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Introdução à Econofísica
Aula 11
Estacionalidade e correlação temporal em processos estocásticos
Consideremos, agora, processos estocásticos estacionários. Seja Sn a variável es-
tocástica obtida pela soma de n variáveis estocásticas,
Sn =
n∑
k=1
xk,
onde estamos indicando os instantes de tempo considerados através do índice da
variável:
x (tk) = xk.
Então, podemos escrever:
E
(
S2n
)
= E
 n∑
k=1
xk
n∑
l=1
xl

=
n∑
k=1
n∑
l=1
E (xkxl)
=
n∑
k=1
E
(
x2k
)
+
n∑
k=1
n∑
l=1
(1− δkl)E (xkxl) .
Como estamos supondo que o processo em consideração é estacionário, então, de
acordo com a aula passada,
E
(
x2k
)
= R (0)
e
E (xkxl) = R (tl − tk) .
Como
E (xkxl) = E (xlxk) ,
segue que
R (tl − tk) = R (tk − tl) .
Também suponhamos que os tempos são separados por um intervalo fixo:
tk+1 − tk = ∆t.
1
Assim,
tk − tl = (k − l) ∆t.
Podemos, portanto, escrever:
E
(
S2n
)
= nR (0) +
n∑
k=1
n∑
l=1
(1− δkl)R [(k − l) ∆t]
= nR (0) + 2
n−1∑
k=1
n∑
l=k+1
R [(l − k) ∆t]
= nR (0) + 2
n−1∑
k=1
n−k∑
s=1
R [s∆t]
= nR (0) + 2

n−1∑
s=1
R [s∆t] +
n−2∑
s=1
R [s∆t] + · · ·+
2∑
s=1
R [s∆t] +
1∑
s=1
R [s∆t]

= nR (0) + 2 {R [(n− 1) ∆t] + 2R [(n− 2) ∆t] + · · ·
+ (n− 2)R [2∆t] + (n− 1)R [∆t]}
= nR (0) + 2
n−1∑
k=1
(n− k)R [k∆t]
= nR (0) + 2
n∑
k=1
(n− k)R [k∆t] .
Para colocarmos essa igualdade na forma do livro-texto, usamos:
R (0) = E
(
x2i
)
, para qualquer i ∈ {1, 2, . . . , n} ,
e
R [k∆t] = E (xixi+k) , para qualquer i ∈ {1, 2, . . . , n} .
Assim,
E
(
S2n
)
= nE
(
x2i
)
+ 2
n∑
k=1
(n− k)E (xixi+k) .
Notemos que
n∑
k=1
(n− k)E (xixi+k) = (n− 1)E (xixi+1) + (n− 2)E (xixi+2)
+ · · ·+ 2E (xixi+n−2) + E (xixi+n−1)
= n
[(
1− 1
n
)
E (xixi+1) +
(
1− 2
n
)
E (xixi+2)
+ · · ·+ 2
n
E (xixi+n−2) +
1
n
E (xixi+n−1)
]
.
2
No limite em que n é muito grande, temos, aproximadamente,
n∑
k=1
(n− k)E (xixi+k) ≈ n [(1− 0)E (xixi+1) + (1− 0)E (xixi+2)
+ · · ·+ 0E (xixi+n−2) + 0E (xixi+n−1)]
≈ n
n∑
k=1
E (xixi+k) .
Quando
lim
n→∞
∣∣∣∣∣∣
n∑
k=1
E (xixi+k)
∣∣∣∣∣∣ < ∞,
isto é, o limite dessa soma é finito, dizemos que as variáveis estocásticas têm
correlação de curto alcance. Já quando
lim
n→∞
∣∣∣∣∣∣
n∑
k=1
E (xixi+k)
∣∣∣∣∣∣ = ∞,
dizemos que as variáveis estocásticas têm correlação de longo alcance.
No caso contínuo, ao invés de verificarmos a finitude da soma acima, utilizamos
a integral temporal da autocorrelação:
n∑
k=1
E (xixi+k) →
ˆ ∞
0
dτ R (τ) ,
quando
n → ∞.
No caso de uma partícula em movimento browniano, a autocorrelação é dada por
R (τ) = σ2 exp
−|τ |
τc
 .
A distribuição de frequências dessa função de autocorrelação é obtida pela sua
transformada de Fourier:
S (ω) =
ˆ +∞
−∞
dτ R (τ) exp (−iωτ)
=
ˆ +∞
−∞
dτ σ2 exp
−|τ |
τc
 exp (−iωτ)
=
ˆ +∞
−∞
dτ σ2 exp
−|τ |
τc
− iωτ

3
=
ˆ +∞
0
dτ σ2 exp
(
− τ
τc
− iωτ
)
+
ˆ 0
−∞
dτ σ2 exp
(
τ
τc
− iωτ
)
=
σ2
1
τc
+ iω
+
σ2
1
τc
− iω
=
σ2
(
1
τc
− iω + 1τc + iω
)
(
1
τc
+ iω
) (
1
τc
− iω
)
=
σ2
(
2
τc
)
(
1
τc
)2
+ ω2
=
2σ2τc
1 + (ωτc)
2 .
Para baixas frequências, temos o que se chama ruído branco. Para frequências
altas, temos o processo de Wiener, caracterizado por uma densidade espectral que
varia com o inverso do quadrado da frequência. O caso acima ilustra correlação
de curto alcance.
No caso de correlação de longo alcance, podemos escrever
S (ω) ∼ 1|ω|η ,
com
0 < η < 2.
Nesse caso, a integral da função de autocorrelação diverge. Um caso típico de
correlação de longo alcance, encontrada muitas vezes em circuitos eletrônicos, é o
do ruído 1/f; no caso acima, esse caso ocorre para
η = 1.
No caso de escalas de tempo maiores do que o tempo de correlação τc, para
processos com correlação de curto alcance, as densidades de probabilidades condi-
cionais são dadas por:
f (x1, x2, . . . , xn−1; t1, t2, . . . , tn−1|xn; tn) = f (xn−1; tn−1|xn; tn) .
Esse tipo de processo é chamado de markoviano; bastam as densidades de prob-
abilidade de primeira ordem e condicional de segunda ordem para ser completa-
mente determinado. Como exemplo, temos:
f (x1, x2, x3; t1, t2, t3) = f (x1; t1) f (x1; t1|x2; t2) f (x2; t2|x3; t3) .
4