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0.1 Exercícios de Geometria Analítica Exercício 1. Considere os vetores v1 = (1, 2), v2 = (−1, 1), v3 = (1, 3), v4 = (1, 2, 3), v5 = (1, 2, 4). Represente-os geometricamente em R2 e R3. a) Calcule e represente 2v1, 5v2, −3v3, 2v1 + v2, v1 − 2 ∗ v2 + v3, v4 + 2v5. É possível calcular v4 + v2 ou v4 + v3? Por que? b) Calcule o módulo de cada um dos vetores v1 até v5. c) Calcule o ângulo formado entre os vetores v1 e v2; v2 e v3; v4 e v5. d) Encontre vetores que sejam perpendiculares a cada um dos vetores v1 até v5. Faça a representação gráfica. Tais vetores são únicos? Exercício 2 a) Seja os vetores v1 = (α, 2) e v2 = (α, 3). Encontre o valor de α, caso exista, para que v1 e v2 sejam perpendiculares. b) Modifique o vetor para v1 = (α, 2) e v2 = (α, −3). É possível encontrar alpha de modo que os vetores sejam perpendiculares? Faça a representação geométrica de tal fato. c) Agora considere vetores v1 = (1, 2, 3) e v2 = (1,α, 2). É possível encontrar α tal que v1 e v2 sejam perpendiculares. Qual o valor de α. Faça a representação geométrica. Exercício 3 Sejam os pontos P1 = (1, 2) e P2 = (−2, 3). Encontre: a) As equações cartesiana e paramétrica da reta passando por esses pontos. b) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo ponto P = (1, 4). c) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe pelo ponto P = (−1, 1). d) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que faça um ângulo de 30 graus com essa reta. passando pelo ponto P = (−1, 1). e) Os pontos (1, 1), (1, 3) e (−1, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique. Faça uma representação geométrica de cada um dos casos. Exercício 4 Sejam os pontos P1 = (1, 2, 1) e P2 = (−2, 3, 1). Encontre: a) A equação paramétrica da reta passando por esses pontos. b) Encontre paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo ponto P = (1, 2, 4). c) Encontre paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe pelo ponto P = (1, −1, 1). d) Os pontos (2, 1, 1), (1, 2, 3) e (−1, 1, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique. É possível encontrar a equação cartesiana? Faça a representação geométrica e cada um dos casos. Exercício 5 Seja a equação da reta na forma: y = 3x − 2 Encontre: a) A equação paramétrica da reta. b) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo ponto P = (1, −5). c) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe pelo ponto P = (1, 3). d) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que faça um ângulo de 45 graus com essa reta. passando pelo ponto P = (−4, 1). e) Os pontos (1, 1), (1, 3) e (−1, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique. Faça uma representação geométrica de cada um dos casos. Exercício 6 Seja a equação da reta na forma: x = 4 − 2t e y = 3t + 2 Encontre: a) A equação cartesiana da reta. b) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo ponto P = (1, −5). c) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe pelo ponto P = (1, 3). d) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que faça um ângulo de 45 graus com essa reta. passando pelo ponto P = (−4, 1). 2 e) Os pontos (1, 1), (1, 3) e (−1, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique. Faça uma representação geométrica de cada um dos casos. Exercício 7 Seja a equação da reta na forma: x = 4 + 2t, y = 3 − t e z = t − 2 Encontre: a) Encontre equação paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo ponto P = (1, 2, −5). b) Encontre equação paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe pelo ponto P = (3, 1, 3). c) Encontre equação paramétrica de uma reta que faça um ângulo de 45 graus com essa reta. passando pelo ponto P = (−4, 1, 1). d) Os pontos (1, 2, 1), (1, 2, 3) e (−1, 2, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique. Faça uma representação geométrica de cada um dos casos. Exercício 8 Considere os pontos P1 = (1, 2, 3), P2 = (1, 2, 1) e P3 = (1, 2, 3). Encontre, quando possível: a) A equação cartesiana e paramétrica para o plano passando por esses pontos. b) As equações paramétrica e cartesiana plano que seja paralelo a esse plano passando pelo ponto P = (1, 1, 3). c) Um plano que seja perpendicular a este plano passando pelo ponto P = (1, 1, 1). d) Encontre dois pontos pertencentes a esse plano e dois pontos que não pertençam. Os pontos (1, 2, 1), (1, 2, 3) e (−1, 2, 2) pertence a algum dos planos acima. Por que? Justifique. Exercício 9 Seja o plano dado pela equação: z = 2x + 3y − 5. Encontre se possível: a) A equação do paramétrica para este plano. b) As equações paramétrica e cartesiana plano que seja paralelo a esse plano passando pelo ponto P = (1, −2, 3). c) Um plano que seja perpendicular a este plano passando pelo ponto P = (1, 2, 1). d) Encontre dois pontos pertencentes a esse plano e dois pontos que não pertençam. Os pontos (1, −2, 1), (1, 2, 7) e (3, 2, 2) pertence a algum dos planos acima. Por que? Justifique. Exercício 10 Seja o plano dado pela equação: x = 2t + 4w + 2, y = 4t + 3w − 2 e z = 3t + 4w − 4 Encontre se possível: a) A equação cartesiana para este plano. b) As equações paramétrica e cartesiana plano que seja paralelo a esse plano passando pelo ponto P = (2, 1, 4). c) Um plano que seja perpendicular a este plano passando pelo ponto P = (3, 1, 2). d) Encontre dois pontos pertencentes a esse plano e dois pontos que não pertençam. Os pontos (−1, 2, 1), (1, −2, 3) e (−1, 2, −2) pertence a algum dos planos acima. Por que? Justifique. Exercício 11 a) Seja a equação dos planos: z = 2x + 3y − 4 e z = 3x + 2y − 2 Encontre o conjunto de pontos para os quais esses plano se encontram. Se possível. Isso determina uma reta? Em caso positivo encontre a equação dessa reta. b) Seja a equação dos planos: x = 2t + 3w − 4, y = 2t − 2w, z = 3t + 4w − 1 e x = 2t − 4, y = 2t + w, z = 3t + w − 1 Encontre o conjunto de pontos para os quais esses plano se encontram. Se possível. Isso determina uma reta? Em caso positivo encontre a equação dessa reta.
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