09 Centro de Massa, Momento Linear
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09 Centro de Massa, Momento Linear


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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 1 \u2013 Questões 9 
Questão  1  
 
Na  molécula  de  amônia  (NH3)  os  três  átomos  de  hidrogênio  (H) 
formam  um  triângulo  eqüilátero,  sendo  de  1,628  x  10\u201010  m  a  distância 
entre os centros dos átomos de hidrogênio (H). O átomo de nitrogênio (N) 
está  no  vértice  de  uma  pirâmide  da  qual  os  três  átomos  de  hidrogênio 
constituem a base (ver a  figura ao  lado). A distância entre os  átomos de 
hidrogênio e o átomo de nitrogênio vale 1,014 x 10\u201010 m. Localize o centro 
de massa deste sistema em relação ao átomo de nitrogênio. 
Resolução: 
Vamos observar a disposição dos átomos nas 3 dimensões: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Previamente, determinaremos a altura \u201ch\u201d e o apótema \u201cAp\u201d do triângulo eqüilátero: 
 
3 0,814 3 1,410;
2
3 0,271 3 0,470.
6
lh
lAp
= = =
= = =
 
 
Agora, sabemos que no plano XY, as coordenadas do centro de massa são: Xcm = 0,814 e Ycm = 0,470. Só 
falta agora determinar a coordenada Zcm. Para isso, precisamos determinar a altura H da pirâmide. A 
diferença h \u2013 Ap = 0,94. Aplicando Pitágoras, teremos: 
 
2 2 20,94 1,014 0,379.H H+ = \u21d2 =  
 
Desta  forma:  14 0,379 0,312.
3 17
nitr
cm
hidr nitr
M HZ
M M
\u22c5 \u22c5= = =+   O  centro  de  massa  está  a  0,312  da  base 
triangular, ou a 0,067 do átomo de nitrogênio. 
 
x(·10\u201010 m) 
y(·10\u201010 m) 
z(·10\u201010 m) 
1,628 0,814
Ap 
h 
H 
 
 
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2 
Questão  2  
 
Determine, a posição do centro de massa de um arame em forma de arco de circunferência de 
raio R, abrangendo um ângulo central igual a \u3b8. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde  m
R
\u3bb \u3b8
\u239b \u239e\u239f\u239c = \u239f\u239c \u239f\u239c\u239d \u23a0\u22c5  representa a densidade linear do arame. Assim, teremos: 
[ ]
0
2
0
2
0
1
.
cm
cm
cm cm
x Rcos Rd
m
Rx cos d
m
mR R senx sen x
m R
\u3b8
\u3b8
\u3b8
\u3b1 \u3bb \u3b1
\u3bb \u3b1 \u3b1
\u3b8\u3b1\u3b8 \u3b8
/
= \u22c5 \u22c5
=
\u22c5/= \u22c5 \u2234 =/ \u22c5/
\u222b
\u222b  
 
e 
( )
0
1
1 .
cm
cm
y Rsen Rd
m
Ry cos
\u3b8
\u3b1 \u3bb \u3b1
\u3b8\u3b8
= \u22c5
\u2234 = \u2212
\u222b
 
 
Questão  3  
 
Determine a posição do centro de massa de uma chapa em forma de quadrante de círculo de 
raio a. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dm=\u3bbRd\u3b1 
d\u3b1 
R 
\u3b8  \u3b1
x=R\u684cos\u3b1 
y=R\u684sen\u3b1 
x
dx
( )12 2 2y a x= \u2212
dm=\u3c3ydx
 
 
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3 
Onde  2
4m
a
\u3c3 \u3c0
\u239b \u239e\u239f\u239c = \u239f\u239c \u239f\u239c\u239d \u23a0representa  a  densidade  superficial  da  chapa.  Assim,  poderemos  determinar  as 
coordenadas do centro de massa: 
 
( )
( )
1
2 2 2
0
3
2 2 2
2
0
1
41
3
4 .
3
a
cm
a
cm
cm
x x a x dx
m
a xmx
m a
ax
\u3c3
\u3c0
\u3c0
= \u2212
\u23a1 \u23a4\u2212\u23a2 \u23a5/ \u23a2 \u23a5= \u22c5 \u2212\u23a2 \u23a5/ \u23a2 \u23a5\u23a3 \u23a6
\u2234 =
\u222b
 
 
Agindo da mesma forma, determinamos também  4
3cm
ay \u3c0= . 
 
Questão  4  
 
Duas  partículas  estão  inicialmente  em  repouso,  separadas  por  uma  distância  de  1,0  m.  A 
partícula  P  possui  massa  m1  =  3,0  kg  e  a  partícula  Q  possui  massa  m2  =  5,0  kg.  P  e  Q  atraem\u2010se 
mutuamente  com uma  força  constante  igual  a 3,5  x 10\u20101 N. Nenhuma  força  externa  atua  sobre este 
sistema. (a) Descreva o movimento do centro de massa. (b) A que distância da posição original de P as 
partículas deverão colidir? 
Resolução: 
a) 0.cmdx
dt
=  
b)  
 
As  forças  que  atuam  nas  partículas  são  forças  internas.  Desta  forma,  o  centro  de  massa 
permanecerá em repouso. Logo, as partículas se encontrarão no centro de massa. Assim, 
 
0
0 0; 0.
0
3 5 ; 1.
5 0,625 .
8
p p q q
p q p q
p
P P
P P P
m v m v
x x x x
x m m
=
= =
= \u2212
\u22c5\u2206 = \u22c5\u2206 \u2206 +\u2206 =
\u2234\u2206 = =
? ?
 
 
Esse  mesmo  cálculo  poderia  ser  efetuado  tomando  as  equações  horárias  para  cada  partícula 
individualmente. Para isso, se faz necessário determinar a aceleração para cada partícula. Vejamos: 
 
2
2
0,35 0,1167 ;
3
0,35 0,07 .
5
p
p
q
q
Fa m s
m
Fa m s
m
\u2212
\u2212
= = \u2245 \u22c5
= = \u2245 \u22c5
 
P Qcm
 
 
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4 
Montando as equações horárias para P e Q, teremos: 
 
2 21 11 .
2 2p p q q
x a t e x a t= = \u2212  
 
No encontro, teremos: 
( )
2 2
2
2
1 11
2 2
1 0,1167 0,07 1
2
2 10,7
0,1867
1 0,1167 10,7 0,624 .
2
p q
p p
p p
x x
a t a t
t
t
x x m
=
= \u2212
+ =
\u2245 \u2245
= \u22c5 \u22c5 \u2234 \u2245
 
 
Questão  5  
 
Um homem de massa m está pendurado em uma escada de corda, suspensa por um balão de 
massa M. O balão está estacionário em relação ao solo. (a) Se o homem começar a subir pela escada à 
velocidade v  (com relação à escada), em que direção e com que velocidade (com relação à Terra) o 
balão se moverá? (b) Qual o estado do movimento após o homem ter parado de subir? 
Resolução: 
a) Considere a figura abaixo.  
 
 
Onde  vbT  e  vhT  são,  respectivamente,    as  velocidades  do balão  e  do homem 
com  relação  à  Terra.  Aqui,  vhT  =  v  \u2010  vbT.  Considerando  que  o  sistema  se  encontra 
estacionário,  podemos  admitir  que  a  força  resultante  sobre  o  sistema  (centro  de 
massa do sistema) é nula.  Assim, podemos escrever: 
 
 
( )
0
0 0
.
bT bT
bT
P P
P P m v v Mv
mvv
m M
=
= \u21d2 = \u2212 \u2212
\u2234 = +
? ?
 
 
b) Estacionário. 
 
 
 
Questão  6  
 
Um homem de massa m = 70 kg está parado sobre a extremidade de uma jangada de 200 kg, 
que se desloca com velocidade constante num lago. A velocidade da jangada em relação à margem é 
igual  a  3  m\u684s  \u20101.  Despreze  o  atrito.  O  homem  anda  até  a  outra  extremidade  da  jangada,  cujo 
comprimento total vale 5 m. A velocidade do homem em relação à jangada vale vhj = 1,5 m\u684s \u20101 e possui 
bTv
?
hTv
?
 
 
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5 
direção e sentido paralelos à velocidade da jangada. Mostre que a velocidade do centro de massa do 
sistema permanece constante e igual a 3 m\u684s \u20101. Calcule a distância percorrida pelo centro da jangada e 
pelo centro de massa do sistema durante o tempo que o homem passa de uma extremidade para outra 
da jangada. 
Resolução: 
Como a força resultante no sistema é nula, podemos concluir que a aceleração sobre o centro 
de massa também é nula. Desta forma a velocidade do centro de massa se mantém constante. 
 
O intervalo de tempo que o homem leva para alcançar a outra extremidade do barco vale: 
 
5 .
1,5hj
lt s
v
\u2206 = =  
 
Aplicando a conservação do momento, teremos: 
 
( )
( )
0
0
1
270 3 70 200
810 105 270
2,6 .
cm hT jT
jT jT
jT
jT
P P
P P
m M v mv Mv
v v v
v
v m s\u2212
=
=
+ = +
\u22c5 = + +
= +
\u2234 \u2245 \u22c5
? ?
 
 
Onde vhT = vhj +vjT  (velocidade do homem com relação à Terra é  igual a velocidade  do homem com 
relação à jangada mais a velocidade da jangada com relação à Terra). Assim, teremos: 
 
53 10 ;
1,5
52,6 8,7 .
1,5
cm cm
j jT
x v t m
x v t m
\u2206 = \u22c5\u2206 = \u22c5 =
\u2206 = \u22c5\u2206 = \u22c5 \u2245
 
 
Poderíamos  também  encontrar  a  posição  do  centro  de  massa  do  sistema,  admitindo  que  jangada 
possua massa uniformemente distribuída: 
( ) 200 2,52 1,85 .
270cm
lM
x m
m M
\u22c5 \u22c5= = \u2245+  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, podemos determinar a distância percorrida pelo centro de massa: 
5m2,5m1,85m0 
 
 
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Como a diferença entre a distância percorrida pelo centro de massa do sistema e o centro da 
jangada é de 1,3 m, concluímos então que a distância percorrida pelo centro da jangada vale 8,7 m. 
 
Questão  7  
 
Uma bola de 50 g é lançada ao ar com uma velocidade inicial de 15 m\u684s \u20101, formando um ângulo 
com  a  horizontal  de  450.  (a)  Quais  são  os  valores  da  energia  cinética