09 Centro de Massa, Momento Linear
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09 Centro de Massa, Momento Linear

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1 

 Prof. A.F.Guimarães 
Física 1 – Questões 9 

Questão  1  
 

Na  molécula  de  amônia  (NH3)  os  três  átomos  de  hidrogênio  (H) 
formam  um  triângulo  eqüilátero,  sendo  de  1,628  x  10‐10  m  a  distância 
entre os centros dos átomos de hidrogênio (H). O átomo de nitrogênio (N) 
está  no  vértice  de  uma  pirâmide  da  qual  os  três  átomos  de  hidrogênio 
constituem a base (ver a  figura ao  lado). A distância entre os  átomos de 
hidrogênio e o átomo de nitrogênio vale 1,014 x 10‐10 m. Localize o centro 
de massa deste sistema em relação ao átomo de nitrogênio. 
Resolução: 
Vamos observar a disposição dos átomos nas 3 dimensões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previamente, determinaremos a altura “h” e o apótema “Ap” do triângulo eqüilátero: 
 

3 0,814 3 1,410;
2
3 0,271 3 0,470.

6

lh

lAp

= = =

= = =
 

 
Agora, sabemos que no plano XY, as coordenadas do centro de massa são: Xcm = 0,814 e Ycm = 0,470. Só 
falta agora determinar a coordenada Zcm. Para isso, precisamos determinar a altura H da pirâmide. A 
diferença h – Ap = 0,94. Aplicando Pitágoras, teremos: 
 

2 2 20,94 1,014 0,379.H H+ = ⇒ =  
 

Desta  forma:  14 0,379 0,312.
3 17

nitr
cm

hidr nitr

M HZ
M M

⋅ ⋅= = =+   O  centro  de  massa  está  a  0,312  da  base 
triangular, ou a 0,067 do átomo de nitrogênio. 
 

x(·10‐10 m) 

y(·10‐10 m) 

z(·10‐10 m) 

1,628 0,814

Ap 

h 

H 

 
 
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2 

Questão  2  
 

Determine, a posição do centro de massa de um arame em forma de arco de circunferência de 
raio R, abrangendo um ângulo central igual a θ. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Onde  m
R

λ θ
⎛ ⎞⎟⎜ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⋅  representa a densidade linear do arame. Assim, teremos: 

[ ]

0

2

0

2

0

1

.

cm

cm

cm cm

x Rcos Rd
m
Rx cos d
m

mR R senx sen x
m R

θ

θ

θ

α λ α
λ α α

θαθ θ
/

= ⋅ ⋅

=
⋅/= ⋅ ∴ =/ ⋅/

∫
∫  

 
e 

( )
0

1

1 .

cm

cm

y Rsen Rd
m

Ry cos

θ
α λ α

θθ

= ⋅

∴ = −
∫

 

 
Questão  3  
 

Determine a posição do centro de massa de uma chapa em forma de quadrante de círculo de 
raio a. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

dm=λRdα 

dα 
R 

θ  α

x=Rڄcosα 

y=Rڄsenα 

x

dx

( )12 2 2y a x= −
dm=σydx

 
 
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3 

Onde  2
4m
a

σ π
⎛ ⎞⎟⎜ = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠representa  a  densidade  superficial  da  chapa.  Assim,  poderemos  determinar  as 

coordenadas do centro de massa: 
 

( )
( )

1
2 2 2

0

3
2 2 2

2

0

1

41
3

4 .
3

a

cm

a

cm

cm

x x a x dx
m

a xmx
m a

ax

σ

π

π

= −
⎡ ⎤−⎢ ⎥/ ⎢ ⎥= ⋅ −⎢ ⎥/ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∴ =

∫
 

 

Agindo da mesma forma, determinamos também  4
3cm
ay π= . 

 
Questão  4  
 

Duas  partículas  estão  inicialmente  em  repouso,  separadas  por  uma  distância  de  1,0  m.  A 
partícula  P  possui  massa  m1  =  3,0  kg  e  a  partícula  Q  possui  massa  m2  =  5,0  kg.  P  e  Q  atraem‐se 
mutuamente  com uma  força  constante  igual  a 3,5  x 10‐1 N. Nenhuma  força  externa  atua  sobre este 
sistema. (a) Descreva o movimento do centro de massa. (b) A que distância da posição original de P as 
partículas deverão colidir? 
Resolução: 

a) 0.cmdx
dt

=  
b)  

 
As  forças  que  atuam  nas  partículas  são  forças  internas.  Desta  forma,  o  centro  de  massa 
permanecerá em repouso. Logo, as partículas se encontrarão no centro de massa. Assim, 

 
0

0 0; 0.
0

3 5 ; 1.

5 0,625 .
8

p p q q

p q p q

p

P P
P P P

m v m v
x x x x

x m m

=
= =

= −
⋅∆ = ⋅∆ ∆ +∆ =

∴∆ = =

? ?

 

 
Esse  mesmo  cálculo  poderia  ser  efetuado  tomando  as  equações  horárias  para  cada  partícula 
individualmente. Para isso, se faz necessário determinar a aceleração para cada partícula. Vejamos: 
 

2

2

0,35 0,1167 ;
3

0,35 0,07 .
5

p
p

q
q

Fa m s
m
Fa m s
m

−

−

= = ≅ ⋅

= = ≅ ⋅
 

P Qcm

 
 
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Montando as equações horárias para P e Q, teremos: 
 

2 21 11 .
2 2p p q q

x a t e x a t= = −  
 
No encontro, teremos: 

( )

2 2

2

2

1 11
2 2

1 0,1167 0,07 1
2

2 10,7
0,1867

1 0,1167 10,7 0,624 .
2

p q

p p

p p

x x

a t a t

t

t

x x m

=
= −

+ =

≅ ≅

= ⋅ ⋅ ∴ ≅

 

 
Questão  5  
 

Um homem de massa m está pendurado em uma escada de corda, suspensa por um balão de 
massa M. O balão está estacionário em relação ao solo. (a) Se o homem começar a subir pela escada à 
velocidade v  (com relação à escada), em que direção e com que velocidade (com relação à Terra) o 
balão se moverá? (b) Qual o estado do movimento após o homem ter parado de subir? 
Resolução: 

a) Considere a figura abaixo.  
 
 

Onde  vbT  e  vhT  são,  respectivamente,    as  velocidades  do balão  e  do homem 
com  relação  à  Terra.  Aqui,  vhT  =  v  ‐  vbT.  Considerando  que  o  sistema  se  encontra 
estacionário,  podemos  admitir  que  a  força  resultante  sobre  o  sistema  (centro  de 
massa do sistema) é nula.  Assim, podemos escrever: 
 
 

( )
0

0 0

.

bT bT

bT

P P
P P m v v Mv

mvv
m M

=
= ⇒ = − −

∴ = +

? ?

 

 
b) Estacionário. 
 

 
 
Questão  6  
 

Um homem de massa m = 70 kg está parado sobre a extremidade de uma jangada de 200 kg, 
que se desloca com velocidade constante num lago. A velocidade da jangada em relação à margem é 
igual  a  3  mڄs  ‐1.  Despreze  o  atrito.  O  homem  anda  até  a  outra  extremidade  da  jangada,  cujo 
comprimento total vale 5 m. A velocidade do homem em relação à jangada vale vhj = 1,5 mڄs ‐1 e possui 

bTv
?

hTv
?

 
 
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direção e sentido paralelos à velocidade da jangada. Mostre que a velocidade do centro de massa do 
sistema permanece constante e igual a 3 mڄs ‐1. Calcule a distância percorrida pelo centro da jangada e 
pelo centro de massa do sistema durante o tempo que o homem passa de uma extremidade para outra 
da jangada. 
Resolução: 

Como a força resultante no sistema é nula, podemos concluir que a aceleração sobre o centro 
de massa também é nula. Desta forma a velocidade do centro de massa se mantém constante. 
 

O intervalo de tempo que o homem leva para alcançar a outra extremidade do barco vale: 
 

5 .
1,5hj

lt s
v

∆ = =  
 
Aplicando a conservação do momento, teremos: 
 

( )
( )

0

0

1

270 3 70 200

810 105 270

2,6 .

cm hT jT

jT jT

jT

jT

P P
P P

m M v mv Mv

v v v

v

v m s−

=
=

+ = +
⋅ = + +

= +
∴ ≅ ⋅

? ?

 

 
Onde vhT = vhj +vjT  (velocidade do homem com relação à Terra é  igual a velocidade  do homem com 
relação à jangada mais a velocidade da jangada com relação à Terra). Assim, teremos: 
 

53 10 ;
1,5
52,6 8,7 .
1,5

cm cm

j jT

x v t m

x v t m

∆ = ⋅∆ = ⋅ =

∆ = ⋅∆ = ⋅ ≅
 

 
Poderíamos  também  encontrar  a  posição  do  centro  de  massa  do  sistema,  admitindo  que  jangada 
possua massa uniformemente distribuída: 

( ) 200 2,52 1,85 .
270cm

lM
x m

m M

⋅ ⋅= = ≅+  
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, podemos determinar a distância percorrida pelo centro de massa: 

5m2,5m1,85m0 

 
 
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6 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Como a diferença entre a distância percorrida pelo centro de massa do sistema e o centro da 

jangada é de 1,3 m, concluímos então que a distância percorrida pelo centro da jangada vale 8,7 m. 
 
Questão  7  
 

Uma bola de 50 g é lançada ao ar com uma velocidade inicial de 15 mڄs ‐1, formando um ângulo 
com  a  horizontal  de  450.  (a)  Quais  são  os  valores  da  energia  cinética