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Introdução à Econofísica Aula 19 Introdução ao cálculo estocástico e o lema de Ito Estudamos na aula 4 que a densidade de probabilidade para o movimento brow- niano é dada por: u (x, t) = 1√ 2piσ2t exp [ −(x− µt) 2 2σ2t ] . No limite em que t vai a zero por valores positivos, essa expressão tende à função delta de Dirac e descreve, portanto, a densidade de probabilidade de encontrar a partícula browniana entre x e x + dx no instante t > 0, tendo partido de x = 0 em t = 0. Para esta aula, tomemos µ = 0 e σ = 1. Assim, u (x, t) = 1√ 2pit exp [ −x 2 2t ] , (1) para qualquer x real, é a distribuição browniana padrão, ou a distribuição do processo de Wiener padrão. A Eq. (1) descreve a densidade de probabilidades para cada instante de tempo de uma variável estocástica que podemos denotar porW (t) (por causa deW iener). Podemos considerar agora a variável estocástica dada pelo incremento ∆W (t) = W (t+ ∆t)−W (t) . Como cada incremento é, por hipótese, independente de outro incremento e é distribuído normalmente, sua distribuição fica: P (z) = 1√ 2pi∆t exp ( − z 2 2∆t ) . Assim, o resultado só depende das variações z e ∆t, pois o movimento browniano é markoviano. Consideremos agora a distribuição normal da variável estocástica S: N (s) = 1√ 2pi exp [ −s 2 2 ] . Para manter a normalização igual à unidade, a distribuição da variável estocástica Z = S √ ∆t 1 é dada por P (z) dz = N ( z√ ∆t ) d ( z√ ∆t ) , ou seja, P (z) = 1√ ∆t N ( z√ ∆t ) . Logo, podemos escrever: ∆W (t) = S √ ∆t e, no limite infinitesimal, dW (t) = S √ dt. Porque S é distribuída normalmente, com média nula, seu valor esperado é zero. Sua variância é: var (S) = ˆ +∞ −∞ ds s2N (s) = 1. Logo, 〈dW (t)〉 = 0 (2) e var [dW (t)] = dt. (3) Calculemos: var { [dW (t)]2 } = (dt)2 var ( S2 ) = (dt)2 {ˆ +∞ −∞ ds s4N (s)− [var (S)]2 } = (dt)2 {ˆ +∞ −∞ ds s4N (s)− 1 } . Para completar esse cálculo, consideremos a integral:ˆ +∞ −∞ ds s4 exp [−αs2] = ∂2 ∂α2 ˆ +∞ −∞ ds exp [−αs2] = √ pi ∂2 ∂α2 α−1/2 = 3 √ pi 4α5/2 . 2 Tomando α = 1 2 , vem: ˆ +∞ −∞ ds s4 exp [ −s 2 2 ] = 25/2 3 √ pi 4 = 3 √ 2pi. Logo, var { [dW (t)]2 } = (3− 1) (dt)2 = 2 (dt)2 . Temos também: 〈dtdW (t)〉 = 0 e, usando a Eq. (3), var [dtdW (t)] = (dt)2 dt = (dt)3 . Com esses resultados, consideremos incrementos dtmuito pequenos e, portanto, desprezemos (dt)2 e ordens superiores. Podemos, então, dizer que, sendo assim, os termos [dW (t)]2 e dtdW (t) não são estocásticos, já que suas variâncias são desprezíveis. Consequentemente, as igualdades [dW (t)]2 = dt (4) e dtdW (t) = 0 (5) não apenas são satisfeitas em valor esperado, mas exatamente, já que não flutuam, pois suas variâncias são desprezíveis. A partir de agora, podemos descrever o movimento browniano como sendo dado por esta equação diferencial estocástica: dX (t) = µdt+ σdW (t) . (6) 3 O valor esperado dessa expressão dá: 〈dX (t)〉 = 〈µdt+ σdW (t)〉 = µ 〈dt〉+ σ 〈dW (t)〉 = µdt+ 0 = µdt, onde usamos a Eq. (2). Também é notório o cálculo seguinte: [dX (t)]2 = [µdt+ σdW (t)]2 = µ2 (dt)2 + 2µσdtdW (t) + σ2 [dW (t)]2 = 0 + 0 + σ2dt = σ2dt, (7) onde usamos as Eqs. (4) e (5) e tomamos o quadrado de dt como desprezível. Embora dX (t) seja uma variável estocástica, [dX (t)]2 é uma variável determinística. O lema de Ito Dada uma variável estocástica X (t) satisfazendo: dX (t) = a (X, t) dt+ b (X, t) dW (t) , (8) onde, por clareza, X = X (t) , então, para uma função não estocástica u (y, t), para y real, temos: du (X, t) = { ∂u ∂t + a (X, t) ∂u ∂X + 1 2 [b (X, t)]2 ∂2u ∂X2 } dt + b (X, t) ∂u ∂X dW (t) , onde u = u (X, t) . Prova: 4 Façamos uma expansão da função u (X + dX, t+ dt) em potências de dt, até segunda ordem em dW (t): u (X + dX, t+ dt) = u (X, t) + dt ∂u ∂t + dX ∂u ∂X + 1 2 (dX)2 ∂2u ∂X2 . Usando as Eqs. (7) e (8), obtemos: du (X, t) = u (X + dX, t+ dt)− u (X, t) = dt ∂u ∂t + [a (X, t) dt+ b (X, t) dW (t)] ∂u ∂X + 1 2 [b (X, t)]2 dt ∂2u ∂X2 , ou seja, du (X, t) = dt { ∂u ∂t + a (X, t) ∂u ∂X + 1 2 [b (X, t)]2 ∂2u ∂X2 } + b (X, t) ∂u ∂X dW (t) , quod erat demonstrandum.� Exemplo: movimento browniano geométrico: Y (t) = exp [X (t)] , com X (t) satisfazendo a Eq. (6). Usando o lema de Ito, obtemos: dY (t) = ( µ+ σ2 2 ) Y (t) dt+ σY (t) dW (t) . 5
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