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MATEMÁTICA PARA
CONCURSOS
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Matemática para Concursos
Polícia Rodoviária Federal 2
Sumário
Números Naturais ------------------------------------------- 03
Conjuntos numéricos: racionais e reais ------------------- 05
Divisibilidade ------------------------------------------------- 10
Números Primos --------------------------------------------- 12
Máximo Divisor Comum (mdc mmc) ---------------------- 13
Números Racionais ------------------------------------------ 15
Números Fracionários --------------------------------------- 16
Números Decimais ------------------------------------------- 21
Potenciação -------------------------------------------------- 23
Radiciação ---------------------------------------------------- 24
Razões e Proporções ---------------------------------------
Média ---------------------------------------------------------- 25
Produtos Notáveis ------------------------------------------- 27
Divisão Proporcional ---------------------------------------- 28
Regra de Três: Simples e Composta ----------------------- 29
Porcentagens ------------------------------------------------- 31
Juros Simples ------------------------------------------------ 32
Juros Compostos --------------------------------------------- 34
Sistemas de Medidas ---------------------------------------- 35
Sistema Métrico Decimal ------------------------------------ 45
Equações do 1.º grau ---------------------------------------- 47
Equações do 2.º grau --------------------------------------- 51
Sistemas ------------------------------------------------------ 56
Equações ----------------------------------------------------- 57
Progressão aritmética --------------------------------------- 62
Progressão geométrica ------------------------------------- 64
Noções de trigonometria ------------------------------------ 65
Teorema de Pitágoras --------------------------------------- 68
Funções exponenciais --------------------------------------- 69
Logaritmos ---------------------------------------------------
Polinômios ----------------------------------------------------
Geometria ---------------------------------------------------- 71
Noções de probabilidade ------------------------------------ 73
Noções de estatísticas -------------------------------------- 76
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Editado por: Flávio Nascimento
Números Naturais
Conjunto dos Números Inteiros
Este é mais um conjunto numérico que devemos conhecer para futuros estudos, representado
pela letra Z.
Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N.
O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto é
infinito ou seja não tem fim.
Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos:
a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ?
Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as
respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros.
Vamos conhecer este conjunto:
O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto é
formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é um
número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo.
No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros.
Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo,
temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação
ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do
nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos
números negativo e positivos.
Reta Numérica Inteira
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão
crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante.
Vamos comparar alguns números inteiros.
a) -5 > -10,
b) +8 > -1000,
c) -1 > -200.000,
d) -200 < 0,
e) -234 < -1,
f) +2 > -1,
g) g) -9 < +1
Lembrete:
1º: Zero é maior que qualquer número negativo.
2º: Um é o maior número negativo.
3º: Zero é menor que qualquer número positivo.
4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.
Números opostos ou simétricos
Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números são
chamados de opostos ou simétricos.
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Logo:
- 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ou
simétrico de + 100.
Adição e Subtração de Números Inteiros
Exemplos:
a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos
números)
d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que
estava depois da subtração)
e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que
estava depois da subtração)
Lembrete:
Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo)
e crédito(número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo
15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma
divida de 5 reais faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
Exemplos:
a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)
b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)
c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)
d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)
e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)
f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)
g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)
h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)
Lembrete:
Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre
positivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre
negativo.
Potenciação de Números Inteiros
Exemplos:
a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32
c) (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo número
elevado a zero é igual a 1 positivo)
e) (18)1 = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo)
Importante:
(-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4
No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas
o número está elevado ao quadrado.
Radiciação de Números Inteiros
Exemplos:
a) (lembre-se que 5 x 5 = 25)
b) (lembre-se que 7 x 7 = 49)
c) (lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)
d) (observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim existe a raiz)
e) (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada.
d) (lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)
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Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros
a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)]
= - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]
= 3 - 2 + 4 - 5 - 6
= 7 - 13
= - 6
Primeiro eliminamos os parênteses, como antes
dele tinha um sinal de menos todos os números
saíram com sinais trocados, logo depois eliminamos
os colchetes, como também tinha um sinal de
menos todos os números saíram com os sinais
trocados, somamos os positivo e o negativos
b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]}
= { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]}
= { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]}
= {- 5 - 8 + 15 - 3}
= - 5 - 8 + 15 - 3
= - 16 + 15
= - 1
Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depois
multiplicamos