestos.
9. Demostrar que para n > 1, n4 + 4 es compuesto.
10. Un nu´mero n es compuesto si existe un primo p ≤ √n, tal que p|n.
Usando esta idea diga cua´les de los siguientes enteros son primos y
cua´les compuestos : 91, 103, 343, 731.
11. Hallar enteros r, s tales que 144r + 2975s = 5.
12. Demostrar: Si m|(45n + 37) y m|(9n + 4), (m > 1) entonces m = 17.
13. Demostrar que el producto de cuatro enteros consecutivos incrementado
en 1, es siempre un cuadrado perfecto.
14. Demuestrar que si p es primo y p|ab, entonces p|a o p|b.
15. Demostrar que si a, b son enteros positivos, existe un entero positivo n
tal que na > b. (Considere la diferencia b− na y aplique el axioma del
buen orden).
16. Usando el axioma del buen orden demuestrar que no hay enteros entre
cero y uno.
17. Demostrar que si p = 6k + r es un primo diferente de 2 y 3, entonces
r = 1 o r = 5.
18. Demostrar que existen infinitos primos de la forma 6k − 1.
19. Si a > 2 y s > 1. Demostrar as − 1 es compuesto.
20. Demostrar que el producto de nu´meros de la forma 6k + 1 es de la
misma forma.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 17
1.2. El ma´ximo comu´n divisor y El mı´nimo
comu´n mu´ltiplo
Si se toman dos enteros a, b puede ocurrir que ambos sean iguales a cero y
en este caso cualquier entero es un divisor comu´n de ellos. Si al menos uno es
diferente de cero, los divisores comunes son finitos; uno de los cuales siempre
es 1, deducie´ndose que existe alguno mayor que todos y debe ser positivo.
Definicio´n 1.2.1. Dados dos enteros a, b, a2 + b2 �= 0, entonces d ∈ Z−{0}
se llama un comu´n divisor de a y b si y solo si d|a y d|b.
Teorema 1.2.1. Dados dos enteros a y b, a2 + b2 �= 0, existe un entero u´nico
g, tal que
1. g > 0.
2. g|a y g|b.
3. g = min{ax + by > 0, x, y ∈ Z}.
4. Si d es cualquier entero tal que d|a y d|b, entonces d|g.
La proposicio´n (4) dice que cualquier divisor comu´n de a y b divide a g.
De la propiedad (6) de divisibilidad se deduce que g es nume´ricamente mayor
que los diferentes divisores de a y b. Por lo tanto, del conjunto de divisores
comunes de a y b, g es el ma´ximo desde dos puntos de vista y por esto se
le llama el ma´ximo comu´n divisor de a y b. En forma abreviada se escribe
g = (a, b). Note que realmente lo ��ma´ximo�� lo tomamos en el sentido de (4).
Demostracio´n. Conside´rense primero a y b positivos, a > b. Por el algoritmo
de la divisio´n existen enteros r1, q1 u´nicos tales que
a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b.
Si r1 = 0, entonces b es un comu´n divisor de a y b. Podemos tomar g = b.
1. g > 0.
2. g|a y g|b.
18 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Tomemos el conjunto
H = {ax + by > 0, x, y ∈ Z} ⊆ Z.
Si x < 0, necesariamente y > 0 entonces by > 0. Debido a que
ax + by > 0
debe tenerse
|ax| < by.
Pero cero es el mı´nimo natural que verifica esta u´ltima desigualdad, luego
x = 0, entonces el mı´nimo valor para y debe ser 1, por tanto
b = a× 0 + b× 1 > 0
es un elemento de H .
Similarmente si y ≤ 0 hallamos y = 0, x = 1 como valores mı´nimos, o sea
a = a× 1 + y × 0 > 0
pertenece tambie´n a H , pero b < a.
Si x > 0, y > 0, ax > a, by > y; entonces ax + by > a + b > b.
En s´ıntesis,
b = g = min{ax + by > 0, x, y ∈ Z}
dando por demostrado (3).
(4). Si existe d tal que d|a, d|b debe tenerse d|g puesto que g = b. Si r1 �= 0,
la aplicacio´n repetida del algoritmo de la divisio´n demuestra la existencia de
parejas u´nicas qi, ri, 2 ≤ i ≤ k + 1, 0 < ri < ri−1, tales que
a = bq1 + r1
b = r1q2 + r2
r1 = r2q3 + r3
...
rk−2 = rk−1qk + rk
rk−1 = rkqk+1 + 0.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 19
Aqu´ı confrontamos cada etapa con la posibilidad de tener cero por residuo;
pero suponemos que esto no sucede sino hasta el k-e´simo paso de la divisio´n,
o dicie´ndolo en otra forma, definimos a k como el nu´mero de la etapa en
la cual aparece cero como residuo. En esta parte el proceso debe detenerse
porque la divisio´n por cero no esta´ definida. Por otro lado, eventualmente
debe aparecer un cero como residuo puesto que b > r1 > r2 > . . . > rk es una
sucesio´n finita estrictamente decreciente de naturales; y como existen b − 1
enteros positivos menores que b, despue´s de a lo ma´s b − 1 divisiones debe
obtenerse el esperado cero como residuo.
En conclusio´n, si b no divide a a existe siempre un sistema finito de ecua-
ciones de la clase anterior y un k-e´simo residuo diferente de cero. Aseguramos
que para satisfacer las condiciones (1), (2), (3), (4) podemos tomar g = rk.
De la u´ltima ecuacio´n observamos que rk | rk−1 entonces
rk−2 = rk−1 + rk
= (rkqk+1)qk + rk
= rk(qk+1qk + 1)
o sea que rk|rk−2.
Siguiendo el proceso vemos de las dos primeras ecuaciones que rk|a y
rk|b, luego rk es un divisor comu´n a y b. Expresando los residuos sucesivos
se obtiene
r1 = a− bq1
r2 = b− r1q2
= b− (a− bq1)q2
= b− aq2 + bq1q2
= a(−q2) + b(1 +q1q2).
La forma de estas igualdades indica que rk puede obtenerse por reemplazos
sucesivos como una combinacio´n lineal de a y b con coeficientes enteros en
cuya expresio´n intervienen los qi, o sea,
rk = ax + by.
Como rk > 0, por el principio de la buena ordenacio´n existe un elemento
mı´nimo en el conjunto H . Sea h tal elemento, luego para algunos enteros x0,
y0 se establece la igualdad
h = ax0 + by0 > 0.
20 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Supongamos que h no divide a a, entonces existen enteros u´nicos q, r tales
que
a = hq + r, 0 < r < h
luego
r = a− hq
= a− (ax0 + by0)q
= a(1− x0q) + (−y0q).
Como r < h, implicar´ıa que h no es el mı´nimo, llegando a una contradiccio´n;
por consiguiente h|a.
Similarmente h|b y de aqu´ı, h|(ax + by), o sea, h|rk.
Por la propiedad (3) de divisibilidad h ≤ rk. Pero rk|a y rk|b implica que
rk|(ax0 + by0) y en consecuencia rk = h. Por la misma propiedad rk ≤ h,
concluye´ndose que rk = h.
En s´ıntesis, rk es el mı´nimo del conjunto de los ax + by > 0.
Sea d tal que d|a y d|b, entonces d|(ax + by), es decir d|rk.
Como rk cumple las cuatro condiciones del teorema, es posible afirmar
que rk = g = (a, b).
Si a < b, intercambiamos los roles.
Si a < 0 y b < 0 determinar g correspondiente a los respectivos valores
absolutos.
Si a = 0, entonces | b | = g = (a, b).
Para demostrar la unicidad, tomemos g, g1 dos enteros que satisfacen las
condiciones del teorema, entonces g|a y g|b implica que g|g1.
Por otra parte g1|a y g1|b implica g1|g y como consecuencia g ≤ g1 y
g1 ≤ g determina´ndose que g = g1.
El teorema anterior proporciona una regla para hallar el ma´ximo comu´n
divisor de dos nu´meros por divisiones sucesivas; este es el u´ltimo residuo
diferente de cero que se obtiene al aplicar el algoritmo de Euclides.
El mismo procedimiento puede utilizarse para expresarlo como una com-
binacio´n lineal de dichos nu´meros. Veamos co´mo es posible mediante el al-
goritmo de Euclides calcular el ma´ximo comu´n divisor de dos nu´meros.
Ejemplo 1.2.1. Calcular el ma´ximo comu´n divisor de 42 y 30 y expresarlo
como una combinacio´n lineal de dichos nu´meros.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 21
Solucio´n.
42 = 30× 1 + 12
30 = 12× 2 + 6
12 = 6× 2 + 0.
La u´ltima igualdad indica que (42, 30) = 6. Ahora,
6 = 30− 12× 2
= 30− (42− 30)2
= 30− 42× 2 + 30× 2
= 30× 3− 42× 2
= 30× 3 + 42(−2).
El u´ltimo renglo´n muestra la escritura de 6 como una combinacio´n lineal de
42 y 30, donde intervienen 3 y −2.
Teorema 1.2.2. Sean a, b enteros, entonces,
1. (a, b) = (a, b + ka).
2. (a, b) = (a,−b) = (−a, b) = (−a,−b).
3. (ka, kb) = | k |(a, b) si k �= 0.
4. Si d|a, d|b, entonces (a
d
, b
d
) = 1|d|(a, b).
5. Si g = (a, b), entonces (a
g
, b
g
) = 1.
Demostracio´n. Sean
g = (a, b)
g1 = (a, b + ka).
Si g|a y g|b, entonces para cualquier entero k, g|(a, b+ka), luego g|g1 y como
g > 0, g1 > 0 necesariamente g ≤ g1.
Por otra parte, g1|a, y g1|(b+ ka), implica que g1|(b+ ka− ka), o sea g1|b
y por razones similares g1 ≤ g.
En atencio´n a las dos desigualdades se concluye que g = g1.
El resto de la demostracio´n se asigna como ejercicio.
22 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Definicio´n 1.2.2. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros, si gi = (ai, ai+1), entonces,
gn−1 = (a1, a2, . . . , an). Si gn−1 = 1, los ai se dicen primos relativos o
coprimos.
Un caso particular se da cuando n es igual a 2. La definicio´n anterior
garantiza la existencia del ma´ximo comu´n divisor de ma´s de dos nu´meros, el
cual se puede considerar como el divisor comu´n positivo que es divisible por
todo comu´n divisor.
Definicio´n 1.2.3. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros. Si (ai, aj) = 1, para i �= j
elementos de {1, 2, . . . , n}, entonces se dice que los ai, aj son primos relativos
dos a dos.
Por ejemplo (6, 5, 10) = 1, pero ellos no son primos relativos dos a dos
porque 5 divide a 10. En cambio 10, 9, y 49 son primos relativos dos a dos.
Teorema 1.2.3. Sean a, b dos enteros, si a = bq+ r, entonces (a, b) = (b, r).
Demostracio´n. (a, b) = (bq + r, b) = (bq + r − bq, b) = (r, b) = (b, r).
Lema 1.2.1. Lema de Euclides. Si a|bc y (a, b) = 1, entonces a|c.
Demostracio´n. Si (a, b) = 1 existen enteros x, y tales que 1 = ax + by,
entonces, c = acx + bcy pero por hipo´tesis a|bc y a|a luego a|(acx + bcy), o
sea, a|c.
Esta proposicio´n se conoce mejor como la primera versio´n del lema de
Euclides.
Ejemplo 1.2.2. Si (a, 4) = 2, (b, 4) = 2, demostrar que (a + b, 4) = 4.
Solucio´n. Si (a, 4) = 2, entonces 2|a, luego existe un impar x tal que a = 2x.
Si x fuera par, entonces x = 2m, y por lo tanto a ser´ıa igual a 4m, de donde se
concluir´ıa que (a, 4) = (4m, 4) = 4. Como (b, 4) = 2, por las mismas razones,
b = 2n, para un impar n. Efectuando la suma, a+ b = 2(x+n) = 4z, puesto
que x + n es un par, de donde se concluye que (a + b, 4) = 4.
Ejemplo 1.2.3. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a+ b, a− b) = 1 o 2
Solucio´n. Sean (a, b) = 1. Si g = (a+ b, a− b), entonces g| [(a+ b)± (a− b)].
Tomando los signos positivo y negativo en ese orden se deduce que g|2a, g|2b
y por consiguiente g|(2a, 2b), luego g|2(a, b), de donde se concluye que g|2
puesto que (a, b) = 1. Pero g > 1, infirie´ndose que g = 1 o g = 2.
1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 23
Examinando los conjuntos formados con los mu´ltiplos de 2 y de 3 es fa´cil
darse cuenta que la interseccio´n consta de todos los nu´meros de la forma
2 × 3n. De acuerdo con el principio de la buena ordenacio´n este conjunto
posee un elemento mı´nimo, el nu´mero 6, indicando que 6 es el menor de los
mu´ltiplos comunes a 2 y 3. Esta situacio´n se puede generalizar a toda pareja
de enteros con la condicio´n de ser por lo menos uno de los dos diferente de
cero, dando como resultado la existencia del mı´nimo comu´n mu´ltiplo de dos
enteros cualesquiera prevista la restriccio´n anotada. Tome el valor absoluto
del producto y divida entre el ma´ximo comu´n divisor de los nu´meros dados,
este cociente siempre es posible puesto que el divisor nunca es cero y por la
forma como esta´ concebido es un entero positivo.
Teorema 1.2.4. El entero [a, b] = | ab |
(a, b)
tiene las siguientes propiedades
1. [a, b] ≥ 0.
2. a| [a, b].
3. Si a|m y b|m, entonces [a, b]|m.
La demostracio´n se deja al estudiante. Al elemento descrito en el teorema
1.2.4 se le llama el mı´nimo comu´n mu´ltiplo de los nu´meros dados. El concepto
es fa´cilmente extensivo a ma´s de dos enteros.
EJERCICIOS
1. Demostrar los numerales restantes del teorema 1.2.2.
2. Dado (u, v) = 1; si u|n y v|n, entonces uv|n.
3. Mediante el algoritmo de la divisio´n hallar el ma´ximo comu´n divisor
de:
a) 1001 y 7655.
b) 4148 y 7684.
c) 11 y 15.
d) 144 y 24.
e) ) 75, 50 y 125.
24 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
4. Demostrar que si (a, b) = 1 y c|a, entonces (c, b) = 1.
5. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a2 + b2, a + b) = 1 o 2.
6. Demostrar que el ejercicio 2 no necesariamente es cierto si (u, v) > 1.
7. Demostrar que para todo n, 5|(n5 − n).
8. Si (a, b) = 1, hallar los posibles valores de (a + 3b, a2 − b2).
9. Demostrar que si (a, b) = 1, (ac, b) = (c, b), para todo entero c.
10. Demostrar que si (b, c) = 1, entonces (a,bc) = (a, b)× (a, c).
11. Demostrar que si ax + by = n, entonces (a, b)|n.
12. Demostrar que no es posible la simplificacio´n de la fraccio´n a1+a2
b1+b2
, si
a1b2 − a2b1 = ±1.
13. Hallar el mı´nimo comu´n mu´ltiplo de,
a) 24 y 144.
b) 1001 y 765.
c) 36, 12 y 144.
14. Demostrar que si l = [a, b] y n es un mu´ltiplo comu´n de a y b, entonces
l|n. Sugerencia: Suponer que l no divide a n.
1.3. Congruencias
La solucio´n en los enteros de la ecuacio´n ax + by = c, llevo´ a Diofanto a la
comparacio´n de residuos entre algunos de sus componentes. Tomemos, por
ejemplo,
8x− 19y = 2.
Como la diferencia es 2, x puede ser par o impar, y necesariamentedebe ser
par. Por ejemplo, x = 5, y = 2; x = 24, y = 10.
Usando el algoritmo de Euclides
19 = 8× 2 + 3
1.3. CONGRUENCIAS 25
8 = 3× 2 + 2
3 = 2× 1 + 1.
Despejando y reemplazando en orden inverso y conmutando los productos,
1 = 3− 2× 1
= 3 + 3× 2− 8
= 3× 3− 8
= 3(19− 8× 2)− 8
= 19× 3− 8× 7
= 8(−7)− 19(−3)
multiplicando por 2
2 = 8(−7× 2)− 19(−3× 2).
Sumando y restando 8(19)t al segundo miembro de esta u´ltima igualdad,
despue´s de conmutar y factorizar, se tiene
2 = 8[(−7× 2) + 19t]− 19[(−3× 2) + 8t].
De esta igualdad se deduce que, si t es un entero; al dividir a 8[(−7×2)+19t]
y a 19[(−3× 2) + 8t] por 2, el residuo debe ser el mismo.
La solucio´n general esta´ dada por
x = −(7× 2) + 19t, y = −(3× 2) + 8t.
Si t = 1, x = 5, y = 2 y si t = 2, x = 24, y = 10.
Existen muchos otros problemas en los cuales debe hacerse comparacio´n
de residuos. Los nu´meros que tienen ide´ntico residuo se les denomina equirre-
siduales o congruentes y es obvio que pertenecen a una misma clase residual.
Definicio´n 1.3.1. Dados dos enteros a y b, m un natural diferente de cero,
se dice que a es congruente con b mo´dulo m si y solo si m|(a− b) y se nota
a ≡ b mod m.
Ejemplos 17 ≡ 2 mod 5, 14 ≡ −6 mod 10.
La congruencia es una relacio´n de equivalencia.
Para cualquier natural m diferente de cero y para cualquier entero a, m es
un divisor de cero y por ende de a−a; esta situacio´n conlleva a la reflexividad.
26 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Si m es un divisor de a− b, tambie´n lo es de b− a, propiedad que implica la
simetr´ıa.
Si m es simulta´neamente divisor de a− b, y, de b− c, lo sera´ de la suma
y por tanto de a− c, verifica´ndose la transitividad.
Para una relacio´n de equivalencia definida en un conjunto S y para cada
elemento a de S, existe un conjunto formado por todos los elementos relacio-
nados con a denominado la clase de equivalencia de a, notado [ a ]. Si b es un
elemento de S que no esta´ relacionado con a tambie´n existe la clase de equiva-
lencia de b y as´ı sucesivamente. Estas clases tienen la particularidad de no ser
vac´ıas, de no tener elementos comunes, de poder incluir cada elemento de S
en alguna de ellas y la unio´n de todas debe ser todo S. Ya habra´ oportunidad
de hacer una mejor exposicio´n de este tema en otro contexto.
Teorema 1.3.1. Sean x, y enteros. Si a ≡ b mod m, c ≡ d mod m, entonces
1. (xa + yc) ≡ (xb + yd) mod m.
2. (a + c) ≡ (b + d) mod m.
3. xa ≡ xb mod m.
Demostracio´n. Por hipo´tesis m|(a − b), m|(c − d). Por la propiedad (2) de
divisibilidad m| [x(a− b)+y(c−d)], entonces m| [(xa+yc)− (xb+yd)] y por
definicio´n, (xa + yc) ≡ (xb + yd) mod m. Si x = y = 1 se tiene (2). Si y = 0
se tiene (3).
Teorema 1.3.2. Si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces ac ≡ bd mod m.
Demostracio´n. Como m|(a− b), m|(c− d), entonces m|(ac− bc+ bc− bd) de
donde m|(ac− bd) y por definicio´n ac ≡ bd mod m.
Una regla para multiplicar un nu´mero de tres d´ıgitos por 1001 consiste
en escribirlo dos veces. Por ejemplo, 152× 1001 = 152152. Por otra parte la
descomposicio´n en factores primos de 1001 es 1001 = 7× 143. Estos hechos
permiten hallar ra´pidamente el factor desconocido del producto 143x si cono-
cemos los tres u´ltimos d´ıgitos del resultado. La clave consiste en multiplicar
estas cifras por 7 y tomar nuevamente las tres u´ltimas cifras de este nuevo
producto. Por ejemplo, si 143x = 61204 se toman las tres u´ltimas cifras, esto
es, 204 y multiplicando por 7 se obtiene 204×7 = 1428. El factor desconocido
es 428. Puede comprobarlo.
1.3. CONGRUENCIAS 27
En te´rminos de congruencias, deseamos encontrar un nu´mero x de una,
dos o tres cifras donde b es la cantidad formada con las tres u´ltimas cifras de
143x. Esto lo podemos transformar en:
143x ≡ b mod 1000.
Adema´s
7 ≡ 7 mod 1000.
Multiplicando miembro a miembro
7× 143x ≡ 7b mod 1000
en otros te´rminos
1001x ≡ 7b mod 1000
pero
1001 ≡ 1 mod 1000
y
x ≡ x mod 1000
por tanto
1001x ≡ x mod 1000
finalmente
x ≡ 7b mod 1000.
Esta congruencia indica que los tres u´ltimos d´ıgitos de x concuerdan con los
tres u´ltimos d´ıgitos de 7b. Como x tiene a lo ma´s tres d´ıgitos, los tres u´ltimos
de 7b determinan completamente a x.
Teorema 1.3.3. Si a ≡ b mod m, entonces para todo n ∈ N, an ≡ bn mod m.
Demostracio´n. Por induccio´n matema´tica.
Por hipo´tesis el teorema se verifica para 1. Supongamos que se verifica
para k, esto es,
ak ≡ bk mod m.
Usando el teorema 1.3.2,
aka ≡ bkb mod m,
pero esta expresio´n es equivalente a
ak+1 ≡ bk+1 mod m.
Es decir la proposicio´n es va´lida para todo natural n.
28 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Teorema 1.3.4. Sea f(x) un polinomio con coeficientes enteros.
Si a ≡ b mod m, entonces f(a) ≡ f(b) mod m.
Demostracio´n. Sea f(x) =
n∑
i=0
cix
i un polinomio con coeficientes enteros,
f(a) =
n∑
i=0
cia
i
entonces
f(a) ≡
n∑
i=0
cia
i mod m.
Usando los teoremas 1.3.3 y 1.3.1 respectivamente
n∑
i=0
cia
i ≡
n∑
i=0
cib
i ≡ f(b) mod m
y por aplicacio´n de la propiedad transitiva f(a) ≡ f(b) mod m.
La demostracio´n del siguiente teorema es una de aquellas tareas fa´ciles si
se usa la induccio´n matema´tica.
Teorema 1.3.5. Si aj ≡ bj mod m, entonces
n∑
i=0
aj ≡
n∑
i=0
bj mod m para todo
n ≥ 1.
En lo que sigue se enuncian algunas propiedades importantes de las con-
gruencias, especialmente las restricciones impuestas a la ley cancelativa del
producto. El factor a cancelar puede ser parte decisiva de la divisibilidad in-
herente a la congruencia considerada. Dos de estas propiedades se establecen
de la siguiente manera y sus demostraciones se dejan al intere´s de los lectores.
1. Sea d �= 0 un natural tal que d|m. Si a ≡ b mod m, a ≡ b mod d.
2. a ≡ b mod xi, 1 ≤ i ≤ n si y solo si a ≡ b mod l, l = [x1, x2, . . . , xn].
Teorema 1.3.6. Si g = (a,m), ax ≡ ay mod m si y solo si x ≡ y mod m
g
.
1.3. CONGRUENCIAS 29
Demostracio´n. Si g = (a,m), existen m1, a1, (m1, a1) = 1, m, g,m1 enteros
positivos tales que,
a = a1g, m = m1g.
Pero
ax ≡ ay mod m, si y solamente si, m|a(x− y)
o equivalentemente, despue´s de realizar los reemplazos correspondientes y
cancelar,
m1|a1(x− y)
expresio´n equivalente, de acuerdo con el lema de Euclides, a
m1|(x− y).
La definicio´n de congruencia indica que
x ≡ y mod m1.
Pero, m1 =
m
g
. Realizando la sustitucio´n se obtiene lo pedido.
Teorema 1.3.7. Si ax ≡ ay mod m y (a,m) = 1, entonces x ≡ y mod m.
Demostracio´n. En el teorema anterior tome g = 1.
Teorema 1.3.8. La congruencia ax ≡ b mod m tiene solucio´n si y solamente
si (a,m)|b. Si g = (a,m), existen g diferentes soluciones mo´dulo m.
Demostracio´n. Conside´rese la congruencia
ax ≡ b mod m
donde a, b,m, son enteros y m > 0. Por hipo´tesis m|(ax− b).
Si el entero s es una solucio´n, m|(as− b). Por la propiedad (2) de divisi-
bilidad para cualquier entero k,
m| [a(s + km)− b]
por tanto
a(s + km) ≡ b mod m,
o sea, s + km es otra solucio´n. As´ı pues, si s es una solucio´n tambie´n lo
es cualquier otro elemento de la clase de equivalencia [ s ] mo´dulo m. En
30 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
consecuencia, si ax ≡ b mod m tiene soluciones, estas son elementos de una
o ma´s clases de equivalencia del conjunto cociente Z/m.
Suponga ahora que
(a,m) = 1 = ra + tm.
Entonces,
b = bra + btm.
Despejando,
a(br)− b = (−bt)m
esto es, m| [a(br)− b)], concluye´ndose que br es una solucio´n.
Sea s = br y supongamos que u es otra solucio´n. Como
as ≡ b mod m y au ≡ b mod m,
sigue que
as ≡ au mod m,
o sea, m|a(s− u).
Pero (a,m) = 1 entonces, por el lema de Euclides, m|(s− u) y de aqu´ı se
concluye s ≡ u mod m.
En s´ıntesis ax ≡ b mod m tiene una solucio´n s y [ s ] denominada la clase
de congruencia contiene todas las soluciones. Supongamos que
(a,m) = g = ra + tm > 1.
Como a= cg, m = dg se sigue que si s es una solucio´n, entonces
as− b = mq = dgq.
Reemplazando y transponiendo te´rminos de obtiene
b = g(cs− dq).
Ahora es obvio que g|b.
Rec´ıprocamente, supongamos que g = (a,m) divide a b y escribamos
a = cg, b = eg, entonces de acuerdo con el hecho de ser ax ≡ b mod m se
sigue que cg ≡ eg mod m.
Por el teorema 1.3.6,
1.3. CONGRUENCIAS 31
cx ≡ e mod n, n = m
g
.
Por tanto toda solucio´n de ax ≡ b mod m es solucio´n de cx ≡ e mod n
y viceversa. Ahora bien, (c, n) = 1 de modo que cx ≡ e mod n tiene una
solucio´n y por tanto ax ≡ b mod m tiene soluciones, quedando demostrada
la primera parte del teorema.
Para la segunda parte sea
S = {s, s+ n, s + 2n, . . . , s + (g − 1)n} ⊆ [ s ]
el conjunto que contiene la totalidad de las soluciones de cx ≡ e mod n. Para
demostrar que no hay dos elementos de S congruentes mo´dulo m, as´ı que
ax ≡ b mod m tiene por lo menos g soluciones incongruentes, en tanto que
cada elemento de [ s ]−S es congruente mo´dulo m con algu´n elemento de S.
Luego ax ≡ b mod m tiene a lo ma´s g soluciones incongruentes.
Sean s + kn, s + ln con k �= l dos elementos diferentes de S. Aceptemos
que son congruentes mo´dulo m, entonces m|(k− l)n, o sea, ng|(k− l)n, y por
consiguiente g|(k− l), pero (k− l) < g, implicando que k− l = 0, de donde se
concluye que k = l, contradiciendo el supuesto. De modo que los elementos
de S son incongruentes mo´dulo m.
Sea por ejemplo,
s + (qg + r)n, g > r ≥ 0, q > 0
un elemento arbitrario de [ s ] − S. Como gn = m, reordenando y reempla-
zando:
s + (gq + r)n = (s + rn) + q(gn)
= (s + rn) + qm.
Pero (s + rn) + qm ≡ (s + rn) mod m, y (s + rn) ∈ S ya que r < g.
De modo que ax ≡ b mod m tiene exactamente g soluciones incongruen-
tes, siempre y cuando (a,m) = g, g|b.
Teniendo la teor´ıa suficiente nos proponemos demostrar que a pesar de
ser compuesto, 341 divide a (2341 − 2).
Solucio´n. El teorema de Fermat establece que
210 ≡ 1 mod 11.
32 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Por tanto
2341 ≡ 2(210)34 ≡ 2 mod 11
y en consecuencia
11|(2341 − 2).
Adema´s,
25 ≡ 32 ≡ 1 mod 31
luego
2341 ≡ 2(25)68 ≡ 2(1)68 ≡ 2 mod 31
de donde se concluye que
31|(2341 − 2).
Puesto que 11 y 31 son primos relativos, su producto divide a (2341−2). Esto
es, 341|(2341 − 2).
Los chinos se equivocaron y en honor al equ´ıvoco se dice que un compuesto
que verifica la anterior proposicio´n es un seudoprimo. 341 es un seudoprimo.
Ejemplo 1.3.1. Resolver la congruencia 14x ≡ 5 mod 45.
Solucio´n. Como (14, 45) = 1 y 1|5, existe una u´nica solucio´n. Dado que
5 ≡ 50 mod 45,
por la propiedad transitiva
14x ≡ 50 mod 45.
Pero (2, 45) = 1, luego simplificando por 2, resulta
7x ≡ 25 mod 45.
Pero
25 ≡ 70 mod 45,
por tanto
7x ≡ 70 mod 45,
adema´s (7, 45) = 1, lo que permite simplificar por 7, reducie´ndose a
x ≡ 10 mod 45,
1.3. CONGRUENCIAS 33
lo que en te´rminos de divisibilidad se traduce en
45|(x− 10)
de donde se recibe finalmente la ecuacio´n,
x = 45k + 10, 0 ≤ k ≤ 44
considerada la solucio´n general. Si k = 0 se obtiene la solucio´n particular
x = 10.
Ejemplo 1.3.2. Resolver 3x ≡ 2 mod 78.
Solucio´n. En la congruencia 3x ≡ 2 mod 78, (3, 78) = 3, pero 3 no divide a
2, por lo tanto no existe solucio´n.
Ejemplo 1.3.3. Resolver 6x ≡ 10 mod 14.
Solucio´n. (6, 14) = 2 y 2|10, entonces existen dos soluciones. Por el teorema
1.3.6, simplificando,
3x ≡ 5 mod 7.
Como 5 ≡ 12 mod 7, entonces
3x ≡ 12 mod 7
de donde
x ≡ 4 mod 7
porque (3, 7) = 1. En total se obtienen dos soluciones
x ≡ 4 mod 7
x ≡ 4 mod 14
y al final las igualdades
x = 7k + 4, 0 ≤ k ≤ 6
x = 14k + 4, 0 ≤ k ≤ 13.
Para k = 1, se obtienen las soluciones respectivas, x = 11 y x = 18. Observe
que 11 y 18 no son congruentes mo´dulo 14.
34 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Algunas veces es de ma´s utilidad usar el algoritmo de la divisio´n para
resolver congruencias como en el caso que presentamos a continuacio´n que
por lo grande del mo´dulo y los coeficientes, los me´todos utilizados hasta ahora
no son recomendables
Ejemplo 1.3.4. Resolver 343x ≡ 15 mod 1426.
Solucio´n. Como (343, 1426) = 1, existe una u´nica solucio´n. Aplicando el
algoritmo de Euclides,
1426 = 343× 4 + 54
54 = 1426− 343× 4
343 = 54× 6 + 19
19 = 343− 54× 6
54 = 19× 2 + 16
16 = 54− 19× 2
19 = 16× 1 + 3
3 = 19− 16× 1
16 = 3× 5 + 1
1 = 16− 3× 5.
A continuacio´n procedemos a expresar a 1 como una combinacio´n lineal de
343 y 1426.
1 = 16− 3× 5
= (54− 19× 2)− (19− 16× 1)5
= 54− 19× 7 + 16× 5
= 54− 19× 7 + (54− 19× 2)5
= 54× 6− 19× 17
= 54× 6− (343− 54× 6)17
= 54× 6− 343× 17 + 54× 102
= 54× 108− 343× 17
= (1426− 343× 4)108− 343× 17
= 1426× 108− 343× 432− 343× 17
= 1426× 108− 343× 449.
1.3. CONGRUENCIAS 35
Multiplicando por 15, el primero y el u´ltimo miembros,
15 = 1426(108× 15)− 343(449× 15).
Multiplicando por (−1) esta u´ltima igualdad y transponiendo te´rminos se
transforma en,
343(−449× 15)− 15 = 1426(−108× 15),
expresio´n que traducida en te´rminos de congruencia significa
343(−449× 15) ≡ 15 mod 1426.
Comparando esta congruencia con la original, debido al parecido de las ex-
presiones se deduce que
x ≡ −449× 15 mod 1426
de donde finalmente se puede escribir como consecuencia de la definicio´n
x = −449× 15 + 1426k, 0 ≤ k ≤ 1425.
Si k = 1, entonces
x = −449× 15 + 1426
= −6735 + 1426
= −5309.
Si k = 5,
x = −6735 + 1426× 5
= −6735 + 7130
= 395,
corresponde a la primera solucio´n positiva.
EJERCICIOS
1. Demostrar el teorema 1.3.5.
36 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
2. Resolver las siguientes congruencias,
a) 3x ≡ 2 mod 5.
b) 243x + 17 ≡ 101 mod 725.
c) 5x ≡ 2 mod 7.
d) 9x ≡ 21 mod 12.
e) 6x + 3 ≡ 1 mod 10 .
3. Demostrar que si m es entero, m2 ≡ 0 o 1 mod 4.
4. Mostrar que la congruencia 6x ≡ 5 mod 78 no tiene solucio´n.
5. Usando el algoritmo de Euclides resolver las siguientes congruencias,
a) 243x + 17 ≡ 101 mod 725.
b) 3x ≡ 2 mod 5.
c) 7x ≡ 21 mod 14.
6. Demostrar que para todo x, x3 ≡ x mod 3 y x5 ≡ x mod 5.
7. Demostrar que el discriminante b2 − 4ac ≡ 0 o 1 mod 4.
1.4. Criterios de divisibilidad
Las congruencias hacen posible desarrollar los criterios de divisibilidad usados
en Aritme´tica de los cuales se demostrara´n los ma´s usados. El primero es el
Criterio de divisibilidad por 2.
Ejemplo 1.4.1. Un entero es divisible por 2 si y solo si la cifra de sus
unidades es un nu´mero par
Solucio´n. Sea n un entero divisible por 2, n se puede escribir en forma u´nica
como
n =
m∑
k=0
ak10
k
pero 10 ≡ 2 mod 2, entonces por el teorema 1.3.4
m∑
k=0
ak10
k ≡
m∑
k=0
ak2
k mod 2
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 37
por consiguiente
n ≡
m∑
k=0
ak2
k mod 2
y como 2|n,
2
∣∣∣∣
[
n−
(
n−
m∑
k=0
ak2
k
)]
.
Iniciando la sumatoria con k = 1 y sumando a0, esta expresio´n se puede
escribir en forma equivalente como,
2
∣∣∣∣
[
m∑
k=1
ak2
k + a0
]
y su validez depende de ser a0 par, puesto que los restantes componentes son
todos divisibles por 2.
Si n es un entero terminado en cifra par se puede escribir
n = 2k +
m∑
k=1
ak10
k, 2k = a0, 0 ≤ k ≤ 4.
Por la forma de representar a n, se concluye que debe ser par.
Ejemplo 1.4.2. Un entero es divisible por 3 si y solo si la suma de sus
d´ıgitos es un mu´ltiplo de 3.
Solucio´n. Sea n un entero divisible por 3.
1k ≡ 10k mod 3
entonces
m∑
k=0
ak10
k ≡
m∑
k=0
ak1
k mod 3
sustituyendo la sumatoria por n
n ≡
m∑
k=0
ak1
k mod 3.
38 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
Por definicio´n de congruencia,
3
∣∣∣∣
[
n−
m∑
k=0
ak1
k
]
Debido a que 3|n la propiedad (2) de divisibilidad y el reemplazo de n por
la sumatoria permiten escribir,
3
∣∣∣∣
[
m∑
k=0
ak10
k −
(
m∑
k=0ak10
k −
m∑
k=0
ak
)]
lo que conduce a afirmar que
3
∣∣∣∣ m∑
k=0
ak.
Supongamos que
m∑
k=0
ak = 3c
luego
m∑
k=1
ak + a0 = 3c
despejando,
a0 = 3c−
m∑
k=1
ak
sumando,
m∑
k=1
ak10
k + a0 = 3c +
m∑
k=1
ak10
k −
m∑
k=1
ak
sustituyendo se obtiene
n = 3c +
m∑
k=1
ak
(
10k − 1)
de donde se observa que 3|n, ya que 3|(10k − 1).
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 39
Ejemplo 1.4.3. Un entero es divisible por 7 si y solo si, separando la cifra
de las unidades, multiplica´ndola por 2, restando este producto de lo que queda
a la izquierda y as´ı sucesivamente, el resultado es cero o un mu´ltiplo de 7.
Solucio´n. Sea n un entero tal que
m∑
k=1
ak10
k−1 − 2a0 = 7c
multiplicando por 10 ambos miembros
m∑
k=1
ak10
k − 20a0 = 70c
sumando 21a0 a ambos lados,
n = 70c + 21a0
o equivalentemente, 7|n.
Realizando el proceso r veces
m∑
k=r
ak10
k−r +
r−1∑
k=0
(−1)r−k2r−kak = 7t.
Multiplicando por 10r ambos te´rminos,
m∑
k=r
ak10
k +
r−1∑
k=0
(−1)r−k2r−kak10r = 7× 10rt.
Sumando a ambos lados la expresio´n
r−1∑
k=0
[
10k − (−1)r−k2r−k10r]ak.
Reorganizando te´rminos y factorizando se llega a la igualdad
n = 7× 10rt +
r−1∑
k=0
10k
[
1± (2× 10)r−k]ak.
40 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
En la expresio´n [1± (2× 10)r−k] se toma el signo ma´s si r − k es impar y el
signo menos si r − k es par, 0 < r − k ≤ m.
Pero 7|[1 + (2× 10)r−k] si r− k es impar e igualmente 7|[1− (2× 10)r−k]
si r − k es par. Por lo visto 7|n.
Suponga que n es divisible por 7, pero que
m∑
k=1
ak10
k−1 = 7s + r, con 0 < r < 7.
Siguiendo el procedimiento de los casos anteriores n = 70s + 21a0 + 10r, lo
cual implica que 7 no divide a n, contradiciendo el supuesto. Para el caso
general proceda de la misma manera.
Ejemplo 1.4.4. Un entero es divisible por 11 si y solamente si la diferencia
entre la suma de sus d´ıgitos de lugar impar y la suma de sus d´ıgitos de lugar
par es cero o mu´ltiplo de 11.
Solucio´n. Supongamos que n tiene un nu´mero impar de d´ıgitos y verifica la
primera condicio´n
n =
2m∑
k=0
ak10
k.
Pero 10 ≡ −1 mod 11, lo que significa que
2m∑
k=0
ak10
k ≡
2m∑
k=0
ak(−1)k mod 11.
Aplicando un razonamiento similar al de las ocasiones precedentes mediante
el uso de la propiedad (2) de divisibilidad se llega a
11
∣∣∣∣ 2m∑
k=0
ak(−1)k
de esta expresio´n se concluye
2m∑
k=0
a2k −
m−1∑
k=1
a2k+1 = 11t.
Igualdad que expresa la conclusio´n deseada y sera´ el punto de partida para
demostrar la segunda parte.
1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 41
De la u´ltima igualdad, despue´s de efectuar algunas transformaciones es-
cribimos
a0 = 11t−
m∑
k=1
a2k(−1)2k +
m+1∑
k=0
a2k+1(−1)2k+1
agregando a ambos miembros de la ecuacio´n la expresio´n
2m∑
k=1
ak10
k
se llega a la igualdad
n = 11t +
2m∑
k=1
(102k − 1)a2k +
m+1∑
k=0
(102t+1 + 1)a2k+1
factorizando el miembro de la derecha se obtiene
n = 11t +
m∑
k=1
(102k − 1)a2k +
m+1∑
k=0
(102k+1 + 1)a2k+1.
Pero 11|(102k − 1) y 11|(102k+1 + 1), por lo tanto 11|n.
Si n tiene un nu´mero par de d´ıgitos se procede de semejante manera.
Es necesario hacer notar que en la demostracio´n de los criterios de divisi-
bilidad se asumio´ que n era un entero positivo a pesar de no hacer mencio´n ex-
pl´ıcita de este hecho. Las propiedades de la divisibilidad as´ı lo justifican.
EJERCICIOS
1. Demostrar: Un entero es divisible por 5 si y solo si termina en cero o
en 5.
2. Demostrar: Un entero es divisible por 13 si y solo si separando la cifra
de las unidades, multiplica´ndola por 9, restando este producto de lo
que queda a la izquierda y as´ı sucesivamente, da cero o mu´ltiplo de 13.
3. Demostrar: Un entero es divisible por 17 si y solo si separando la cifra
de las unidades, multiplica´ndola por 5, restando este producto por lo
que queda a la izquierda, y as´ı sucesivamente da cero o mu´ltiplo de 17.
4. Demostrar: Un entero es divisible por 19, si y solo si, separando la cifra
de las unidades, multiplica´ndola por 17, restando este producto de lo
que queda a la izquierda, y s´ı sucesivamente, da cero o mu´ltiplo de 19.
42 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
1.5. Sistemas de numeracio´n
La invencio´n de un sistema de numeracio´n, que ahora luce tan natural costo´ mu-
chos milenios a la humanidad. Los pueblos primitivos trajinaban con conjun-
tos muy reducidos y los valoraban o comparaban sin necesidad de conocer
los nombres de sus objetos.
El gran descubrimiento fue hallar un procedimiento para nombrar y re-
presentar todos los nu´meros con un conjunto reducido de palabras y s´ımbo-
los que es el objetivo de cualquier sistema de numeracio´n. La mayor´ıa de
los sistemas de numeracio´n tienen su fundamento en un nu´mero clave lla-
mado base del sistema, que en el sistema decimal es el 10. Los s´ımbolos,
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se denominan d´ıgitos cuando se usan para representar
enteros. El sistema decimal se desarrollo´ en la India, pero fue introducido
en Europa por los a´rabes con motivo de la invasio´n efectuada por estos u´lti-
mos al continente, por esta razo´n se le conoce como hindu´-ara´bico, pero ma´s
popularmente como sistema ara´bico de numeracio´n.
Cada entero t mayor que 1 puede servir de base para un sistema de
numeracio´n. Escogemos s´ımbolos arbitrarios para representar los d´ıgitos, esto
es los elementos, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , (t− 1). Y sustituimos el nu´mero
n =
m∑
k=0
akt
k
por el s´ımbolo
n = amam−1am−2 · · ·a1a0(t.
Si la base es mayor que 10 debemos buscar s´ımbolos para sustituir los d´ıgitos
mayores que 9. Por ejemplo para la base 12, hacemos 10 = α, 11 = β. As´ı las
cosas en dicha base podemos escribir nu´meros tales como 507β34, 87α35,
4129, β03, y as´ı sucesivamente.
Siempre se ha pensado que el sistema duodecimal ser´ıa muy pra´ctico
porque 12 tiene ma´s divisores primos que 10 y se puede agrupar mejor por
docenas que por decenas, pero esta inquietud se ha reducido al campo de
las especulaciones. Lo cierto es que el sistema decimal esta´ muy adherido al
desarrollo de la humanidad. El sistema binario o los de potencias de 2 han
sido popularizados por las computadoras. La tecnolog´ıa de estos artefactos
esta´ basada en los co´digos de verdadero-falso, apagado-encendido. El sistema
binario esta´ conformado por los d´ıgitos 0, 1, lo que constituye una aparente
desventaja debido a que se necesita una cantidad grande de d´ıgitos binarios
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIO´N 43
para escribir cualquier nu´mero, por ejemplo 1325 = 10100101101. Pero la
aparente desventaja se traduce en versatilidad.
1.5.1. Cambio de bases
1. Paso de un nu´mero escrito en una base cualquiera t a la base
decimal. Sea t > 1 una base cualquiera, n un nu´mero escrito en dicha base
n =
m∑
k=0
akt
k con 0 ≤ ak ≤ (t− 1) para 0 ≤ k ≤ m
esta igualdad proporciona una regla pra´ctica para escribir el nu´mero n en
base 10.
Primero desarrollamos todas las potencias de t, desde la cero hasta la
m-e´sima, despue´s efectuamos todos los productos y por u´ltimo procedemos
a sumarlos. Si realizamos las operaciones en base 10 el resultado sera´ la
representacio´n de n en base decimal.
Ejemplo 1.5.1. Escribir en base 10 el nu´mero 2αβ12.
Las tres primeras potencias de 12 son 1, 12, 144.
2αβ12 = 2× 144 + 10× 12 + 11× 1 = 288 + 120 + 11 = 419.
2. Paso de un nu´mero escrito en base 10 a una base cualquiera. Sea
t > 1 una base cualquiera, n un nu´mero escrito en base 10 y sea
n = amam−1am−2 · · ·a1a0(t
la expresio´n de n en base t.
n =
m∑
k=0
akt
k =
m∑
k=1
akt
k + a0.
Del tercer miembro y teniendo en cuenta que los valores absolutos de los
d´ıgitos son siempre menores que la base se deduce que si dividimos n por t
44 CAPI´TULO1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
se obtiene un cociente q1 y a0 de residuo, es decir, el residuo corresponde al
primer d´ıgito leyendo de derecha a izquierda.
m∑
k=1
akt
k =
m∑
k=2
akt
k + a1.
De esta igualdad observamos que si dividimos por segunda vez por t ob-
tenemos nuevos cocientes y residuos q2 y a1 respectivamente, residuo que
corresponde al segundo d´ıgito leyendo en el mismo orden. Despue´s de rei-
teradas operaciones llega un momento en que se obtienen por cociente y
residuo finales am y am−1 respectivamente, nu´meros que corresponden a los
dos u´ltimos d´ıgitos de n en base t.
Las operaciones anteriores se pueden representar en un gra´fico as´ı:
. . .
. . .
n t
a0 q1 t
ta1
q2
qm−2 tam−3
am−2 qm−1 t
am−1 am
Figura 1.1
Este gra´fico nos dice que para pasar de un nu´mero escrito en base 10 a una
base cualquiera t dividimos el nu´mero dado (operando en base 10) sucesiva-
mente por t hasta que lleguemos a un cociente menor que la base y despue´s
tomamos el u´ltimo cociente y todos los residuos encontrados pero en sentido
retro´grado y estos valores sera´n las cifras del nu´mero de izquierda a derecha.
Hay que notar que si t es mayor que 10 los residuos pueden ser 10 o ma-
yores y entonces tenemos que sustituir esos residuos por los s´ımbolos que le
corresponden en ese sistema.
Ejemplo 1.5.2. Escribir en base 12 el nu´mero 15135510.
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIO´N 45
Solucio´n. Tome 10 = α, 11 = β. Efectuando las divisiones sucesivas
151355 = 12× 12612 + 11
12612 = 12× 1051 + 0
1051 = 12× 87 + 7
87 = 12× 7+ 3.
El nu´mero escrito en base 12 es 7370β12.
Ejemplo 1.5.3. Escribir en base 5 el nu´mero 7210.
Solucio´n.
72 = 5× 14 + 2
14 = 5× 2+ 4.
La respuesta es 2425.
1.5.2. Operaciones en base cualquiera
Un procedimiento para operar nu´meros en cualquier base (pero todos en la
misma) ser´ıa pasarlos a la base 10, efectuar las operaciones y el resultado
devolverlo luego a la base original.
Para cantidades pequen˜as otro me´todo consiste en operar en la base res-
pectiva teniendo el cuidado de recordar que opera en base diferente a la
decimal con el fin de evitar equ´ıvocos. Cuando hay que realizar muchas ope-
raciones lo mejor es utilizar una tabla.
La tabla de sumar
Para construir una tabla de sumar, que puede utilizarse para restar, se escribe
en fila la sucesio´n de los nu´meros hasta donde se quiera, pero por lo menos
hasta agotar los d´ıgitos.
Debajo de esa primera fila se escriben los mismos nu´meros agregados en la
unidad, la tercera sera´ igual a la segunda ma´s la unidad y as´ı sucesivamente.
Para sumar dos nu´meros se toma uno en la primera columna y el otro en
la primera fila y la suma estara´ en la interseccio´n de la columna y fila que
encabezan los sumandos, aunque la propiedad conmutativa permite tomarlos
sin importar cua´l se toma en la fila y cua´l en la columna.
A continuacio´n se construye una tabla de sumar en base 5.
46 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
+ 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22
2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23
3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24
4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30
10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31
11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32
12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33
Figura 1.2
Ejemplo 1.5.4. Sumar: 11112 + 10102 + 1102 + 111012.
Solucio´n. Tomando las primeras cifras de derecha a izquierda (unidades) y
operando en base dos,
1 + 0 + 0 + 1 = 1 + 1 = 10.
Escribo 0 en la primera posicio´n del resultado y traslado 1 a la segunda
posicio´n. Tomando las cifras de la segunda posicio´n ma´s 1 que traslado se
obtiene.
1 + (1 + 1 + 1 + 0) = 1 + (11) = 100.
Escribo 0 en la segunda posicio´n y traslado 10 a la tercera. Tomando las
cifras de la tercera posicio´n ma´s 10 se escribe,
10 + (1 + 0 + 1 + 1) = 10 + (11) = 101.
Escribo 1 en la tercera posicio´n y traslado 10 a la cuarta. Tomando las cifras
de la cuarta posicio´n ma´s 10, se tiene,
10 + (1 + 1 + 0 + 1) = 10 + 11 = 101.
Escribo 1 en la cuarta y traslado 10 a la quinta . Tomando las cifras de la
quinta posicio´n ma´s 10, se obtiene
10 + (0 + 0 + 0 + 1) = 11
cifra que corresponde al u´ltimo resultado. Finalmente, escribiendo de izquier-
da a derecha se obtiene el total: 1111002.
Escribiendo la suma en forma compacta,
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIO´N 47
1 1 1 1
1 0 1 0
+ 1 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0 0
Ejemplo 1.5.5. Efectuar la diferencia 220237 – 46257.
Solucio´n. Tomando el desarrollo polino´mico de 22023 en base siete
22023 = 2×74+2×73+0×72+2×7+3 = 1×74+11×73+6×72+11×7+13.
Recuerde que estamos haciendo un desarrollo en base 7. El desarrollo
polino´mico de 4625 es,
4625 = 4× 73 + 6× 72 + 2× 7 + 5.
Ahora basta con efectuar las respectivas restas as´ı,
13− 5 = 5
11− 2 = 6
6− 6 = 0
11− 4 = 4
1− 0 = 1.
Tomando los resultados en orden ascendente y escribie´ndolos de izquierda a
derecha la respuesta obtenida es, 140657. En forma compacta
2 2 0 2 3
– 4 6 2 5
1 4 0 6 5
La tabla de multiplicar
La tabla de multiplicar que tambie´n sirve para dividir se construye escribien-
do la sucesio´n de los nu´meros de la base en el sistema en referencia a partir
48 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
de 1. En la segunda fila en correspondencia con la primera se escribe el resul-
tado de sumar la primera fila consigo misma. La tercera se obtiene sumando
la segunda con la primera. La cuarta es el resultado de sumar la primera con
la tercera y as´ı sucesivamente cada nueva fila se obtiene sumando la primera
con la u´ltima obtenida. Para hallar el producto de dos nu´meros se toman los
factores se procede en forma similar a la suma. La siguiente es una tabla de
multiplicar en base cinco
× 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
1 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21
2 2 4 10 13 20 22 24 31 33 40 42
3 3 11 13 22 30 33 41 44 102 110 113
4 4 13 21 31 40 44 103 112 121 130 134
10 10 20 24 40 100 110 120 130 140 200 210
11 11 22 32 44 110 121 132 143 204 220 231
12 12 24 40 103 120 131 144 211 223 240 302
Figura 1.3
Ejemplo 1.5.6. En base 4 se opera de manera semejante a la base 10, exa-
minemos el siguiente producto:
Solucio´n. Se dispone el producto de manera ordinaria.
1 0 2 1 3
× 2 2 1
1 0 2 1 3
2 1 0 3 2
2 1 0 3 2
2 3 3 0 3 3 3
El resultado es 23303334.
Finalmente se da solucio´n a la siguiente divisio´n en base cinco.
Ejemplo 1.5.7. Dividir 231245 entre 325.
Solucio´n. La operacio´n se dispone as´ı:
1.5. SISTEMAS DE NUMERACIO´N 49
2 3 1
′
2
′
4
′
3 2
−2 0 1 3 4 2
1 4 4
3 0 2
−2 3 3
−1 1 4
3 0
El algoritmo se desarrolla de la siguiente forma. Se toman las tres primeras
cifras de la izquierda del dividendo, esto es, 231. El nu´mero que multiplicado
por 32 se aproxima ma´s a 231 es 3. Se multiplica 32 por 3.
32× 3 = 201.
Se efectu´a la diferencia
231− 201 = 30.
A 30 se le agrega la cuarta cifra del dividendo, obtenie´ndose 302. El nu´mero
que multiplicado por 32 se aproxima ma´s a 302 es 4. Se multiplica 32 por 4.
32× 4 = 233.
Se realiza la diferencia
302− 233 = 14.
Tomando la u´ltima cifra del dividendo, 4 y agrega´ndola a 14 se obtiene 144.
El nu´mero que multiplicado por 32 se aproxima ma´s a 144 es 2. Multiplicando
32 por 2.
32× 2 = 114.
La diferencia
144− 114 = 30
produce el residuo 30. El cociente es 3425.
Los enteros obtenidos mediante las diferentes bases son equivalentes, por
ejemplo las igualdades
125 + 205 = 325
710 + 1010 = 1710
213 + 1013 = 1223
50 CAPI´TULO 1. TEORI´A DE LA ARITME´TICA
conducen a resultados correspondientes. Estas correspondencias se dice que
son isomorfismos y a las estructuras se les denomina isomorfas.
EJERCICIOS
1. Construir tablas de adicio´n y multiplicacio´n para las siguientes bases:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12.
2. Usando las tablas del ejercicio anterior, evaluar:
a) 110112 + 10012 + 112

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