Física1 EXERCÍCIOS 08

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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 1 – Questões 8 
Questão  1  
 
Uma partícula se move ao longo do eixo Ox da esquerda para a direita. O módulo da força que 
atua sobre a partícula é dado por: F(x) = 2x – 1. Determine a variação da energia potencial da partícula 
entre os pontos x = 2 m e x = 4 m. Considere todas as unidades no Sistema Internacional. 
Resolução: 
 
( )
0
4
2 4
2
42
2 4 2
2 4
2 1
10 .
x
x
U Fdx
U x dx
U x x
U J
→
→
→
∆ =−
∆ =− −
⎡ ⎤∆ =− −⎢ ⎥⎣ ⎦
∴∆ =−
∫
∫  
 
Questão  2  
 
Se o módulo da força de atração entre uma partícula de massa m1 e uma de massa m2, é dado 
por 
1 2
2
mmF k
x
=  
 
onde k é uma constante e x, a distância entre as partículas, ache (a) a função energia potencial e (b) o 
trabalho necessário para aumentar a separação entre as massas de x = x1 e x = x1 + d. 
Resolução: 
a) 
0
0
0
0
1 2
02
1 2
0
1 2 1 2
0
0
1 2 1 2
0
0
x
x
x
x
x
x
U Fdx U
m mU k dx U
x
m mU k U
x
m m mmU U k k
x x
m m mmU k e U k
x x
=− +
=− +
=− +
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− =− − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∴ =− =−
∫
∫
 
 
b) 
1 1
?x x dW → + =  
W U=−∆  
Assim, 
 
 
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2 
( )
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 2 1 2
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1
1 1
x x d x x d
x x d
x x d
x x d
W U U
mm mmW k k
x x d
W km m
x d x
m m dW k
x x d
→ + +
→ +
→ +
→ +
= −
=− + +
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠
∴ =− +
 
 
Questão  3  
 
Para uma certa mola, a constante elástica vale 2500 Nڄm‐1. Um bloco de massa 4,0 kg cai sobre 
esta mola de uma altura h = 0,6 m. Despreze o atrito, ache a deformação da sofrida pela mola. 
Resolução: 
Considere a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A  deformação  da  mola  “x”  será  máxima,  quando  o  bloco  parar,  ou  seja,  o  bloco  não  terá  energia 
cinética. Assim, pelo princípio da conservação da energia (forças conservativas), teremos: 
 
( )
0
2
2
0,6
2
23,5 39,2 1250
39,2 119036,6
2500
0,15 0,12
0,15 .máx
E E
kxmg x
x x
x
x m e x m
x x m
=
+ =
+ =
±=
′ ′′= =−
′∴ = =
 
 
Questão  4  
 
Uma  certa mola  peculiar  não  obedece  à  lei  de  Hooke.  A  força  (em  newtons)  que  ela  exerce 
quando  distendida  a  uma  distância  x  (em metros)  tem módulo  52,8x  +  38,4x2  no  sentido  oposto  à 
elongação. (a) Calcule o trabalho total necessário para distender a mola de x = 0,50m a x = 1,00 m. (b) 
0,6 m
x U=kx2/2  
Ugrav = 0 
U0=mgh
 
 
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3 
Com uma das extremidades da mola fixa, uma partícula de massa 2,17 kg é presa à outra extremidade, 
quando  ela  está  distendida  x  =  1,00  m.  Se  a  partícula  é  então,  liberada  do  repouso,  calcule  sua 
velocidade no instante em que a mola volta à configuração em que a extensão é x = 0,50 m. (c) A força 
exercida pela mola é conservativa ou dissipativa? Explique. 
Resolução: 
a) O trabalho realizado pela mola é um trabalho negativo dado por: 
 
( )
0
1
2
0,5
12 3
0,5
52,8 38,4
26,4 12,8
31 .
x
mola
x
mola
mola
mola
W Fdx
W x x
W x x
W J
=−
=− +
⎡ ⎤=− +⎢ ⎥⎣ ⎦
∴ =−
∫
∫  
 
Assim podemos  concluir  que  o  trabalho  realizado por  um agente  externo  ao distender  a mola  será 
positivo dada por:  31 .W J=  
 
b) 
2
1
2,1731
2
5,35 .
W K
v
v m s−
=∆
=
∴ ≅ ⋅
 
 
c) 
0,5 1 1 0,5 0
31 31 0.
mola molaW W→ →+ =
− + =  
 
Como o trabalho total efetuado pela força elástica em um caminho fechado (distendo e depois 
comprimindo) é igual a zero, podemos concluir que essa força elástica é conservativa. 
 
Questão  5  
 
Um  objeto  está  preso  a  uma  mola  vertical  e  é  vagarosamente  baixado  até  a  posição  de 
equilíbrio, o que distende a mola de um comprimento d. Se o mesmo objeto for preso à mesma mola 
vertical, mas solto bruscamente, qual o comprimento máximo de distensão que a mola atinge? 
Resolução: 
 
                 
.
eF P
kd mg
mgk
d
=
=
∴ =
 
   
 
 
 
d 
Fe 
P 
 
 
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4 
Agora que temos a constante elástica da mola, poderemos utilizar a conservação da energia mecânica 
para encontrar a deformação máxima. Assim, teremos: 
 
0
2
2
2 .
g e
máx
máx
máx
E E
U U
kxmgx
x d
=
=
=
∴ =
 
 
Questão  6  
 
  Uma partícula move‐se  ao  longo de uma  linha,  em uma  região em  que  sua energia potencial 
varia como na figura abaixo. (a) Esboce, usando a mesma escala para as abscissas, o gráfico da força 
F(x)  que  atua  na  partícula.  Indique  no  gráfico  a  escala  numérica  aproximada  para  F(x).  (b)  Se  a 
partícula tem energia total constante de 4,0J, esboce o gráfico de sua energia cinética. Indique a escala 
numérica para o eixo K(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) A força é dada por:  dUF
dx
=− . Assim, poderemos obter o valor das forças nos intervalos dados no 
gráfico acima. Assim, teremos: 
 
0 1 1
1 2 2
2 6 3
4tan 4 ;
1
1tan 1 ;
1
1tan .
2
dUF N
dx
F N
F N
α
α
α
→
→
→
=− =− = =
=− = =
=− =−
 
 
Desta forma poderemos construir o gráfico da força em função de x. Logo, 
 
 
 
4 
2 
3 
4 
1  2  3 
1 
5  6 0 
x, metros 
U
(x
),j
ou
le
s 
 
 
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5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse último valor mostra que a  força muda de  sentido.  Se a partícula possui uma energia potencial 
constante de 4J, significa que a energia cinética dela é nula. 
 
Questão  7  
 
O fio indicado na figura tem comprimento l = 1,5 m. 
Quando  se  soltar  a  esfera,  ela  percorrerá  o  arco 
pontilhado.  Qual  será  sua  velocidade  ao  atingir  o  ponto 
mais baixo de sua trajetória? 
Resolução: 
Poderemos  utilizar  a  conservação  da  energia  mecânica. 
Assim, teremos: 
 
0
2
1
2
2
5,42 .
E E
U K
mvmgl v gl
v m s−
=
=
= ⇒ =
∴ = ⋅
 
 
Questão  8  
 
Que força corresponde a uma energia potencial U = ‐ax2 + bxy + z? 
 
Resolução: 
Sabemos que a força é dada por: 
 
U U UF U i j k
x y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟=−∇ =− + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
??
. 
 
Assim, calculando as derivadas parciais teremos: 
 
d
l 
x, metros 
4 
2 
3 
4 
1  2  3 
1 
5  6 0 
F(
x)
 N
 
‐1 
‐0,5 
 
 
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6 
( )
2 ;
;
1.
2 .
U ax by
x
U bx
y
U
z
F ax by i bxj k
∂ =− +∂
∂ =∂
∂ =∂
∴ = − − −?
 
 
 
Questão  9  
 
O chamado potencial de Yukawa, 
 
( ) 00 0
r
rrU r U e
r
−=−  
 
fornece uma descrição razoavelmente precisa da interação entre núcleons (isto é, neutrons e prótons, 
os constituintes do núcleo). A constante r0 vale cerca de 1,5 x 10‐15 m e a constante U0 vale cerca de 50 
MeV.  (a) Ache a expressão correspondente à  força de atração.  (b) A  fim de mostrar o curto alcance 
dessa força, calcule a razão entre força em r = 2r0, 4r0 e 10r0 e seu valor em r = r0. 
Resolução: 
a) Vamos encontrar a expressão da força de atração: 
 
0
0 0
0 0
0
0
0 0
0 02
0
0 0
02
1
.
r
r
r r
r r
r r
r r
dUF
dr
rdF U e
dr r
r rF U e U e
r r r
r UF U e e
r r
−
− −
− −
=−
⎛ ⎞⎟⎜=− − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=− + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∴ =− −
 
 
b) 
1 1 10
0 0 0
0 0 0
2 2 20 0 0
0 1 0
0 0 0
4 4 40 0 0
0 2 0
0 0 0
10 10 100 0 0
0 3 0
0 0 0
1 1 2 ;
32 ;
4 2 4
54 ;
16 4 16
1110 .
100 10 100
Ur r F U e U e e
r r r
r U Ur r F U e e e
r r r
r U Ur r F U e e e
r r r
r U Urr F U e e e
r r r
− − −
− − −
− − −
− − −
= ⇒ =− − =− ⋅
= ⇒ =− − =−
= ⇒ =− − =−
= ⇒ =− − =−
 
 
Assim, teremos: 
 
 
 
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7 
2
11
1
4
32
1
10
93
1
3
34 ;
2 8
5
510 ;
2 20
11
11100 .
2 200
eF e
F e
eF e
F e
eF e
F e
−
−
−
−
−
−
−
−
−
= =
= =
= =
 
 
 
Questão  10  
 
Uma haste leve e rígida, de comprimento l tem uma massa m ligada à extremidade, formando um 
pêndulo simples. Ela é invertida e a seguir largada. Quais são (a) a velocidade v no ponto mais baixo e 
(b) a tração T, na suspensão, naquele instante? (c) o mesmo pêndulo é, a seguir, colocado em posição 
horizontal  e  abandonado.  A  que  ângulo  da  vertical  a  tração  na  suspensão  será  igual  ao  peso  (em 
módulo)? 
Resolução: 
a) 
Utilizando a conservação da energia mecânica, teremos: 
 
0
2
2
2
2 .
E E
mvmg l
v gl
=
/=/
∴ =
 
 
 
 
b) 
 
2
4
5 .
cpF T P
mv T mg
R
m gl T mg
l
T mg
= −
= −
/⋅ = −/
∴ =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l 
T 
P 
 
 
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8 
c) 
 
 
( )
2
';
cos
g 1 cos .
cpF T P T P mg
mv mg mg
l
v l
α
α
= − = =
= −
= −
 
 
 
 
 
Utilizando a conservação da energia mecânica, teremos: 
 
( )
( ) ( )
0
2
1 cos
2
1 cos 1 cos
2
1 1cos arccos
3 3
71º .
E E
mvmgl mgl
glgl gl
α
α α
α α
α
=
/= − +/ /
= − + −
= ⇒ =
∴ =
 
 
 
Questão  11  
 
O prego da  figura da questão 7 está colocado à distância d abaixo do ponto de suspensão do 
pêndulo. Mostre que d deve valer pelo menos 0,6  l para que a esfera descreva um círculo completo 
tendo o prego como centro. 
Resolução: 
No limite T → 0, teremos: 
( )
2
;
.
cpF P
mv mg R l d
R
v g l d
=
/ = = −/
= −
 
 
Utilizando a conservação da energia mecânica, teremos: 
( )
( ) ( ) ( )
2
0 2 2
2 2 5
2
33 5 0,6 .
5
mvE E mgl mg l d
g l d
gl g l d l l d
ll d d l
/= ⇒ = − +/ /
−/= − + ⇒ = −/ /
= ⇒ = =
 
 
 
T 
P 
P’ 
α 
l 
lڄcosα 
d 
l 
P  T 
 
 
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9 
Questão  12  
 
Suponha que o fio da figura da questão 7 (questão 11) seja muito elástico, digamos, de borracha, e que 
no momento que a bola é  largada, tenha o comprimento  l, sem distensão. (a) Explique por que você 
esperaria  que  a  bola  atingisse  um  ponto,  abaixo  do  ponto  de  suspensão,  a  uma  distância  desse 
superior  a  l.  (b)  Mostre,  empregando  considerações  dinâmicas  e  de  energia  que  se  Δl  é  pequeno, 
comparado a l, o fio esticará por um valor Δl = 3mg/k, onde k é a constante elástica do fio. Note que 
quanto  maior  for  k,  menor  será  Δl,  e  melhor  a  aproximação  Δl  <<  l.  (c)  Mostre  que,  sob  tais 
circunstâncias, a velocidade da bola, embaixo, é  ( )32 2mgv g l k= − ,  inferior a que teria um fio sem 
elasticidade  (k →∞).  Dê  uma  explicação  física  para  tal  resultado,  empregando  considerações  de 
energia. 
Resolução: 
a) Pela  conservação  da  energia  mecânica,  a  energia  mecânica  inicial,  potencial  gravitacional,  será 
integralmente convertida em energia cinética e energia potencial elástica, devido à distensão do 
fio. Portanto, a bola atingirá o ponto mais baixo da trajetória a uma distância superior a l. 
 
b) No ponto mais baixo da trajetória teremos: 
 
2
;
.
cp elF F P
mv k l mg
l l
= −
= ⋅∆ −+∆
     (12.1) 
 
E 
( ) ( )
0
22
.
2 2
E E
k lmvmg l l
=
∆+∆ = +
   (12.2) 
 
Utilizando os resultados (12.1) e (12.2), teremos: 
 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
3 ; ; 1.
3
3 .
mg l l k l l l k l mg
mg l l k l l l k l l l l l
mgl lk l
mgl
k
+∆ − ∆ = +∆ ∆ −
+∆ − ∆ = +∆ ∆ +∆ ≅ ∆
= ∆
∴∆ =
?
 
 
c) Agora substituindo esse resultado em (12.2), teremos: 
2 2
2
2
2
2
3 92
3 92
32 .
2
mg m gmv mg l k
k k
mg mgv g l
k k
mgv g l
k
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= + −⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜= + −⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜∴ = − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
 
 
 
 
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10 
Questão  13  
 
Um bloco repouso   no alto de um monte hemisférico de gelo  (de raio R). Ele recebe um leve 
empurrão e começa a deslizar sobre o gelo.  (a) Mostre que ele é projetado para  fora do gelo de um 
ponto cuja altura é 2R/3, sendo a superfície sem atrito. (b) Se houver atrito entre o gelo e o bloco, ele é 
projetado para fora de uma altura maior ou menor que a de (a)? 
Resolução: 
a)No  limite  quando  a  força  normal  de  contato  →  0, 
teremos: 
 
2
2
cos
cos
cos .
cpF P P
mv mg
R
v Rg gh
β
β
β
′= =
/ = /
= =
 
 
 
 
 
Utilizando a conservação da energia mecânica, (sem atrito) teremos: 
 
0
2
2
2 2
2 3
2 .
3
E E
mvmgR mgh
gR gh gh
R h
Rh
=
/= +/ /
= +/ / /
=
∴ =
 
 
b) Menor. 
 
Questão  14  
 
Considere a figura ao lado. Uma partícula desliza 
sobre  um  trilho  que  possui  extremidades 
elevadas e uma parte central plana. A parte plana 
possui  comprimento  l  =  20 m.  As  partes  curvas 
não  apresentam  atrito.  O  coeficiente  de  atrito 
cinético  da  região  plana  vale  0,30.  Larga‐se  a 
partícula do ponto A cuja altura é dada por h = 10 
m. Em que ponto a partícula irá parar? 
Resolução: 
O trabalho total realizado pela força de atrito será igual ao oposto da variação da energia mecânica. 
Assim, teremos: 
 
0,30 20 10 1,67.
fatW E n mg l mgh
n n
µ=−∆ ⇒ ⋅ ⋅ =/ // /
⋅ ⋅ = ⇒ ≅  
R  P 
P’ 
h=Rcosβ β 
β 
h
l 
 
 
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11 
Onde “n” representa o número total de voltas. Como 1 volta corresponde a 20 m. A fração 0,67 
voltas corresponderá a aproximadamente 13,3 m. Assim, a partícula percorrerá 20 m para a direita e 
voltará pela direita percorrendo mais 13,3 m para a esquerda até parar a uma distância (20 – 13,3) de 
6,7 m da extremidade esquerda. 
 
Questão  15  
 
Uma haste rígida, bem leve, cujo comprimento é l, tem presa, em uma extremidade, uma bola 
de massa m. A outra extremidade é articulada em torno de um eixo, sem atrito, de tal modo que a bola 
percorre um círculo vertical. A bola chega ao ponto D e, em seguida, pára. (a) Deduza uma expressão 
para v0 em função de l, m e g. (b) Qual a tensão na haste quando a bola está em B? (c) Um pouco de 
areia é colocado sobre o eixo de articulação, após o que, a bola chega até C, depois de ter partido de A 
com a mesma velocidade de antes. Qual o trabalho realizado pelo atrito durante esse movimento. (d) 
Qual o trabalho total realizado pelo atrito antes de a bola parar em B, após oscilar repetidas vezes? 
Resolução: 
 
a) Utilizando a conservação da energia mecânica para os pontos 
A e D, teremos: 
 
0
2
0
0
2
2
2 .
E E
mvmgl mg l
v gl
=
/+ =/ /
∴ =
 
 
 
 
b) Quando  a  bola  atingir  o  ponto  B  teremos  para  a  força 
centrípeta: 
 
2
.
cpF T P
mv T mg
l
= −
= −    (15.1) 
 
Agora  vamos  utilizar  a  conservação  da  energia  mecânica  para  os  pontos  A  e  B.  Com  isso, 
determinaremos a velocidade em B. Assim, teremos: 
 
0
2
2
2
2 2
4 .
E E
m gl mvmgl
v gl
=
//+ =/ /
=
 
 
Substituindo em (15.1), teremos: 
5 .T mg=  
 
c) Se a partícula sai do ponto A e chega em C com a mesma velocidade de A, não ocorre variação da 
energia mecânica. Desta forma, o trabalho da força de atrito é nulo. Agora, se a partícula alcança o 
A 
B 
C 
D 
l 
v0 
 
 
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12 
ponto C, atinge velocidade zero e depois  inverte o sentido do movimento, o trabalho da força de 
atrito será dadopor: 
2
0 .
2
fat C A
fat
W E E E
mvW mgl
=−∆ = −
=− =−  
 
d) Se a partícula  sai de A e para no ponto B, o  trabalho da  força  de atrito é dado pela variação da 
energia mecânica. Desta forma: 
 
0
2
0
2
2 .
fat
fat
fat
W E E E
mvW mgl
W mgl
/=∆ = −
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟=− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∴ =−
 
 
Questão  16  
 
A eq. K = (m‐m0)c2 é a equação relativística usual para a energia cinética. (a) Mostre que, ao aplicar a 
eq.  m  =  m0(1‐β2)‐1/2  pode‐se  também  exprimir  a  energia  cinética  relativística  como  sendo 
2
0
mK mv
m m
= ⋅+ .  (b)  Compare  o  modo  pelo  qual  essas  duas  expressões  reduzem‐se  ao  resultado 
clássico  quando m→m0 ou  v/c→0.  (Veja  “Parallels  between Relativistic  and  Classical Dynamics  for 
Introductory Courses”, de Donald E. Fahnline. American Journal of Physics, junho de 1975). 
Resolução: 
a) Seja  0
2
21
mm
v
c
=
−
, resolvendo para “c”, teremos: 
2
2 0
2
2
22
0
2 2
2 2 22
0 0
2 2 2
2 2
2 2
0
1
1
1
mm
v
c
mv
c m
m m mv
c m m
mc v m
m m
=
−
− =
−= − =
∴ = ⋅ ⋅ −
 
Agora podemos escrever: 
 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
0 0 2 2
0
2
0
0 0
2
0
.
mK m m c m m mv
m m
mK m m mv
m m m m
mK mv
m m
= − = − ⋅ ⋅−
= − ⋅ ⋅+ ⋅ −
∴ = ⋅+
 
 
 
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13 
b) Fazendo m = m0, quando v/c → 0, teremos: 
2 20
0
0 0
2
0
2
.
2
mmK mv m v
m m m
m vK
= ⋅ = ⋅+
∴ =