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Transformada de Laplace & EDO .
Margarete Oliveira Domingues
PGMET/INPE
Transformada de Laplace & EDO – p.1/26
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace & EDO – p.2/26
Integrais impróprias
Se � ��� � é definida para � � � � �, sendo a=cte, então a
integral imprópria
�
	
�
��
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
	
�
�
�
�
�
se o limite existe.
Qdo. existe o limite a integral imprópria é dita
convergente
Qdo. não existe o limite a integral imprópria é dita
divergente
Transformada de Laplace & EDO – p.3/26
Exercício:
Determine se as integrais impróprias a seguir convergem
1.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3.
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
4.
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.4/26
Transformada de Laplace ( )
Seja � ��� � definida em � � � � � e seja � uma variável real
arbitrária a Transformada de Laplace de � �� � é
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
	
�
	
� � �
��
�
�
�
�
� que torne essa integral convergente
Transformada de Laplace & EDO – p.5/26
Condições de existência da � � � ��
Nem todas as �
�
�
�
admitem a �
�
�
��
�
��
Definições:
�
��
�
�
ser de ordem exponencial �, i.e., , existe ctes.
�
� e � 	tais que � 	 � �
�
�
��
�
� �
�
�
�
�
�
�
	
�
��
�
�
ser contínua por partes em
�
�
�
	
e existir os
limites laterais
Assegurar a convergência da integral imprópria:
Teorema: Se � ��� � é contínua por partes em todo
intervalo finito
�
�
	
�
,
	
�
�
e
�
��
�
�
de ordem exponencial
�
, então a �
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
existe para � � �
Transformada de Laplace & EDO – p.6/26
Exercício:
Determine a �
�
�
��
�
��
para as seguintes funções:
1. �
��
�
�
�
�
2. �
��
�
�
�
�
�
3. �
��
�
�
�
�
� �
4. �
��
�
�
�
� �
�
�
��
�
5. �
��
�
�
�
�
6. �
��
�
�
�
� �
� �
7.
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
8. �
��
�
�
�
�
� �
�
��
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.7/26
Definição:
Uma função � ��� � � � � se
1. �
��
�
�
é definida
�
�
�
2. �
��
�
�
é contínua por partes
�
�
	
�
	
�
�
3. �
��
�
�
é de ordem exponencial �
Transformada de Laplace & EDO – p.8/26
Propriedades
� �
�
��
Linearidade
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
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�
��
�
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�
�
�
�
�
�
��
�
��
Translação
�
�
�
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��
�
��
�
�
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�
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�
�
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�
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�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
Exemplo:
�
�
��
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
� �
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.9/26
Propriedades
� �
�
��
Se � ��� � for uma função periódica, i.e., � ��� � � � ��� � � � ,
�
�
�
��
�
��
�
�
	
�
	
� �
�
��
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
Se � ��� � � � � e se �
� �� 	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
existe, então,
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
Se � ��� � � � �,então,
�
�
	
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.10/26
Exercícios
Calcule as seguintes Transformadas de Laplace
1.
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
2.
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
	
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
3. �
�
�
� �
�
��
�
�
�
�
4.
�
�
�
�
��
�� ��
�
Transformada de Laplace & EDO – p.11/26
Transformada inversa de Laplace
Transformada de Laplace & EDO – p.12/26
Definição
A � 	
�
�
�
�
�
�� é a função � ��� � tal que
�
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
Uma dada �
�
�
�
pode ter várias, uma ou nenhuma
Transformada de Laplace inversa.
Se existe � 	
�
�
�
�
�
��
contínua, então �
��
�
�
é a única
transformada inversa contínua de �
�
�
�
.
Linearidade:
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
��
Transformada de Laplace & EDO – p.13/26
Métodos de Cálculo
Método das frações parciais
Complemento do quadrado:
Todo polinômio quadrático em �,
� �
�
�
	
�
�
�
pode ser posto sob a forma
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
em que
�
�
	
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.14/26
Exercícios
Calcule as seguintes Transformadas inversas de Laplace
1.
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2.
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
3. � 	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4.
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
5.
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.15/26
Aplicações a EDO
Transformada de Laplace & EDO – p.16/26
EDO lineares, com coef. ctes.
Protótipo:
	
�
�
�
�
�
�
	
�
	
�
�
	
�
�
�
�
	
�
��
� � �
�
	
�
�
�
�
	
	
�
�
�
��
�
�
com condições iniciais:
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
.
.
.
�
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
Transformada de Laplace & EDO – p.17/26
Transformada de Laplace de
derivadas
Notação: � � � �� �� � � � � �
Teorema:
Se � �� � e suas � � � primeiras derivadas são contínuas,
para � � � e são de ordem exponencial � e se
�
�
�
�
�
�
�,
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
	
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�
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�
�
�
�
	
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�
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�
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�
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�
� �
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
Em particular,
n=1:
�
�
�
�
��
�
��
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�
�
�
�
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�
�
	
n=2:
�
�
�
� �
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.18/26
Solução de problemas de valor inicial
Idéia: Usar a Transformada de Laplace para resolver prob-
lemas de valor inicial de uma só vez
Transformada de Laplace & EDO – p.19/26
Solução de problemas de valor inicial
Idéia: Usar a Transformada de Laplace para resolver
problemas de valor inicial de uma só vez
Exemplo: (Caso homogêneo)
Para resolver a �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, aplica–se a
Transformada de Laplace e obtém–se
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
��
�
então como � 	 � �, tem-se que
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�
�
�
�
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.19/26
Solução de problemas de valor inicial
Exemplo: (Caso não homogêneo)
Para resolver a �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, aplica–se a
Transformada de Laplace e obtém–se
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
então como � 	 � �, tem-se que
�
�
�
�
�
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�
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� em que �
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Logo, � �� � � � 	
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��
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�
�
�
	
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.19/26
Solução de problemas de valor inicial
Idéia: E qdo. as soluções não são dadas em � � � ?
Exemplo: Para resolver a � � � � � � �� �
�
�
�
�
�
,
aplica–se a Transformada de Laplace e obtém–se
�
�
�
�
�
�
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�
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�
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�
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então como � 	, é desconhecido e tem-se que
�
�
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�
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�
�
�
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�
� em que �
�
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Logo, � �� � � � 	
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�
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�
Entretanto, como �
�
�
�
�
�
�
�
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�
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�
�
�
	
��
�
e
assim �
��
�
�
�
�
�
	
��
�
�
�
�
�
.
Transformada de Laplace & EDO – p.19/26
Solução de problemas de valor inicial
Exemplo: Para resolver a
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, aplica–se a
Transformada de Laplace e obtém–se
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
então como � 	 � �� � � � �, tem-se que
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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Logo, � �� � � � 	
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�� �
�
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�
�
�
� �
�
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.19/26
Exercícios
Resolva as seguintes EDO por meio do método da
Transformada de Laplace
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
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�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
Dica: use o método de frações parciais
Transformada de Laplace & EDO – p.20/26
Resolução de sistemas de EDO
Transformada de Laplace & EDO – p.21/26
Sistemas de EDO
Seja � � � ��� � , � � � ��� � no sistema de EDO
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
com as condições iniciais
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Usando a notação � � � ��� �� � � � � � e � � � ��� �� � � � � �
pode–se reescrever o sistema
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.22/26
(cont.)
Arrumando os termos
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
Logo,
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�
�
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�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.23/26
(cont.)
Aplicando o método das frações parciais e tomando a
Transformada inversa de Laplace
�
��
�
�
�
�
	
�
�
�
�
�
��
�
�
	
�
�
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�
�
�
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�
�
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�
�
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�
	
�
�
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��
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�
	
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��
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�
	
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.24/26
Exercícios
Resolva os seguintes sistemas de EDO em que
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
e � � �
�
�
�
utilizando o método da
Transformada de Laplace.
�
�
�
�
�
� �
�
��
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
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�
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em que as condições iniciais são
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.25/26
Exercícios
Resolva os seguintes sistemas de EDO em que
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
�
�
e � � �
�
�
�
utilizando o método da
Transformada de Laplace.
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
em que as condições iniciais são � � � � � �� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Transformada de Laplace & EDO – p.25/26
Fim do Tomo
Transformada de Laplace & EDO – p.26/26
	Transformada de Laplace
	Integrais impróprias
	Exercício:
	Transformada de Laplace ($mathcal {L}$)
	Condições de existência da $mathcal {L}{f(x)}$
	Exercício:
	Definição:
	Propriedades $mathcal {L}{f(x)}$
	Propriedades $mathcal {L}{f(x)}$
	Exercícios
	Transformada inversa de Laplace
	Definição
	Métodos de Cálculo
	Exercícios
	Aplicações a EDO
	EDO lineares, com coef. ctes.
	Transformada de Laplace de derivadas
	Solução de problemas de valor inicial
	Exercícios
	Resolução de sistemas de EDO
	Sistemas de EDO
	{small (cont.)}
	{small (cont.)}
	Exercícios
	Fim do Tomo

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