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Exercícios de Geometria Analítica

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0.1 Exercícios de Geometria Analítica
Exercício 1. Considere os vetores v1 = (1, 2), v2 = (−1, 1), v3 = (1, 3), v4 = (1, 2, 3), v5 = (1, 2, 4).
Represente-os geometricamente em R2 e R3.
a) Calcule e represente 2v1, 5v2, −3v3, 2v1 + v2, v1 − 2 ∗ v2 + v3, v4 + 2v5. É possível calcular v4 + v2 ou
v4 + v3? Por que?
b) Calcule o módulo de cada um dos vetores v1 até v5.
c) Calcule o ângulo formado entre os vetores v1 e v2; v2 e v3; v4 e v5.
d) Encontre vetores que sejam perpendiculares a cada um dos vetores v1 até v5. Faça a representação
gráfica. Tais vetores são únicos?
Exercício 2 a) Seja os vetores v1 = (α, 2) e v2 = (α, 3). Encontre o valor de α, caso exista, para que v1 e
v2 sejam perpendiculares.
b) Modifique o vetor para v1 = (α, 2) e v2 = (α, −3). É possível encontrar alpha de modo que os vetores
sejam perpendiculares? Faça a representação geométrica de tal fato.
c) Agora considere vetores v1 = (1, 2, 3) e v2 = (1,α, 2). É possível encontrar α tal que v1 e v2 sejam
perpendiculares. Qual o valor de α. Faça a representação geométrica.
Exercício 3 Sejam os pontos P1 = (1, 2) e P2 = (−2, 3). Encontre:
a) As equações cartesiana e paramétrica da reta passando por esses pontos.
b) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo
ponto P = (1, 4).
c) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe
pelo ponto P = (−1, 1).
d) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que faça um ângulo de 30 graus com essa
reta. passando pelo ponto P = (−1, 1).
e) Os pontos (1, 1), (1, 3) e (−1, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique.
Faça uma representação geométrica de cada um dos casos.
Exercício 4 Sejam os pontos P1 = (1, 2, 1) e P2 = (−2, 3, 1). Encontre:
a) A equação paramétrica da reta passando por esses pontos.
b) Encontre paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo ponto P = (1, 2, 4).
c) Encontre paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe pelo ponto P = (1, −1, 1).
d) Os pontos (2, 1, 1), (1, 2, 3) e (−1, 1, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique.
É possível encontrar a equação cartesiana? Faça a representação geométrica e cada um dos casos.
Exercício 5 Seja a equação da reta na forma:
y = 3x − 2
Encontre: a) A equação paramétrica da reta.
b) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo
ponto P = (1, −5).
c) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe
pelo ponto P = (1, 3).
d) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que faça um ângulo de 45 graus com essa
reta. passando pelo ponto P = (−4, 1).
e) Os pontos (1, 1), (1, 3) e (−1, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique.
Faça uma representação geométrica de cada um dos casos.
Exercício 6 Seja a equação da reta na forma:
x = 4 − 2t e y = 3t + 2
Encontre: a) A equação cartesiana da reta.
b) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo
ponto P = (1, −5).
c) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe
pelo ponto P = (1, 3).
d) Encontre equações cartesiana e paramétrica de uma reta que faça um ângulo de 45 graus com essa
reta. passando pelo ponto P = (−4, 1).
2
e) Os pontos (1, 1), (1, 3) e (−1, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique.
Faça uma representação geométrica de cada um dos casos.
Exercício 7 Seja a equação da reta na forma:
x = 4 + 2t, y = 3 − t e z = t − 2
Encontre:
a) Encontre equação paramétrica de uma reta que seja paralela a esta reta e passe pelo ponto P =
(1, 2, −5).
b) Encontre equação paramétrica de uma reta que seja perpendicular a esta reta e passe pelo ponto
P = (3, 1, 3).
c) Encontre equação paramétrica de uma reta que faça um ângulo de 45 graus com essa reta. passando
pelo ponto P = (−4, 1, 1).
d) Os pontos (1, 2, 1), (1, 2, 3) e (−1, 2, 2) pertence a alguma das retas acima. Por que? Justifique.
Faça uma representação geométrica de cada um dos casos.
Exercício 8 Considere os pontos P1 = (1, 2, 3), P2 = (1, 2, 1) e P3 = (1, 2, 3). Encontre, quando possível:
a) A equação cartesiana e paramétrica para o plano passando por esses pontos.
b) As equações paramétrica e cartesiana plano que seja paralelo a esse plano passando pelo ponto P =
(1, 1, 3).
c) Um plano que seja perpendicular a este plano passando pelo ponto P = (1, 1, 1).
d) Encontre dois pontos pertencentes a esse plano e dois pontos que não pertençam. Os pontos (1, 2, 1),
(1, 2, 3) e (−1, 2, 2) pertence a algum dos planos acima. Por que? Justifique.
Exercício 9 Seja o plano dado pela equação:
z = 2x + 3y − 5.
Encontre se possível: a) A equação do paramétrica para este plano.
b) As equações paramétrica e cartesiana plano que seja paralelo a esse plano passando pelo ponto P =
(1, −2, 3).
c) Um plano que seja perpendicular a este plano passando pelo ponto P = (1, 2, 1).
d) Encontre dois pontos pertencentes a esse plano e dois pontos que não pertençam. Os pontos (1, −2, 1),
(1, 2, 7) e (3, 2, 2) pertence a algum dos planos acima. Por que? Justifique.
Exercício 10 Seja o plano dado pela equação:
x = 2t + 4w + 2, y = 4t + 3w − 2 e z = 3t + 4w − 4
Encontre se possível: a) A equação cartesiana para este plano.
b) As equações paramétrica e cartesiana plano que seja paralelo a esse plano passando pelo ponto P =
(2, 1, 4).
c) Um plano que seja perpendicular a este plano passando pelo ponto P = (3, 1, 2).
d) Encontre dois pontos pertencentes a esse plano e dois pontos que não pertençam. Os pontos (−1, 2, 1),
(1, −2, 3) e (−1, 2, −2) pertence a algum dos planos acima. Por que? Justifique.
Exercício 11 a) Seja a equação dos planos:
z = 2x + 3y − 4 e z = 3x + 2y − 2
Encontre o conjunto de pontos para os quais esses plano se encontram. Se possível. Isso determina uma
reta? Em caso positivo encontre a equação dessa reta.
b) Seja a equação dos planos:
x = 2t + 3w − 4, y = 2t − 2w, z = 3t + 4w − 1 e x = 2t − 4, y = 2t + w, z = 3t + w − 1
Encontre o conjunto de pontos para os quais esses plano se encontram. Se possível. Isso determina uma
reta? Em caso positivo encontre a equação dessa reta.

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