Calculo Numerico
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\u2212 4

e os autovalores de A sa\u2dco \u3bb1 = 2, 886 e \u3bb2 = \u22121, 386.
Os autovetores correspondentes aos autovalores sa\u2dco calculados pela equac¸a\u2dco carac-

ter´\u131stica

(A\u2212 \u3bbI)X = 0.

1. Para \u3bb1 = 2, 886, tem-se[
\u22125, 386 3
\u22121/2 3, 886

][
x1

x2

]
=

[
0

0

]

o que resulta em

X =

[
k

1, 795 k

]
para k 6= 0.

2. Para \u3bb2 = \u22121, 386 o autovetor correspondente e´ calculado por[
\u22123, 886 3
\u22121/2 4, 386

][
x1

x2

]
=

[
0

0

]

o que fornece

X =

[
k

1, 295 k

]
para k 6= 0.

98 Cap´\u131tulo 4 - Autovalores e Autovetores

E´ comum a escolha de k de forma que o valor ma´ximo dos componentes do vetor

X seja unita´rio (normalizac¸a\u2dco).

Quando se deseja determinar apenas um autovalor (dominante) ao contra´rio de

todos pode-se optar pelo me´todo da pote\u2c6ncia.

4.2 Me´todo da pote\u2c6ncia

Este me´todo e´ empregado quando se quer determinar o maior valor de uma matriz

e seu autovetor correspondente. Inicia-se com a condic¸a\u2dco X0
T = [1 1 1], por

exemplo, e gera-se a sequ¨e\u2c6ncia {Xk} atrave´s de

AXk = bk e Xk+1 =
bk

Mk+1
,

onde Mk+1 e´ a coordenada de maior magnitude de bk. {Xk} e {Mk} convergem para
X e \u3bb, respectivamente, se:

lim
k\u2192\u221e

Xk = X e lim
k\u2192\u221e

Mk = \u3bb.

Exemplo 4.3: Atrave´s do me´todo da pote\u2c6ncia encontre o autovalor dominante e

seu correspondente autovetor de

A =

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 0 11 \u22125\u22122 17 \u22127
\u22124 26 \u221210

\uf8f9\uf8fa\uf8fb .

Soluc¸~ao: Comec¸ando com X0
T = [1 1 1] para gerar as sequ¨e\u2c6ncias {Xk} e {Mk},

os valores produzidos a cada iterac¸a\u2dco sa\u2dco:

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 99

1. Primeira iterac¸a\u2dco: AX0 = b0 =M1X1\uf8ee\uf8ef\uf8f0 0 11 \u22125\u22122 17 \u22127
\u22124 26 \u221210

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f011
1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 68
12

\uf8f9\uf8fa\uf8fb = 12
\uf8ee\uf8ef\uf8f01/22/3

1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
2. Segunda iterac¸a\u2dco AX1 = b1 =M2X2\uf8ee\uf8ef\uf8f0 0 11 \u22125\u22122 17 \u22127

\u22124 26 \u221210

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f01/22/3

1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 7/310/3
16/3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb = 16
3

\uf8ee\uf8ef\uf8f07/165/8
1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
3. Iterando desta forma, tem-se a seguinte sequ¨e\u2c6ncia de vetores:

X1 =

\uf8ee\uf8ef\uf8f01/22/3
1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb X2 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f07/165/8

1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb X3 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 5/1211/18

1

\uf8f9\uf8fa\uf8fb . . .
e de constantes:

M1 = 12 M2 =
16

3
M3 =

9

2
. . .

A sequ¨e\u2c6ncia de vetores converge para XT = [0, 4 0, 6 1, 0] e a de constantes para

\u3bb = 4.

Observac¸o\u2dces:

1. Quanto menor o valor da raza\u2dco M2M1 coordenados de maior magnitude de b2 e b1,

respectivamente, maior sera´ a velocidade de converge\u2c6ncia.

2. Se AX = \u3bbX, enta\u2dco AkX = \u3bbkX para k uma constante e, fazendo Y = kX,

AY = \u3bbY .

100 Cap´\u131tulo 4 - Autovalores e Autovetores

3. Se \u3bb e´ autovalor de A, enta\u2dco 1\u3bb e´ autovalor de A
\u22121; isto implica que o maior

autovalor de A corresponde ao menor autovalor de A\u22121.

A seguir descreve-se o me´todo de Jacobi para encontrar todos os autovalores de

uma matriz sem a necessidade de montar um polino\u2c6mio de ordem n.

4.3 Me´todo de Jacobi

Consiste num dos me´todos mais antigos (1846) e gerais para a obtenc¸a\u2dco de todos

os autovalores de uma matriz (sime´trica).

Considere o problema cla´ssico de autovalores dado por

AXn = \u3bbnXn, n = 1, 2, ...,N

sendo A uma matriz real e sime´trica.

Agrupando todos os autovetores em P o problema pode ser escrito como

AP = P\u39b ou P TP = \u39b Sendo \u39b a matriz diagonal dos autovalores. Os autovetores

sa\u2dco obtidos da seguinte se´rie de multiplicac¸o\u2dces matriciais: P = T (0)T (1)...T (k)...T (N)

sendo T (k) matrizes de transformac¸a\u2dco, que possuem a forma

T (k) =

\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0

· · · · · ·
...

Tii T ij

Tji Tjj
...

· · · · · ·

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 101

Os termos Tii, Tji, Tij e Tjj dependem do a\u2c6ngulo de rotac¸a\u2dco \u3b8 e sa\u2dco definidos por

Tii = Tjj = cos(\u3b8)

Tji = Tij = sin(\u3b8).

Desta forma, (T (k))TT (k) = I. Uma iterac¸a\u2dco do procedimento iterativo envolve a

seguinte operac¸a\u2dco matricial

A(k) = (T (k))TA(k\u22121)T (k)

e o a\u2c6ngulo \u3b8 e´ selecionado de forma que os termos (i, j) da matriz A(k) sejam zero.

Isto e´ satisfeito se o a\u2c6ngulo e´ calculado como

Tg2\u3b8 =
2A

(k\u22121)
ij

A
(k\u22121)
ii \u2212A(k\u22121)jj

.

O me´todo de Jacobi e´ sempre convergente e fornece uma soluc¸a\u2dco precisa para auto-

valores positivos, nulos ou negativos. A experie\u2c6ncia demonstra que sa\u2dco necessa´rios

10N3 operac¸o\u2dces para obter converge\u2c6ncia, tornando o me´todo relativamente caro para

grandes sistemas, onde uma ana´lise modal torna-se mais conveniente.

Exemplo 4.4: Ca´lculo das tenso\u2dces principais.

O ca´lculo das tenso\u2dces principais e suas direc¸o\u2dces pode ser obtido resolvendo

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3c31 0 00 \u3c32 0
0 0 \u3c33

\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 Px1 Py1 Pz1Px2 Py2 Pz2
Px3 Py3 Pz3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u3c4xx \u3c4xy \u3c4xz\u3c4yx \u3c4yy \u3c4yz
\u3c4zx \u3c4zy \u3c4zz

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 Px1 Px2 Px3Py1 Py2 Py3

Pz1 Pz2 Pz3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
ou na forma simbo´lica

\u39b = P T \u3c4P,

102 Cap´\u131tulo 4 - Autovalores e Autovetores

sendo P a matriz dos cossenos diretores. desta forma, multiplicando por P resulta

\u3c4P = P\u39b.

Considerando

A =

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 100 \u221250 \u221260\u221250 \u221260 20
\u221260 20 70

\uf8f9\uf8fa\uf8fb ,
determine os seus autovalores (tenso\u2dces principais) e seus autovetores (cossenos dire-

tores) correspondentes. Soluc¸~ao: Empregando o me´todo de Jacobi resulta

\u39b =

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 79, 64 0 00 40, 47 0
0 0 \u221210, 11

\uf8f9\uf8fa\uf8fb e P =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 40, 467 0, 000 0, 000\u221279, 640 0, 000 0, 153

23, 278 \u22125, 238 \u221217, 573

\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
Observac¸a\u2dco: Devido ao elevado nu´mero de operac¸o\u2dces, para sistemas estruturais

grandes, a determinac¸a\u2dco dos modos dina\u2c6micos e frequ¨e\u2c6ncias torna-se tambe´m mais

eficiente se obtida pelo me´todo de iterac¸a\u2dco subspacial.

4.4 Aplicac¸o\u2dces: sistema massa-mola

Considere o sistema massa-mola indicado na Fig. 4.1

Ha´ tre\u2c6s massas conectadas por molas movendo-se horizontalmente ao longo da

linha PQ. O equil´\u131brio ocorre quando as massas esta\u2dco em dista\u2c6ncias a1, a2, a3 de

P . Assuma que a superf´\u131cie na\u2dco apresente atrito. As molas possuem estiramento c1,

c2, c3, c4 e as constantes da mola sa\u2dco k1, k2, k3, k4. Suponha que

k1 = k4 = 2m

k2 = k3 = m

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 103

Figura 4.1: Sistema massa-mola

Considere o sistema em movimento. As dista\u2c6ncias podem ser expressas por a1+x1,

a2 + x2, a3 + x3.

Para a primeira massa o equil´\u131brio e´ dado por

k1(a1 \u2212 c1) = k2(a2 \u2212 a1 \u2212 c2)

e o movimento como sendo

mx\u201d1 = \u2212k1(a1 + x1 \u2212 c1) + k2(a2 + x2 \u2212 (a1 + x1)\u2212 c2)

assim tem-se

mx\u201d1 = \u2212(k1 + k2)x1 + k2x2
mx\u201d1 = \u2212(2m+m)x1 +mx2
x\u201d1 = \u22123x1 + x2

104 Cap´\u131tulo 4 - Autovalores e Autovetores

Analogamente, para a segunda e a terceira massa obte´m-se

x\u201d2 = \u2212(k2 + k3)x2 + k4x3 + k1x1
x\u201d2 = 2x1 \u2212 3x2 + 2x3
x\u201d3 = \u2212(k3 + k4)x3 + k3x2
x\u201d3 = x2 \u2212 3x3

Escrevendo na forma matricial x\u201d = Ax, resulta\uf8ee\uf8ef\uf8f0 x\u201d1x\u201d2
x\u201d3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u22123 1 02 \u22123 2

0 1 \u22123

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 x1x2
x3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Note que cada mola oscila sempre com a mesma freque\u2c6ncia. Assim sendo, deriva-se

x = v sin w t

obtendo x\u201d = \u2212v w2 sinwt ou \u2212v w2 = Av que tem soluc¸a\u2dco se w2 e´ um autovalor
de A, com amplitude v como seu autovetor correspondente.

4.5 Exerc´\u131cios

1. Determinar os autovalores e os autovetores correspondentes da matriz A:

A =

\uf8ee\uf8ef\uf8f0 3 \u22121 10 2 5
2 0 \u22121

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
2. Uma determinada estrutura apresenta o seguinte tensor tensa\u2dco em um de seus no´s:

\u3c3 =

\uf8ee\uf8ef\uf8f01 4 04 2 5
0 5 3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 105

Indicar as tenso\u2dces normais, as tenso\u2dces cisalhantes e as tenso\u2dces principais.

3. Admita que a relac¸a\u2dco tensa\u2dco-deformac¸a\u2dco para um determinado problema possa ser

colocada na forma

\u3c3 = \u3ba\u1eb,

sendo \u3ba = 3. Determine os valores caracter´\u131sticos de deformac¸a\u2dco, sendo o tensor

tensa\u2dco dado por

\u3c3 =

\uf8ee\uf8ef\uf8f03 1 41 2 2
4 2 5

\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
4. Calcular os autovalores dominantes das matrizes A e B e os seus correspondentes

autovetores.

A =

\uf8ee\uf8ef\uf8f05 9 83 4 6
5 2 \u22121

\uf8f9\uf8fa\uf8fb; B =
\uf8ee\uf8ef\uf8f05 1 20 3 1
4 2 3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb

106 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

5 AJUSTE DE CURVAS E

INTERPOLAC¸A\u2dcO

Uma interpolac¸a\u2dco polinomial geralmente