Guidorizzi H. L.   Um curso de cálculo vol 4 (2002)

Guidorizzi H. L. Um curso de cálculo vol 4 (2002)


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UM C U R S O DE
CÁLCULO
Vol. 4
HAMILTON LUIZ GUIDORIZZI
Professor do Instituto de Matemática e Estatística 
da Universidade de São Paulo
5- edição
LTC
EDITORA
No interesse de difusão da cultura e do conhecimento, o autor e os editores envidaram o 
máximo esforço para localizar os detentores dos direitos autorais de qualquer material 
utilizado, dispondo-se a possíveis acertos posteriores caso, inadvertidamente, a identificação 
de algum deles tenha sido omitida.
1. ® edição: 1988-
2. ® edição: 1997
3. ® edição: 1999 
5.® edição: 2002
Reimpressões: 1989 e 1994 (duas), 1995, 1996 
Reimpressões: 2000 e 2001
Capa: Dan Palatnik
Direitos exclusivos para a língua portuguesa
Copyright © 1988, 1997, 1999 e 2002 by Hamilton Luiz Guidorizzi
LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
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distribuição na Web ou outros) 
sem permissão expressa da Editora.
Aos meus queridos padrinhos Fina e Luiz
PREFACIO
Com este volume completa-se a coleção UM CURSO DE CÁLCULO. Nos Caps. de 1 a 
8 são estudadas as seqüências numéricas, séries numéricas, seqüências de funções, séries 
de funções e séries de potências. O Cap. 9 é uma pequena introdução ao estudo das séries de 
Fourier. O restante do livro é uma introdução ao estudo das equações diferenciais ordinárias.
Nesta 5.\u201c edição, além de rever e reescrever parte do Cap. 10, foi incluído como apêndice 
(Apêndice 3) o simples e \u201cincrível\u201d critério de Kummer para convergência e divergência de 
séries de termos positivos; dele, como num passe de mágica, saem os critérios da razão, de 
R aabe, de De Morgan etc. Gostaria de observar que, enquanto do critério de Kummer saem 
alguns dos principais critérios para convergência e divergência de séries de termos positi­
vos, da identidade de Abel, seção 5.3, resultam os mais importantes critérios para conver­
gência de séries não absolutamente convergentes, conforme mostram os Exercícios 4 e 5 da 
seção mencionada.
Escrever esses quatro volumes foi um prazer imenso. O retomo vindo de professores e 
alunos tem sido maravilhoso. Para culminar, deste quarto volume surgiu a idéia para a mi­
nha tese de doutorado e, como conseqüência, para os artigos de pesquisa publicados (veja a 
página 174 deste volume e referências bibliográficas mencionadas). Foi muito trabalho e, 
para mim, tudo muito mágico. Valeu a pena!
Mais uma vez não poderia deixar de agradecer às colegas Zara Issa Abud, pela leitura 
cuidadosa do manuscrito e pelas inúmeras sugestões e comentários que foram e continuam 
sendo de grande valia, e Myriam Sertã, pela inestimável ajuda na elaboração do Manual do 
Professor. Gostaria, também, de agradecer a todos os colegas e alunos que, com críticas e 
sugestões, muito têm contribuído para o aprimoramento do texto. Finalmente, agradeço à 
Editora LTC pelo excelente trabalho de editoração e de divulgação, bem como pela forma 
cordial com que sempre me tem tratado.
Hamilton Luiz Guidorizzi
SUMARIO
Seqüências numéricas, 1
1.1 Seqüência e limite de seqüência, 1
1.2 Seqüências crescentes e seqüências decrescentes, 10
Séries numéricas, 16
2.1 Série numérica, 16
2.2 Critério de convergência para série alternada, 34
2.3 Uma condição necessária para que uma série seja convergente. Critério do 
termo geral para divergência, 37
Critérios de convergência e divergência para série de termos 
positivos, 40
3.1 Critério da integral, 40
3.2 Critérios de comparação e do limite, 44
3.3 Critério de comparação de razões, 57
3.4 Critérios da razão e da raiz, 62
3.5 Critério de Raabe, 69
3.6 Critério de De Morgan, 72
Séries absolutamente convergentes. Critério da razão para 
séries de termos quaisquer, 76
4.1 Série absolutamente convergente e série condicionalmente 
convergente, 76
4.2 Critério da razão para séries de termos quaisquer, 79
4.3 Reordenação de uma série, 83
Critérios de Cauchy e de Dirichiet, 86
5.1 Seqüências de Cauchy, 86
5.2 Critério de Cauchy para convergência de série, 91
5.3 Critério de Dirichlet, 92
Seqüências de funções, 97
6.1 Seqüência de funções. Convergência, 97
6.2 Convergência uniforme, 101
6.3 Continuidade, integrabilidade e derivabilidade de função dada como limite de 
uma seqüência de funções, 107
6.4 Critério de Cauchy para convergência uniforme de uma seqüência de 
funções, 110
6.5 Demonstrações de teoremas, 111
X Sumário
7 Série de funções, 114
7.1 Série de funções, 114
7.2 Critério de Cauchy para convergência uoiforme de uma série de 
funções, 115
7.3 O critério M de Weierstrass para convergência uniforme de uma série de 
funções, 115
7.4 Continuidade, integrabilidade e derivabilidade de função dada como soma de 
uma série de funções, 121
7.5 Exemplo de função que é contínua em R, mas que não é derivável em 
nenhum ponto de R, 125
8 Série de potências, 129
8.1 Série de potências, 129
Série de potências: raio de convergência, 130
Continuidade, integrabilidade e derivabilidade de função dada como soma de 
uma série de potências, 136 
Exercícios do capítulo, 143
8.2
8.3
8.4
Introdução às séries de Fourier, 149
9.1 Série de Fourier de uma função, 149
Uma condição suficiente para convergência uniforme de uma série de 
Fourier, 156
Uma condição suficiente para que a série de Fourier de uma função convirja 
uniformemente para a própria função, 159
Convergência de série de Fourier de função de classe por partes, 168
9.2
9.3
9.4
10 Equações diferenciais de 1 - ordem, 174
10.1 Equação diferencial de 1.® ordem, 174
10.2 Equações de variáveis separáveis. Soluções constantes, 176
10.3 Equações de variáveis separáveis: método prático para a determinação das 
soluções não-constantes, 179
10.4 Equações lineares de l .\u201c ordem, 188
10.5 Equação de Bemoulli, 194
10.6 Equações do tipo y ' = f(y /x ), 197
10.7 Redução de uma equação autônoma de 2.\u201c ordem a uma equação de 1.® 
ordem, 199
10.8 Equações diferenciais exatas, 207
10.9 Fator integrante, 217
10.10 Exemplos diversos, 225
10.11 Exercícios do capítulo, 241
11 Equações diferenciais lineares de ordem n, com coeficientes 
constantes, 249
11.1 Equações diferenciais lineares de 1 ordem, com coeficientes constantes, 249
11.2 Equações diferenciais lineares, homogêneas, de 2.® ordem,*com coeficientes 
constantes, 253
11.3 Equações direnciais lineares, com coeficientes constantes, de ordens 3 e 4, 264
Sumário XI
11.4 Equações diferenciais lineares, não-homogêneas, com coeficientes 
constantes, 272
11.5 Determinação de solução particular pelo método da variação das constantes, 291
11.6 Determinação de solução particular através da transformada de Laplace, 294
12 Sistemas de duas e três equações diferenciais lineares de 1 - 
ordem e com coeficientes constantes, 306
12.1 Sistema homogêneo de duas equações diferenciais lineares de l .\u201c ordem, com 
coeficientes constantes, 306
12.2 Método prático: preliminares, 314
12.3 Método prático para resolução de um sistema homogêneo, com duas equações 
diferenciais lineares de 1 ordem e com coeficientes constantes, 325
12.4 Sistemas com três equações diferenciais lineares de l .\u201c ordem, homogêneas 
e com coeficientes constantes, 338
12.5 Sistemas não-homogêneos: determinação de solução particular pelo método 
das variações das constantes, 359
13 Equações diferenciais lineares de 2- ordem, com coeficientes 
variáveis, 369
13.1 Equações diferenciais lineares de 2.® ordem, com coeficientes variáveis e 
homogêneas, 370
Wronskiano. Fórmula de Abel-Liouville, 374
Funções linearmente independentes e funções linearmente dependentes, 377 
Solução geral