Calculo Numerico
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esta aproximac¸a\u2dco tanto para dom\u131´nio cont´\u131nuo quanto
para discreto; aqui mostra-se o procedimento apenas para dom\u131´nio discreto por ser
esta situac¸a\u2dco mais comum na pra´tica.
5.3.1 Aproximac¸a\u2dco trigonome´trica para dom\u131´nio discreto:
Seja f uma func¸a\u2dco perio´dica dada por meio de uma tabela com 2N pontos equidis-
tantes. Esta pode ser aproximada por uma func¸a\u2dco do tipo
g(x) = a0 +
m\u2211
k=1
[ak cos k xj + bk sen k xj]
com m < N e xj =
pi
N j.
O me´todo dos m\u131´nimos quadrados pode ser novamente empregado para determinar
os coeficientes {ak} e {bk} que minimizam a quantidade
2N\u2211
j=1
[g(xj)\u2212 f(xj)]2
114 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
de forma que, fazendo com que as abcissas de f(x) coincidam com os pontos xj,
a0 =
1
2N
2N\u2211
j=1
f(xj)
ak =
1
N
2N\u2211
j=1
f(xj) cos k xj, k = 1, 2, . . . ,m (5.2)
bk =
1
N
2N\u2211
j=1
f(xj) sen k xj , k = 1, 2, . . . ,m
Exemplo 5.5: Fac¸a a ana´lise harmo\u2c6nica, ate´ o primeiro harmo\u2c6nico da func¸a\u2dco f(x)
indicada a seguir
j 1 2 3 4
f(xj) 3 5 7 6
Soluc¸~ao: Quer-se determinar os coeficientes da func¸a\u2dco
g(x) = a0 + a1 cos x+ b1 sen x
tendo 2N = 4, o nu´mero de pontos tabelados. Portanto, xj =
pi
2 j e os coeficientes
sa\u2dco calculados a partir das fo´rmulas (5.2). Logo,
a0 =
1
4
4\u2211
j=1
f(xj) =
21
4
a1 =
1
2
4\u2211
j=1
f(xj) cos k xj =
1
2
[
3 cos
\u3c0
2
+ 5 cos
2\u3c0
2
+ 7 cos
3\u3c0
2
+ 6 cos
4\u3c0
2
]
=
1
2
b1 =
1
2
4\u2211
j=1
f(xj) sen k xj =
1
2
[
3 sen
\u3c0
2
+ 5 sen
2\u3c0
2
+ 7 sen
3\u3c0
2
+ 6 sen
4\u3c0
2
]
= \u22122
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 115
ou seja,
g(x) =
21
4
+
1
2
cos x\u2212 2 sen x
e´ a func¸a\u2dco aproximadora procurada.
5.3.2 Escolha de melhor func¸a\u2dco de ajuste
Mais importante que saber ajustar um conjunto de dados e uma dada func¸a\u2dco e´
saber escolher qual a melhor func¸a\u2dco que se ajusta a um conjunto de dados. Esta
tarefa pode ser trivial mas na\u2dco e´; na tabela que segue ha´ uma indicac¸a\u2dco da escolha
para dados tabelados conforme 5.1
Tabela 5.1: Escolha da melhor func¸a\u2dco de ajuste
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
...
...
onde define-se, por exemplo, \u2206y1 = y1\u2212 y0 e \u2206x0 = x1\u2212 x0. A func¸a\u2dco condic¸a\u2dco e´
dada por
reta \u2206yi/\u2206xi \u2248 constante
para´bola \u2206y2i /\u2206x
2
i \u2248 constante
cu´bica \u2206y3i /\u2206x
3
i \u2248 constante
pote\u2c6ncia \u2206lnyi/\u2206xi \u2248 constante
exponencial \u2206lnyi/\u2206lnxi \u2248 constante
116 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
Observe que caso os dados da func¸a\u2dco na\u2dco se enquadra nesta func¸o\u2dces geralmente e´
prefer´\u131vel dividir a curva em duas ou mais, gerando duas ou mais func¸o\u2dces de ajuste.
Isto tambe´m pode ser prefer´\u131vel na interpolac¸a\u2dco. Como mencionado anteriormente,
quando o nu´mero de medidas e´ pequeno e´ mais conveniente interpolar os pontos pela
precisa\u2dco obtida.
5.4 Interpolac¸a\u2dco
Frequ¨entemente nos deparamos com um conjunto discreto de valores de uma func¸a\u2dco
que podem ser dados na forma de tabela ou de um conjunto de medidas. Estes val-
ores, na verdade, representam um conjunto de pontos pertencentes a uma func¸a\u2dco
cont´\u131nua. Quando o nu´mero de pontos for pequeno prefere-se geralmente a inter-
polac¸a\u2dco.
Exemplo 5.6: Considere que o calor espec´\u131fico (c) da a´gua varia com a temperatura
(T) em C (graus Celsius) conforme
Tabela 5.2: Calor espec´\u131fico x temperatura da a´gua
T 25 30 35
c 0,9985 0,9983 0,9982
Para obter o calor espec´\u131fico da a´gua a 29oC uma interpolac¸a\u2dco ajuda a resolver
este problema, ja´ que a informac¸a\u2dco desejada na\u2dco se encontra dispon´\u131vel na tabela.
Caso o nu´mero de pontos fosse maior poderia ser conveniente empregar algum tipo
de ajuste.
Considere os valores da tabela 5.3 correspondente aos valores de uma func¸a\u2dco f em
n + 1 pontos reais distintos x0, x1, . . . , xn. Seja x
\u2217 um ponto distinto dos pontos xi
da tabela, pertencente ao intervalo que conte´m os pontos xi, isto e´, x
\u2217 6= xi, para
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Tabela 5.3: Valores de f em pontos distintos
x x0 x1 x2 . . . xn
f(x) f(x0) f(x1) f(x2) . . . f(xn)
i = 0, 1, . . . , n e existem k e j tais que 0 \u2264 k 6= j \u2264 n tais que xk < x\u2217 < xj .
Interpolar o ponto x\u2217 a` tabela 5.3 significa calcular o valor de f(x\u2217), ou seja, incluir
o ponto [x\u2217, f(x\u2217)] na tabela 5.3.
A necessidade de se efetuar esta substituic¸a\u2dco surge em va´rias situac¸o\u2dces, como por
Exemplo:
- quando sa\u2dco conhecidos os valores nume´ricos da func¸a\u2dco para um conjunto de
pontos e e´ necessa´rio calcular o valor da func¸a\u2dco em um ponto na\u2dco tabelado (como
no Exemplo 5.6);
- quando a func¸a\u2dco em estudo tem uma expressa\u2dco tal que operac¸o\u2dces como diferen-
ciac¸a\u2dco e integrac¸a\u2dco sa\u2dco dif´\u131ceis de serem realizadas.
Exemplo 5.7: Considere que se queira determinar o seno de 6, 65 graus. Assuma
que se tenha dispon´\u131vel uma tabela de senos na qual os valores sa\u2dco dados em intervalos
de 1 grau. Para determinar o valor desejado, tem-se tre\u2c6s escolhas:
- Usar se´rie de Taylor para calcular o seno com uma certa exatida\u2dco pre´-definida.
- Tentar encontrar uma tabela que liste o valor do seno em intervalos menores e
procurar o valor exato.
- Usar os senos de 6 e 7 dados na tabela dispon´\u131vel para tentar determinar o seno
de 6, 65, ou seja, realizar uma interpolac¸a\u2dco.
118 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
A func¸a\u2dco interpoladora pode ser de diversos tipos: polinomial ou exponencial,
entre outras.
5.4.1 Interpolac¸a\u2dco polinomial
Considere que se deseja interpolar n+1 pontos [x0, f(x0)], [x1, f(x1)], . . . , [xn, f(xn)],
por um polino\u2c6mio pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que
f(xk) = pn(xk) = a0 + a1x+ · · · + anxn para k = 0, 1, . . . , n.
Da condic¸a\u2dco f(xk) = pn(xk) para k = 0, 1, . . . , n, monta-se o seguinte sistema:
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
a0 + a1x0 + a2x
2
0 + · · ·+ anxn0 = f(x0)
a0 + a1x1 + a2x
2
1 + · · ·+ anxn1 = f(x1)
...
a0 + a1xn + a2x
2
n + · · ·+ anxnn = f(xn)
(5.3)
com n + 1 equac¸o\u2dces e n + 1 inco´gnitas: a0, a1, . . . , an. Para resolver o sistema e´
necessa´rio que a matriz dos coeficientes
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 x0 x
2
0 . . . x
n
0
1 x1 x
2
1 . . . x
n
1
...
...
...
...
...
1 xn x
2
n . . . x
n
n
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
tenha determinante diferente de zero (det(A) 6= 0), para que a soluc¸a\u2dco seja u´nica.
Exemplo 5.8: Encontre o polino\u2c6mio de grau 2 que interpola os pontos da tabela:
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x \u22122 1 3
f(x) 3 0 \u22123
Soluc¸~ao: Adotando p2(x) = a0 + a1x+ a2x
2 tem-se
p2(x0) = f(x0) \u21d2 a0 \u2212 2 a1 + 4 a2 = 3
p2(x1) = f(x1) \u21d2 a0 + a1 + a2 = 0
p2(x2) = f(x2) \u21d2 a0 + 3a1 + 9 a2 = \u22123
Do sistema, obte´m-se a0 =
51
40 , a1 = \u221265 , a2 = \u2212 340 . Desta forma
p2(x) =
51
40
\u2212 6
5
x\u2212 3
40
x2
e´ o polino\u2c6mio que interpola f(x) em x0 = \u22122, x1 = 1 e x2 = 3.
Exemplo 5.9: Determine p3(x) que interpola f(x) de acordo com a tabela 5.4
considerando 3 d´\u131gitos significativos.
Tabela 5.4: Dados a serem interpolados
x 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4
f(x) 4 16 \u22124 \u221216
Soluc¸~ao: Da tabela resulta o sistema
a0 + 0, 1 a1 + 0, 01 a2 + 0, 001 a3 = 4
a0 + 0, 2 a1 + 0, 04 a2 + 0, 008 a3 = 16
a0 + 0, 3 a1 + 0, 09 a2 + 0, 027 a3 = \u22124
a0 + 0, 4 a1 + 0, 16 a2 + 0, 064 a3 = \u221216
120 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
Para a precisa\u2dco de engenharia resolvendo o sistema por Gauss-Seidel, resulta
p3(x) = \u221280 + (1, 33 × 103)x\u2212 (5, 60 × 103)x2 + (6, 67 × 103)x3
5.4.2 Polino\u2c6mios ortogonais
Polino\u2c6mios ortogonais sa\u2dco preferidos quando se quer ter uma melhor precisa\u2dco para
um nu´mero pequeno de pontos tabelados, tipo n \u2264 5. Quando se aproxima uma
func¸a\u2dco f por uma func¸a\u2dco g da fam\u131´lia
m\u2211
k=0
ak gk(x)
pelo me´todo dos m\u131´nimos quadrados, e´ necessa´rio resolver