Resolução do volume 9
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Resolução do volume 9

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OSVALDO DOLCE
JOSÉ NICOLAU POMPEO

COMPLEMENTO PARA�
O PROFESSOR�

FUNDAMENTOS DE

'> MATEMÁTICA 9
ELEMENTAR

GEOMETRIA PLANA

~

A~l

EDITORA

OSVALDO DOLCE
JOSÉ NICOLAU POMPEO

COMPLEMENTO PARA�
O PROFESSOR�

FUNDAMENTOS DE

'> MATEMÁTICA 9
ELEMENTAR

GEOMETRIA PLANA

~

A~l

EDITORA

Capítulo II - Segmento de retaSumário

Capítulo II -
Capítulo III -

Capítulo IV -
capítulo V -

Capítulo VI -
Capítulo VII -
Capítulo VIII -
Capítulo IX -

Capítulo X -
Capítulo XI -

Capítulo' XII -
Capítulo XIII -

Capitulo XIV -
Capítulo XV -

Capítulo XVI -
Capítulo XVII -
Capítulo XVIII -

Capítulo XIX -

Segmento de reta 1�
Ângulos 4�

Triângulos 6�
Paralelismo 10�

Perpendicularidade 15�
Quadriláteros notáveis 20�

Pontos notáveis do triângulo '................................... 28�
Polígonos 31�

Circunferência e círculo 35�
Ângulos na circunferência 39�

Teorema de Tales 45�
Semelhança de triângulos e potência de ponto 49�

Triângulos retângulos 59�
Triângulos quaisquer 85�

Polígonos regulares 94�
Comprimento da circunferência 102�

Equivalência plana .........•............................................ 107�
Áreas de superfícies planas ........ ..... .... ... .... ..... .. ...... .... .. 109�

17. AD = 36 => 9x = 36 => X = 4
AB=6x=24cm B C D�

BC = 2x = 8 cm A" ,I~I,-"V_.)

 V�

CD� = x = 4 cm 6x 2x x

18. Hipótese Tese
A Q IBpi I I�PA� == QB => PQ == AB

Demonstração:�
Observando o segrnento AQ comum a PQ e AR, temos:�

PA == QB => PA + AQ = AQ + QB => PQ == AB.�

19. Temos duas possibilidades:

1~) R está entre A e C� 2~) C está entre A e R
20�

I A. C '
AI I~B

v�
20� 12�

AC = AB + BC => AC + BC = AB =>�
=> AC = 20 + 12 => AC == 32 cm => AC + 12 = 20 => AC = 8 cm�

20.� 5x + x = 42 => X = 7 cm
AB = 5x => AB = 35 cm

BC = x => BC = 7 cm

21. Temos duas possibilidades:

1~) R está entre A e C 2~) C está entre A e B�
45 4x�

/ Â'-- , /_----/A \.
B C

AI, t 1,----- )C AI I 1.8
" v /' '----y--------'V ~

4x x 45 x�

4x + x = 45 => X = 9 cm 45 + x = 4x => X = 15 cm�
AB = 4x => AB = 36 cm AB = 4x => AB = 60 cm�

BC = x => BC = 9 cm BC = x => BC = 15 cm�

1�

-� B C22.� Temos três possibilidades: Demonstraçao AI I I I D
1?) ao 1) Observando o segmento BC, temos:
~-- -JI\ � _

1 MB N� AC == BD => AC - BC == BD - BC => AB == CD.e'
AI...� ti" t 1,- .-'IPV V v .

5x 4x x
5x + 4x + x = 80 => X = 8 cm

MN = MB + BN => MN = 2,5x + 2x => MN = 36 cm

2?)� 5x / 1\ � 4x
AI� M " / A _

,� 7 PN "
V� ) le

ao� ~ x
1) BP + PC = BC => BP + x = 4x => BP = 3x

2) AB + BP = 80 => 5x + 3x = 80 => X = 10 cm
3) MN = MB + BN => MN = 2,5x + 2x => MN = 45 cm

3?) 80
I 1\'--- � ........,�

C P M N
AI"-y--------/ I"-y--------/ I~I \ v /I.B

x x x 2x

1) BP + PC = BC => BP + x = 4x => BP = 3x
2) BN + NP = BP => 2x + NP = 3x => NP = x

3) i\C + BC = AP => AC + 4x = 5x => AC = x
4) AP = 80 => 2x = 80 => X = 40 cm

5) Se o ponto M dista 2,5x do ponto A, então M é ponto médio de PN.
Logo, MN = ; e então MN = 20 cm.

23.� Hipótese Tese

AB� == CD => AD e BC têm o mesmo ponto médio

B M e D
AI I I I ir

Demonstração

Seja M o ponto médio de BC. Temos:�
AM == AB + BM == CD + MC == MD.�

Como AM == MD, M também é ponto médio de AD.�

24.� Hipótese Tese

. 11) AB == CDAC� == BD ~	

2) BC e AD têm o mesmo ponto médio

2) Análogo ao exercício 23.

26.� Temos duas possibilidades:
M B N1?) AI I I I IC

MN = MB + BN => MN = AB + 2 => MN _ AB +BC� BC2� --~--

2?)� AI M C NI I I IB

MN = MC + CN => MN = (BM - BC) + CN =>
BC BC

=> MN = (BM - BC) + -2- => MN = BM - BC + -2- =>
=> MN = BM _ BC => MN = AB - BC

2� 2

28.� O segmento MN terá medida constante e igual à metade do segmento AB.

Justificação
Temos três casos a analisar:�

1?) A~2 A~2

/ /\ � , / A "-
M B N

AI� I r I I P ~ '-------v--'
BP/2 BP/2

Neste caso temos:
=> MN = AP _ BP => MN = AP - BP => MN = ABMN = MP - NP 222 T·

M P N2?) AI'-------y------I~'~I\.~IB

A~2 A~2 B~2 B~2

AP� + BP AB
Neste caso temos: MN 2 => MN = -2-·
B~2 	

B~2
_--------.lÂ� Â"----- _3?)� AI M 'N '� \. PI~I~I I� IB

AP/2 AP/2
Neste caso temos:

=> MN = BP AP => MN = BP - AP => MN = ABMN = PN - PM 2� T 2 T
2� 3

Capítulo III Ângulos 75.
55. ângulo ~ x complemento ~ (90°

"Ângulo mais triplo do complemento é igual a 210°."
x + 3 . (90° - x) = 210° => 2x = 60° => X = 30°

- x)
O B

59. ângulo ~ x

complemento do ângulo: (900 - x) complemento da metade: (90 0
- ~)

Y

C

I

c

~c '

A

X

triplo do complemento da metade: 3 · (900 - ~)

suplemento do triplo do complemento da metade: 1800 - 3(900 - ~) 77.
180° (- 3 90° x)- 2 = 3 . (90° - x) => 9x2 = 360° => x:= 80° y s

x

60. ângulo ~ x
complemento do dobro do ângulo ~ (90°

suplemento do complemento do ângulo =>
90° - 2x180° - (90° - x) - = 85° =>3

- 2x)
180° - (90°

X = 15°

- x)

o

65. Sejam x e y os ângulos.
x 2 1y = 7 => (x = 40°, y = 140°)

x + y = 180°
O complemento do menor é igual a 90° - x = 90° - 40° = 50°.

78.
b

y
s

x

68. ângulo ~ x
complemento do ângulo ~ (90° - x)

suplemento do ângulo ~ (180° - x)
"Triplo do complemento mais 50 o é igual ao suplemento."

3 . (90° - x) + 50° = 180° - x => 2x = 140° => X = 70°

o

79. Temos duas possibilidades:
I? )

18°
74. Os ângulos são da forma 2k, 3k, 4k, 5k e 6k e somam 360°.

2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 360° =>. 20k = 360° => k =
O maior ângulo é 6k = 6 . 18° = 108°.

72. x e Z são opostos pelo vértice => X = Z
x e y são suplementares => y = 180 0 - x

"x mede a sexta parte de y, mais metade de z."
180° - x x

x = + T => 6x = 180 0 - x + 3x => X 45°

x

o

Ox e Oy são bissetrizes
a + b = 520 1 =>2a + 2b = 104°

2a = 40°
=> 40° + 2b = 104°

=> 2b = 64°

IAÔB == CÔD Hipótese: OX, õY são bissetrizes
----. ~

Tese: { OX e OY são semi-retas opostas
Demonstração

-+ --+
O ângulo entre OX e O Y é dado por�

(a + b + c)�
2a + 2b + 2c = 360° => a + b + c = 180°�

--+ ~

Portanto, OX e OY são semi-retas opostas.

Hipótese Tese
rôs e sôt, adjacentes

e complementares
# xôy = 45°Ox e Oy, respectivas

bissetrizes

Demonstração

Sejam a medida de rôx = xôs = a e a me-�
dida de sôy = yôt = {3:�

a + a + {3 + {3 = 90° =>�
=> 2a + 2{3 = 90° =>�

=> a + (3 = 45 ° => xôy = 45 ° .�

2a + 2b = 136°�
a + b ::; 68°�

Resposta: o ângulo formado pelas bissetri-
zes é igual a 68°.

2?)

Ox e Oy são bissetrizes
0

=>
a - b = 52 1

=> a-20° = 52° =>
2b = 40°

=> => a = 72° =>
=> 2a = 144°

54

Capítulo IV - Triângulos 109. Hipótese Tese

91. a) IAB = AC
AB = BC

=> Ix + 2y = 2x - y
x + 2y = x + y + 3

=> Ix
y

- 3y
= 3

= O => (x = 9 =
' Y

3) dABC é isósCeleS') AD é bissetriz
=> AD é mediana

(isto é, BD == DC)

A

AB = x + 2y => AB = 15 relativa à base
O perímetro do triângulo ABC é igual a 3 . 15 = 45. Demonstração

b) AB
AB

= AC => 2x + 3
= 2x + 3 => AB =

= 3x _. 3
15 AC =

=> X = 6
AB => AC = 15 BC = x + 3 => BC = 9

(AB = AC; BÂD
LAL

= CÂD; AD comum)
- -

=>

O perímetro do triângulo ABC é igual a AB + AC + BC = 39. ==> dABD == dACD => BD == DC

92. Sejam f a medida dos lados congruentes, b a medida da base e p o semiperímetro. 111. Hipótese Tese A
Temos:

p = 7,5I2f = 4b =? 1
2f + b

2
1 = 2b

=75
'

=? (I = 6 m, b = 3 m)

dABC é isósceles
de base BC

CD é bissetriz de ê ~ CD == BE
Resposta: Os lados do triângulo medem 3 m, 6 m e 6 m. BE é bissetriz de ã

9S. dABC == dDEC => IÂfi = Ô = Ê => 13a = 2a + 100 {3 + 480 = 5{3 => (a