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Transformada de Laplace & EDO . Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Transformada de Laplace & EDO – p.1/26 Transformada de Laplace Transformada de Laplace & EDO – p.2/26 Integrais impróprias Se � ��� � é definida para � � � � �, sendo a=cte, então a integral imprópria � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � se o limite existe. Qdo. existe o limite a integral imprópria é dita convergente Qdo. não existe o limite a integral imprópria é dita divergente Transformada de Laplace & EDO – p.3/26 Exercício: Determine se as integrais impróprias a seguir convergem 1. � � � � � � � � � � 2. � � � � � � � � � 3. � � � � � � � � � 4. � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.4/26 Transformada de Laplace ( ) Seja � ��� � definida em � � � � � e seja � uma variável real arbitrária a Transformada de Laplace de � �� � é � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � � que torne essa integral convergente Transformada de Laplace & EDO – p.5/26 Condições de existência da � � � �� Nem todas as � � � � admitem a � � � �� � �� Definições: � �� � � ser de ordem exponencial �, i.e., , existe ctes. � � e � tais que � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � ser contínua por partes em � � � e existir os limites laterais Assegurar a convergência da integral imprópria: Teorema: Se � ��� � é contínua por partes em todo intervalo finito � � � , � � e � �� � � de ordem exponencial � , então a � � � � � �� � � � � � existe para � � � Transformada de Laplace & EDO – p.6/26 Exercício: Determine a � � � �� � �� para as seguintes funções: 1. � �� � � � � 2. � �� � � � � � 3. � �� � � � � � � 4. � �� � � � � � � � �� � 5. � �� � � � � 6. � �� � � � � � � � 7. � �� � � � � � � � � � � � � � 8. � �� � � � � � � � �� � � Transformada de Laplace & EDO – p.7/26 Definição: Uma função � ��� � � � � se 1. � �� � � é definida � � � 2. � �� � � é contínua por partes � � � � � 3. � �� � � é de ordem exponencial � Transformada de Laplace & EDO – p.8/26 Propriedades � � � �� Linearidade � � � � � � �� � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � �� Translação � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � Exemplo: � � �� � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.9/26 Propriedades � � � �� Se � ��� � for uma função periódica, i.e., � ��� � � � ��� � � � , � � � �� � �� � � � � � � �� � � � � � � � � � Se � ��� � � � � e se � � �� � � � � � � � � � existe, então, � � �� � � � � � � � �� � � � Se � ��� � � � �,então, � � � �� � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.10/26 Exercícios Calcule as seguintes Transformadas de Laplace 1. � � � � � � � � � � � 2. � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3. � � � � � � �� � � � � 4. � � � � �� �� �� � Transformada de Laplace & EDO – p.11/26 Transformada inversa de Laplace Transformada de Laplace & EDO – p.12/26 Definição A � � � � � � �� é a função � ��� � tal que � � � �� � �� � � � � � Uma dada � � � � pode ter várias, uma ou nenhuma Transformada de Laplace inversa. Se existe � � � � � � �� contínua, então � �� � � é a única transformada inversa contínua de � � � � . Linearidade: � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� Transformada de Laplace & EDO – p.13/26 Métodos de Cálculo Método das frações parciais Complemento do quadrado: Todo polinômio quadrático em �, � � � � � � � pode ser posto sob a forma � � � � � � � � � � em que � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.14/26 Exercícios Calcule as seguintes Transformadas inversas de Laplace 1. � � � � � � � � � � � 2. � � � � � � � � � � � � � � � 3. � � � � � � � � � � � � 4. � � � � � � � � � � � � � � 5. � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.15/26 Aplicações a EDO Transformada de Laplace & EDO – p.16/26 EDO lineares, com coef. ctes. Protótipo: � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � com condições iniciais: � � � � � � � � � � � � � � . . . � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.17/26 Transformada de Laplace de derivadas Notação: � � � �� �� � � � � � Teorema: Se � �� � e suas � � � primeiras derivadas são contínuas, para � � � e são de ordem exponencial � e se � � � � � � �, � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Em particular, n=1: � � � � �� � �� � � � � � � � � n=2: � � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.18/26 Solução de problemas de valor inicial Idéia: Usar a Transformada de Laplace para resolver prob- lemas de valor inicial de uma só vez Transformada de Laplace & EDO – p.19/26 Solução de problemas de valor inicial Idéia: Usar a Transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial de uma só vez Exemplo: (Caso homogêneo) Para resolver a � � � � � � � � � � � � � � , aplica–se a Transformada de Laplace e obtém–se � � � � � � � � � � � � � � �� � então como � � �, tem-se que � � � � � � � � � � � � � � � � em que � � � � � � � � � Logo, � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.19/26 Solução de problemas de valor inicial Exemplo: (Caso não homogêneo) Para resolver a � � � � � � � � � � � � � � � � , aplica–se a Transformada de Laplace e obtém–se � � � � � � � � � � � � � � � � � � � então como � � �, tem-se que � � � � � � � � � � � � � � � � � � � em que � � � � � � � � � � � � Logo, � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.19/26 Solução de problemas de valor inicial Idéia: E qdo. as soluções não são dadas em � � � ? Exemplo: Para resolver a � � � � � � �� � � � � � � , aplica–se a Transformada de Laplace e obtém–se � � � � � � � � � � � � � � � � � então como � , é desconhecido e tem-se que � � � � � � � � � � � � � � � � em que � � � � � � � � � Logo, � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � Entretanto, como � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � e assim � �� � � � � � �� � � � � � . Transformada de Laplace & EDO – p.19/26 Solução de problemas de valor inicial Exemplo: Para resolver a � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , aplica–se a Transformada de Laplace e obtém–se � � � � � � � � � � � � � � � � � � então como � � �� � � � �, tem-se que � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Logo, � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.19/26 Exercícios Resolva as seguintes EDO por meio do método da Transformada de Laplace � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Dica: use o método de frações parciais Transformada de Laplace & EDO – p.20/26 Resolução de sistemas de EDO Transformada de Laplace & EDO – p.21/26 Sistemas de EDO Seja � � � ��� � , � � � ��� � no sistema de EDO � � � � � � � � � � � � � com as condições iniciais � � � � � � � � � � � � � � Usando a notação � � � ��� �� � � � � � e � � � ��� �� � � � � � pode–se reescrever o sistema � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.22/26 (cont.) Arrumando os termos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Logo, � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.23/26 (cont.) Aplicando o método das frações parciais e tomando a Transformada inversa de Laplace � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.24/26 Exercícios Resolva os seguintes sistemas de EDO em que � � � �� � � � � � � �� � � e � � � � � � utilizando o método da Transformada de Laplace. � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � em que as condições iniciais são � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.25/26 Exercícios Resolva os seguintes sistemas de EDO em que � � � �� � � � � � � �� � � e � � � � � � utilizando o método da Transformada de Laplace. � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � em que as condições iniciais são � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Transformada de Laplace & EDO – p.25/26 Fim do Tomo Transformada de Laplace & EDO – p.26/26 Transformada de Laplace Integrais impróprias Exercício: Transformada de Laplace ($mathcal {L}$) Condições de existência da $mathcal {L}{f(x)}$ Exercício: Definição: Propriedades $mathcal {L}{f(x)}$ Propriedades $mathcal {L}{f(x)}$ Exercícios Transformada inversa de Laplace Definição Métodos de Cálculo Exercícios Aplicações a EDO EDO lineares, com coef. ctes. Transformada de Laplace de derivadas Solução de problemas de valor inicial Exercícios Resolução de sistemas de EDO Sistemas de EDO {small (cont.)} {small (cont.)} Exercícios Fim do Tomo
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