Física1-05-Leis de Newton

Prévia do material em texto

sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 1 – Questões 5 
Questão  1  
 
Dois blocos, de massas m1 e m2, são interligados por uma mola de peso desprezível. Os corpos estão 
apoiados sobre uma mesa plana sem atrito. Após terem sido afastados e soltos, o bloco 1 adquire uma 
aceleração instantânea igual a  1a . No mesmo instante a aceleração do bloco 2 vale  2 13a a= . 
a) Obtenha a razão m1/m2; 
b) Se m1 = 2 kg e se  22 12a m s
−= ⋅  qual seria a força exercida pela mola sobre os blocos? 
Resolução: 
a)  
1 2
1 1 2 2
1
2
3.
R R elásticaF F F
m a m a
m
m
= =
=
=
 
 
b) 
1
22
1 1 1; 43
2 4 8 .
R elástica elástica
elástica
aF F F m a a m s
F N
−= ⇒ = = = ⋅
= ⋅ =
 
 
Questão  2  
 
Um carro possui velocidade constante de 60 km⋅h‐1 e sua massa vale 1,2 toneladas (1 tonelada = 103 
kg). Num dado instante o motorista usa os freios e o carro pára após percorrer 50m. Calcule: 
a) O módulo da força de frenagem; 
b) O tempo necessário para o carro parar. 
Resolução: 
a) 
2 2
0
2
2
3
2
0 16,7 2 50
2,79
1,2 10 2,79
3348 .
R
R
v v a x
a
a m s
F m a
F N
−
= − ∆
= − ⋅
= ⋅
= ⋅ = ⋅ ⋅
∴ =
 
 
b) 
0
0 16,7 2,79
5,99 .
v v a t
t
t s
= − ⋅
= −
∴ =
 
 
 
 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
2 
Questão  3  
 
Duas forças, F1 e F2, atuam sobre um corpo de massa  m, como indica a 
figura.  Considere  m=8,0kg,  F1=4,0N,  F2=6,0N.  Determine  o  vetor 
aceleração do corpo. 
Resolução: 
A força resultante é a soma de todas as forças que atuam em um corpo. 
Assim, teremos: 
 
2 2
1 2 1 2
7, 2 .
R R
R
F F F F F F
F N
= + ⇒ = +
∴ ≅
? ? ?
 
 
O  vetor  aceleração  está  na  mesma  direção  da  força  resultante  e  possui 
módulo de: 
 
2 07, 2 40,9 ; arctan 33,7 .
8 6R
F m a a m s θ−= ⋅ ⇒ = = ⋅ = ≅  
 
Questão  4  
 
Um bloco partindo do repouso no topo de um plano inclinado sem atrito, cujo comprimento é de 16m, 
chega  à  base  do  plano  5,0s  depois.  Um  segundo  bloco  é  projetado  da  base  para  cima  do  plano  no 
instante em que o primeiro bloco começa a sua trajetória, de tal modo que ele retorne à base do plano 
simultaneamente com o primeiro bloco. 
a) Ache a aceleração de cada bloco no plano inclinado; 
b) Calcule a velocidade inicial do segundo bloco; 
c) Que distância ao longo do plano percorre o segundo bloco? 
d) Determine o ângulo que a plana forma com a horizontal. 
Resolução: 
a) Utilizando a equação do espaço, pode‐se determinar a aceleração do primeiro bloco.  
 
2 2
0
2
516 0
2 2
1,28 .
at aS v t
a m s−
⋅∆ = + ⇒ = +
∴ = ⋅
 
 
b) A aceleração do segundo bloco também vale 1,28m⋅s‐2. Além disso, o tempo que o segundo bloco 
leva para subir será metade do tempo que o primeiro bloco leva para descer. Então: 
 
2 02
02
1
02
0 1,28 2,5
3,2 .
v v a t
v
v m s−
= − ⋅
= − ⋅
= ⋅
 
 
c) Para descer, o segundo bloco leva 2,5s. Partindo do repouso, teremos: 
 
2 2
2
1, 28 2,5 4 .
2 2
a tS m⋅ ⋅∆ = = =  
m 
1F
?
2F
?
m 
1F
?
2F
?
RF
?
a?
θ 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
3 
São 4m para subir e mais 4m para descer. 
 
d) Sendo  um  plano  inclinado,  vale  a  seguinte  relação:  a gsenθ= .  Utilizando  o  valor  29,8g m s−= ⋅ , 
teremos: 
 
0
1, 281,28 9,8
9,8
7,5 .
sen arcsenθ θ
θ
= ⇒ =
≅
 
 
Questão  5  
 
Um pára‐quedista possui massa igual a 70 kg e quando salta do avião com um pára‐quedas ele sofre 
uma aceleração para baixo igual a 2,0 m⋅s‐2. A massa do pára‐quedas vale 5,0 kg. 
a) Determine o valor da força exercida pelo ar de baixo para cima sobre o pára‐quedas; 
b) Ache o módulo da força exercida pelo homem sobre o pára‐quedas. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
( ) ( )
75 2 75 9,8
585 .
RPAR PAR AR
RHOM HOM
HOM PAR HOM PAR AR
AR
AR
F T P F
F P T
m m a m m g F
F
F N
⎧ = − −⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩
+ = + −
⋅ = ⋅ −
∴ =
 
 
 
FAR 
PPAR  T 
T 
PHOM 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
4 
b) T=? 
140 686
546 .
RHOM HOMF P T
T
T N
= −
− =−
∴ =
 
 
Questão  6  
 
O eixo da roldana indicada na figura é impulsionado por uma 
força  F  de  baixo  para  cima.  Despreze  o  atrito  do mancal  e  a 
massa da do fio e da roldana. O corpo m1 possui massa igual a 
2  kg  e  o  outro  corpo    amarrado  na  outra  extremidade  da 
roldana  possui massa m2  igual  a  4  kg.  O  corpo  de massa m2 
está  inicialmente  apoiado  na  horizontal.  Faça  um  diagrama 
das  forças  sobre a  roldana e  sobre  cada um dos blocos. Com 
base neste diagrama e nas leis de Newton, determine: 
a) O  maior  valor  que  a  força  F  pode  ter  de  modo  que  m2 
permaneça em repouso sobre a superfície; 
b) A tensão no fio supondo F = 100N. 
c) A aceleração de m1 no caso “b”. 
Resolução: 
a) Previamente  vamos  representar  as  forças  que  atuam  na 
roldana e em cada corpo. 
 
Roldana: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corpo 1:          Corpo 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que o corpo 2 permaneça em equilíbrio no apoio da horizontal, a seguinte condição deve 
ser satisfeita:  2P T N= + . Porém, se  0N → , a condição a ser satisfeita será:  2P T= . Assim, o máximo 
valor de T será:  4 9,8 39,2T N= ⋅ = , onde  29,8g m s−= ⋅ . E como  78,4
2
FT F N= ⇒ = . 
m1 
m2 
F 
T 
P1 
T
N
P2 
F
T T
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
5 
b) Como  50 .
2
FT N= =  
c) Utilizando o resultado do item “b”, teremos para o corpo 1: 
 
1 1
1
2
1
2 50 19,6
15,2 .
RF T P
a
a m s−
= −
⋅ = −
∴ = ⋅
 
 
Obs.: A aceleração no corpo 1 é ascendente. 
 
Questão  7  
 
Determine as acelerações dos corpos nos dois casos abaixo. Considere a aceleração da gravidade igual 
a “g”. Despreze as massas das polias. 
 
a)  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) Previamente, representaremos o diagrama de forças nos corpos 1, 2 e 3, bem como nas roldanas. 
 
Corpo 1:            Corpos 2 e 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 
3 
1 
2 
3 
T 
P1 
N 
T 
T 
Freação 
T/2
T 
T/2 
P3
P2 
T/2
T/2 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
6 
Para o corpo 1, teremos:  
 
1 1 1 1; RN P F T m a= = = ⋅ .     (7.a.1) 
 
E para os corpos 2 e 3, teremos: 
 
2 2 2 2 22 2R
T TF P m a m g= − ⇒ ⋅ = ⋅ −    (7.a.2) 
e 
3 3 3 3 32 2R
T TF P m a m g= − ⇒ ⋅ = ⋅ − .    (7.a.3) 
 
Teremos que  fazer algumas considerações acerca da roldana suspensa. Observando a  figura abaixo, 
podemos concluir que a aceleração da mesma é a média das acelerações dos corpos 2 e 3. 
 
 
 
1 3 2
22 3
1
2 3
1
2 2
1;
2 2
.
2
y L y L y L
y yy y a t
a aa
// / /∆ + −∆ + −∆ =
∆ +∆∆ = ∆ = ⋅
+∴ =
   (7.a.4) 
 
 
 
Agora, utilizando o resultado de (7.a.4) nas equações (7.a.2) e (7.a.3), teremos: 
 
2 31
2 2 2 2 2
a amm a m g
⎛ ⎞+ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠    (7.a.5) 
e 
2 31
3 3 3 2 2
a amm a m g
⎛ ⎞+ ⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ .   (7.a.6) 
 
Poderemos utilizar a equação (7.a.5) para resolver  2a  e em seguida substituir na equação (7.a.6) para 
encontrar a expressão de  3a . Logo teremos: 
 
( )
( )
2
1 2 1 3
3 3 3 1 3
2 1
3 2 3 1 3 3 2 1 3 3 2 1 3 1 2
3 2 3 1 3 1 2
44 4
4
16 4 4 4 4
4
mm g m am a m g m a
m m
m m a m m a m m a g m m mm mm
a m m mm mm
⎡ ⎤−⎢ ⎥= − −⎢ ⎥+⎣ ⎦
+ + = + −
∴ = + − ⋅A.
   (7.a.7) 
 
Onde, 
( ) 12 3 1 3 2 14g m m mm m m −= + +A .   (7.a.8) 
 
3  2 
3 
2 
L 
∆y3∆y2 
∆y1 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
7 
Agora, substituindo o resultado de (7.a.7), na equação (7.a.5), poderemos encontrar a expressão de  2a . 
Assim, teremos: 
 
( )2 2 3 1 2 1 34a m m mm mm= + − ⋅A .   (7.a.9) 
 
Utilizando os resultados de (7.a.4), (7.a.7) e (7.a.9), teremos: 
 
1 2 34a m m= ⋅A .  (7.a.10) 
 
b) Conforme foi feito no item “a”, previamente, representaremos o diagrama de forças nos corpos 1, 2 
e 3, bem como nas roldanas. 
 
 
Corpo 1:              Corpos 2 e 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o corpo 1, teremos: 
 
( )1 1 1 1 1 1RF m a T P T m a g= = − ⇒ = + .  (7.b.1) 
 
Para os corpos 2 e 3, teremos: 
 
( )12 2 2 2 2 2 2 12 2R
mTF m a m g m a m g a g= = − ⇒ = − +   (7.b.2) 
e 
( )13 3 3 3 3 3 3 12 2R
mTF m a m g m a m g a g= = − ⇒ = − + .  (7.b.3) 
 
Aqui,  também  se  aplica  o  resultado  de  (7.a.4).  Assim,  as  equações  (7.b.2)  e  (7.b.3)  podem  ser 
expressas por: 
 
( )2 2 2 1 2 3 14 4 2m a m g m a a m g= − + −    (7.b.4) 
e 
P1 
T 
T  T 
2T 
P2
T 
P3 
T/2  T/2 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
8 
( )3 3 3 1 2 3 14 4 2m a m g m a a m g= − + − .  (7.b.5) 
 
Utilizando  a  equação  (7.b.4)  podemos  encontrar  uma  expressão  para  2a   e  depois  substituir  na 
equação (7.b.5) e assim determinar  3a . Logo, teremos: 
 
( )
( )
2 1
3 3 3 1 1 3 1
2 1
2 2 2 2
3 2 3 1 3 3 1 3 2 1 3 1 3 2 3 1 3 1 2 1 1 2 1
3 2 3 1 3 1 2
2 2
4 4 2
4
16 4 4 16 4 4 2 8 2
4 3 A.
g m m
m a m g m m a m g
m m
m m a mm a m a m m a m a m m g m m g m m g gm mm g m g
a m m mm mm
⎡ ⎤−⎢ ⎥= − − −⎢ ⎥+⎣ ⎦
+ − + + = + − + − −
∴ = + − ⋅
(7.b.6) 
 
Onde A é dado por (7.a.8). Substituindo o resultado de (7.b.6) em (7.b.4), teremos: 
 
( )2 2 3 2 1 1 34 3 Aa m m m m mm= + − ⋅ .  (7.b.7) 
 
Logo, com o auxílio do resultado de (7.a.4), (7.b.6) e (7.b.7) poderemos encontrar  1a : 
 
( )1 2 3 2 1 1 34 Aa m m m m mm= − − ⋅ . (7.b.8) 
 
Questão  8  
 
Uma  corrente  flexível  e  uniforme  possui  comprimento  L.  Sua 
densidade  linear  (ou  seja,  seu  peso  por  unidade  de 
comprimento) vale λ. A  corrente passa  sobre uma roldana  sem 
atrito  e  de  massa  desprezível.  Ela  é  liberada  da  posição  de 
repouso, pendendo para um lado com um comprimento x e para 
o  outro  com  comprimento  L  –  x.  Determine  a  aceleração  em 
função de x. 
Resolução: 
 
( ) ( )
( ) ( )
2 .
R L x x
x L x L x x
F P P
m m a m m g
x L x a L x x g
L xa g
L
λ λ
−
− −
= −
+ = −
/ /+ − = − −
⎛ ⎞− ⎟⎜∴ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
 
 
Questão  9  
 
Duas partículas de mesma massa m estão ligadas por um fio 
leve de comprimento 2L, conforme mostra a figura. Aplica‐
se uma  força  contínua F no ponto médio da  corda  (x = 0), 
perpendicularmente à posição inicial da corda. Determine a 
aceleração  de  m  numa  direção  perpendicular  à  força 
aplicada, em função da distância x de uma das partículas à 
x 
L ‐ x
Px 
PL‐x 
m  m 
F 
2L 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
9 
linha de ação da força aplicada. 
Resolução: 
Vamos representar os diagramas de forças. 
 
Observando a figura poderemos concluir que a força 
resultante em cada partícula é dada por:  
 
.R
TF ma T a
m
= = ⇒ =  
 
Assim, podemos escrever: 
 
cos cosx x
Ta a a
m
θ θ= ⇒ = . 
Mas,  
2
2
FF Tsen T
sen
θ θ= ⇒ = . 
 
Logo, teremos: 
 
cos .
2x
Fa
m sen
θ
θ=  
 
Do triângulo retângulo, temos:  
 
( )1 22 2
cos x
sen L x
θ
θ = −
 
Assim, 
( )1 22 22x
F xa
m L x
= ⋅
−
. 
 
Questão  10  
 
A resistência do ar ao movimento dos corpos depende de muitos fatores, tais como: tamanho e forma 
do  corpo,  densidade  e  temperatura  do  ar,  velocidade  do  corpo,  etc.  Uma  hipótese  aceitável,  pelo 
menos para cálculos de ordem de grandeza, afirma que a força resistiva fR é proporcional ao módulo 
da velocidade do corpo. Como a força resistiva é contrária ao movimento, podemos escrever fR = ‐kv, 
onde k é uma constante de proporcionalidade. Denomina‐se velocidade terminal de um corpo no seio 
de um fluido a velocidade atingida pelo corpo quando a aceleração do movimento torna‐se nula, isto é, 
o corpo passa a se mover com velocidade constante no seio do fluido.  
a) Aplique a Segunda Lei de Newton para um corpo que cai verticalmente no ar; 
b) Obtenha a equação diferencial do movimento; 
c) Calcule a velocidade terminal; 
d) Obtenha a expressão da velocidade em função do tempo; 
e) Obtenha a expressão do espaço percorrido em função do tempo. 
Resolução: 
a) 
F 
L 
x 
Fx 
Fy 
θ
T 
T 
T
T 
(L2‐ x2)1/2 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
10 
.R RF mg f ma mg kv= − ⇒ = −  
b) 
dvm mg kv
dt
= −  
ou 
2
2
d y dym mg k
dt dt
= − . 
 
c) FR = 0. Assim, 
.t
P kv
mgv
k
=
=  
 
d) Utilizando a equação diferencial da velocidade do item “b”, teremos: 
 
ln .
dv kg v
dt m
dv dtkg v
m
dv dtkg v
m
m kg v const t
k m
= −
=
−
=
−
⎛ ⎞⎟⎜− − + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
∫ ∫
 
 
Tomando as condições iniciais v = 0 quando t = 0, teremos: 
 
( )1 .kt mtv v e−= −  
 
e) Do resultado anterior, podemos escrever: 
 
( )1 kt mtdy v edt −= − . 
 
Assim, de forma semelhante ao item anterior, teremos: 
 
.
kt
m
t t
kt
m
t t
ktt m
t
dy v dt v e
dy v dt v e dt
v my v t e
k
−
−
−
= −
= −
∴∆ = +
∫ ∫ ∫  
 
 
 
sites.google.com/site/profafguimaraes 
 
11 
Porém,  esse  resultado  não  se  mostra  muito  confiável,  pois  não  atende  às  condições  iniciais.  Para 
0 0t y= ⇒∆ = .  Substituindo  t = 0 na equação,  encontramos  .tv my
k
∆ =  O mais  correto a  se  fazer é 
utilizar a constante de integração e depois determinar o valor da constante de integração impondo as 
condições iniciais. Assim, teremos: 
 
.
kt
m
t t
kt
m
t t
ktt m
t
dy v dt v e
dy v dt v e dt
v my v t e const
k
−
−
−
= −
= −
∆ = + +
∫ ∫ ∫  
 
Utilizando as condições iniciais,  0 0t y= ⇒∆ = , teremos: 
 
( )
0
0 0 . .
1 .
kt tm
t
ktt m
t
v m v mv e const const
k k
v my v t e
k
−
−
= + + ⇒ =−
∴∆ = + −