Calculo Numerico
35 pág.

Calculo Numerico


DisciplinaCálculo Numérico12.057 materiais248.117 seguidores
Pré-visualização35 páginas
Fundamentos de Ca´lculo

Nume´rico para Engenheiros

Re´gis S. De Quadros

A´lvaro L. De Bortoli

Porto Alegre, dezembro de 2009.

\u201dO entendimento da esse\u2c6ncia pode estimular a imaginac¸a\u2dco\u201d

A´lvaro De Bortoli

FBN 361.985; Direitos autorais: Prof. Quadros e Prof. De Bortoli

SUMA´RIO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II

1 INTRODUC¸A\u2dcO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Fontes de erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Propagac¸a\u2dco de erros nas operac¸o\u2dces aritme´ticas . . . . . . . . . . 15

1.2 Caracter´\u131sticas de um algoritmo nume´rico de boa qualidade 17

1.3 Aritme´tica de ponto flutuante e sua representac¸a\u2dco . . . . 18

1.4 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 LOCALIZAC¸A\u2dcO DE ZEROS DE FUNC¸O\u2dcES . . . . . . . . . 20

2.1 Regras para determinac¸a\u2dco das ra´\u131zes de func¸o\u2dces . . . . . . 20

2.1.1 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Processos Iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.1 Me´todos da bissecc¸a\u2dco e da posic¸a\u2dco falsa . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.2 Me´todos de Newton-Raphson, Newton Vie´te e das secantes . . . 31

2.2.3 Me´todo da iterac¸a\u2dco linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.4 Me´todo de Bairstow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1 Ca´lculo dos juros de um financiamento . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.2 Estiramento de cabos suspensos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3 SOLUC¸A\u2dcO DE SISTEMAS LINEARES E NA\u2dcO LINEARES 54

3.1 Me´todos diretos para sistemas lineares . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Me´todo de Eliminac¸a\u2dco de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1.1 Inversa\u2dco de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.2 Fatorac¸a\u2dco LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2 Me´todos Iterativos para Sistemas Lineares . . . . . . . . . 65

3.2.1 Me´todo de Jacobi: Me´todo dos deslocamentos simulta\u2c6neos . . . 66

3.2.2 Me´todo de Gauss-Seidel: Me´todo dos deslocamentos sucessivos . 68

3.2.3 Me´todo das sobre/sub-relaxac¸o\u2dces sucessivas - SOR/SUR . . . . 69

3.2.4 Converge\u2c6ncia de me´todos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.3 Sistema mal condicionado e condicionamento . . . . . . . . 75

3.4 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5 Introduc¸a\u2dco a` soluc¸a\u2dco de sistemas na\u2dco-Lineares . . . . . . . 82

3.5.1 Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5.2 Me´todo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5.3 Me´todo das aproximac¸o\u2dces sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6 Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.6.1 Tenso\u2dces em um circuito ele´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.6.2 Estequiometria de uma reac¸a\u2dco qu´\u131mica . . . . . . . . . . . . . . 89

3.6.3 Pressa\u2dco para aterrar corpos de prova . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.7 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4 AUTOVALORES E AUTOVETORES . . . . . . . . . . . . . 95

4.1 Obtenc¸a\u2dco de autovalores/autovetores via determinantes . 96

4.2 Me´todo da pote\u2c6ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Me´todo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4 Aplicac¸o\u2dces: sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5 AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLAC¸A\u2dcO . . . . . . . . . 106

5.1 Me´todo dos m\u131´nimos quadrados para dom\u131´nio discreto . . 106

5.1.1 Ajuste por um polino\u2c6mio de grau p . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.2 Ajuste por func¸a\u2dco exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.1.3 Ajuste por uma func¸a\u2dco pote\u2c6ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2 Me´todo dos m\u131´nimos quadrados para dom\u131´nio cont´\u131nuo . 111

5.3 Aproximac¸a\u2dco trigonome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.3.1 Aproximac¸a\u2dco trigonome´trica para dom\u131´nio discreto: . . . . . . . 113

5.3.2 Escolha de melhor func¸a\u2dco de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.4 Interpolac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.1 Interpolac¸a\u2dco polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4.2 Polino\u2c6mios ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.4.3 Interpolac¸a\u2dco por spline cu´bico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5 Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.5.1 Tensa\u2dco-deformac¸a\u2dco de ac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6 DERIVAC¸A\u2dcO E INTEGRAC¸A\u2dcO NUME´RICA . . . . . . . 137

6.1 Derivac¸a\u2dco nume´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.1.1 Exerc´\u131cios sobre derivac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2 Integrac¸a\u2dco nume´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2.1 Fo´rmula dos trape´zios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.2.2 Fo´rmula de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.2.3 Quadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.2.4 Integrac¸a\u2dco de func¸o\u2dces mal condicionadas . . . . . . . . . . . . . 152

6.2.5 Exerc´\u131cios sobre integrac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.3 Aplicac¸o\u2dces: Avaliac¸a\u2dco da capacidade de armazenamento . 154

7 SOLUC¸A\u2dcO NUME´RICA DE EQUAC¸O\u2dcES DIFERENCIAIS

ORDINA´RIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.1 Introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

7.2 Me´todos de passo simples para soluc¸a\u2dco de um PVI . . . . 157

7.2.1 Me´todo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

7.2.2 Me´todos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.2.3 Caracter´\u131sticas dos me´todos de passo simples . . . . . . . . . . . 167

7.3 Me´todos de passo mu´ltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.3.1 Me´todos da fam\u131´lia Adams e de predic¸a\u2dco correc¸a\u2dco . . . . . . . . 168

7.4 Sistemas de equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias . . . . . . . . 170

7.4.1 Equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias de ordem superior . . . . . . . 171

7.5 Estabilidade na obtenc¸a\u2dco da soluc¸a\u2dco nume´rica . . . . . . . 174

7.5.1 Regia\u2dco de estabilidade de alguns me´todos . . . . . . . . . . . . . 174

7.6 Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.6.1 Sistema massa-mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.6.2 Vigas horizontais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

7.6.3 Circuitos ele´tricos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

7.6.4 Trem de pouso de aeronaves leves . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

7.6.5 Modelo para controle de poluic¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.7 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

8 SOLUC¸A\u2dcO NUME´RICA DE EQUAC¸O\u2dcES DIFERENCIAIS

PARCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8.1 Introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8.2 Algumas EDPs importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

8.2.1 Equac¸a\u2dco de cordas vibrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.2.2 Equac¸a\u2dco da conduc¸a\u2dco de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.2.3 Equac¸o\u2dces de Laplace e Poisson . . . . . . . . . . . . . . .