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Lista 1 Integrais duplas Cálculo 3 Campus de Sorocaba Cálculo III – Cantão! Integrais duplas Definições Valor médio O valor médio de uma função f de duas variáveis em uma região D contida em seu domínio é definido por f¯ = 1 A(D) ∫∫ D f(x, y)dA, onde A(D) é a área de D. Densidade e massa Dada uma lâmina plana D, denotaremos sua densidade por ρ(x, y). A massa dessa lâmina pode ser calculada por m = ∫∫ D ρ(x, y)dA. Centro de massa As coordenadas (x¯, y¯) do centro de massa de uma lâmina plana D com densidade ρ(x, y) são x¯ = 1 m ∫∫ D xρ(x, y)dA y¯ = 1 m ∫∫ D yρ(x, y)dA. Exercícios 1. Calcule as integrais dadas. i. ∫3 1 ∫1 0 (1+ 4xy)dxdy ii. ∫2 0 ∫pi/2 0 x senydydx iii. ∫4 1 ∫2 1 ( x y + y x ) dydx iv. ∫2 1 ∫1 0 (x+ y)−2 dxdy v. ∫ ln 2 0 ∫ ln 5 0 e2x−y dxdy vi. ∫1 0 ∫1 0 xy√ x2 + y2 + 1 dydx 2. Calcule a integral dupla. i. ∫∫ R (6x2y3 − 5y4)dA, R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1} ii. ∫∫ R 1+ x2 1+ y2 dA, R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} #1 de 2 Lista 1 Integrais duplas Cálculo 3 iii. ∫∫ R xyex 2y dA, R = [0, 1]×[0, 2] iv. ∫∫ R x x2 + y2 dA, R = [1, 2]×[0, 1] 3. Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide hiperbólico z = 4 + x2 − y2 e acima do quadrado R = [−1, 1]×[0, 2]. 4. Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = 1+ ex seny e pelos planos x = ±1, y = 0, y = pi e z = 0. 5. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9− y2 e pelo plano x = 2. 6. Determine o valor médio de f(x, y) = x2y na região R = [−1, 1]×[0, 5]. 7. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ dadas. i. D é uma região triangular com vértices (0, 0), (1, 1) e (4, 0); ρ(x, y) = x ii. D é limitada por y = √x, y = 0 e x = 1; ρ(x, y) = x 8. Calcule as integrais duplas. i. ∫∫ D 4y x3 + 2 dA, D = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x} ii. ∫∫ D ey 2 dA, D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y} iii. ∫∫ D x √ y2 − x2 dA, D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y} iv. ∫∫ D (x+ y)dA, D é limitada por y = √x e y = x2 v. ∫∫ D (2x− y)dA, D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2. vi. ∫∫ D 2xydA, D é a região triangular com vértices (0, 0), (1, 2) e (0, 3). 9. Determine o volume do sólido dado. i. Abaixo do plano x+ 2y− z = 0 e acima da região limitada por y = x e y = x4. ii. Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo com vértices em (1, 1), (4, 1) e (1, 2). iii. Limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y+ z = 1. iv. Limitado pelo cilindro y2 + z2 = 4 e pelos planos x = 2y, x = 0, z = 0 no primeiro octante. 10. Use coordenadas polares para determinar as integrais dadas. i. ∫∫ R (x+y)dA, onde R é a região que está à esquerda do eixo y e entre as circunferências x2+y2 = 1 e x2+y2 = 4. ii. ∫∫ R cos(x2 + y2)dA, onde R é a região que está acima do eixo x e dentro da circunferência x2 + y2 = 9. 11. Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado. i. Abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9. ii. Acima do cone z = √ x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1. #2 de 2