Processos estocásticos de Lévy e distribuições estáveis

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Introdução à Econofísica
Aula 7
Processos estocásticos de Lévy e teoremas limite. Distribuições es-
táveis
Consideremos uma distribuição lorentziana:
p (x) = N 1
γ2 + x2
,
onde N é uma constante de normalização e γ é uma constante real positiva.
Calculemos N : ˆ +∞
−∞
dxN 1
γ2 + x2
= 1,
ou seja,
N = 1´ +∞
−∞ dx
1
γ2+x2
.
A integral no denominador pode ser escrita se simplificarmos seu integrando:
1
γ2 + x2
=
1
(x+ iγ) (x− iγ)
=
1
2iγ (x− iγ) −
1
2iγ (x+ iγ)
.
Podemos utilizar o seguinte truque:ˆ +∞
−∞
dx
γ2 + x2
= lim
ε→o+
ˆ +∞
−∞
dx
exp (iεx)
γ2 + x2
= lim
ε→o+
ˆ +∞
−∞
dx
[
exp (iεx)
2iγ (x− iγ) −
exp (iεx)
2iγ (x+ iγ)
]
= lim
ε→o+
ˆ +∞
−∞
dx
exp (iεx)
2iγ (x− iγ) − limε→o+
ˆ +∞
−∞
dx
exp (iεx)
2iγ (x+ iγ)
.
Consideremos o contorno no plano complexo da figura abaixo:
1
É fácil provar que vale o limite:
lim
R→∞
˛
C
dz
exp (iεz)
(z − iγ) =
ˆ +∞
−∞
dx
exp (iεx)
(x− iγ) , para ε, γ > 0.
Usando o teorema dos resíduos, vem:˛
C
dz
exp (iεz)
(z − iγ) = 2pii exp (−εγ) .
Logo, ˆ +∞
−∞
dx
exp (iεx)
(x− iγ) = limR→∞
˛
C
dz
exp (iεz)
(z − iγ)
= lim
R→∞
[2pii exp (−εγ)]
= 2pii exp (−εγ)
e, portanto, ˆ +∞
−∞
dx
(x− iγ) = limε→o+
ˆ +∞
−∞
dx
exp (iεx)
(x− iγ)
= lim
ε→o+
[2pii exp (−εγ)]
= 2pii.
2
Também temos (um bom exercício):
ˆ +∞
−∞
dx
(x+ iγ)
= 0.
Consequentemente,ˆ +∞
−∞
dx
1
γ2 + x2
=
ˆ +∞
−∞
dx
1
2iγ (x− iγ) −
ˆ +∞
−∞
dx
1
2iγ (x+ iγ)
=
2pii
2iγ
− 0
2iγ
=
pi
γ
e
N = 1´ +∞
−∞ dx
1
γ2+x2
=
γ
pi
.
A densidade de probabilidade que vamos considerar, normalizada, fica:
p (x) =
γ
pi
1
γ2 + x2
. (1)
Sigamos agora um procedimento análogo ao da aula passada: consideremos a
variável
X = x1 + x2
e calculemos a densidade de probabilidade para X, quando x1 e x2 são variáveis
estocásticas independentes, identicamente distribuídas segundo a Eq. (1). Assim,
P (X) =
ˆ +∞
−∞
dx1
ˆ +∞
−∞
dx2 p (x1) p (x2) δ (X − x1 − x2) .
É mais simples considerarmos a transformada de Fourier de P (X), também
3
chamada de função característica da densidade de probabilidade P (X):
Φ (q) =
ˆ +∞
−∞
dX P (X) exp (iqX)
=
ˆ +∞
−∞
dX
[ˆ +∞
−∞
dx1
ˆ +∞
−∞
dx2 p (x1) p (x2) δ (X − x1 − x2)
]
exp (iqX)
=
ˆ +∞
−∞
dx1
ˆ +∞
−∞
dx2 p (x1) p (x2)
ˆ +∞
−∞
dX exp (iqX) δ (X − x1 − x2)
=
ˆ +∞
−∞
dx1
ˆ +∞
−∞
dx2 p (x1) p (x2) exp [iq (x1 + x2)]
=
[ˆ +∞
−∞
dx1 p (x1) exp (iqx1)
] [ˆ +∞
−∞
dx2 p (x2) exp (iqx2)
]
=
[ˆ +∞
−∞
dx p (x) exp (iqx)
]2
.
Calculemos a transformada de Fourier, ou a função característica, da lorentziana
da Eq. (1):
ϕ (q) =
ˆ +∞
−∞
dx p (x) exp (iqx)
=
γ
pi
ˆ +∞
−∞
dx
exp (iqx)
γ2 + x2
.
Aqui, devemos considerar dois casos: q > 0 e q < 0. No primeiro caso, temos:ˆ +∞
−∞
dx
exp (iqx)
γ2 + x2
=
ˆ +∞
−∞
dx
exp (iqx)
2iγ (x− iγ) −
ˆ +∞
−∞
dx
exp (iqx)
2iγ (x+ iγ)
=
pi exp (−qγ)
γ
.
No segundo caso: ˆ +∞
−∞
dx
exp (iqx)
γ2 + x2
=
pi exp (qγ)
γ
.
Em todo caso, portanto,
ϕ (q) =
ˆ +∞
−∞
dx p (x) exp (iqx)
= exp (γ |q|) .
Logo,
Φ (q) = [ϕ (q)]2
= exp (−2γ |q|) .
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Para obtermos a distribuição da variável X, basta calcularmos a transformada
de Fourier inversa:
P (X) =
1
2pi
ˆ +∞
−∞
dqΦ (q) exp (−iqX)
=
1
2pi
ˆ +∞
−∞
dq exp (−2γ |q| − iqX)
=
1
2pi
ˆ 0
−∞
dq exp (2γq − iqX)
+
1
2pi
ˆ +∞
0
dq exp (−2γq − iqX)
=
1
2pi
(
1
2γ − iX +
1
2γ + iX
)
=
1
2pi
2γ + iX + 2γ − iX
(2γ − iX) (2γ + iX)
=
2γ
pi
1
(2γ)2 +X2
.
Logo, a densidade de probabilidade para a variável X é também lorentziana, com
apenas uma mudança de escala:
γ → 2γ.
Dizemos, nesse caso, que a densidade de probabilidade lorentziana é uma dis-
tribuição estável, pois sua convolução resulta em na mesma distribuição, com
uma mudança de escala apenas.
A distribuição gaussiana também é estável. Para verificarmos isso, tomemos:
p (x) =
1√
2piσ2
exp
[
− x
2
2σ2
]
e consideremos a distribuição da variável
X = x1 + x2.
A função característica correspondente é dada por:
Φ (q) = [ϕ (q)]2
=
[ˆ +∞
−∞
dx p (x) exp (iqx)
]2
.
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Mas,
ϕ (q) =
ˆ +∞
−∞
dx p (x) exp (iqx)
=
1√
2piσ2
ˆ +∞
−∞
dx exp
[
− x
2
2σ2
+ iqx
]
=
1√
2piσ2
ˆ +∞
−∞
dx exp
[
− 1
2σ2
(
x2 − 2iσ2qx)]
=
exp
[−12σ2q2]√
2piσ2
ˆ +∞
−∞
dx exp
[
− 1
2σ2
(
x− iσ2q)2]
=
exp
(−12σ2q2)√
2piσ2
√
2piσ2
= exp
(
−1
2
σ2q2
)
e, portanto,
Φ (q) = [ϕ (q)]2
= exp
(−σ2q2) .
Tomando a transformada de Fourier inversa, obtemos a densidade de probabili-
dade para a variável X:
P (X) =
1
2pi
ˆ +∞
−∞
dqΦ (q) exp (−iqX)
=
1
2pi
ˆ +∞
−∞
dq exp
(−σ2q2 − iqX)
=
1
2pi
ˆ +∞
−∞
dq exp
[
−σ2
(
q2 − iq
σ2
X
)]
=
exp
[
σ2
(
iX
2σ2
)2]
2pi
ˆ +∞
−∞
dq exp
[
−σ2
(
q − iX
2σ2
)2]
=
exp
(
−X24σ2
)
2pi
√
pi
σ2
=
1√
4piσ2
exp
(
−X
2
4σ2
)
,
que também é uma gaussiana, porém com uma escala diferente:
σ2 → 2σ2.
6
Logo, a distribuição gaussiana também é estável.
Depois de estudar esses dois exemplos, podemos perguntar: quais são as dis-
tribuições estáveis? Existem outras? As respostas a essas questões foram dadas
por Paul Pierre Lévy (há fotos) e Aleksandr Khinchin nas décadas de 1920 e
1930. Segundo o livro-texto adotado neste curso, eles encontraram que a forma
mais geral de uma função característica de um processo estável é dada por:
ln [ϕ (q)] =
iµq − γ |q|
α
[
1− iβ q|q|tg
(
pi
2α
)]
se α 6= 1
iµq − γ |q|
[
1 + iβ q|q|
2
pi ln (|q|)
]
se α = 1
,
onde
0 < α 6 2,
γ é um fator de escala positivo, µ é um número real qualquer (valor esperado) e
β é um parâmetro de assimetria que varia no intervalo de −1 a 1. O livro-texto
afirma que só são conhecidas as formas analíticas das distribuições de Lévy com
os parâmetros:
• α = 1 e β = 1 (distribuição de Lévy-Smirnov);
• α = 1 e β = 0 (distribuição lorentziana);
• α = 2 (distribuição gaussiana).
O livro-texto então informa que, no caso simétrico, isto é, quando β = 0 e com
média zero, ou seja, µ = 0, a distribuição estável, para x muito grande, tem a
forma assintótica:
P (|x|) ∼ |x|−(1+α) .
Uma consequência importante desse resultado é que o valor esperado de
|x|n
diverge para
n > α
quando α < 2. Assim, em particular, todos os processos estáveis de Lévy com
α < 2 têm variâncias infinitas. Por exemplo, a distribuição lorentziana da Eq.
7
(1) dá uma variância infinita:
var (x) =
〈
x2
〉− 〈x〉2
=
γ
pi
ˆ +∞
−∞
dx
x2
γ2 + x2
−
[
γ
pi
ˆ +∞
−∞
dx
x
γ2 + x2
]2
=
γ
pi
ˆ +∞
−∞
dx
x2 + γ2 − γ2
γ2 + x2
− 0
=
γ
pi
ˆ +∞
−∞
dx
x2 + γ2
γ2 + x2
− γ
pi
ˆ +∞
−∞
dx
γ2
γ2 + x2
=
γ
pi
ˆ +∞
−∞
dx− γ2 →∞.
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