teoria da elasticidade

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Capítulo – III INTRODUÇÃO A TEORIA DA ELASTICIDADE
3. 1 – Introdução
Neste capítulo nós discutiremos a teoria clássica da elasticidade como uma generalização dos métodos matemáticos dos capítulos anteriores para o contínuo
3. 2 – Introdução a Elasticidade Linear
A teoria da elasticidade linear se desenvolveu no âmbito da Física Clássica, antes da teoria atômica de Dalton, ou melhor, antes de se conhecer a estrutura íntima da matéria e a natureza das ligações químicas entre os átomos ou moléculas de um sólido. Com isso, um corpo sólido foi estudado seguindo o “princípio de causa e efeito” (ou estímulo e resposta) usando-se a mecânica newtoniana e considerando-o como um meio contínuo. Desta forma, a Lei de Hooke foi estabelecida pela observação experimental (empírica) onde observou-se que a deformação sofrida (efeito ou resposta) por um corpo é proporcional a forca aplicada por unidade de área (causa ou estímulo).
Figura – 3. 1. Estudo de causa (força) e efeito (deformação) aplicado sobre um sólido contínuo.
3. 3 – Fundamentos da Teoria da Elasticidade
A teoria da elasticidade estuda o comportamento mecânico de um material em relação a solicitação de carga ou força externa, sob o ponto de vista da deformação elástica reversível,  até o limiar da fluência ou ruptura. Esta teoria possui seu suporte fundamental na lei de Hooke.
2.6.1 – Densidade de Energia de Deformação
2.6.2 – Materiais Elásticos Lineares
O assunto da elasticidade trata do comportamento daquelas substâncias que tem a propriedade de restaurar seu tamanho e forma quando as forças que produzem a deformação são removidas. Nós encontramos esta propriedade elástica de alguma forma em todos os corpos sólidos.
Quando nós empurramos uma peça de um material, esta “cede’- o material é deformado. Se a força é pequena o bastante, os deslocamentos relativos dos vários pontos do material são proporcionais à força – nós dizemos que o comportamento é elástico.
Suponhamos que nos tomamos um bloco retangular de material de comprimento, l,  largura, w, e de altura, h, conforme mostra a
Figura – 3. 2. A elongação de uma barra sob uma tensão uniforme.
Se nós puxamos nas extremidades com uma força, F, então o comprimento aumenta de uma quantidade Dl. Nós suporemos em todos os casos que a variação no comprimento é uma pequena fração do comprimento original. Como é de fato, para materiais como a madeira, e aço, o material quebrará se a variação no comprimento é mais do que alguns por cento do comprimento original. Para um grande número de materiais, os experimentos mostram que para extensões suficientemente pequenas a força é proporcional a extensão.
	F ~  Dl,
	(3. 1)
Esta relação é conhecida como Lei de Hooke. A elongação Dl da barra dependerá também de seu comprimento. Nós podemos representar isto com o seguinte argumento.
Se cementarmos dois blocos um ao outro, extremidade a extremidade, as mesmas forças atuarão em cada bloco, cada um distenderá Dl. Então a elongação de um bloco de comprimento, 2l, será duas vezes maior do que o de um bloco de mesma secção transversal, mas com comprimento, l. De forma a obter um número mais característico do material, e menos de qualquer forma particular, nós escolhemos tratar com a razão Dl/l da extensão do comprimento original. Esta razão é proporcional à força mas independente de l.
	F ~  Dl/l,
	(3. 2)
Se expressarmos a depend6encia de F(Dl) em série de Taylor teremos:
	F (Dl) = F(Dl = 0) + (¶F/¶D)¶Dl + (¶2F/¶Dl2)¶Dl2 ,
	(3. 3)
Como os Dl são muito pequenos os termos de ordem superior (Dl2, Dl3, etc) são desprezíveis portanto ficamos apenas com.
	F (Dl) = (¶F/¶Dl)Dl ,
	(3. 4)
Este primeiro termo é nulo porque na ausência de deformação não há forcas aplicadas. Portanto chamando de k = ¶F/¶Dl temos:
	F (Dl) = kDl ,
	(3. 5)
A força F também dependerá da área do bloco. Suponhamos que nós pomos dois blocos lado a lado. Então para uma dada elongação Dl nós termos a força F em cada um dos blocos, ou duas vezes a mais a combinação dos dois blocos. A força, para uma dada quantidade de elongação, deve ser proporcional a área A da secção transversal do bloco.
	F ~ ADl/l ,
	(3. 6)
Para obter a lei na qual o coeficiente de proporcionalidade é independente das dimensões do corpo, nós escrevemos a Lei de Hooke para um bloco retangular na forma:
	F = YADl/l ,
	(3. 7)
Como conseqüência direta da lei de Hooke nós temos que a densidade volumétrica de forças, f, é uma constante, independente da deformação, Dl, dada por:
	f = dF/dV = Y/l ,
	(3. 8)
A constante Y é uma propriedade que depende exclusivamente da natureza do material , e é conhecida cpmo “Modulus de Young”.
A força por unidade de área é chamada de tensão (stress), e a elongação por unidade de comprimento é chamada de deformação (strain). A equação pode portanto ser reescrita da seguinte forma:
	F/A = YDl/l ,
	(3. 9)
Ou
	tensão = Modulus de Young x deformação ,
	(3. 10)
Ou ainda
	s = Ye ,
	(3. 11)
Existe uma outra parte da Lei de Hooke …
2.6.3 – Energia de Deformação na Elasticidade
A densidade de energia de deformação, W = W(ekl),  é uma função potencial das deformações definida como:
	,
	(3. 12)
Cuja convexidade e condição de estabilidade é dada por:
	,
	(3. 13)
Usando (3. 12) temos:
	,
	(3. 14)
Onde
	,
	(3. 15)
Logo
	,
	(3. 16)
A partir da regra de Schwartz temos que:
	,
	(3. 17)
Portanto
	,
	(3. 18)
Desta forma o Jacobiano fica:
	,
	(3. 19)
Logo
	,
	(3. 20)
2.6.3 – Equação Constitutiva dos Materiais Elásticos Lineares
Considerando o caso de materiais elásticos lineares a densidade de energia de deformação pode ser expandida em série de Taylor da seguinte forma:
	,
	(3. 21)
Considerando que o primeiro termo da expansão acima se anula por ser uma posição de equilíbrio, nível zero da densidade de energia potencial, temos:
	,
	(3. 22)
Esta é a Lei de Hooke na sua forma generalizada, onde:
	,
	(3. 23)
Esta equação matricial dá origem a uma matriz Cijkl de 9 linha e 9 colunas em um total de 81 elementos na matriz. Porém por simetria temos que:
	,
	(3. 24)
Logo reduzimos os elementos para o número de 21, os quais escritos de forma explicita temos;
	,
	(3. 25)
Definindo o módulo de cisalhamento, G, como sendo dado por:
	,
	(3. 26)
	,
	(3. 27)
	,
	(3. 28)
logo
	,
	(3. 29)
e o módulo de Poisson para i ¹ j ,como
	,
	(3. 30)
As equações de tensões podem ser escritas em termos do módulo elástico, E, como:
	,
	(3. 31)
	,
	(3. 32)
	,
	(3. 33)
A matiz anterior pode ser escrita como:
	,
	(3. 34)
Logo as equações de deformação ficam:
	,
	(3. 35)
	,
	(3. 36)
	,
	(3. 37)
Sabendo que:
	,
	(3. 38)
De uma forma geral, isto é, para um material isotrópico as equações de tensão podem escritas como:
	,
	(3. 39)
Onde m º G : é o módulo de cisalhamento
Combinando as equações (3. 22) e (3. 23) temos:
	,
	(3. 40)
Substituindo a equação (3. 39) em (3. 40) temos:
	,
	(3. 41)
2.6.3 – Complementaridade da Densidade da Energia de Deformação
A existência de uma única inversa da relação constitutiva (3. 18)
	,
	(3. 42)
Assegura a existência  da complementaridade da densidade de energia de deformação, W* = W*(sij), definida por transformada de Legendre como:
	,
	(3. 43)
A partir da regra da cadeia derivando a equação (3. 43) temos:
	,
	(3. 44)
Substituindo a equação (3. 23), para  temos:
	,
	(3. 45)
Portanto
	,
	(3. 46)
É direta mostra que a convexidade de W* segue da convexidade de W.
Para um material frágil elástico linear a combinação de () com () fornece:
	,
	(3. 47)
Pode-se escrever para este caso que:
	,
	(3. 48)
Onde o tensor C*ijkl é o inverso do tensor Cijkl e da mesma forma:
	,
	(3. 49)
Segue de () e () que:
	,
	(3. 50)
Para um material isotrópico a equação ( ) se reduz a
	,
	(3. 51)
e W* torna-se:
	,
	(3. 52)
Se umalei de potência entre tensão e deformação existe, de tal forma que a deformação é uma função homogênea de grau n da tensão, então a equação ( ) implica que W* deve ser uma função homogênea das componentes da tensão de grau n+1. Isto segue do teorema de Euler para funções homogêneas, portanto:
	,
	(3. 53)
Combinado () com () temos:
	,
	(3. 54)
Qando a tensào é proporcional a deformação (n = 1) então as equações ( ) e ( ) tornam-se idênticas a equação ( ).
2.6.4 – Equação da
3. 4 – A Visão do Contínuo para a Lei de Hooke.
Desenvolveremos a segunda parte da Lei de Hooke considerando inicialmente a ação de um corpo sólido elástico isotrópico que se deforma de acordo com essa lei, a qual pode ser escrita, na sua forma generalizada, para um corpo isotrópico da seguinte forma:
Considere um corpo em sua forma primitiva, não deformada, como mostrado pela linha cheia na Figura – 3. 3. O corpo em sua geometria deformada está mostrado pela linha interrompida.
Figura – 3. 3. Corpo deformado mostrando o ponto a deslocado após a deformação local s.
Um elemento a desloca-se para a posição a’, da distância . Usando componentes paralelas a uma referência convenientes x, y, z temos .
	.
	(3. 55)
Onde , para dada deformação são funções das coordenadas de posição primitiva x, y, z dos elementos do corpo. Podemos então definir deformações normais da seguinte maneira:
	,
	(3. 56)
	,
	(3. 57)
	.
	(3. 58)
Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões e deformações normais estão relacionadas com pequenas deformações pela Lei de Hooke da seguinte maneira:
	,
	(3. 59)
	,
	(3. 60)
	.
	(3. 61)
Onde E é o módulo elástico de Young e v é o coeficiente de Poisson. Recordamos que o módulo de cisalhamento, G, é relacionado com E e v, pela seguinte relação
	.
	(3. 62)
Para chegar a lei de deformação de Hooke, obtemos as tensões normais em termos dos deslocamentos. Para fazê-lo, somamos as equações (3. 59) a (3. 61) e coletamos os termos da seguinte forma:
	.
	(3. 63)
Observando as definições de (3. 55) a (3. 58) pode-se verificar que o primeiro membro da equação (3. 63) é o divergente de S, ou Ñ.S, logo reordenando (3. 63), obtemos:
	.
	(3. 64)
Resolvendo a equação (3. 59) para sxx, temos:
	,
	(3. 65)
Somando e subtraindo vsxx no segundo membro da equação acima e substituindo exx por ¶x/¶x, obtemos:
	,
	(3. 66)
Empregando a equação (3. 64) para substituir a soma das tensões normais, podemos reordenar a equação acima da seguinte forma:
	,
	(3. 67)
Dividindo por (1 + v) e observando a equação (3. 64) junto com a definição de , dada por:
	.
	(3. 68)
A partir de (3. 64) temos que:
	,
	(3. 69)
Logo podemos escrever a equação (3. 67) na forma:
	,
	(3. 70)
Onde os últimos termos são adicionais, cuja soma é zero. Logo, pondo em evidência os termos semelhantes
	,
	(3. 71)
e combinado os coeficientes do termo Ñ.S, obtemos:
	,
	(3. 72)
Ou
	,
	(3. 73)
Substituído agora por 2G, dado de acordo com (3. 62), obtemos:
	,
	(3. 74)
Coletando os termos e exprimindo as equações correspondentes para outros componentes de tensão, obtemos as relações desejadas de tensão-deslocamento, ou seja:
	,
	(3. 75)
e
	,
	(3. 76)
e
	,
	(3. 77)
2.6.5 – Problemas de Valor de Contorno
3. 5 – O Campo Elástico Linear
Nesta secção nós discutiremos a teoria clássica da elasticidade como uma generalização dos métodos matemáticos dos capítulos anteriores para o contínuo.
3.5.1 – Equações Básicas da Elasticidade para o Corpo Homogêneo e Isotrópico
Um corpo elástico tem um único estado natural, para o qual o corpo retorna quando todas as cargas externas são removidas. Todas as tensões, deformações e deslocamentos de partículas são medidas a partir deste estado natural; seus valores são contados como zero naquele estado.
Existem duas formas de descrever um corpo deformado: A abordagem material e a espacial. Considere a descrição espacial. O movimento de um contínuo é descrito pelo campo de velocidades instantâneas . Para descrever a deformação no corpo, um campo de deslocamento  é especificado o qual descreve o deslocamento de uma partícula localizada em  no tempo t a partir de sua posição no estado natural. Várias medidas de deformação podem ser definidas para o campo de deslocamento. O tensor de deformação de Almansi é expressa em termos de de acordo com a equação ( ):
	,
	(3. 78)
O deslocamento  da partícula são funções do tempo e da posição. A velocidade da partícula é dada pela derivada material do deslocamento.
	,
	(3. 79)
A aceleração da partícula é dada pela derivada material da velocidade.
	,
	(3. 80)
O movimento do corpo deve obedecer a equação da continuidade ( ).
	,
	(3. 81)
e a equação de movimento ( )
	,
	(3. 82)
Em acréscimo a equações de campo ( ) e ( ) a teoria da elasticidade linear é baseada na lei de Hooke. Para um material isotrópico homogêneo, isto é ( ):
	,
	(3. 83)
onde l e G são constantes independentes das coordenadas espaciais.
Os famosos termos não-lineares em ( ), ( ) e ( ) são fontes de maior dificuldade na teoria da elasticidade. Para se fazer algum progresso nós estamos forçados a linearizar pela consideração de pequenas velocidades, i. e. pela restrição a valores de ,  tão pequenos que os termos não-lineares em ( )-( ) podem ser desprezados. Em uma tal teoria linearizada, nós temos:
	,
	(3. 84)
e
	,
	(3. 85)
A menos que se estabeleça de outra forma, tudo o que for discutido abaixo será sujeito a esta restrição de linearização. Felizmente muitos resultados úteis podem ser obtidos a partir desta teoria linearizada.
As equações ( )-( ) ou ( )-( ) juntos são as 22 equações para 22 variáveis , , , , . Na teoria do deslocamento infinitesimal nós podemos eliminar  pela substituição da equação ( ) em ( ) e usando ( ) para obter a bem conhecida equação de Navier.
	,
	(3. 86)
Isto pode ser escrito na forma:
	,
	(3. 87)
onde
	,
	(3. 88)
e
	,
	(3. 89)
A quantidade e é a divergência do vetor deslocamento . é o operador laplaciano. Se nós escrevermos ao invés de  nós temos:
	,
	(3. 90)
e
	,
	(3. 91)
Love escreveu a equação ( ) na forma:
	,
	(3. 92)
a qual é a forma mais curta para as três equações do tipo:
	,
	(3. 93)
Isto também pode ser escrito como:
	,
	(3. 94)
Se nós introduzirmos o vetor rotação
	,
	(3. 95)
	,
	(3. 96)
e o uso da identidade:
	,
	(3. 97)
então ( ) pode ser escrito como:
	,
	(3. 98)
3.5.2 – Equilíbrio de um corpo elástico sob uma força de corpo
Considere as condições de equilíbrio estático. Se as forças de corpo são nulas, , então tomando-se a divergência da equação Eq. ( ) nós temos:
	,
	(3. 99)
ou
	,
	(3. 100)
logo isto é:
	,
	(3. 101)
a equação ( ) é uma equação de Laplace. Uma função que satisfaz a equação ( ) é  chamada de função harmônica. Então, a dilatação é uma função harmônica quando as forças de corpo desaparecem. Mas
	,
	(3. 102)
onde  é a tensão média. Portanto, a tensão média é também uma função harmônica:
	,
	(3. 103)
Se nós pormos , , e operar sobre a equação ( ) com o Laplaciano , nós temos:
	,
	(3. 104)
Com a equação ( ), isto implica que:
	,
	(3. 105)
onde, em coordenadas cartesianas retangulares
	,
	(3. 106)
A equação ( ) é chamada de equação biharmônica, e sua solução é chamada de função biharmônica. Portanto, a componente u do deslocamento é biharmônica. De forma semelhante, os campo  são biharmônicos. Segue-se que quando a força de corpo é zero, cada componente das deformações e cada componente das tensões sendo combinações lineares das primeiras derivadas de , são todas funções biharmônicas.
	,
	(3. 107)
e
	,
	(3. 108)
3.5.3 – Problemas Bidimensionais na Elasticidade
A aplicação das funções de tensão de Airy reduz os problemas elastostáticos em problemas de tensão plana e deformação plana para problemas de valorde contorno de uma equação biharmônica. Um método geral de solução usando a teoria das funções de uma variável complexa é disponível. Nós discutiremos este método brevemente e ilustramos sua utilidade na solução de alguns problemas importantes.
Em todo este capítulo  representa uma série de coordenadas Cartesianas retangulares, com relação as quais as componentes dos deslocamentos são escritas como , e as componentes da deformação são , etc e as componentes das tensões são , etc. Nós usaremos o fator  em nossas definições das componentes das deformações:
	,
	(3. 109)
quando as coordenadas curvilíneas são usadas nós reteremos as notações do Capítulo IV, no qual e  denotam as componentes do tensor deslocamento e do tensor deformação, respectivamente; enquanto que , denotam as componentes físicas destes tensores.
3.5.4 – Estado Plano de Tensão ou Deformação
Se as componentes da tensão  são nulas em todo lugar.
	,
	(3. 110)
O estado de tensão é dito ser tensão plana paralelo ao plano . Neste caso,
	,
	(3. 111)
	,
	(3. 112)
	,
	(3. 113)
e
	,
	(3. 111)
	,
	(3. 111)
	,
	(3. 111)
	,
	(3. 111)
Substituindo a equação ( ) na equação de equilíbrio,
	,
	(3. 82)
Nós obtemos as equações básicas para a tensão plana.
	,
	(3. 86)
	,
	(3. 86)
Se a componente z do deslocamento w desaparece em todo lugar, e se os deslocamentos u e v são funções de x,y somente, e não de z, o campo é dito estar em deformação plana paralela ao plano x,y. Na deformação plana nós devemos ter:
	,
	(3. 86)
Uma vez que .
A equação básica
	,
	(3. 87)
torna-se na deformação plana:
	,
	(3. 86)
	,
	(3. 86)
Se v é substituído por  na equação ( ), então ela assume a forma ( ). Portanto, qualquer problema de um estado plano de deformação pode ser resolvido como um problema de estado plano de tensão após a substituição do valor verdadeiro de v pelo seu “valor aparente” . Inversamente, qualquer problema de tensão plana pode ser resolvido como um problema de deformação plana substituindo o valor verdadeiro de v por um valor aparente .
Estas substituições referem-se somente à equações de campo ( ) e ( ). As condições de contorno, a relação tensão-deformação, e o módulo de cisalhamento G não deve ser mudado.
O estado de deformação em um longo corpo cilíndrico atuado por cargas que são normais ao eixo do cilindro e uniforme na direção axial freqüentemente pode ser aproximado por um estado plano de deformação. Uma deformação axial  constante pode ser imposta sobre um estado de deformação plana sem qualquer variação nas tensões no plano-x,y. Portanto, uma extensão mínima da definição da deformação plana pode ser formulada requerendo que  seja uma constante e que u e v sejam funções de x,y somente, e que w seja uma função linear de z somente.
3.5.5 – Função de Tensão de Airy para Problemas Bi-Dimensionais
Para problemas de tensão ou deformação plana, nós podemos tentar achar sistemas de tensão gerais que satisfazem as equações de equilíbrio e as equações de compatibilidade e então determinar a solução para um problema particular pelas condições de contorno.
Seja x,y uma série de coordenadas Cartesianas retangulares. Para problemas de tensão e deformação plana no plano-x,y as equações de equilíbrio.
	,
	(3. 82)
são explicitamente escritas como:
	,
	(3. 82)
	,
	(3. 82)
com as condições de contorno
	,
	(3. 82)
	,
	(3. 82)
onde são os cossenos diretores do vetor normal externo à curva do contorno e , são as trações superficiais que atuam sobre a superfície do contorno.
As componentes da deformação são:
a) No caso de tensão plana
	,
	(3. 111)
	,
	(3. 112)
b) No caso de deformação plana
	,
	(3. 111)
	,
	(3. 112)
Na visão do que foi discutido na secção precedente, para muitas placas finas nós podemos supor  serem independente de z. Então o problema da tensão plana torna-se verdadeiramente bidimensional, bem como o problema da deformação plana.
As equações das condições de compatibilidade são como segue:
	,
	(3. 112)
	,
	(3. 112)
	,
	(3. 112)
e
	,
	(3. 112)
	,
	(3. 112)
	,
	(3. 112)
i) A substituição de ( ) na primeira equação de ( ), nós obtemos, no caso de tensão plana,
	,
	(3. 112)
Derivando ( ) em relação a x e ( ) em relação a y e somando, nós obtemos:
	,
	(3. 112)
Eliminando  entre ( ) e ( ), nós obtemos:
	,
	(3. 112)
ii) A substituição de ( ) na primeira equação de ( ), nós obtemos, no caso de tensão plana,
	,
	(3. 112)
Derivando ( ) em relação a x e ( ) em relação a y e somando, nós obtemos:
	,
	(3. 112)
Eliminando  entre ( ) e ( ), nós obtemos:
	,
	(3. 112)
As equações ( ) , ( ), ( ) e ( ) ou ( ) definem os problemas planos em termos das componentes das tensões . Se as condições de contorno de um problema são tais que as superfícies de tração são bem conhecidas, então o problema pode ser resolvido em termos das tensões, sem necessidade de mencionar os deslocamentos a menos que eles sejam desejados. Mesmo em um problema de valor de contorno misto no qual parte do contorno possui deslocamentos prescritos, ele ainda pode ser vantajoso resolver para o primeiro estado de tensão. Estas considerações práticas levam-nos ao método das funções de tensão de Airy.
O método de Airy é baseado na observação de que o lado esquerdo das equações ( ) e ( ) aparecem como a divergência de um vetor. Na hidrodinâmica nós estamos familiarizados com o fato de que a conservação da massa, se expressa na equação da continuidade.
	,
	(3. 112)
onde u, v são as componentes do vetor velocidade, pode ser derivadas a partir de uma função corrente ,onde:
	,
	(3. 112)
Em outras palavras, se u, v são derivadas de uma função arbitrária  de acordo com ( ), então a equação ( ) é identicamente satisfeita.
Vamos usar a mesma técnica para a equação ( ) e ( ). Estas equações podem ser postas na forma de (11) se nós supormos que as forças de corpo podem ser derivadas de um potencial V, tal que:
	,
	(3. 112)
A substituição de ( ) em ( ) e ( ) resultam em
	,
	(3. 82)
	,
	(3. 82)
Agora, como em ( ), estas equações são identicamente satisfeitas se nós introduzimos duas funções de corrente de tal forma que:
	,
	(3. 82)
	,
	(3. 82)
3. 6 – Referências Bibliográficas
DOS SANTOS, Sergio Francisco; Aplicação do conceito de fractais para análise do processo de fratura de materiais cerâmicos, Dissertação de Mestrado, Universidade Federal de São Carlos. Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Ciência e Engenharia de Materiais, São Carlos,  1999.
MARDER, Michael and Jay Fineberg, “How things break”, Physics Today, p. 24-29, September 1996.