Gradiente, Divergência e Rotacional

Prévia do material em texto

gradiente, 
divergência e 
rotacional 
(revisitados) 
 
 
 
2010 
Prof. Carlos R. Paiva 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 1 
 
NOTA PRÉVIA 
Os apontamentos que se seguem não são um texto matemático: não se procura, aqui, o 
rigor de uma formulação matemática. O que se procura, nestas notas abreviadas sobre 
os três operadores diferenciais – gradiente, divergência e rotacional – é, antes de mais, 
a formação de uma intuição. O objectivo é o de, deste modo, fazer com que as equações 
de Maxwell – que são escritas em termos de rotacional e divergência – possam ser mais 
do que fórmulas com uma pura existência formal, evitando-se assim que o seu conteúdo 
físico permaneça vago e nebuloso. 
Apesar de uma interpretação em termos mecânicos poder ser considerada 
filosoficamente ambígua – no sentido em que o campo electromagnético não deve ser 
interpretado, e.g., como um fluido (como, de resto, o próprio Maxwell o fez amiúde) – 
não resta qualquer dúvida de que uma tal interpretação física ajuda a construir uma 
intuição útil – desde que esta precisão filosófica fique clara desde o início. 
Assim, no caso da divergência, os conceitos de «fonte» e de «sorvedouro» são 
fundamentais para se entender, em electrostática, o papel das cargas eléctricas positivas 
e negativas, respectivamente. No caso do rotacional, a ideia de colocar um torniquete 
(constituído por uma espécie de roda com pás) – em que o movimento rotativo depende 
do momento angular transmitido ao dispositivo – parece, também, fundamental para 
distinguir, e.g., o campo eléctrico conservativo em regime estacionário (onde 
0 E
) 
do campo eléctrico em regime não-estacionário (regulado pela equação de Maxwell-
Faraday, 
t    E B
). No caso do gradiente, a ideia de um declive associado a 
um conjunto de curvas de nível, é também fundamental – de forma a entender que este 
operador diferencial nos informa, e.g., sobre qual a encosta de uma montanha que é 
mais íngreme (e, portanto, menos recomendável para uma subida mais acessível). 
 
 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 2 
 
 
 
Comecemos por recordar a definição dos operadores diferenciais gradiente, divergência 
e rotacional num sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Para tal 
consideremos a base ortonormada 
 1 2 3, , e e e
, i.e., tem-se 
1,
0,
m n mn
m n
m n


   

e e
 
e, nesta base do espaço vectorial 3 , definamos o operador nabla 

 tal que 
1 2 1
x y z
  
   
  
e e e
. 
Sejam 
 , ,x y z 
 um campo escalar 
3: 
 e 
 , ,x y zF F
 um campo 
vectorial 
3 3: F
 tal que 
       1 2 3, , , , , , , ,x y z x y zF F F F x y z F x y z F x y z   F e e e
. 
Definem-se, então, os operadores diferenciais: 
1 2 3
1 2 3
gradiente ,
divergência ,
rotacional .
yx z
y yx xz z
x y z
FF F
x y z
F FF FF F
y z z x x y
  
    
  
 
    
  
       
           
         
e e e
F
F e e e
 
Como mnemónica usa-se, ainda, a definição alternativa de rotacional em termos do 
«determinante» formal 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 3 
 
1 2 3
11 1 12 2 13 3
x y z
x y z
F F F
  
       
  
e e e
F e e e 
em que 11
12
13
,
,
.
yz
x z
y x
FF
y z
F F
z x
F F
x y

  
 
 
  
 
 
  
 
 
 
Definições 
 Um campo vectorial 
F
 diz-se conservativo quando existe um campo escalar 

 tal 
que 
F
. Diz-se, neste caso, que 

 é o potencial associado a 
F
. 
 Um campo vectorial 
F
 diz-se solenoidal quando 
0 F
. 
 Um campo vectorial 
F
 diz-se irrotacional quando 
0 F
. 
 
Facilmente se verificam as seguintes identidades: 
 
 
0,
0.
  
  
F 
Por exemplo, 
 
2 22 22 2
0
y yx xz z
y yx xz z
F FF FF F
x y z y z x z x y
F FF FF F
x y y x y z z y z x x z
         
           
            
       
                          

F
 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 4 
 
uma vez que 
2 2
2 2
2 2
,
,
.
z z
x x
y y
F F
x y y x
F F
y z z y
F F
z x x z
 

   
 

   
 

   
 
Assim, se um campo 
F
 é solenoidal, existe um campo vectorial 
A
 tal que 
F A
. 
Por outro lado, se o campo 
F
 é irrotacional, então é conservativo. Ou seja, 
0 ,
0 .
   
   
F F A
F F
 
Também de define o operador laplaciano 
2 
. Tem-se, 
     
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2
1 2 3
,
.x y z
x y z
F F F
     
    
  
      F e e e
 
Demonstra-se que 
    2    F F F
. 
 
Vejamos, agora, a definição de derivada direccional do campo escalar 
 , ,x y z
 ao 
longo de uma dada direcção. Seja, então, 
1 2 3x y zu u u  u e e e
 um vector constante que 
caracteriza a direcção em causa. O correspondente vector unitário 
uˆ
 (em que 
ˆ 1u
) é 
dado por 
1 2 3
1 2 3
2 2 2
ˆ x y z
x y z
x y z
u u u
a a a
u u u
 
    
 
e e eu
u e e e
u
, 
em que 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 5 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,
yx z
x y z
x y x y x y
uu u
a a a
u u u u u u u u u
  
     
. 
Seja agora dado um ponto 
 0 0 0 0, ,P x y z
 e seja 
 , ,P x y z
 um ponto tal que 
0
0
0
x
y
z
x x s a
y y s a
z z s a
 
 
 
 
em que 
0s 
 é um parâmetro que mede a distância entre o ponto 
P
 e o ponto 
0P
, 
tendo-se (note-se que 
0 0P P P P 
) portanto 
       0 0 0 1 0 2 0 3 1 2 3 ˆx y zP P P P x x y y z z s a a a s           e e e e e e u
. 
Nestas condições, a derivada direccional de 

 ao longo da direcção 
u
 é 
x y z
d d x d y d z
a a a
d s x d s y d s z d s x y z
      
     
     
 
ˆ
d
d s

 u
. 
Por exemplo: se 
2x y x z  
 e 
1 2 32 2  u e e e
, vem 
 1 2 3ˆ 2 2 3  u e e e
 e ainda 
  21 2 32 xy z x x    e e e
, de forma que 
24 2 2
ˆ
3
d x y z x x
d s
   
 u
 
a que corresponde, e.g., um valor 
5 3d ds 
 para o ponto 
 1, 2, 1
. Em geral, 
notando que se tem 
cos
d
d s


 
, 
onde 

 é o ângulo entre o vector 

 e o vector unitário 
uˆ
, infere-se que a derivada 
direccional 
d ds
 é a projecção do gradiente ao longo da direcção 
u
. O valor 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 6 
 
máximo da derivada direccional obtém-se quando 
0 
, i.e., quando a direcção de 
u
 
coincide com a direcção de 

. O gradiente dá-nos, portanto, o valor máximo da 
derivada direccional do campo 

 no ponto em causa. Fazendo, ainda, 
ˆd dsr u
 vem 
d d  r
. 
Quando se considera um deslocamento 
dr
 sobre uma superfície de nível 
  0, ,x y z 
, é 
0d  
 pelo que 
0d r
, donde se tira que 
d r
: a 
direcção dada por 

 é, assim, ortogonal à superfície de nível 
0 
. No caso 
específico em que 
 ,x y 
, as linhas de força do campo vectorial 

 são as 
trajectórias ortogonais das curvas de nível 
0 
. 
 
EXEMPLO 1 
Consideremos o campo de temperaturas absolutas (i.e., medidas em graus Kelvin) 
  2 2, , 273T x y z x y xyz   
. Vejamos, então, qual a direcção em que a temperatura 
cresce mais rapidamente quando se considera o ponto 
 1, 2, 3
. Tem-se 
   1 2 32 2T x y z y x z x y      e e e
 
e, no ponto em questão, obtém-se 
1 2 34 7 2T   e e e
, a que corresponde a direcção 
de máximo crescimento da temperatura. Com efeito, 
2 2 24 7 2 69
d
d s

     
 
dá-nos precisamente a taxa desse crescimento máximo. Note-se, porém, que a 
transferência de calor se dá na direcção 
T q
, i.e., das temperaturas mais altas para 
as temperaturas mais baixas. Em electrostática, por razões análogas, escreve-se 
 E
, i.e., as linhas de força do campo eléctrico dirigem-se dos potenciais mais 
altos para os potenciais mais baixos. 
 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 7 
 
EXEMPLO 2 
Consideremos, agora, a superfície 
3 2 1x y z 
. Comecemos por determinar o vector 
unitário 
n
 correspondente à respectiva normal no ponto 
 0 1, 2, 3P 
. Como a direcção 
da normal é determinada por 

 (dado que o gradiente é perpendicular às superfícies 
  0, ,x y z 
), tem-se 
2 2 3 3 2
1 2 33 2x y z x y z x y   e e e
, 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2 2 2 2 2 2
36 12 4 9 3 9 3
9136 12 4 9 3 1
     
    
    
e e e e e e e e e
n
. 
A equação da linha recta normal à superfície no ponto 
0r
 é (com 
v n
) 
  0 1 2 3, 9 3t t    r r v v e e e
. 
Logo, fazendo 
 1 2 3 0 0 0 0 0
0 0 1 0 2 0 3
, ,
x y z
P x y z
x y z
  
  
r e e e
r
r e e e
 
a equação da normal será 
0
0
0
1 2 3
9 3 1
x
y
z
x x v t
x y z
y y v t
z z v t
 
  
     

 
. 
O plano tangente, por sua vez, é o lugar geométrico dos vectores 
     0 0 0 1 0 2 0 3P P P P x x y y z z        u e e e
 
que são perpendiculares ao vector 
1 2 391 9 3   v n e e e
, i.e., tais que 
     0 0 00 9 3 0x x y y z z        u v
 
pelo que a respectiva equação será 
     9 1 3 2 3 0x y z     
. 
 
EXEMPLO 3 
Consideremos as equações de Maxwell. 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 8 
 
0
homogéneas
0
não-homogéneas
t
t


  

 

  

 
B
E
B
D
H J
D
 
Em regime estacionário é 
0t t     B D
 pelo que o campo eléctrico é 
conservativo (pois 
0 E
 e, consequentemente, 
 E
) e a densidade de 
corrente eléctrica 
J
 é solenoidal (pois 
 H J
 e, consequentemente, 
0 J
). Note-
se que – apenas em regime estacionário – é que, em rigor, se podem definir tensão e 
corrente eléctricas pois, apenas neste caso, quer a lei das malhas quer a lei dos nós (dos 
circuitos) são válidas. No vácuo, sem fontes do campo (i.e, 
0 
 e 
0J
), tem-se 
0
0
0
0


  

  
D E E
B H H
 
de forma que 
   
   
2 2
0
2
0 0 0 0 2
0
t
t t t
t

   

         

    
                
H
E E E E E
H E
E E H
H
 
2
2
2 2
1
0
c t

   

E
E
. 
Esta última equação é a equação (de d’Alembert) de propagação das ondas 
electromagnéticas no vácuo. Com efeito, a velocidade da luz no vácuo é 
1299 792 458 msc 
 (valor exacto, por definição) e é dada por 
0 0
1
c
 

 
onde 
7 1
0 4 10 Hm    
, de modo que 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 9 
 
12 1
0 2
0
1
8.854187817 10 Fm
c
 
   
. 
Analogamente, vem 
   
   
2 2
2
0 0 0 0 2t t t
   
      
   
        
   
H H H H
E H
H E
 
2
2
2 2
1
0
c t

   

H
H
. 
Ou seja, no vácuo verifica-se sempre 
2
2
2 2
1
0
c t
  
    
   
E
H
. 
Introduzindo o operador dalembertiano 
2
2 2
2 2
1
c t

  

 
a equação de d’Alembert escreve-se, então, nas duas formas alternativas 
2
2
0,
0.


E
H
 
EXEMPLO 4 
Consideremos o campo vectorial 
   1 2
2 2
, , 0, 0
y x
x y
x y
 
 

e e
F
. 
A intensidade deste campo é constante e dada por 
   
2 2
2 2
1, , 0, 0
x y
x y
x y

  

F
. 
Facilmente se verifica que se trata de um campo solenoidal pois 
 
 
3
2 2
3
2 2
0.
x
yx
y
F x y
x
x y FF
F x yx y
y
x y



 
    
  
 


F
 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 10 
 
Porém, este campo que não é conservativo: 
1 2 3
3
2 2 2 2
0x y
x y
x y z x yx y x y
F F
        
       
             
e e e
F e 
3
2 2
1
x y
  

F e
. 
O laplaciano deste campo vectorial é dado por 
2 2 2
1 2x yF F  F e e
 
de forma que 
 
     
 
 
   
2 22 2 2
2
2 2 5 5 3
2 2 2 2 2 2
2 22 2 2
2
2 2 5 5 3
2 2 2 2 2 2
2 3
23
x x
x
y y
y
y y xF F x y y
F
x y
x y x y x y
x x yF F x y x
F
x y
x y x y x y
 
     
 
  
 
       
 
  
 
 
2 1 2
3
2 2
y x
x y

  

e e
F
. 
Note-se que, como 
0 F
, se tem 
 
 
1 2 3
2 1 2
3
2 2
2 2
1
0 0
y x
x y z
x y
x y
  
       
  


e e e
e e
F F
 
o que, naturalmente, confirma o resultado anteriormente obtido. Num campo solenoidal 
as linhas de força são fechadas. Isto significa que não existem pontos que sejam 
«fontes» ou «sorvedouros» do campo. Num campo vectorial 
 ,x yF
 uma curva 
 y y x
 diz-se uma linha de força se, em cada ponto 
 0 0,x y
, o vector 
 0 0,x yF
 é 
tangente à curva. Assim, num campo vectorial 
     1 2, , ,x yx y F x y F x y F e e
, 
as linhas de força respectivas satisfazem a equação diferencial 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 11 
 
 
 
,
,
y
x
F x yd y
d x F x y

. 
No exemplo em análise, vem então 
2 21 1
2 2
d y x
y d y x d x y x k
d x y
        
, 
onde 
0k 
 é uma constante de integração. Logo, fazendo 
2 2c k
, obtém-se 
2 2 2x y c 
. 
Isto mostra que as linhas de força são circunferências centradas na origem. 
 
EXEMPLO 5 
Consideremos, agora, o campo vectorial 
   1 2
2 2
, , 0, 0
x y
x y
x y

 

e e
F
. 
Trata-se, tal como o exemplo anterior, de um campo vectorial de amplitude constante, 
com 
1F
. Notemos, para começar, que se trata de um campo irrotacional: 
   
1 2 3
2 2 2 2
3 3
2 2 2 2
0
0 .
x y
y x
x y z x yx y x y
F F
x y x y
x y x y
       
      
          
  
 

e e e
F
 
Isto significa que este campo vectorial é conservativo: existe um potencial 
 ,x y
 tal 
que 
F
, i.e., 
   
 
2 2
2 2
0
2 2
,
0
x
y
x
F x y x y y
x x y
y d
F y
y d yx y

      
 
 
      
 
 
  2 2 0,x y x y    
. 
Admitindo então que 
 0, 0 0 
, infere-se que 
0 0 
 e, portanto, 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 12 
 
  2 2,x y x y  
. 
Este campo não é solenoidal: 
   
2 2
3 3 2 2
2 2 2 2
1yx FF y x
x y x yx y x y

     
   
F
. 
Note-se que 
    2 0        F
. 
Logo, como o campo não é solenoidal, as linhas de forças são abertas. Com efeito, estas 
satisfazem a equação diferencial 
ln ln ln k
d y y d y d x y
y x k k y e x
d x x y x x
 
          
 
 
em que 
k
 é uma constante de integração. Mas então, introduzindo 
kc e
, infere-se que 
as linhas de força são as rectas que passam pela origem, i.e., 
y c x
. 
Com efeito, as equipotenciais serão as circunferências 
 , 0x y a  
, i.e., tais que 
2 2 2x y a 
. 
Como o campo é irrotacional, tem-se 
     2 2
2 2
1
0
x y
 
            
  
F F F F F
 
 
2 1 2
1 2
2 2 2 2 3
2 2
1 1 x y
x yx y x y x y
     
        
         
e e
F e e
. 
A origem 
   , 0, 0x y 
 é o ponto onde se localiza a fonte do campo. Se, em vez deste 
campo, se tiver o campo 
   1 2
2 2
, , 0, 0
x y
x y
x y

    

e e
G F
, 
a origem corresponderia, então, a um sorvedouro de 
G
 pois 
2 2
1
x y
  

G
. 
Consideremos, agora, um vector constante 
u
, tal que 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 13 
 
1 2
1 2
2 2
ˆ x y
x y
x y
u u
u u
u u

    

e eu
u e e u
u
. 
A derivada direccional de 

 ao longo do vector 
u
 é então dada por 
  
1 21 2
2 2 2 2 2 2 2 2
ˆ ˆ x y x y
x y x y
u u xu yux yd
d s x y u u x y u u
 
     
   
e ee e
u F u
 
um que 
s
 é a coordenada medida ao longo do eixo correspondente a 
u
. Por exemplo, se 
1 2 u e e
 é 
 1 2ˆ 2 u e e
 e, consequentemente, 
 2 22
d x y
d s x y
 


. 
Assim, e.g., no ponto 
   , 1,1x y 
 obtém-se 
 1,1 1
d
d s


. 
O valor máximo da derivada direccional é precisamente 

 e corresponde a 
1F
 
em qualquer ponto. Já a derivada direccional ao longo de 
u
, calculada no ponto 
   , 1, 0x y 
, assume o valor 
 
1
1, 0
2
d
d s


. 
 
EXEMPLO 6 
Vamos agora comparar o rotacional dos seguintes campos vectoriais: 
   
 
 
1 2
2
0 22
2
0 22
, ,
exp ,
exp .
a
b
c
x y y x
y
y v
b
x
x v
a
  
 
  
 
 
  
 
v e e
v e
v e
 
Tem-se 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 14 
 
3
2
0 32 2
2 ,
0,
2
exp .
a
b
c
x x
v
a a
 
 
 
    
 
v e
v
v e
 
O primeiro campo vectorial, 
av
, tem um rotacional que é dirigido segundo o eixo 
z
: 
podemos imaginar que se trata de um fluido, em movimento, em que cada ponto tem, 
em função do tempo, as coordenadas 
   
   
cos ,
sin .
x t a t
y t a t




 
Assim, o campo vectorial da velocidade é, efectivamente, dado por 
       1 2 1 2 1 2, sin cosa
d x d y
x y a t t y x
dt dt
            v e e e e e e. 
Note-se que a intensidade deste campo de velocidades é constante e dada por 
       2 2, , sin cosa av x y x y a t t a      v . 
As linhas de força deste campo 
av
 são tais que 
2 21 1
2 2
d y x
y d y x d x y x k
d x y
        
 
2 2 2 22k c x y c    
. 
Um torniquete, formado por uma roda hidráulica com pás (i.e., um roda de palhetas), 
colocado em qualquer ponto do fluido irá rodar sempre com a mesma velocidade 
angular 

. Já no caso do campo de velocidades 
 b yv
, em nenhum ponto o torniquete 
irá rodar: em qualquer ponto a velocidade do fluido dirige-se, sempre, segundo 
y
, i.e., 
as linhas de força são as rectas 
0
0
bvd y d x x c
d x
    
. 
Finalmente, no terceiro caso, em que se considera o campo de velocidades 
 c xv
, o 
torniquete roda com uma velocidade angular que depende da coordenada 
x
: apesar de a 
velocidade linear estar sempre orientada ao longo do eixo 
y
, o fluido exerce um 
momento angular que não é nulo e, assim, provoca a rotação de uma roda de palhetas 
(excepto quando 
0x 
, caso em que o momento angular se anula). 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 15 
 
 
EXEMPLO 7 
Consideremos o campo vectorial 
     1 1 2 2 3 4 33x c z c x z x c y c z      F e e e
. 
Determinemos as constantes 
1 2 3 4, , ec c c c
 de forma que este campo vectorial seja 
simultaneamente irrotacional (e, portanto, conservativo) e solenoidal. Como, 
1 2 3
1 2 3
y yx xz z
x y z
F FF FF F
x y z y z z x x y
F F F
         
           
            
e e e
F e e e 
3 1 2
13 0
yz x
y z x
FF F
c c c
y z x
F F F
xz y
 
  
  
  
  
 
 
   3 1 1 2 2 33 1 0c c c     e e e
. 
Logo, se o campo é irrotacional, deverá ter-se 
   
1
2 1 2 4 3
3
1
0 3 3
3
c
c x z z x y c z
c

       
 
F e e e
 
de modo que o campo será ainda solenoidal desde que 
4 41 0 0 1
yx z
FF F
c c
x y z
 
          
  
F
. 
Ou seja, deverá ter-se: 
   1 2 33 3x z z x y z     F e e e
. 
Admitamos, agora, que o respectivo potencial 

 é tal que 
 F
. Nestas condições, 
vem 
 
 
2
2
1
,
2
1
3 3 3
2
3 3 3
x
y
x
F x z x x z y z
x
F z z x x z y z z
y y
d
F x y z x y x y z
z z d z

        

 
            
 
  
            
 
 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 16 
 
2
0
1
2
d
z z
d z

     
. 
Portanto, deve ter-se 
2 2
0
1 1
3
2 2
x x z y z z      
. 
Admitindo, então, que o potencial é nulo em 
 0, 0, 0
, infere-se por fim que 
     2 2
1
, , 3
2
x y z z x z y x    
. 
 
EXEMPLO 8 
Um campo vectorial 
 , ,x y zF F
 diz-se um campo de Beltrami se existir uma 
constante real 
0 
 tal que 
  F F
. 
Isto significa que um campo de Beltrami é paralelo ao seu próprio rotacional. Para um 
certo valor próprio 

, um campo de Beltrami é o campo próprio do operador 
rotacional. Uma definição alternativa para um campo 
F
 de Beltrami é a seguinte: 
  0,  F F
 
uma vez que 
0 F F
. Note-se que, em rigor, não é necessário que 

 seja uma 
constante para que 
F
 seja um campo de Beltrami: o que é necessário, apenas, é que 
 F F
, i.e., que se tenha 
  0  F F
. Comecemospor verificar que um campo 
de Beltrami é necessariamente solenoidal. Com efeito, no caso em que 

 é uma 
constante, vem 
  0      F F
. 
Portanto, as linhas de força de um campo de Beltrami são fechadas. Consideremos, a 
título de exemplo, o campo 
     1 2x yz F z F z F e e
. 
Facilmente se verifica que 
1 2 3
1 20 0
0
y x
x y
d F d Fd
d z d z d z
F F
    
e e e
F e e 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 17 
 
pelo que, para ser um campo de Beltrami, terá de verificar as condições 
2
2 2
2
2 2
0 cos sin
cos sin0
y x x
xx
x y y
y y
d F d F F z z
FF
d zd z
d F d F F z z
F F
d z d z
    
   
           
   
 
   
       
   
 
1 2cos sin cos sin
z z z z      
          
              
          
F e e
. 
Note-se que um campo de Beltrami tem um rotacional que também é um campo de 
Beltrami. De facto, seja 
G F
 em que 
F
 é um campo de Beltrami. Então, 
     
1 1             F F G G F G G G
 
o que prova a afirmação. 
 
EXEMPLO 9 
São exemplos importantes de campos de Beltrami as ondas electromagnéticas com 
polarizações circulares ortogonais. Para uma onda (no vácuo) com PCD (polarização 
circular direita) o campo eléctrico escreve-se 
   
         0 1 2 0
, exp
exp
2
x y
z t i t
E
z i i k z E z E z


   
   
E E
E e e
 
de forma que 
   
1 2 3
0
1 2 0 1 2 00 0 exp
2
y x
x y z
d E d E Ed
k i i k z
d z d z d z
E E E
      
e e e
E e e e e 
0PCD k    E E
 
o que prova que, efectivamente, se trata de um campo de Beltrami. Analogamente, para 
uma onda com PCE (polarização circular esquerda), vem 
   
         0 1 2 0
, exp
exp
2
x y
z t i t
E
z i i k z E z E z


   
   
E E
E e e
 
e, consequentemente, 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 18 
 
   
1 2 3
0
1 2 0 1 2 00 0 exp
2
y x
x y z
d E d E Ed
k i i k z
d z d z d z
E E E
       
e e e
E e e e e 
0PCE k     E E
. 
 
EXEMPLO 10 
Consideremos, agora, o campo de Beltrami 
1 2
21
z
z
 


e e
F
. 
Comecemos por notar que 
1 2 3
1 2
1 2 2 2
1
0 0
1 1
0
y x
x y
d F d F zd
d z d z d z z z
F F
  
       
   
e e e
e e
F e e 
2
1
1 z
   

F F
. 
Portanto, neste caso, trata-se de um campo de Beltrami 
  F F
 em que 

 não é 
uma constante pois 
 21 z   
. 
A definição geral de um campo de Beltrami 
F
 é, portanto, a de que se deve ter 
  0  F F
 
o que se verifica neste exemplo. O campo é, ainda neste caso, solenoidal. Com efeito, 
tem-se 
0
yx z
FF F
x y z
 
    
  
F
 
e as linhas de força do campo satisfazem, no plano 
0z z
, a equação diferencial 
 
 
 0
0 0 0
1 1y
x
F zd y
y x x c
d x F z z z
      
. 
No plano 
0z 
 as linhas de força correspondem a 
0d x 
, i.e., às rectas 
x c
. 
Notemos que, em geral, se tem 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 19 
 
            G G G
. 
Assim, no caso geral em que 
 , ,x y z 
, obtém-se 
1 2 3
x y z
        
  
e e e
. 
No caso concreto deste exemplo, em que 
 21 z   
, vem simplesmente 
3 32
d
z
d z
   e e
. 
Assim, neste caso, 
 
     2 2
1
1
1
1
0
z
z
                
    
G F F
G G F
G F
 
     1 2 32
1
2 0
1
x yF F z
z
          G e e e
. 
Este resultado coincide, como não podia deixar de ser, com o facto de se ter 
   0yx
FF
x y
          
 
F F G F G
. 
 
EXEMPLO 11 
Consideremos, agora, a questão seguinte: em que condições é que a forma diferencial 
d d  F r
 
corresponde a uma forma diferencial exacta? Por definição, uma forma diferencial (ou 
simplesmente uma diferencial) é exacta desde que 
F
, i.e., desde que o campo 
vectorial 
 , ,x y zF
 seja irrotacional ou conservativo: 
1 2 3
x y z
  
  
  
F e e e
. 
Logo, em geral, para se ter uma diferencial exacta 
     , , , , , ,x y zd d F x y z d x F x y z d y F x y z d z     F r
 
é necessário que 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 20 
 
yx
x
x z
y
y z
z
FF
F
y xx
F F
F
y z x
F F
F
z z y


 
 
  
  
  
 
  
 
uma vez que se tem 
2 2
2 2
2 2
,
,
.
y x x y
z x x z
z y y z
   

   
   

   
   

   
 
Isto é equivalente a dizer que 
0 F
. Consideremos, a título de exemplo, a forma 
diferencial 
   3 2 22 3 1d x y z d x x d y x z d z     
. 
Notando que, neste caso, se tem 
   
1 2 3
2 2 2
2 3 2
3 2 2
3 3 2 2 6
2 3 1
z z x x z
x y z
x y z x x z
  
        
  
 
e e e
F e e e, 
infere-se que 
F
 não é conservativo e, consequentemente, a diferencial em causa não é 
exacta. Já a forma diferencial 
   3 2 22 3 1d x y z d x x d y x z d z     
, 
em que se tem 
   
1 2 3
2 2
2 3
3 2 2
3 3 2 2 0
2 3 1
z z x x
x y z
x y z x x z
  
       
  
  
e e e
F e e, 
é uma forma diferencial exacta. Para determinar o potencial 
 , ,x y z
 neste caso, tem 
de verificar-se então 
Prof. Carlos R. Paiva 
[GRADIENTE, DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL 
(REVISITADOS)] 
 
 Página 21 
 
 
   
 
3
2 3
2 2 2
2 2 3 2 2
2
,
,
3 1 3 3 1
x y z
x x y x z y z
x x x y z z
y y
d
x z x y x z z x z x z
z d z

 
    
 
       
 
 
            

 
01
d
z
d z

       
. 
Conclui-se, deste modo, que o potencial procurado é dado por 
  2 3 0, ,x y z x y x z z    
. 
Por vezes, na literatura, uma diferencial exacta é também designada por forma 
diferencial de Pfaff – em memória do matemático Johann Friedrich Pfaff (1765-1825).