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Lista 1 Integrais duplas Cálculo 3
Campus de Sorocaba
Cálculo III \u2013 Cantão!
Integrais duplas
Definições
Valor médio
O valor médio de uma função f de duas variáveis em uma região D contida em seu domínio é definido por
f¯ =
1
A(D)
\u222b\u222b
D
f(x, y)dA,
onde A(D) é a área de D.
Densidade e massa
Dada uma lâmina plana D, denotaremos sua densidade por \u3c1(x, y). A massa dessa lâmina pode ser calculada por
m =
\u222b\u222b
D
\u3c1(x, y)dA.
Centro de massa
As coordenadas (x¯, y¯) do centro de massa de uma lâmina plana D com densidade \u3c1(x, y) são
x¯ =
1
m
\u222b\u222b
D
x\u3c1(x, y)dA y¯ =
1
m
\u222b\u222b
D
y\u3c1(x, y)dA.
Exercícios
1. Calcule as integrais dadas.
i.
\u222b3
1
\u222b1
0
(1+ 4xy)dxdy
ii.
\u222b2
0
\u222bpi/2
0
x senydydx
iii.
\u222b4
1
\u222b2
1
(
x
y
+
y
x
)
dydx
iv.
\u222b2
1
\u222b1
0
(x+ y)\u22122 dxdy
v.
\u222b ln 2
0
\u222b ln 5
0
e2x\u2212y dxdy
vi.
\u222b1
0
\u222b1
0
xy\u221a
x2 + y2 + 1
dydx
2. Calcule a integral dupla.
i.
\u222b\u222b
R
(6x2y3 \u2212 5y4)dA, R = {(x, y) | 0 \u2264 x \u2264 3, 0 \u2264 y \u2264 1}
ii.
\u222b\u222b
R
1+ x2
1+ y2
dA, R = {(x, y) | 0 \u2264 x \u2264 1, 0 \u2264 y \u2264 1}
#1 de 2
Lista 1 Integrais duplas Cálculo 3
iii.
\u222b\u222b
R
xyex
2y dA, R = [0, 1]×[0, 2]
iv.
\u222b\u222b
R
x
x2 + y2
dA, R = [1, 2]×[0, 1]
3. Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide hiperbólico z = 4 + x2 \u2212 y2 e acima do quadrado
R = [\u22121, 1]×[0, 2].
4. Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = 1+ ex seny e pelos planos x = ±1, y = 0, y = pi e z = 0.
5. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9\u2212 y2 e pelo plano x = 2.
6. Determine o valor médio de f(x, y) = x2y na região R = [\u22121, 1]×[0, 5].
7. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade \u3c1 dadas.
i. D é uma região triangular com vértices (0, 0), (1, 1) e (4, 0); \u3c1(x, y) = x
ii. D é limitada por y = \u221ax, y = 0 e x = 1; \u3c1(x, y) = x
8. Calcule as integrais duplas.
i.
\u222b\u222b
D
4y
x3 + 2
dA, D = {(x, y) | 1 \u2264 x \u2264 2, 0 \u2264 y \u2264 2x}
ii.
\u222b\u222b
D
ey
2
dA, D = {(x, y) | 0 \u2264 y \u2264 1, 0 \u2264 x \u2264 y}
iii.
\u222b\u222b
D
x
\u221a
y2 \u2212 x2 dA, D = {(x, y) | 0 \u2264 y \u2264 1, 0 \u2264 x \u2264 y}
iv.
\u222b\u222b
D
(x+ y)dA, D é limitada por y = \u221ax e y = x2
v.
\u222b\u222b
D
(2x\u2212 y)dA, D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2.
vi.
\u222b\u222b
D
2xydA, D é a região triangular com vértices (0, 0), (1, 2) e (0, 3).
9. Determine o volume do sólido dado.
i. Abaixo do plano x+ 2y\u2212 z = 0 e acima da região limitada por y = x e y = x4.
ii. Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo com vértices em (1, 1), (4, 1) e (1, 2).
iii. Limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y+ z = 1.
iv. Limitado pelo cilindro y2 + z2 = 4 e pelos planos x = 2y, x = 0, z = 0 no primeiro octante.
10. Use coordenadas polares para determinar as integrais dadas.
i.
\u222b\u222b
R
(x+y)dA, onde R é a região que está à esquerda do eixo y e entre as circunferências x2+y2 = 1 e x2+y2 = 4.
ii.
\u222b\u222b
R
cos(x2 + y2)dA, onde R é a região que está acima do eixo x e dentro da circunferência x2 + y2 = 9.
11. Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
i. Abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 \u2264 9.
ii. Acima do cone z =
\u221a
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
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