Resolução da 7ª Lista de Exercícios

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Resoluc¸a˜o da 7a Lista de Exerc´ıcios - Probabilidade e Estat´ıstica
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1: (a)
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0 50 100 150 200
10
15
20
Salário
Bo
ni
fic
aç
õe
s
(b) Podemos ver uma relac¸a˜o aproximadamente linear, positiva, entre as varia´veis X:Sala´rio
e Y :Bonificac¸o˜es.
(c) rxy = 0, 92
Logo, as varia´veis X:Sala´rio e Y :Bonificac¸o˜es teˆm um relacionamento linear forte, positivo
(pois rxy esta´ pro´ximo de 1,0).
(d) A reta de regressa˜o estimada e´ dada por yˆ = −10, 164 + 0, 184x.
(e) A bonificac¸a˜o prevista e´ dada por
y = −10, 164 + 0, 184× 120 = 11, 916
ou seja, a bonificac¸a˜o prevista e´ de US$11.916.
(f) Primeiramente, vamos determinar os ca´lculos necessa´rios
xi yi yi − y¯ (yi − y¯)2 yˆi = −10, 164 + 0, 184xi yi − yˆi (yi − yˆi)2 yˆi − y¯ (yˆi − y¯)2
135 12 -4 16 14,676 -2,676 7,160976 -1,324 1,752976
115 14 -2 4 10,996 3,004 9,024016 -5,004 25,04002
146 16 0 0 16,7 -0,7 0,49 0,7 0,49
167 19 3 9 20,564 -1,564 2,446096 4,564 20,8301
165 22 6 36 20,196 1,804 3,254416 4,196 17,60642
176 24 8 64 22,22 1,78 3,1684 6,22 38,6884
98 7 -9 81 7,868 -0,868 0,753424 -8,132 66,12942
136 17 1 1 14,86 2,14 4,5796 -1,14 1,2996
163 18 2 4 19,828 -1,828 3,341584 3,828 14,65358
119 11 -5 25 11,732 -0,732 0,535824 -4,268 18,21582
A soma dos quadrados dos erros, SSE, e´ dada por
SSE =
∑
(yi − yˆi)2 = 34, 75
A soma dos quadrados da regressa˜o, SSR, e´ dada por
SSR =
∑
(yˆi − y¯)2 = 204, 7
A soma total dos quadrados, SST, e´ dada por
SST =
∑
(yi − y¯)2 = 240
(g) O coeficiente de determinac¸a˜o r2 e´ dado por
r2 =
SSR
SST
=
204, 7
240
= 0, 85
o que indica que a reta de regressa˜o estimada pode ser considerada um bom ajuste para as
varia´veis X e Y .
(h)Temos
∑
(xi − x¯)2 = 6046. Assim, o desvio padra˜o estimado de b1 e´ dado por
sb1 =
√
SSE
n−2∑
(xi − x¯)2 = 0, 0268
(i) A estat´ıstica do teste t e´ dada por
t =
b1
sb1
=
0, 184
0, 0268
= 6, 866
Utilizando a distribuic¸a˜o t com n − 2 = 8 graus de liberdade, temos tα/2 = 2, 306. Como
t > tα/2, rejeitamos a hipo´tese nula, ou seja, β1 6= 0 e a regressa˜o e´ significativa.
(j)
0 50 100 150 200
−
10
0
10
20
30
Salário
Bo
ni
fic
aç
õe
s
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Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 2:
(a) Primeiramente, os ca´lculos necessa´rios
xi yi yˆi = 0, 2 + 2, 6xi yi − yˆi (yi − yˆi)2 yˆi − y¯ (yˆi − y¯)2
1 3 2,8 0,2 0,04 -5,2 27,04
2 7 5,4 1,6 2,56 -2,6 6,76
3 5 8 -3 9 0 0
4 11 10,6 0,4 0,16 2,6 6,76
5 14 13,2 0,8 0,64 5,2 27,04
A soma dos quadrados dos erros, SSE, e´ dada por
SSE =
∑
(yi − yˆi)2 = 12, 4.
A soma dos quadrados da regressa˜o, SSR, e´ dada por
SSR =
∑
(yˆi − y¯)2 = 67, 6.
A soma total dos quadrados, SST, e´ dada por
SST = SSE + SSR = 80.
(b) Temos
MSR =
SSR
1
= 67, 6
MSE =
SSE
n− 2 =
12, 4
3
= 4, 133.
(c) A estat´ıstica de teste e´ dada por:
F =
MSR
MSE
=
67, 6
4, 133
= 16, 35.
A partir da distribuic¸a˜o F com 1 grau de liberdade no numerador e n−2 = 3 graus de liberdade
no denominador, temos: Fα = 10, 13. Como F > Fα, rejeitamos H0, logo β1 6= 0 e portanto,
significativo.
(d)
ANOVA
Fonte de Variac¸a˜o Soma Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Me´dio F
Regressa˜o 67,6 1 67,6 16,35
Erro 12,4 3 4,133
Total 80
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 3:
(a) A estimativa do desvio padra˜o de b1, sb1 e´ dado por
sb1 =
√
SSE
n−2∑
(xi − x¯)2 = 0, 262
(b) A estat´ıstica do teste t e´ dada por
t =
b1
sb1
=
−1, 88
0, 262
= −7, 176
Utilizando a distribuic¸a˜o t com n − 2 = 3 graus de liberdade, temos tα/2 = 5, 841. Como
t < −tα/2, rejeitamos a hipo´tese nula, ou seja, β1 6= 0 e a regressa˜o e´ significativa.
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 4:
(a) Temos
MSR =
SSR
1
= 5, 9
MSE =
SSE
n− 2 =
5, 3
3
= 1, 766.
(b) A estat´ıstica de teste e´ dada por:
F =
MSR
MSE
=
5, 9
1, 766
= 3, 34.
A partir da distribuic¸a˜o F com 1 grau de liberdade no numerador e n− 2 = 3 graus de liber-
dade no denominador, temos: Fα = 17, 44. Como F < Fα, na˜o rejeitamos H0, logo β1 = 0 e
portanto, na˜o significativo.
(c)
ANOVA
Fonte de Variac¸a˜o Soma Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Me´dio F
Regressa˜o 5,9 1 5,9 3,34
Erro 5,3 3 1,766
Total 11,2