Calculo Numerico
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esta aproximac¸a\u2dco tanto para dom\u131´nio cont´\u131nuo quanto

para discreto; aqui mostra-se o procedimento apenas para dom\u131´nio discreto por ser

esta situac¸a\u2dco mais comum na pra´tica.

5.3.1 Aproximac¸a\u2dco trigonome´trica para dom\u131´nio discreto:

Seja f uma func¸a\u2dco perio´dica dada por meio de uma tabela com 2N pontos equidis-

tantes. Esta pode ser aproximada por uma func¸a\u2dco do tipo

g(x) = a0 +
m\u2211
k=1

[ak cos k xj + bk sen k xj]

com m < N e xj =
pi
N j.

O me´todo dos m\u131´nimos quadrados pode ser novamente empregado para determinar

os coeficientes {ak} e {bk} que minimizam a quantidade
2N\u2211
j=1

[g(xj)\u2212 f(xj)]2

114 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

de forma que, fazendo com que as abcissas de f(x) coincidam com os pontos xj,

a0 =
1

2N

2N\u2211
j=1

f(xj)

ak =
1

N

2N\u2211
j=1

f(xj) cos k xj, k = 1, 2, . . . ,m (5.2)

bk =
1

N

2N\u2211
j=1

f(xj) sen k xj , k = 1, 2, . . . ,m

Exemplo 5.5: Fac¸a a ana´lise harmo\u2c6nica, ate´ o primeiro harmo\u2c6nico da func¸a\u2dco f(x)

indicada a seguir

j 1 2 3 4

f(xj) 3 5 7 6

Soluc¸~ao: Quer-se determinar os coeficientes da func¸a\u2dco

g(x) = a0 + a1 cos x+ b1 sen x

tendo 2N = 4, o nu´mero de pontos tabelados. Portanto, xj =
pi
2 j e os coeficientes

sa\u2dco calculados a partir das fo´rmulas (5.2). Logo,

a0 =
1

4

4\u2211
j=1

f(xj) =
21

4

a1 =
1

2

4\u2211
j=1

f(xj) cos k xj =
1

2

[
3 cos

\u3c0

2
+ 5 cos

2\u3c0

2
+ 7 cos

3\u3c0

2
+ 6 cos

4\u3c0

2

]
=

1

2

b1 =
1

2

4\u2211
j=1

f(xj) sen k xj =
1

2

[
3 sen

\u3c0

2
+ 5 sen

2\u3c0

2
+ 7 sen

3\u3c0

2
+ 6 sen

4\u3c0

2

]
= \u22122

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 115

ou seja,

g(x) =
21

4
+

1

2
cos x\u2212 2 sen x

e´ a func¸a\u2dco aproximadora procurada.

5.3.2 Escolha de melhor func¸a\u2dco de ajuste

Mais importante que saber ajustar um conjunto de dados e uma dada func¸a\u2dco e´

saber escolher qual a melhor func¸a\u2dco que se ajusta a um conjunto de dados. Esta

tarefa pode ser trivial mas na\u2dco e´; na tabela que segue ha´ uma indicac¸a\u2dco da escolha

para dados tabelados conforme 5.1

Tabela 5.1: Escolha da melhor func¸a\u2dco de ajuste
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
...

...

onde define-se, por exemplo, \u2206y1 = y1\u2212 y0 e \u2206x0 = x1\u2212 x0. A func¸a\u2dco condic¸a\u2dco e´
dada por

reta \u2206yi/\u2206xi \u2248 constante
para´bola \u2206y2i /\u2206x

2
i \u2248 constante

cu´bica \u2206y3i /\u2206x
3
i \u2248 constante

pote\u2c6ncia \u2206lnyi/\u2206xi \u2248 constante
exponencial \u2206lnyi/\u2206lnxi \u2248 constante

116 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

Observe que caso os dados da func¸a\u2dco na\u2dco se enquadra nesta func¸o\u2dces geralmente e´

prefer´\u131vel dividir a curva em duas ou mais, gerando duas ou mais func¸o\u2dces de ajuste.

Isto tambe´m pode ser prefer´\u131vel na interpolac¸a\u2dco. Como mencionado anteriormente,

quando o nu´mero de medidas e´ pequeno e´ mais conveniente interpolar os pontos pela

precisa\u2dco obtida.

5.4 Interpolac¸a\u2dco

Frequ¨entemente nos deparamos com um conjunto discreto de valores de uma func¸a\u2dco

que podem ser dados na forma de tabela ou de um conjunto de medidas. Estes val-

ores, na verdade, representam um conjunto de pontos pertencentes a uma func¸a\u2dco

cont´\u131nua. Quando o nu´mero de pontos for pequeno prefere-se geralmente a inter-

polac¸a\u2dco.

Exemplo 5.6: Considere que o calor espec´\u131fico (c) da a´gua varia com a temperatura

(T) em C (graus Celsius) conforme

Tabela 5.2: Calor espec´\u131fico x temperatura da a´gua

T 25 30 35

c 0,9985 0,9983 0,9982

Para obter o calor espec´\u131fico da a´gua a 29oC uma interpolac¸a\u2dco ajuda a resolver

este problema, ja´ que a informac¸a\u2dco desejada na\u2dco se encontra dispon´\u131vel na tabela.

Caso o nu´mero de pontos fosse maior poderia ser conveniente empregar algum tipo

de ajuste.

Considere os valores da tabela 5.3 correspondente aos valores de uma func¸a\u2dco f em

n + 1 pontos reais distintos x0, x1, . . . , xn. Seja x
\u2217 um ponto distinto dos pontos xi

da tabela, pertencente ao intervalo que conte´m os pontos xi, isto e´, x
\u2217 6= xi, para

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 117

Tabela 5.3: Valores de f em pontos distintos

x x0 x1 x2 . . . xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) . . . f(xn)

i = 0, 1, . . . , n e existem k e j tais que 0 \u2264 k 6= j \u2264 n tais que xk < x\u2217 < xj .
Interpolar o ponto x\u2217 a` tabela 5.3 significa calcular o valor de f(x\u2217), ou seja, incluir
o ponto [x\u2217, f(x\u2217)] na tabela 5.3.

A necessidade de se efetuar esta substituic¸a\u2dco surge em va´rias situac¸o\u2dces, como por

Exemplo:

- quando sa\u2dco conhecidos os valores nume´ricos da func¸a\u2dco para um conjunto de

pontos e e´ necessa´rio calcular o valor da func¸a\u2dco em um ponto na\u2dco tabelado (como

no Exemplo 5.6);

- quando a func¸a\u2dco em estudo tem uma expressa\u2dco tal que operac¸o\u2dces como diferen-

ciac¸a\u2dco e integrac¸a\u2dco sa\u2dco dif´\u131ceis de serem realizadas.

Exemplo 5.7: Considere que se queira determinar o seno de 6, 65 graus. Assuma

que se tenha dispon´\u131vel uma tabela de senos na qual os valores sa\u2dco dados em intervalos

de 1 grau. Para determinar o valor desejado, tem-se tre\u2c6s escolhas:

- Usar se´rie de Taylor para calcular o seno com uma certa exatida\u2dco pre´-definida.

- Tentar encontrar uma tabela que liste o valor do seno em intervalos menores e

procurar o valor exato.

- Usar os senos de 6 e 7 dados na tabela dispon´\u131vel para tentar determinar o seno

de 6, 65, ou seja, realizar uma interpolac¸a\u2dco.

118 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

A func¸a\u2dco interpoladora pode ser de diversos tipos: polinomial ou exponencial,

entre outras.

5.4.1 Interpolac¸a\u2dco polinomial

Considere que se deseja interpolar n+1 pontos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)], . . . , [xn, f(xn)],

por um polino\u2c6mio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que

f(xk) = pn(xk) = a0 + a1x+ · · · + anxn para k = 0, 1, . . . , n.
Da condic¸a\u2dco f(xk) = pn(xk) para k = 0, 1, . . . , n, monta-se o seguinte sistema:

\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a0 + a1x0 + a2x

2
0 + · · ·+ anxn0 = f(x0)

a0 + a1x1 + a2x
2
1 + · · ·+ anxn1 = f(x1)

...

a0 + a1xn + a2x
2
n + · · ·+ anxnn = f(xn)

(5.3)

com n + 1 equac¸o\u2dces e n + 1 inco´gnitas: a0, a1, . . . , an. Para resolver o sistema e´

necessa´rio que a matriz dos coeficientes

\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 x0 x

2
0 . . . x

n
0

1 x1 x
2
1 . . . x

n
1

...
...

...
...

...

1 xn x
2
n . . . x

n
n

\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
tenha determinante diferente de zero (det(A) 6= 0), para que a soluc¸a\u2dco seja u´nica.

Exemplo 5.8: Encontre o polino\u2c6mio de grau 2 que interpola os pontos da tabela:

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 119

x \u22122 1 3
f(x) 3 0 \u22123

Soluc¸~ao: Adotando p2(x) = a0 + a1x+ a2x
2 tem-se

p2(x0) = f(x0) \u21d2 a0 \u2212 2 a1 + 4 a2 = 3
p2(x1) = f(x1) \u21d2 a0 + a1 + a2 = 0
p2(x2) = f(x2) \u21d2 a0 + 3a1 + 9 a2 = \u22123

Do sistema, obte´m-se a0 =
51
40 , a1 = \u221265 , a2 = \u2212 340 . Desta forma

p2(x) =
51

40
\u2212 6

5
x\u2212 3

40
x2

e´ o polino\u2c6mio que interpola f(x) em x0 = \u22122, x1 = 1 e x2 = 3.

Exemplo 5.9: Determine p3(x) que interpola f(x) de acordo com a tabela 5.4

considerando 3 d´\u131gitos significativos.

Tabela 5.4: Dados a serem interpolados

x 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4

f(x) 4 16 \u22124 \u221216

Soluc¸~ao: Da tabela resulta o sistema

a0 + 0, 1 a1 + 0, 01 a2 + 0, 001 a3 = 4

a0 + 0, 2 a1 + 0, 04 a2 + 0, 008 a3 = 16

a0 + 0, 3 a1 + 0, 09 a2 + 0, 027 a3 = \u22124
a0 + 0, 4 a1 + 0, 16 a2 + 0, 064 a3 = \u221216

120 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

Para a precisa\u2dco de engenharia resolvendo o sistema por Gauss-Seidel, resulta

p3(x) = \u221280 + (1, 33 × 103)x\u2212 (5, 60 × 103)x2 + (6, 67 × 103)x3

5.4.2 Polino\u2c6mios ortogonais

Polino\u2c6mios ortogonais sa\u2dco preferidos quando se quer ter uma melhor precisa\u2dco para

um nu´mero pequeno de pontos tabelados, tipo n \u2264 5. Quando se aproxima uma
func¸a\u2dco f por uma func¸a\u2dco g da fam\u131´lia

m\u2211
k=0

ak gk(x)

pelo me´todo dos m\u131´nimos quadrados, e´ necessa´rio resolver