Resolução do volume 9
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Resolução do volume 9


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OSVALDO DOLCE 
JOSÉ NICOLAU POMPEO 
COMPLEMENTO PARA\ufffd 
O PROFESSOR\ufffd 
FUNDAMENTOS DE 
'> MATEMÁTICA 9 
ELEMENTAR 
GEOMETRIA PLANA 
~ 
A~l 
EDITORA 
OSVALDO DOLCE 
JOSÉ NICOLAU POMPEO 
COMPLEMENTO PARA\ufffd 
O PROFESSOR\ufffd 
FUNDAMENTOS DE 
'> MATEMÁTICA 9 
ELEMENTAR 
GEOMETRIA PLANA 
~ 
A~l 
EDITORA 
Capítulo II - Segmento de retaSumário 
Capítulo II -
Capítulo III -
Capítulo IV -
capítulo V -
Capítulo VI -
Capítulo VII -
Capítulo VIII -
Capítulo IX -
Capítulo X -
Capítulo XI -
Capítulo' XII -
Capítulo XIII -
Capitulo XIV -
Capítulo XV -
Capítulo XVI -
Capítulo XVII -
Capítulo XVIII -
Capítulo XIX -
Segmento de reta 1\ufffd 
Ângulos 4\ufffd 
Triângulos 6\ufffd 
Paralelismo 10\ufffd 
Perpendicularidade 15\ufffd 
Quadriláteros notáveis 20\ufffd 
Pontos notáveis do triângulo '................................... 28\ufffd 
Polígonos 31\ufffd 
Circunferência e círculo 35\ufffd 
Ângulos na circunferência 39\ufffd 
Teorema de Tales 45\ufffd 
Semelhança de triângulos e potência de ponto 49\ufffd 
Triângulos retângulos 59\ufffd 
Triângulos quaisquer 85\ufffd 
Polígonos regulares 94\ufffd 
Comprimento da circunferência 102\ufffd 
Equivalência plana .........\u2022............................................ 107\ufffd 
Áreas de superfícies planas ........ ..... .... ... .... ..... .. ...... .... .. 109\ufffd 
17. AD = 36 => 9x = 36 => X = 4 
AB=6x=24cm B C D\ufffd 
BC = 2x = 8 cm A" ,I~I,-"V_.) 
 V\ufffd 
CD\ufffd = x = 4 cm 6x 2x x 
18. Hipótese Tese 
A Q IBpi I I\ufffdPA\ufffd == QB => PQ == AB 
Demonstração:\ufffd 
Observando o segrnento AQ comum a PQ e AR, temos:\ufffd 
PA == QB => PA + AQ = AQ + QB => PQ == AB.\ufffd 
19. Temos duas possibilidades: 
1~) R está entre A e C\ufffd 2~) C está entre A e R 
20\ufffd 
I A. C ' 
AI I~B 
v\ufffd 
20\ufffd 12\ufffd 
AC = AB + BC => AC + BC = AB =>\ufffd 
=> AC = 20 + 12 => AC == 32 cm => AC + 12 = 20 => AC = 8 cm\ufffd 
20.\ufffd 5x + x = 42 => X = 7 cm 
AB = 5x => AB = 35 cm 
BC = x => BC = 7 cm 
21. Temos duas possibilidades: 
1~) R está entre A e C 2~) C está entre A e B\ufffd 
45 4x\ufffd 
/ Â'-- , /_----/A \. 
B C 
AI, t 1,----- )C AI I 1.8
" v /' '----y--------'V ~ 
 
4x x 45 x\ufffd 
4x + x = 45 => X = 9 cm 45 + x = 4x => X = 15 cm\ufffd 
AB = 4x => AB = 36 cm AB = 4x => AB = 60 cm\ufffd 
BC = x => BC = 9 cm BC = x => BC = 15 cm\ufffd 
1\ufffd 
-\ufffd B C22.\ufffd Temos três possibilidades: Demonstraçao AI I I I D 
1?) ao 1) Observando o segmento BC, temos: 
~-- -JI\ \ufffd _ 
1 MB N\ufffd AC == BD => AC - BC == BD - BC => AB == CD.e' 
AI...\ufffd ti" t 1,- .-'IPV V v . 
5x 4x x 
5x + 4x + x = 80 => X = 8 cm 
MN = MB + BN => MN = 2,5x + 2x => MN = 36 cm 
2?)\ufffd 5x / 1\ \ufffd 4x 
AI\ufffd M " / A _ 
,\ufffd 7 PN " 
V\ufffd ) le 
ao\ufffd ~ x 
1) BP + PC = BC => BP + x = 4x => BP = 3x 
2) AB + BP = 80 => 5x + 3x = 80 => X = 10 cm 
3) MN = MB + BN => MN = 2,5x + 2x => MN = 45 cm 
3?) 80 
I 1\'--- \ufffd ........,\ufffd 
C P M N 
AI"-y--------/ I"-y--------/ I~I \ v /I.B 
x x x 2x 
1) BP + PC = BC => BP + x = 4x => BP = 3x 
2) BN + NP = BP => 2x + NP = 3x => NP = x 
3) i\C + BC = AP => AC + 4x = 5x => AC = x 
4) AP = 80 => 2x = 80 => X = 40 cm 
5) Se o ponto M dista 2,5x do ponto A, então M é ponto médio de PN. 
Logo, MN = ; e então MN = 20 cm. 
23.\ufffd Hipótese Tese 
AB\ufffd == CD => AD e BC têm o mesmo ponto médio 
B M e D 
AI I I I ir 
Demonstração 
Seja M o ponto médio de BC. Temos:\ufffd 
AM == AB + BM == CD + MC == MD.\ufffd 
Como AM == MD, M também é ponto médio de AD.\ufffd 
24.\ufffd Hipótese Tese 
. 11) AB == CDAC\ufffd == BD ~	
 
2) BC e AD têm o mesmo ponto médio 
2) Análogo ao exercício 23. 
26.\ufffd Temos duas possibilidades: 
M B N1?) AI I I I IC 
MN = MB + BN => MN = AB + 2 => MN _ AB +BC\ufffd BC2\ufffd --~--
2?)\ufffd AI M C NI I I IB 
MN = MC + CN => MN = (BM - BC) + CN => 
BC BC 
=> MN = (BM - BC) + -2- => MN = BM - BC + -2- => 
=> MN = BM _ BC => MN = AB - BC 
2\ufffd 2 
28.\ufffd O segmento MN terá medida constante e igual à metade do segmento AB. 
Justificação 
Temos três casos a analisar:\ufffd 
1?) A~2 A~2 
 
/ /\ \ufffd , / A "-
M B N 
AI\ufffd I r I I P ~ '-------v--' 
BP/2 BP/2 
Neste caso temos: 
=> MN = AP _ BP => MN = AP - BP => MN = ABMN = MP - NP 222 T· 
M P N2?) AI'-------y------I~'~I\.~IB 
A~2 A~2 B~2 B~2 
AP\ufffd + BP AB 
Neste caso temos: MN 2 => MN = -2-· 
B~2 	
 
B~2
_--------.lÂ\ufffd Â"----- _3?)\ufffd AI M 'N '\ufffd \. PI~I~I I\ufffd IB 
AP/2 AP/2 
Neste caso temos: 
=> MN = BP AP => MN = BP - AP => MN = ABMN = PN - PM 2\ufffd T 2 T 
2\ufffd 3 
Capítulo III Ângulos 75. 
55. ângulo ~ x complemento ~ (90° 
"Ângulo mais triplo do complemento é igual a 210°." 
x + 3 . (90° - x) = 210° => 2x = 60° => X = 30° 
- x) 
O B 
59. ângulo ~ x 
complemento do ângulo: (900 - x) complemento da metade: (90 0 
- ~) 
Y 
C 
I 
c 
~c ' 
A 
X 
triplo do complemento da metade: 3 · (900 - ~) 
suplemento do triplo do complemento da metade: 1800 - 3(900 - ~) 77. 
180° (- 3 90° x)- 2 = 3 . (90° - x) => 9x2 = 360° => x:= 80° y s 
x 
60. ângulo ~ x 
complemento do dobro do ângulo ~ (90° 
suplemento do complemento do ângulo => 
90° - 2x180° - (90° - x) - = 85° =>3 
- 2x) 
180° - (90° 
X = 15° 
- x) 
o 
65. Sejam x e y os ângulos. 
x 2 1y = 7 => (x = 40°, y = 140°) 
x + y = 180° 
O complemento do menor é igual a 90° - x = 90° - 40° = 50°. 
78. 
b 
y 
s 
x 
68. ângulo ~ x 
complemento do ângulo ~ (90° - x) 
suplemento do ângulo ~ (180° - x) 
"Triplo do complemento mais 50 o é igual ao suplemento." 
3 . (90° - x) + 50° = 180° - x => 2x = 140° => X = 70° 
o 
79. Temos duas possibilidades: 
I? ) 
18° 
74. Os ângulos são da forma 2k, 3k, 4k, 5k e 6k e somam 360°. 
2k + 3k + 4k + 5k + 6k = 360° =>. 20k = 360° => k = 
O maior ângulo é 6k = 6 . 18° = 108°. 
72. x e Z são opostos pelo vértice => X = Z 
x e y são suplementares => y = 180 0 - x 
"x mede a sexta parte de y, mais metade de z." 
180° - x x 
x = + T => 6x = 180 0 - x + 3x => X 45° 
x 
o 
Ox e Oy são bissetrizes 
a + b = 520 1 =>2a + 2b = 104° 
2a = 40° 
=> 40° + 2b = 104° 
=> 2b = 64° 
IAÔB == CÔD Hipótese: OX, õY são bissetrizes 
----. ~ 
Tese: { OX e OY são semi-retas opostas 
Demonstração 
-+ --+ 
O ângulo entre OX e O Y é dado por\ufffd 
(a + b + c)\ufffd 
2a + 2b + 2c = 360° => a + b + c = 180°\ufffd 
--+ ~ 
Portanto, OX e OY são semi-retas opostas. 
Hipótese Tese 
rôs e sôt, adjacentes 
e complementares 
# xôy = 45°Ox e Oy, respectivas 
bissetrizes 
Demonstração 
Sejam a medida de rôx = xôs = a e a me-\ufffd
dida de sôy = yôt = {3:\ufffd 
a + a + {3 + {3 = 90° =>\ufffd 
=> 2a + 2{3 = 90° =>\ufffd 
=> a + (3 = 45 ° => xôy = 45 ° .\ufffd 
2a + 2b = 136°\ufffd 
a + b ::; 68°\ufffd 
Resposta: o ângulo formado pelas bissetri-
zes é igual a 68°. 
2?) 
Ox e Oy são bissetrizes 
0 
=> 
a - b = 52 1 
=> a-20° = 52° => 
2b = 40° 
=> => a = 72° => 
=> 2a = 144° 
54 
Capítulo IV - Triângulos 109. Hipótese Tese 
91. a) IAB = AC 
AB = BC 
=> Ix + 2y = 2x - y 
x + 2y = x + y + 3 
=> Ix 
y 
- 3y 
= 3 
= O => (x = 9 = 
' Y 
3) dABC é isósCeleS') AD é bissetriz 
=> AD é mediana 
(isto é, BD == DC) 
A 
AB = x + 2y => AB = 15 relativa à base 
O perímetro do triângulo ABC é igual a 3 . 15 = 45. Demonstração 
b) AB 
AB 
= AC => 2x + 3 
= 2x + 3 => AB = 
= 3x _. 3 
15 AC = 
=> X = 6 
AB => AC = 15 BC = x + 3 => BC = 9 
(AB = AC; BÂD 
LAL 
= CÂD; AD comum) 
- -
=> 
O perímetro do triângulo ABC é igual a AB + AC + BC = 39. ==> dABD == dACD => BD == DC 
92. Sejam f a medida dos lados congruentes, b a medida da base e p o semiperímetro. 111. Hipótese Tese A 
Temos: 
p = 7,5I2f = 4b =? 1 
2f + b 
2 
1 = 2b 
=75 
' 
=? (I = 6 m, b = 3 m) 
dABC é isósceles 
de base BC 
CD é bissetriz de ê ~ CD == BE 
Resposta: Os lados do triângulo medem 3 m, 6 m e 6 m. BE é bissetriz de ã 
9S. dABC == dDEC => IÂfi = Ô = Ê => 13a = 2a + 100 {3 + 480 = 5{3 => (a