Lista 1 Integrais duplas Cálculo 3

Campus de Sorocaba

Cálculo III – Cantão!
Integrais duplas

Definições
Valor médio
O valor médio de uma função f de duas variáveis em uma região D contida em seu domínio é definido por

f¯ =
1

A(D)

∫∫
D

f(x, y)dA,

onde A(D) é a área de D.

Densidade e massa
Dada uma lâmina plana D, denotaremos sua densidade por ρ(x, y). A massa dessa lâmina pode ser calculada por

m =

∫∫
D

ρ(x, y)dA.

Centro de massa
As coordenadas (x¯, y¯) do centro de massa de uma lâmina plana D com densidade ρ(x, y) são

x¯ =
1

m

∫∫
D

xρ(x, y)dA y¯ =
1

m

∫∫
D

yρ(x, y)dA.

Exercícios
1. Calcule as integrais dadas.

i.
∫3
1

∫1
0

(1+ 4xy)dxdy

ii.
∫2
0

∫pi/2
0

x senydydx

iii.
∫4
1

∫2
1

(
x

y
+

y

x

)
dydx

iv.
∫2
1

∫1
0

(x+ y)−2 dxdy

v.
∫ ln 2
0

∫ ln 5
0

e2x−y dxdy

vi.
∫1
0

∫1
0

xy√
x2 + y2 + 1

dydx

2. Calcule a integral dupla.

i.
∫∫
R

(6x2y3 − 5y4)dA, R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}

ii.
∫∫
R

1+ x2

1+ y2
dA, R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}

#1 de 2

Lista 1 Integrais duplas Cálculo 3

iii.
∫∫
R

xyex
2y dA, R = [0, 1]×[0, 2]

iv.
∫∫
R

x

x2 + y2
dA, R = [1, 2]×[0, 1]

3. Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide hiperbólico z = 4 + x2 − y2 e acima do quadrado
R = [−1, 1]×[0, 2].

4. Determine o volume do sólido delimitado pela superfície z = 1+ ex seny e pelos planos x = ±1, y = 0, y = pi e z = 0.
5. Determine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9− y2 e pelo plano x = 2.
6. Determine o valor médio de f(x, y) = x2y na região R = [−1, 1]×[0, 5].
7. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade ρ dadas.

i. D é uma região triangular com vértices (0, 0), (1, 1) e (4, 0); ρ(x, y) = x
ii. D é limitada por y = √x, y = 0 e x = 1; ρ(x, y) = x

8. Calcule as integrais duplas.

i.
∫∫
D

4y

x3 + 2
dA, D = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x}

ii.
∫∫
D

ey
2

dA, D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

iii.
∫∫
D

x
√
y2 − x2 dA, D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

iv.
∫∫
D

(x+ y)dA, D é limitada por y = √x e y = x2

v.
∫∫
D

(2x− y)dA, D é limitada pelo círculo de centro na origem e raio 2.

vi.
∫∫
D

2xydA, D é a região triangular com vértices (0, 0), (1, 2) e (0, 3).

9. Determine o volume do sólido dado.
i. Abaixo do plano x+ 2y− z = 0 e acima da região limitada por y = x e y = x4.
ii. Abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo com vértices em (1, 1), (4, 1) e (1, 2).
iii. Limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y+ z = 1.
iv. Limitado pelo cilindro y2 + z2 = 4 e pelos planos x = 2y, x = 0, z = 0 no primeiro octante.

10. Use coordenadas polares para determinar as integrais dadas.

i.
∫∫
R

(x+y)dA, onde R é a região que está à esquerda do eixo y e entre as circunferências x2+y2 = 1 e x2+y2 = 4.

ii.
∫∫
R

cos(x2 + y2)dA, onde R é a região que está acima do eixo x e dentro da circunferência x2 + y2 = 9.

11. Use coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
i. Abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima do disco x2 + y2 ≤ 9.
ii. Acima do cone z =

√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.

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