diferenciação c3

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Diferenciac¸a˜o
1.1 Derivadas Parciais
Dados o ponto a = (a1, . . . , an) e a func¸a˜o f : Rn → R, considere
lim
h→0
f(a1, . . . , ai + h, . . . , an)− f(a1, . . . , ai, . . . , an)
h
.
Quando o limite acima existe ele e´ chamado de i-e´sima derivada parcial de
f no ponto a = (a1, . . . , an) e sera´ denotado por Dif(a).
Se Dif(a) existe, enta˜o a func¸a˜o γf : R→ R definida por
γf (t) = f(a1, . . . , ai−1, t, ai+1, . . . , an), (1.1)
e´ deriva´vel em ai e γ
′
f (ai) = Dif(a). De fato,
Dif(a) = lim
h→0
f(a1, . . . , ai + h, . . . , an)− f(a1, . . . , ai, . . . , an)
h
= lim
h→0
γf (ai + h)− γf (ai)
h
= γ′f (ai).
A partir dessa observac¸a˜o podemos interpretar a derivada parcial Dif(a),
geometricamente, como a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de γf (t) no
ponto t = ai. Em outras palavras, Dif(a) e´ a inclinac¸a˜o da curva obtida pela
intersecc¸a˜o do gra´fico de f com o plano P = {x ∈ Rn+1 : xj = aj , j 6= i} no
ponto (a, f(a)) (veja figura 1.1).
Essa mesma observac¸a˜o permite demonstrar algumas propriedades alge´bricas
das derivadas parciais, a saber, se f : Rn → R e g : Rn → R sa˜o func¸o˜es que
possuem a i-e´sima derivada parcial no ponto a, enta˜o
(i) Di(f + g)(a) = Dif(a) +Dig(a);
1
2 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
(ii) Di(fg)(a) = g(a)Dif(a) + f(a)Dig(a);
(iii) Se g(a) 6= 0, enta˜o Di
(
f
g
)
(a) =
g(a)Dif(a)− f(a)Dig(a)
[g(a)]2
;
(iv) Se h : R→ R e´ deriva´vel em f(a), enta˜o Di(h ◦ f)(a) = h′(f(a))Dif(a).
Para provar (i), por exemplo, basta notar que γf+g(t) = (γf + γg)(t). Da´ı
Di(f + g)(a) = γ
′
f+g(t)
= (γf + γg)
′(t)
= γ′f (t) + γ
′
g(t)
= Dif(a) +Dig(a).
As demais propriedades podem ser demonstradas pelo mesmo racioc´ınio e
sera˜o deixadas como exerc´ıcio para o leitor. O exemplo abaixo mostra que o
ca´lculo das derivadas parciais de uma func¸a˜o e´ um problema que ja´ sabemos
resolver.
Figura 1.1
Exemplo. Seja f = sen(x) arctan(y). Calcule as derivadas parciais D1f(a1, a2)
e D2f(a1, a2).
1.1. DERIVADAS PARCIAIS 3
Temos que
D1f(a1, a2) = lim
h→0
f(a1 + h, a2)− f(a1, a2)
h
= lim
h→0
arctan(a2) sen(a1 + h)− arctan(a2) sen(a1)
h
= arctan(a2) lim
h→h
sen(a1 + h)− sen(a1)
h
= arctan(a2)(sen)
′(a1)
= arctan(a2) cos(a1).
Analogamente,
D2f(a1, a2) = lim
h→0
f(a1, a2 + h)− f(a1, a2)
h
= lim
h→0
sen(a1) arctan(a2 + h)− sen(a1) arctan(a2)
h
= sen(a1) lim
h→0
arctan(a2 + h)− arctan(a2)
h
= sen(a1)(arctan)
′(a2)
=
sen(a1)
1 + a22
.
Isso mostra que o ca´lculo das derivadas parciais de uma func¸a˜o depende
apenas da aplicac¸a˜o correta das regras de derivac¸a˜o do ca´lculo de func¸o˜es de
uma varia´vel real. Por exemplo, se f(x, y, z) = xy2 sen z+ xeyz + 3x3y2z, enta˜o
as suas derivadas parciais sa˜o dadas por
D1f(a1, a2, a3) = a
2
2 sen(a3) + e
a2a3 + 9a21a
2
2a3,
D2f(a1, a2, a3) = 2a1a2 sen(a3) + a1ce
a2a3 + 6a31a2a3,
D3f(a1, a2, a3) = a1a
2
2 cos(a3) + a1a2e
a2a3 + 3a31a
2
2.
Se A e´ o conjunto de todos os pontos a ∈ Rn tais que Dif(a) existe, enta˜o
podemos definir uma nova func¸a˜o Dif : A→ R, chamada de i-e´sima derivada
parcial de f . Quando for poss´ıvel calcular a j-e´sima derivada parcial de Dif
no ponto a ∈ A, definimos a derivada parcial de segunda ordem de f no
ponto a como
Di,jf(a) = Dj(Dif)(a).
Em geral, as derivadas mistas Di,jf(a) e Dj,if(a) na˜o sa˜o iguais.
Exemplo. Considere a func¸a˜o f : R2 → R definida por
f(x, y) =
{
xy(x2−y2)
x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
(1.2)
4 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
Temos que
D1f(0, y) = lim
h→0
f(h, y)− f(0, y)
h
= lim
h→0
hy(h2 − y2)
h(h2 + y2
= lim
h→0
−y
3
y2
= −y.
Usando essa u´ltima expressa˜o obtemos que
D1,2f(0, 0) = D2(D1f)(0, 0)
= lim
h→0
D1f(0, h)−D1f(0, 0)
h
= lim
h→0
−h− 0
h
= −1.
Analogamente, D2(x, 0) = x, de onde vem D2,1f(0, 0) = 1 (verifique!) Isso
mostra que D1,2f(0, 0) 6= D2,1f(0, 0).
Dado k ∈ Z, definimos a derivada parcial de ordem k de f como
Di1,...,ik−1,ikf(a) = Dik(Dik−1(. . . (Di1f) . . . ))(a),
onde a ∈ Rn e 1 ≤ i1, . . . , ik ≤ n. Dizemos que f e´ uma func¸a˜o de classe Ck
se todas as derivadas parciais de ordem k existem e sa˜o cont´ınuas. Se f tem
derivadas parciais cont´ınuas de todas as ordens dizemos que f e´ de classe C∞.
O pro´ximo resultado nos da´ uma condic¸a˜o para que as derivadas mistas
sejam iguais. A demonstrac¸a˜o deste teorema sera´ postergada ate´ o pro´ximo
cap´ıtulo.
1.1 Teorema (de Schwarz ). Se f : Rn → R e´ uma func¸a˜o de classe C2 enta˜o
Di,jf(a) = Dj.if(a).
Por exemplo, como a func¸a˜o f(x, y, z) = xy2 sen z+xeyz+3x3y2z e´ de classe
C∞, temos que D1,2f(x, y, z) = D2,1f(x, y, z), D1,3f(x, y, z) = D3,1f(x, y, z) e
D2,3f(x, y, z) = D3,2f(x, y, z) (verifique!). Por outro lado, o teorema de Schwarz
implica que a func¸a˜o (1.2) na˜o e´ de classe C2.
1.2 A Diferencial de uma Func¸a˜o
Seja f : R → R. Dizemos que o nu´mero f ′(a) e´ a derivada de f no ponto
a ∈ R se
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
Antes de definir a noc¸a˜o de derivada para o caso de func¸o˜es f : Rn → Rm
precisamos reformular a definic¸a˜o acima.
1.2. A DIFERENCIAL DE UMA FUNC¸A˜O 5
1.2 Teorema. A func¸a˜o f : R → R e´ deriva´vel em a ∈ R se, e somente se,
existe uma transformac¸a˜o linear T : R→ R tal que
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)− T (h)
h
= 0. (1.3)
Demonstrac¸a˜o. Suponha que f e´ deriva´vel em a. Seja T : R → R a trans-
formac¸a˜o linear definida por T (h) = f ′(a)h. Neste caso
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)− T (h)
h
= lim
h→0
f(a+ h)− f(a)− f ′(a)h
h
= lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
− f ′(a)
= f ′(a)− f ′(a)
= 0.
Por outro lado, suponha que T : R→ R satisfaz a equac¸a˜o (1.3). Neste caso,
a transformac¸a˜o T se escreve como T (h) = λh para algum λ ∈ R. Assim,
0 = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)− T (h)
h
= lim
h→0
f(a+ h)− f(a)− λh
h
= lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
− λ.
Conclu´ımos da´ı que
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= λ,
ou seja, f ′(a) = λ.
A transformac¸a˜o linear dada pelo teorema acima e´ chamada de diferencial
de f no ponto a e e´ denotada por df(a). Observe que se f e´ deriva´vel em a ∈ R
enta˜o a diferencial de f neste ponto existe e df(a)(h) = f ′(a)h.
O teorema acima nos da´ a maneira correta de estendermos a noc¸a˜o de de-
rivada para func¸o˜es de va´rias varia´veis. Dizemos que f : Rn → Rm e´ dife-
rencia´vel em a ∈ Rn se existe uma transformac¸a˜o linear T : Rn → Rm tal
que
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− T (h)|
|h| = 0. (1.4)
A transformac¸a˜o linear T e´ chamada de diferencial de f em a e denotada por
df(a). O teorema a seguir mostra que a diferencial de uma func¸a˜o esta´ bem
definida.
1.3 Teorema. Seja f : Rn → Rm. Quando existe, a diferencial de f em a e´
u´nica.
6 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
Demonstrac¸a˜o. Suponha que T : Rn → Rm e S : Rn → Rm sa˜o trans-
formac¸o˜es lineares que safisfazem a equac¸a˜o (1.4). Temos que
|T (h)− S(h)|
|h| =
|f(a+ h)− f(a)− f(a+ h) + f(a) + T (h)− S(h)|
|h|
=
|f(a+ h)− f(a)− S(h)− [f(a+ h)− f(a)− T (h)]|
|h|
≤ |f(a+ h)− f(a)− S(h)||h| +
|f(a+ h)− f(a)− T (h)|
|h|
Isto implica que
lim
h→0
|T (h)− S(h)|
|h| = 0.
Seja a = (a1, . . . , an) ∈ Rn tal que a 6= 0. Lembrando que T e S sa˜o
transformac¸o˜es lineares obtemos
0 = lim
t→0
|T (ta)− S(ta)|
|ta| = limt→0
|t||T (a)− S(a)|
|t||a| =
|T (a)− S(a)|
a
.
Portanto, T (a) = S(a) para todo a 6= 0. Como T (0) = S(0) = 0 conclu´ımos
que T = S.
Exemplo. Seja T : Rn → Rm uma transformac¸a˜o linear e a ∈ Rn um ponto
qualquer. Enta˜o T e´ diferencia´vel em a e a sua diferencial neste ponto e´ igual a
T , isto e´,
dT (a)(h) = T (h).
De fato, temos que
0 ≤ lim
h→0
|T (a+ h)− T (a)− T (h)|
|h|
= lim
h→0
|T (a) + T (h)− T (a)− T (h)|
|h|
= 0.
Pelo teoremaanterior, conclu´ımos que dT (a)(h) = T (h).
1.4 Teorema. Se f : Rn → Rm e´ diferencia´vel em a enta˜o f e´ cont´ınua em a.
Demonstrac¸a˜o. Lembrando que df(a) e´ uma aplicac¸a˜o cont´ınua e satisfaz
(1.4), dado h 6= 0 temos
0 ≤ |f(a+ h)− f(a)| = |f(a+ h)− f(a)− df(a)(h) + df(a)(h)|
=
∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)|h| |h|+ df(a)(h)
∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣f(a+ h)− f(a)− df(a)(h)|h| |h|
∣∣∣∣+ |df(a)(h)|
1.2. A DIFERENCIAL DE UMA FUNC¸A˜O 7
ou seja,
lim
h→0
f(a+ h) = f(a).
Se a func¸a˜o f : Rn → Rm e´ diferencia´vel em a ∈ Rn, a matrix da trans-
formac¸a˜o linear df(a) : Rn → Rm na base canoˆnica do espac¸o euclidiano e´
chamada de matrix jacobiana de f em a ou simplesmente de derivada de
f em a e sera´ denotada por f ′(a). Observe que, neste caso, f ′(a) e´ uma matrix
m× n.
Em particular, quando n = m = 1, temos que f ′(a) e´ uma matriz 1 × 1,
digamos f ′(a) = [λ]. Logo, df(a)(t) = [λ]1×1.[t]1×1 = λt. Reobtemos dessa
forma a noc¸a˜o de derivada de uma func¸a˜o real. Vejamos um outro caso.
Exemplo. Seja f(x, y) = f1(x)f2(y), onde f1, f2 : R → R sa˜o func¸o˜es de-
riva´veis. Verifique que a transformac¸a˜o linear T (h1, h2) = f
′
1(a1)f2(a2)h1 +
f1(a1)f
′
2(a2)h2 e´ a diferencial da func¸a˜o f no ponto a = (a1, a2).
Se h = (h1, h2), observando-se que |(h1h2)| ≥ |hi|, i = 1, 2 temos que
lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− T (h)|
|h|
= lim
h→0
|f1(a1 + h1)f2(a2 + h2)− f1(a1)f2(a2)− f ′1(a1)f2(a2)h1 + f1(a1)f ′2(a2)h2|
|(h1, h2)|
≤ lim
h→0
|f1(a1 + h1)f2(a2 + h2)− f1(a1)f2(a2 + h2)− f ′1(a1)f2(a2)h1|
|(h1, h2)| +
lim
h→0
|f1(a1)f2(a2 + h2)− f1(a1)f2(a2)− f1(a1)f ′2(a2)h2|
|(h1, h2)| ,
onde usamos a desigualdade triangular apo´s acrescentar o fator f1(a1+h1)f2(a2)−
f1(a1 + h1)f2(a2) = 0. Por um lado temos que
L = lim
h→0
|f1(a1)f2(a2 + h2)− f1(a1)f2(a2)− f ′2(a2)f1(a1)h2|
|(h1, h2)|
= lim
h→0
∣∣f1(a1)[f2(a2 + h2)− f2(a2)− f ′2(a2)h2]∣∣
|h2|
≤ |f1(a1)| lim
h→0
∣∣∣∣∣f2(a2 + h2)− f2(h2)h2 − f ′2(a2)
∣∣∣∣∣ = 0
Vejamos agora o limite sobejo. Fixado � > 0, como limh2→0 f2(a2 + h2) =
f2(a2) e limh→0
f1(a1+h1)−f1(a1)
h1
= f ′1(a1), podemos encntrar δ1 > 0 e δ2 > 0
tais que ∣∣∣∣∣f1(a1 + h1)− f1(a1)h1 − f ′1(a1)
∣∣∣∣∣ < �2(|f2(a2)|+ 1) (∗)
e
|f2(a2 + h2)− f2(a2)| < min
{
1,
�
2(|f ′1(a1)|+ 1)
}
, (∗∗)
8 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
sempre que |h1| < δ1 e |h2| < δ2. Seja δ = min{δ1, δ2} e considere h = (h1, h2)
tal que |h| ≤ δ. Nete caso, como |hi| ≤ |h| para i = 1, 2, valem (∗) e (∗∗). Uma
vez que |f2(a2 + h2)− f2(a2)| < 1 temos que
|f2(a2 + h2)| − |f2(a2)| ≤ |f2(a2 + h2)− f2(a2)| < 1,
de onde conclui-se que
|f2(a2 + h2)| ≤ |f2(a2)|+ 1.
Assim∣∣∣∣∣f1(a1 + h1)− f1(a1)h1 f2(a2 + h2)− f ′1(a1)f2(a2)
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣
(
f1(a1 + h1)− f1(a1)
h1
− f ′1(a1)
)
f2(a2 + h2) + f
′
1(a1)(f2(a2 + h2)− f2(a2))
∣∣∣∣∣
≤
∣∣∣∣∣f1(a1 + h1)− f1(a1)h1 − f ′1(a1)
∣∣∣∣∣|f2(a2 + h2)|+ |f ′1(a1)||f2(a2 + h2)− f2(a2)|
≤
∣∣∣∣∣f1a1 + h1)− f1(a1)h1
∣∣∣∣∣(1 + |f2(a2)|) + |f ′1(a1)||f2(a2 + h2)− f2(a2)|
≤ �
2(|f2(a2)|+ 1)(1 + |f2(a2)|) + |f
′
1(a1)|
�
2(|f ′1(a1)|+ 1)
<
�
2
+
�
2
= �.
Finalmente temos
M = lim
h→0
|f1(a1 + h1)f2(a2 + h2)− f1(a1)f2(a2 + h2)− f ′1(a1)f2(a2)h1|
|(h1, h2)|
= lim
h→0
∣∣∣∣∣f1(a1 + h1)− f1(a1)h1 f2(a2 + h2)− f ′1(a1)f2(a2)
∣∣∣∣∣ |h1||(h1, h2)|
≤ lim
h→0
∣∣∣∣∣f1(a1 + h1)− f1(a1)h1 f2(a2 + h2)− f ′1(a1)f2(a2)
∣∣∣∣∣
= 0.
Portanto,
0 ≤ lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− T (h)|
|h| ≤M + L ≤ 0,
como quer´ıamos demonstrar.
Usando o exemplo acima, podemos afirmar que a diferencial da func¸a˜o
f(x1, x2) = x
2
1 cos(x2) no ponto a = (a1, a2) e´ dada por
df(a)(h) = 2a1 cos(a2)h1 − a21 sen(a2)h2.
1.3. O CA´LCULO DA DIFERENCIAL DE UMA FUNC¸A˜O 9
Analogamente, se f : R2 → R e´ dada por f(x1, x2) = f1(x1) + f2(x2), onde
f1 : R → R e f2 : R → R sa˜o func¸o˜es deriva´veis, e´ poss´ıvel mostrar facilmente
que
df(a)(h) = f ′1(a1)h1 + f
′
2(a2)h2.
Uma observac¸a˜o mais atenta dos exemplos acima mostra que a matriz jaco-
biana de f no ponto a, em ambos os casos, e´ dada por
f ′(a) =
(
D1f(a) D2f(a)
)
.
De fato, as primeira e segunda coluna de f ′(a) sa˜o dadas, respectivamente,
por df(a)(1, 0) = D1f(a) e df(a)(0, 1) = D2f(a). Veremos nos pro´ximo para´grafo
que isto na˜o e´ uma coincideˆncia.
1.3 O Ca´lculo da Diferencial de uma Func¸a˜o
Comec¸amos com o seguinte resultado
1.5 Teorema (Regra da cadeia). Sejam f : Rn → Rm e g : Rm → Rp duas
func¸o˜es diferencia´veis em a ∈ Rn e f(a) ∈ Rm, respectivamente. Neste caso, a
func¸a˜o g ◦ f : Rn → Rp e´ diferencia´vel em a e
d(g ◦ f)(a) = dg(f(a)) ◦ df(a) (1.5)
Portanto, a regra da cadeia nos diz que a diferencial da composic¸a˜o de duas
func¸o˜es diferencia´veis existe e e´ dada pela composic¸a˜o das respectivas diferen-
ciais. Em termos das matrizes jacobianas f ′(a) e g′(f(a)), a equac¸a˜o (1.5) se
escreve como
(g ◦ f)′(a) = g′(f(a)) · f ′(a),
onde ‘·’ representa o produto usual de matrizes. Observe que f ′(a) e´ uma matrix
m×n e g′(f(a)) e´ uma matriz p×m; dessa forma o produto g′(f(a)) ·f ′(a) esta´
bem definido e fornece uma matriz p × n, que e´ a jacobiana de g ◦ f . E´ muito
importante entender essas duas vertentes da regra da cadeia.
Usando o teorema acima podemos provar o seguinte.
1.1 Proposic¸a˜o. Seja f : Rn → Rm uma func¸a˜o escrita como f = (f1, . . . , fm).
Enta˜o f e´ diferencia´vel em a ∈ Rn se, e somente se, cada fi : Rn → R e´ dife-
rencia´vel em a. Neste caso
df(a)(h) = (df1(a)(h), . . . , dfm(a)(h))
ou abreviadamente,
df(a) = (df1(a), . . . , dfm(a)).
10 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
Antes de demonstra´-lo, observe que o resultado acima nos diz que a i-e´sima
coluna da matriz jacobiana f ′(a) e´ dada por
df1(a)(ei)
...
dfj(a)(ei)
...
dfm(a)(ei)
 .
Isto significa que o elemento que esta´ na j-e´sima linha da i-e´sima coluna de
f ′(a) e´ o i-e´simo elemento da matriz (linha) f ′j(a). Este e´ o primeiro passo
para compreendermos a relac¸a˜o entre a diferencial de uma func¸a˜o e as derivadas
parciais de suas componentes.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que f e´ diferencia´vel em a. Para cada i = 1, . . . ,m
considere as projec¸o˜es pii : Rm → R dadas por
pii(x1, . . . , xm) = xi.
E´ claro que essas aplicac¸o˜es sa˜o transformac¸o˜es lineares, logo diferencia´veis.
Pela regra da cadeia temos que fi = pii ◦ f e´ diferencia´vel. Isso prova a primeira
parte da proposic¸a˜o.
Agora assuma que as func¸o˜es fi sa˜o diferencia´veis em a. Vamos provar que
a transformac¸a˜o linear
T (h) = (df1(a)(h), . . . , dfm(a)(h))
e´ a diferencial de f em a. De fato, pela desigualdade triangular temos que
0 ≤ lim
h→0
|f(a+ h)− f(a)− T (h)|
|h|
= lim
h→0
|(f1(a+ h)− f1(a)− df1(a)(h), . . . , fm(a+ h)− fm(a)− dfm(a)(h))|
|h|
≤
m∑
i=1
lim
h→0
|fi(a+ h)− fi(a)− dfi(a)(h)|
|h|
= 0.
Isso conclui a demosntrac¸a˜o do resultado.
Sejam v ∈ Rn, a ∈ Rn. A derivada direcional de f : Rn → R em a na
direc¸a˜o de v e´ definida como o limite
lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t
,
desde que ele exista. Neste caso denotamo-lo por Dvf(a).
1.3. O CA´LCULO DA DIFERENCIAL DE UMA FUNC¸A˜O 11
Considere a aplicac¸a˜o γ : R → Rn dada por γ(t) = a + tv. Pela proposic¸a˜o
acima temos que γ(0) = a e dγ(t)(h) = ((a1 + tv1)
′h, . . . , (an + tvn)′h) =
(v1, . . . , vn)h = vh. Isto implica que
γ′(t) = dγ(t)(1) = v.
Considere a func¸a˜o f ◦ γ : R→ R. Pela regra da cadeia temos que
Dvf(a) = lim
t→0
f(a+ tv)− f(a)
t
= lim
t→0
f(γ(t))− f(γ(0))
t
= (f ◦ γ)′(0)
= f ′(γ(0)) · γ′(0)
= f ′(a) · v
= df(a)(v).
(1.6)
Obtemos da´ı que df(a)(ei) = Deif(a) = Dif(a) (verifique!). Portanto, se
f : Rn → Rm e´ uma func¸a˜o diferencia´vel, combinando esse resultado com a
proposic¸a˜o 1.1, conclu´ımos que a entrada da j-e´sima linha da i-e´sima coluna da
matriz jacobiana f ′(a) e´ dada por Difj(a),ou seja,
f ′(a) =

D1f1(a) D2f1(a) . . . Dnf1(a)
D1f2(a) D2f2(a) . . . Dnf2(a)
...
...
. . .
...
D1fm(a) D2fm(a) . . . Dnfm(a)
 . (1.7)
Em geral, a mera existeˆncia das derivadas parciais de f1, . . . , fm no ponto
a ∈ Rn na˜o garante que a func¸a˜o f = (f1, . . . , fm) e´ diferencia´vel nesse ponto.
Para sermos mais precisos enunciamos o
1.6 Teorema. Seja f : Rn → Rm uma func¸a˜o escrita como f = (f1, . . . , fm).
Neste caso, se f1, . . . , fm sa˜o func¸o˜es de classe C
1, enta˜o f e´ diferencia´vel e a
matriz jacobiana de f no ponto a e´ dada por (1.7).
Exemplo. Se f : Rn → R e g : Rn → R sa˜o func¸o˜es diferencia´veis em a ∈ Rn,
mostre que valem as seguintes regras de diferenciac¸a˜o:
(i) (f + g)(a) = f ′(a) + g′(a);
(ii) (fg)′(a) = (a) = g(a)f ′(a) + f(a)g′(a);
(iii) Se g(a) 6= 0 enta˜o
(
f
g
)′
(a) = −g(a)f
′(a)− f(a)g′(a)
[f(a)]2
.
De fato, temos que f ′(a) = (D1f(a) · · ·Dnf(a)) e g′(a) = (D1g(a) · · ·Dng(a)).
Assim
(f + g)′(a) = (D1(f + g)(a) · · ·Dn(f + g)(a))
= (D1f(a) +D1g(a) · · ·Dnf(a) +Dng(a))
= (D1f(a) · · ·Dnf(a)) + (D1g(a) · · ·Dng(a))
= f ′(a) + g′(a).
12 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
As demais propriedades sa˜o provadas similarmente.
Dada uma func¸a˜o diferencia´vel f : Rn → R definimos o vetor gradiente
de f em a ∈ Rn como
grad f(a) = (D1f(a), . . . , Dnf(a)),
ou seja, o vetor gradiente e´ o vetor cujas coordenadas sa˜o iguais a`s entradas da
matriz jacobiana de f em a. A partir da equac¸a˜o (1.6) temos que
Dvf(a) = f
′(a) · v = D1f(a)v1 + · · ·+Dnf(a)vn = 〈grad f(a), v〉.
Quando |v| = 1 obtemos
Dvf(a) = |grad f(a)| cos θ, (1.8)
em que θ ∈ [0, pi] e´ a medida, em radianos, do aˆngulo entre v e grad f(a). A
equac¸a˜o (1.8) implica que a derivada direcional Dvf(a) atinge seu valor ma´ximo
quando θ = 0 (cosθ = 1) e o seu valor mı´nimo quando θ = pi (cos θ = −1). Por
esse motivo dizemos que w = grad f(a)|grad f(a)| e´ a direc¸a˜o de maior crescimento da
func¸a˜o e −w e´ a direc¸a˜o de maior decrescimento de f .
Exemplo. Suponha que um inseto viaja em uma regia˜o onde a temperatura e´
uma func¸a˜o dada por T (x, y, z) = ex
2+y2+z2 . Ao atingir o ponto (0, 0, 1) nosso
pequeno hero´i percebe que a temperatura esta´ alta demais. Em que direc¸a˜o ele
deve fugir para que suas chances de sobreviver sejam as maiores poss´ıveis?
Ele deve fugir na direc¸a˜o de maior decrescimento da temperatura, ou seja
na direc¸a˜o de
w = − grad f(a)|grad f(a)| .
Um ca´lculo imediato mostra que grad f(0, 0, 1) = (0, 0, 2e), ou seja, w = −(0, 0, 1).
1.4 Func¸o˜es Impl´ıcitas
Seja f : R2 → R uma func¸a˜o diferencia´vel e considere a equac¸a˜o
f(x, y) = 0.
Gostar´ıamos de saber quando essa equac¸a˜o define uma varia´vel, digamos
a varia´vel y, como uma func¸a˜o diferencia´vel da varia´vel x. Em outras pala-
vras, queremos saber se existe uma func¸a˜o diferencia´vel h : R → R tal que
f(x, h(x)) = 0.
Suponha inicialmente que uma tal func¸a˜o exista. Neste caso se consideramos
a func¸a˜o g : R→ R2 definida por
g(x) = (x, h(x)),
1.4. FUNC¸O˜ES IMPLI´CITAS 13
temos que (x, h(x)) = (f ◦ g)(x), logo, pela regra da cadeia temos que
0 = (f ◦ g)′(x)
=
(
D1f(x, h(x)), D2f(x, h(x))
) · ( 1
h′(x)
)
= D1f(x, g(x)) +D2f(x, g(x))h
′(x).
Portanto, para que exista a func¸a˜o h com as propriedades mencionadas, devemos
ter necessariamente que D2f(x, h(x)) 6= 0. Nesse caso
h′(x) = −D1f(x, h(x))
D2f(x, h(x))
.
O teorema da func¸a˜o impl´ıcita afirma que essa condic¸a˜o tambe´m e´ suficiente.
Em outras palavras, se f(a, b) = 0 e D2f(a, b) 6= 0, enta˜o a equac¸a˜o f(x, y) = 0
determina y como uma func¸a˜o de x em uma vizinhanc¸a de a e, ale´m disso, a
func¸a˜o assim definida de classe C∞. Vejamos.
1.7 Teorema (Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita). Seja f : R2 → R uma func¸a˜o
de classe C∞ e seja (a, b) ∈ R2 tal que f(a, b) = 0. Enta˜o, se D2f(a, b) 6= 0
existe uma u´nica func¸a˜o cont´ınua h : (a− �, a+ �)→ R tal que
f(x, h(x)) = 0.
Ale´m disso, a func¸a˜o h e´ uma func¸a˜o de classe C∞ e
h′(x) = −D1f(x, h(x))
D2f(x, h(x))
. (1.9)
Os exemplos a seguir tornara˜o a discussa˜o acima um pouco mais clara.
Exemplo. Considere a func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 − 1.
A equac¸a˜o f(x, y) = 0 da´ um c´ırculo de raio 1 com centro na origem. Como
D2f(x, y) = 2y, podemos determinar y em func¸a˜o de x na vizinhanc¸a˜ de um
ponto f(a, b) = 0 se, e somente se, D2f(a, b) = 2b 6= 0, ou seja, b 6= 0.
Observe que a condic¸a˜o b = 0 implica que 0 = f(a, 0) = a2 − 1, ou seja,
a = ±1. Geometricamente, isso significa que na˜o podemos escrever y como uma
func¸a˜o da varia´vel x em uma vizinhanc¸a dos pontos 1 e −1 (veja figura)
Por outro lado, se f(a, b) = 0 e b 6= 0, enta˜o podemos encontrar uma u´nica
func¸a˜o cont´ınua h : (a − �, a + �) → R, para algum � > 0 apropriado, tal que
f(x, h(x)) = 0.
A equac¸a˜o (1.9) nos da´ uma equac¸a˜o diferencial que deve ser satisfeita pela
func¸a˜o h. Podemos determinar a func¸a˜o resolvendo essa equac¸a˜o. No caso em
questa˜o temos
h′(x) = −D1f(x, h(x))
D2f(x, h(x))
= − x
h(x)
,
14 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
cujas soluc¸o˜es sa˜o h(x) =
√
1− x2, quando b > 0 e h(x) = −√1− x2, quando
b < 0. Observe que quando b > 0 a func¸a˜o h1 : (a− �, a+ �)→ R definida por
h1(x) =
{
−√1− x2 , x ∈ (a− �, a)√
1− x2 , x ∈ [a, a+ �)
tambe´m e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o, mas na˜o e´ cont´ınua.
Exemplo. A func¸a˜o f(x, y) = y3 − x.
Temos que f(0, 0) = 0, mas como D2f(0, 0) = 0, essa equac¸a˜o na˜o define y
como uma func¸a˜o diferencia´vel da varia´vel x em uma vizinhanc¸a de 0. De fato,
se resolvemos a equac¸a˜o f(x, y) = 0 para a varia´vel y obtemos que
y = 3
√
x,
que e´ cont´ınua, mas na˜o e´ diferencia´vel em x = 0.
Exemplo. Considere a func¸a˜o f(x, y) = x4 − y2
Mais uma vez f(0, 0) = 0 e D2f(0, 0) = 0. Neste caso a equac¸a˜o f(x, y) = 0
nos da´ que y2 = x4, ou seja
y = ±x2.
Assim, existe uma func¸a˜o h cont´ınua, definida em uma vizinhanc¸a de 0 e que
satisfaz f(x, h(x)) = 0, entretanto essa func¸a˜o na˜o e´ u´nica.
O teorema da func¸a˜o impl´ıcita pode ser enunciado em uma forma mais ge-
ral, entretanto, a formulac¸a˜o que vimos acima sera´ suficiente para os nossos
propo´sitos. O leitor interessado em mais informac¸o˜es pode consultar (??)
1.5 Ma´ximos e Mı´nimos
Seja f : Rn → R uma func¸a˜o qualquer.
Dizemos que a ∈ Rn e´ um ponto de ma´ximo local de f se existe um nu´mero
� > 0 tal que para todo x ∈ B�(a) temos que f(x) ≤ f(a). Ale´m disso, x = a e´
um ponto de ma´ximo se f(x) ≤ f(a) para todo x ∈ Rn.
Analogamente, a ∈ Rn e´ um ponto de mı´nimo local de f se existe um
nu´mero � > 0 tal que para todo x ∈ B�(a) temos que f(x) ≥ f(a). Se f(x) ≥
f(a) para todo x ∈ Rn, enta˜o x = a e´ o ponto de mı´nimo
Dizemos ainda que a ∈ Rn e´ um ponto cr´ıtico de f se a matriz jacobiana
de f no ponto a e´ a matriz nula, ou seja
f ′(a) = (D1f(a) · · ·Dnf(a)) = (0 · · · 0).
1.5. MA´XIMOS E MI´NIMOS 15
A equac¸a˜o acima implica que no ponto cr´ıtico a todas as derivadas parciais
de f sa˜o nulas nesse ponto. Por exemplo todas as func¸o˜es
f(x, y) = x2 + y2,
g(x, y) = −x2 − y2 + 1,
h(x, y) = y2 − x2,
(1.10)
teˆm pontos cr´ıticos no ponto (0, 0).
1.8 Teorema. Seja f : Rn → R uma func¸a˜o diferencia´vel. Se a ∈ Rn e´ um
ponto de ma´ximo local ou de mı´nimo local de f , enta˜o f ′(a) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Neste caso a func¸a˜o γf : R → R definida por (1.1) tem um
ponto de ma´ximo local ou de mı´nimo local no ponto t = ai. Da´ı Dif(a) =
γ′f (ai) = 0.
O teorema acima nos mostra que devemos procurar os pontos de ma´ximo e
mı´nimo locais de uma func¸a˜o diferencia´vel f : Rn → R entre os seus eventuais
pontos cr´ıticos. Observe que a condic¸a˜o f ′(a) = 0 na˜o implica que f e´ um ponto
de mı´nimo ou ma´ximo locais. No caso da func¸a˜o h(x, y) = y2 − x2 a origem e´
um ponto cr´ıtico, mas na˜o e´ umponto de ma´ximo local nem de mı´nimo local
pois f(0, 0) = 0 e temos que f(x, 0) < 0, f(0, y) > 0.
O pro´ximo resultado nos mostra uma condic¸a˜o para determinar a natureza
desses pontos quando n = 2.
1.9 Teorema. Seja f : R2 → R uma func¸a˜o de classe C2 e a ∈ Rn um ponto
cr´ıtico de f . Defina
A = D1,1f(a), B = D1,2f(a) e C = D2,2f(a).
Neste caso
a) Se AC −B2 > 0 e A < 0, enta˜o a e´ um ponto de ma´ximo local;
b) Se AC −B2 > 0 e A > 0, enta˜o a e´ um ponto de mı´nimo local;
c) Se AC −B2 < 0, enta˜o a e´ um ponto de sela;
d) Se AC −B2 = 0, enta˜o o teste e´ inconclusivo.
Exemplo. Vamos verificar a natureza dos pontos cr´ıticos das func¸o˜es (1.10).
No caso da func¸a˜o f temos que A = D1,1f(0, 0) = 2, B = D1,2f(0, 0) = 0 e
C = D2,2f(0, 0) = 2. Logo AC − B2 = 4 > 0 e A > 0, de onde conclu´ımos que
(0, 0) e´ um ponto de mı´nimo local. De modo ana´logo verificamos que a origem
e´ um ponto de ma´ximo local no caso da func¸a˜o g e um ponto de sela no caso de
h (veja as figuras ??,?? e ??.)
Ainda na˜o sabemos dizer em que condic¸o˜es uma func¸a˜o tem ponto de ma´ximo
e mı´nimo. Nos casos em que for pedido que determinemos tais pontos ja´ presu-
mimos a sua existeˆncia.
16 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
Exemplo. Encontre o ponto do paraboloide z = 4x2+y2 que esta´ mais pro´ximo
do ponto (0, 0, 8)
Precisamos encontrar o ponto (x, y, z) que minimiza a func¸a˜o
d(x, y) =
√
(x− 0)2 + (y − 0)2 + (z − 8)2 =
√
x2 + y2 + (4x2 + y2 − 8)2.
E´ fa´cil mostrar que, neste caso, podemos considerar a func¸a˜o f(x, y) =
d2(x, y) (veja os exerc´ıcios no final do cap´ıtulo). Temos que (x, y) ∈ R2 e´ um
ponto cr´ıtico se D1f(x, y) = D2f(x, y) = 0. Calculando as derivadas parciais
de f obtemos
D1f(x, y) = 2x+ 16x(4x
2 + y2 − 8) = 2x(32x2 + 8y2 − 63), (1.11)
D2f(x, y) = 2y + 4y(4x
2 + y2 − 8) = 2y(8x2 + 2y2 − 15). (1.12)
Da equac¸a˜o (1.12) temos x = 0 ou 32x2 + 8y2− 63 = 0 e da equac¸a˜o (1.12) vem
y = 0 ou 8x2 + 2y2 − 15 = 0. Os pontos cr´ıticos sa˜o obtidos combinando os
resultados acima de maneira que as duas equac¸o˜es anulem-se. Assim, os pontos
cr´ıticos sa˜o
(0, 0), (0,
√
15
2 ), (0,−
√
15
2 ), (
√
63
32 , 0), (−
√
63
32 , 0).
Note que na˜o existe um ponto (x, y) tal que 32x2 + 8y2 − 63 = 0 e 8x2 +
2y2 − 15 = 0, pois
4(8x2 + 2y2 − 15) = 32x2 + 8y2 − 60 = (32x2 + 8y2 − 63) + 3.
Calculando o valor da func¸a˜o em cada um dos pontos acima temos
(x, y) (0, 0) (0,
√
15
2 ) (0,−
√
15
2 ) (
√
63
32 , 0) −
√
63
32 , 0)
f(x, y) 8 31/4 31/4 127/64 127/64
Conclu´ımos que (0,
√
63
32 ) e (0,−
√
63
32 ) sa˜o os pontos de mı´nimo de f . Essa
mesma conclusa˜o poderia ser obtida a partir do teste da segunda derivada. De
fato, um ca´lculo simples mostra que as derivadas parciais de segunda ordem sa˜o
D1,1f(x, y) = 192x
2 + 16y2 − 126
D1,2f(x, y) = 32xy
D2,2f(x, y) = 16x
2 + 12y2 − 30.
No caso do ponto (0, 0) temos queA = D1,1f(0, 0) = −126, B = D1,2f(0, 0) =
0 e C = D2,2f(0, 0) = −30. Isto implica que AC−B2 > 0 e A < 0, ou seja, (0, 0)
e´ um ponto de ma´ximo local. Uma ana´lise semelhante mostrara´ que (0,
√
15
2 )
e (0,−
√
15
2 ) sa˜o pontos de sela e (0,
√
63
32 ) e (0,−
√
63
32 ) sa˜o pontos de mı´nimos
locais.
1.6. VALORES EXTREMOS DE FUNC¸O˜ES EM DOMI´NIOS LIMITADOS17
1.6 Valores Extremos de Func¸o˜es em Domı´nios
Limitados
Agora vamos estudar os valores de ma´ximo e mı´nimo de uma func¸a˜o definida
em um subconjunto A ⊂ R2. Dizemos que A ⊂ R2 e´ um conjunto aberto se
para todo x ∈ A podemos encontrar um nu´mero δ > 0 tal que Bδ(x) ⊂ A. Um
ponto x ∈ A e´ dito interior se existe δ > 0 tal que Bδ(x) ⊂ A. Portanto, um
conjunto e´ aberto se todos os seus pontos sa˜o interiores.
Dizemos que o conjunto e´ fechado se o seu complementar A−R2 for aberto.
Por exemplo, por definic¸a˜o o conjunto R2 e´ aberto, pois toda bola com centro
em um ponto x ∈ R2, qualquer que seja o seu raio, esta´ contida nesse conjunto.
Tambe´m e´ fa´cil verificar que o conjunto vazio, denotado por ∅, e´ aberto. De
fato, se na˜o fosse assim, dever´ıamos ser capazes de encontrar um elemento de
∅ que na˜o se ajustasse na definic¸a˜o acima. Como na˜o podemos encontrar tal
elemento, somos forc¸ados a concluir que o conjunto vazio e´ aberto.
Observe ainda que, como R2 e´ aberto, temos que R2 − R2 = ∅ e´ fechado.
Analogamente, como ∅ e´ aberto, enta˜o R2 − ∅ = R2 e´ fechado. Conclu´ımos que
R2 e ∅ sa˜o abertos e fechados. Chamamos atenc¸a˜o do leitor para esse fato, pois
nesse ponto as definic¸o˜es matema´ticas divergem do senso comum.
E´ fa´cil verificar que a bola aberta e´ um conjunto aberto e que a bola fechada
e´ um conjunto fechado. Ale´m disso, o interior da bola fechada e´ a bola aberta.
O ponto x ∈ R2 e´ um ponto de fronteira se, para qualquer nu´mero δ > 0,
temos que a bola Bδ(x) conte´m pontos de A e do seu complementar. O conjunto
de todos os pontos de fronteira de A e´ chamado de fronteira de A e denotado
por frA.
Pela definic¸a˜o podemos mostrar que o conjunto
Cr(a, b) = {(x, y) ∈ R2 : (x− a)2 + (y − b)2 = R2}
e´ a fronteira de BR(a, b) e de BR(a, b). Note que os pontos de fronteira de um
conjunto podem pertencer a esse conjunto ou na˜o.
Dizemos que um subconjunto A ⊂ R2 e´ limitado se dado x ∈ A podemos
encontrar um nu´mero R > 0 tal que A ⊂ BR(x). Dizemos que A e´ compacto
se e´ fechado e limitado. Por exemplo, a bola fechada e´ um conjunto compacto,
pois e´ fechada e esta´ contida nela mesma.
Definic¸o˜es ana´logas a`s dadas acima aplicam-se para subconjuntos de Rn.
1.10 Teorema. Se uma func¸a˜o cont´ınua esta´ definida em um conjunto com-
pacto, enta˜o ela possui ponto de mı´nimo e ponto de ma´ximo nesse conjunto.
Os intervalos fechado sa˜o conjuntos compactos em R. Dada uma func¸a˜o
cont´ınua f : [a, b]→ R para determinar o seu ma´ximo devemos considerar
(i) Os pontos cr´ıticos de f , isto e´, os pontos tais que f ′(x) = 0;
(ii) Determinar os pontos onde f na˜o e´ deriva´vel;
(iii) Os pontos de fronteira a e b.
18 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
Em seguida calculamos o valor da func¸a˜o em cada um desses pontos para deter-
minar o ponto de ma´ximo e o ponto de mı´nimo de f . Em geral, consideramos
apenas func¸o˜es deriva´veis, logo, na˜o precisamos nos preocupar com com os pon-
tos de (ii).
Algo semelhante ocorre no caso de func¸o˜es de va´rias varia´veis. O problema
e´ que, nesse u´ltimo caso, a fronteira do domı´nio de f pode conter um nu´mero
infinito de pontos. Para contornar esse problema podemos parametrizar a fron-
teira e usar o me´todo descrito acima para func¸o˜es de uma varia´vel. Vejamos o
exemplo a seguir.
Exemplo. Calcule os pontos de ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o f(x, y) = x2+2y2
definida no disco D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1}.
Analisamos separadamente os pontos interiores e de fronteira do conjunto
D.
No caso dos pontos interiores podemos usar o teorema 1.8, pois, observando
a sua demonstrac¸a˜o fica evidente que precisamos apenas que a func¸a˜o f esteja
definida em uma pequena bola centrada nesse ponto. Assim os cadidatos a
pontos de ma´ximo ou mı´numo de f no interior do disco D sa˜o os pontos tais
que f ′(x, y) = 0, ou seja, o ponto (0, 0).
Para o caso dos pontos de fronteira notamos que a func¸a˜o γ : [0, 2pi]→ ∂D,
definida por
γ(t) = (cos(t), sen(t))
e´ uma func¸a˜o diferencia´vel e sobrejetiva. A restric¸a˜o de f a` fronteira de D e´ a
func¸a˜o f ◦ γ : [0, 2pi]→ R. Podemos determinar os pontos cr´ıticos dessa func¸a˜o
usando os me´todos do ca´lculo de func¸o˜es de uma varia´vel. Como f ◦ γ(t) =
[cos(t)]2 + 2[sen(t)]2 = 1 + sen2(t), as soluc¸o˜es da equac¸a˜o
0 = f ′(t) = 2 sen(t) cos(t) = sen(2t)
sa˜o 0, pi2 , pi,
3pi
2 e 2pi. A esses pontos do intervalo [0, 2pi] correspondem os pontos
da fronteira (1, 0), (0, 1), (−1, 0) e (0,−1), respectivamente.
Note que, por acaso, os pontos da fronteira do intervalo[0, 2pi] surgiram
como soluc¸o˜es de f ′(t) = 0. Se isso na˜o ocorresse dever´ıamos considera´-los
separadamente na determinac¸a˜o dos pontos extremos da func¸a˜o.
Calculando os valores da func¸a˜o em cada um pos pontos obtidos vem
(x, y) (0, 0) (1, 0) (0, 1) (−1, 0) (0,−1)
f(x, y) 0 1 2 1 2
Conclu´ımos que (0, 0) e´ o ponto de mı´nimo e (0, 1) e (0,−1) sa˜o os pontos
de ma´ximo de f .
Nem sempre e´ fa´cil parametrizar a fronteira de um conjunto. Entretanto,
muitas vezes ela e´ dada como o conjunto de n´ıvel de um outra func¸a˜o. Nesses
casos podemos usar o resultado a seguir
1.6. VALORES EXTREMOS DE FUNC¸O˜ES EM DOMI´NIOS LIMITADOS19
1.11 Teorema (Multiplicadores de Lagrange). Sejam f : R2 → R e g : R2 → R
func¸o˜es de classe C∞. Suponha que f , quando restrita a` curva de n´ıvel g−1(k),
tem ma´ximo local (ou mı´nimo local) no ponto (a, b) e que g′(a, b) 6= 0. Neste
caso, existe um nu´mero real λ tal que
f ′(a, b) = λg′(a, b).
Demonstrac¸a˜o. Como (a, b) ∈ g−1(k), a func¸a˜o i(x, y) = g(x, y) − k e´ tal
que i(a, b) = 0. Temos que g′(a, b) 6= 0, portanto, podemos assumir sem perda
de generalidade que D2g(a, b) 6= 0. Assim, D2i(x, y) = D2f(a, b) 6= 0 e, pelo
teorema da func¸a˜o impl´ıcita, existe uma func¸a˜o h : (a− �, a+ �)→ R, de classe
C∞, tal que i(x, h(x)) = 0.
A func¸a˜o γ : (a − �, a + �) → R2, definida por γ(x) = (x, h(x)), e´ de classe
C∞. Pela regra da cadeia temos que
0 = (g ◦ γ)′(a) = g′(a, b) · γ′(a).
Por outro lado, como (a, b) e´ um ponto de ma´ximo local (ou ponto de mı´nimo
local) para a func¸a˜o f restrita a` curva de n´ıvel g−1(k), conclu´ımos que f ◦ γ :
(a − �, a + �) → R tem ponto de ma´ximo local (ou ponto de mı´nimo local) em
a, isto e´,
0 = (f ◦ γ)′(a) = f ′(a, b) · γ′(a).
As duas u´ltima relac¸o˜es implicam que os vetores gradientes de f e de g sa˜o
ortogonais ao vetor γ′(a), logo devem ser paralelos. Isto significa que existe um
nu´mero real λ tal que
f ′(a, b) = λg′(a, b).
Observe que o teorema acima nos da´ treˆs equac¸o˜es
D1f(a, b) = λD1g(a, b)
D2f(a, b) = λD2g(a, b)
g(a, b) = k,
(1.13)
com as quais podemos determinar os treˆs nu´meros a, b e λ. Os pontos (a, b)
sera˜o os candidatos a pontos de mı´nimo e ma´ximo de f sobre g−1(c). Vejamos
um exemplo
Exemplo. Determine os pontos que esta˜o mais pro´ximos e mais distantes da
origem na curva C = {(x, y) ∈ R2 : x6 + y6 = 1}.
Devemos determinar os pontos de ma´ximo e mı´nimo da func¸a˜o distaˆncia
d(x, y) =
√
x2 + y2 restrita a` curva C. Para isso, basta analisar a func¸a˜o
f(x, y) = d2(x, y) = x2 + y2 restrita a` curva de n´ıvel g−1(1), onde g(x, y) =
x6 + y6.
Note que g′(x, y) =
(
6x5 6y5
)
, isto e´, g′(x, y) = 0 apenas se x = y = 0.
Como o ponto (0, 0) na˜o pertence a` curva C, temos que g′(x, y) 6= 0 para todo
ponto de g−1(1).
20 CAPI´TULO 1. DIFERENCIAC¸A˜O
Agora passamos ao sistema (1.13), neste caso dado por
2x = 6λx5
2y = 6λy5
x6 + y6 = 1
, ou seja,

2x(1− 3λx4) = 0
2y(1− 3λy4) = 0
x6 + y6 = 1
.
Da primeira equac¸a˜o vem que x = 0 ou 1− 3λx4 = 0. Da segunda obtemos
que y = 0 ou 1 − 3λy4 = 0. E´ claro que na˜o podemos ter x = y = 0, pois
nesse caso, a terceira equac¸a˜o na˜o se verifica. Por outro lado, se x = 0, usando
a terceira equac¸a˜o temos que y = ±1. Analogamente se y = 0 temos x = ±1.
Nos dois casos λ = 13 .
Agora suponha que 1 − 3λx4 = 0 = 1 − 3λy4. Como λ 6= 0 (caso contra´rio
ter´ıamos x = y = 0) conclu´ımos que x4 = 13λ = y
4, de onde vem que y = ±x.
Substituindo na terceira equac¸a˜o encontramos x = ± 6√1/2. Assim, encontra-
mos mais quatro soluc¸o˜es, a saber,
(
6
√
1
2
,
6
√
1
2
), (
6
√
1
2
,− 6
√
1
2
), (− 6
√
1
2
,
6
√
1
2
), (− 6
√
1
2
,− 6
√
1
2
). (1.14)
Devemos ainda considerar os casos onde x = 0, 1 − 3λy4 = 0 e y = 0,
x = 1−3λx4, entretanto, nessas situac¸o˜es obtemos novamente as soluc¸o˜es (1, 0),
(−1, 0), (0, 1) e (0,−1).
Como f(±1, 0) = f(0,±1) = 1 e f(± 6
√
1
2 ,± 6
√
1
2 ) =
3
√
22 > 1, conclu´ımos
que (1, 0), (−1, 0), (0, 1) e (0,−1) sa˜o pontos de mı´nimo e (1.14) sa˜o os pontos
de ma´ximo de f .
Informamos ao leitor que o teorema de Lagrange tambe´m e´ va´lido para
func¸o˜es com mais de duas varia´veis. Por exemplo, no caso de func¸o˜es de treˆs
varia´veis nosso sistema tem quatro equac¸o˜es
D1f(a, b, c) = λD1g(x, y, z)
D2f(a, b, c) = λD2g(x, y, z)
D3f(a, b, c) = λD3g(x, y, z)
g(a, b, c) = k
, (1.15)
a partir das quais podemos determinar x, y, z e λ. Ale´m disso, em algumas
situac¸o˜es pra´ticas, a func¸a˜o f pode estar restrita a um conjunto que e´ dado pela
intersecc¸a˜o de dois (ou mais!) conjuntos de n´ıvel de outras func¸o˜es. Alguns
desses casos sera˜o abordados nos exerc´ıcios.