Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares

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Dos exercícios 11 a 16. Calcule a integral dupla dada, 
colocando-a em coordenadas polares 
11. ∬ 𝑥𝑦
 
𝑅
𝑑𝐴, onde D é o disco com centro na origem e raio 
3. 
12. ∬ (𝑥 + 𝑦)
 
𝑅
𝑑𝐴, onde R é a região que está à esquerda 
do eixo y e entre as circunferências 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e 𝑥2 +
𝑦2 = 4 
13. ∬ (𝑥2 + 𝑦2)
 
𝑅
𝑑𝐴, onde R é a região acima do eixo x e 
dentro da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 9 
14. ∬ √(4 − 𝑥2 − 𝑦2)
 
𝑅
𝑑𝐴, onde 𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4,
𝑥 ≥ 0} 
15. ∬ 𝑒−𝑥
2−𝑦2 
𝑅
𝑑𝐴, onde 𝐷 é a região limitada pelo 
semicírculo 𝑥 = √4 − 𝑦2 e o eixo 𝑦. 
16. ∬ 𝑦𝑒𝑥
 
𝑅
𝑑𝐴, onde D é a região do primeiro quadrante 
contida pelo círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 16. 
 
Respostas 
1) 
64
3
𝐶 
2) 8𝜋𝐶 
3) (�̅�, �̅�) = (
4
3
, 0) 
4) (�̅�, �̅�) = (
𝑀𝑦
𝑚
,
𝑀𝑥
𝑚
 ) = (
2
3
𝑎,
2
3
𝑏) 
5) (�̅�, �̅�) = (
𝑀𝑦
𝑚
,
𝑀𝑥
𝑚
 ) = (
3
4
,
3
2
) 
6) 𝑚 =
10
3
, (�̅�, �̅�) = (2,1; 0,3) 
7) 𝑚 =
1
4
(𝑒2 − 1), (�̅�, �̅�) = (
𝑒2+1
2(𝑒2−1)
,
4(𝑒3−1)
9(𝑒2−1)
) 
8) 𝑚 =
2
5
, (�̅�, �̅�) = (
2
7
2
5
;
1
6
2
5
) = (
5
7
,
5
12
) 
9) 
 
𝑚 =
27
2
, (�̅�, �̅�) = (
8
5
,
1
2
) 
10) 𝑚 =
𝜋−2
2
, (�̅�, �̅�) = (
𝜋2−8
2(𝜋−2)
,
𝜋+2
16
) 
11) 0 
12) −
14
3
 
13) 
𝜋
2
𝑠𝑒𝑛9 
14) 
8𝜋
3
 
15) 
𝜋
2
(1 − 𝑒−4) 
16) 4𝑒5 −
23
2