Guidorizzi H. L.   Um curso de cálculo vol 4 (2002)

Guidorizzi H. L. Um curso de cálculo vol 4 (2002)

Disciplina:Cálculo Diferencial e Integral IV52 materiais361 seguidores
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UM C U R S O DE

CÁLCULO
Vol. 4

HAMILTON LUIZ GUIDORIZZI
Professor do Instituto de Matemática e Estatística

da Universidade de São Paulo

5- edição

LTC
EDITORA

No interesse de difusão da cultura e do conhecimento, o autor e os editores envidaram o
máximo esforço para localizar os detentores dos direitos autorais de qualquer material
utilizado, dispondo-se a possíveis acertos posteriores caso, inadvertidamente, a identificação
de algum deles tenha sido omitida.

1. ® edição: 1988-
2. ® edição: 1997
3. ® edição: 1999
5.® edição: 2002

Reimpressões: 1989 e 1994 (duas), 1995, 1996

Reimpressões: 2000 e 2001

Capa: Dan Palatnik

Direitos exclusivos para a língua portuguesa
Copyright © 1988, 1997, 1999 e 2002 by Hamilton Luiz Guidorizzi
LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
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Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação
ou reprodução deste volume, no todo ou em parte,
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distribuição na Web ou outros)
sem permissão expressa da Editora.

Aos meus queridos padrinhos Fina e Luiz

PREFACIO
Com este volume completa-se a coleção UM CURSO DE CÁLCULO. Nos Caps. de 1 a

8 são estudadas as seqüências numéricas, séries numéricas, seqüências de funções, séries
de funções e séries de potências. O Cap. 9 é uma pequena introdução ao estudo das séries de
Fourier. O restante do livro é uma introdução ao estudo das equações diferenciais ordinárias.

Nesta 5.“ edição, além de rever e reescrever parte do Cap. 10, foi incluído como apêndice
(Apêndice 3) o simples e “incrível” critério de Kummer para convergência e divergência de
séries de termos positivos; dele, como num passe de mágica, saem os critérios da razão, de
R aabe, de De Morgan etc. Gostaria de observar que, enquanto do critério de Kummer saem
alguns dos principais critérios para convergência e divergência de séries de termos positi­
vos, da identidade de Abel, seção 5.3, resultam os mais importantes critérios para conver­
gência de séries não absolutamente convergentes, conforme mostram os Exercícios 4 e 5 da
seção mencionada.

Escrever esses quatro volumes foi um prazer imenso. O retomo vindo de professores e
alunos tem sido maravilhoso. Para culminar, deste quarto volume surgiu a idéia para a mi­
nha tese de doutorado e, como conseqüência, para os artigos de pesquisa publicados (veja a
página 174 deste volume e referências bibliográficas mencionadas). Foi muito trabalho e,
para mim, tudo muito mágico. Valeu a pena!

Mais uma vez não poderia deixar de agradecer às colegas Zara Issa Abud, pela leitura
cuidadosa do manuscrito e pelas inúmeras sugestões e comentários que foram e continuam
sendo de grande valia, e Myriam Sertã, pela inestimável ajuda na elaboração do Manual do
Professor. Gostaria, também, de agradecer a todos os colegas e alunos que, com críticas e
sugestões, muito têm contribuído para o aprimoramento do texto. Finalmente, agradeço à
Editora LTC pelo excelente trabalho de editoração e de divulgação, bem como pela forma
cordial com que sempre me tem tratado.

Hamilton Luiz Guidorizzi

SUMARIO
Seqüências numéricas, 1

1.1 Seqüência e limite de seqüência, 1
1.2 Seqüências crescentes e seqüências decrescentes, 10

Séries numéricas, 16
2.1 Série numérica, 16
2.2 Critério de convergência para série alternada, 34
2.3 Uma condição necessária para que uma série seja convergente. Critério do

termo geral para divergência, 37

Critérios de convergência e divergência para série de termos
positivos, 40

3.1 Critério da integral, 40
3.2 Critérios de comparação e do limite, 44
3.3 Critério de comparação de razões, 57
3.4 Critérios da razão e da raiz, 62
3.5 Critério de Raabe, 69
3.6 Critério de De Morgan, 72

Séries absolutamente convergentes. Critério da razão para
séries de termos quaisquer, 76

4.1 Série absolutamente convergente e série condicionalmente
convergente, 76

4.2 Critério da razão para séries de termos quaisquer, 79
4.3 Reordenação de uma série, 83

Critérios de Cauchy e de Dirichiet, 86
5.1 Seqüências de Cauchy, 86
5.2 Critério de Cauchy para convergência de série, 91
5.3 Critério de Dirichlet, 92

Seqüências de funções, 97
6.1 Seqüência de funções. Convergência, 97
6.2 Convergência uniforme, 101
6.3 Continuidade, integrabilidade e derivabilidade de função dada como limite de

uma seqüência de funções, 107
6.4 Critério de Cauchy para convergência uniforme de uma seqüência de

funções, 110
6.5 Demonstrações de teoremas, 111

X Sumário

7 Série de funções, 114
7.1 Série de funções, 114
7.2 Critério de Cauchy para convergência uoiforme de uma série de

funções, 115
7.3 O critério M de Weierstrass para convergência uniforme de uma série de

funções, 115
7.4 Continuidade, integrabilidade e derivabilidade de função dada como soma de

uma série de funções, 121
7.5 Exemplo de função que é contínua em R, mas que não é derivável em

nenhum ponto de R, 125

8 Série de potências, 129
8.1 Série de potências, 129

Série de potências: raio de convergência, 130
Continuidade, integrabilidade e derivabilidade de função dada como soma de
uma série de potências, 136
Exercícios do capítulo, 143

8.2
8.3

8.4

Introdução às séries de Fourier, 149
9.1 Série de Fourier de uma função, 149

Uma condição suficiente para convergência uniforme de uma série de
Fourier, 156

Uma condição suficiente para que a série de Fourier de uma função convirja
uniformemente para a própria função, 159
Convergência de série de Fourier de função de classe por partes, 168

9.2

9.3

9.4

10 Equações diferenciais de 1 - ordem, 174
10.1 Equação diferencial de 1.® ordem, 174
10.2 Equações de variáveis separáveis. Soluções constantes, 176
10.3 Equações de variáveis separáveis: método prático para a determinação das

soluções não-constantes, 179
10.4 Equações lineares de l .“ ordem, 188
10.5 Equação de Bemoulli, 194
10.6 Equações do tipo y ' = f(y /x ), 197
10.7 Redução de uma equação autônoma de 2.“ ordem a uma equação de 1.®

ordem, 199
10.8 Equações diferenciais exatas, 207
10.9 Fator integrante, 217
10.10 Exemplos diversos, 225
10.11 Exercícios do capítulo, 241

11 Equações diferenciais lineares de ordem n, com coeficientes
constantes, 249
11.1 Equações diferenciais lineares de 1 ordem, com coeficientes constantes, 249
11.2 Equações diferenciais lineares, homogêneas, de 2.® ordem,*com coeficientes

constantes, 253
11.3 Equações direnciais lineares, com coeficientes constantes, de ordens 3 e 4, 264

Sumário XI

11.4 Equações diferenciais lineares, não-homogêneas, com coeficientes
constantes, 272

11.5 Determinação de solução particular pelo método da variação das constantes, 291
11.6 Determinação de solução particular através da transformada de Laplace, 294

12 Sistemas de duas e três equações diferenciais lineares de 1 -
ordem e com coeficientes constantes, 306
12.1 Sistema homogêneo de duas equações diferenciais lineares de l .“ ordem, com

coeficientes constantes, 306
12.2 Método prático: preliminares, 314
12.3 Método prático para resolução de um sistema homogêneo, com duas equações

diferenciais lineares de 1 ordem e com coeficientes constantes, 325
12.4 Sistemas com três equações diferenciais lineares de l .“ ordem, homogêneas

e com coeficientes constantes, 338
12.5 Sistemas não-homogêneos: determinação de solução particular pelo método

das variações das constantes, 359

13 Equações diferenciais lineares de 2- ordem, com coeficientes
variáveis, 369
13.1 Equações diferenciais lineares de 2.® ordem, com coeficientes variáveis e

homogêneas, 370
Wronskiano. Fórmula de Abel-Liouville, 374
Funções linearmente independentes e funções linearmente dependentes, 377
Solução geral