Calculo Numerico
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Calculo Numerico


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um sistema linear de

equac¸o\u2dces denominado de sistema normal. Se existe um conjunto de func¸o\u2dces {gk},
k = 0, 1, . . . ,m tais que

( gk \u2022 gl ) = 0 \u2200 k 6= l, 0 \u2264 k, l \u2264 m (5.4)

o sistema normal se torna diagonal e os coeficientes ak da func¸a\u2dco aproximadora sa\u2dco

determinados por

ak =
( gk \u2022 f )
( gk \u2022 gk )

, 0 \u2264 k \u2264 m (5.5)

As func¸o\u2dces que satisfazem a relac¸a\u2dco (5.4) sa\u2dco denominadas func¸o\u2dces ortogonais. Um

polino\u2c6mio de grau k pode ser escrito na forma pk(x) = ck x
k+ck\u22121 xk\u22121+· · ·+c1 x+c0.

Os polino\u2c6mios ortogonais pk(x), k = 0, 1, . . . obedecem a`s seguintes relac¸o\u2dces:

( pk \u2022 pl ) = 0 para k 6= l
( pk \u2022 pk ) > 0 para k = 0, 1, . . .

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 121

Eles podem ter va´rias formas, como as de Legendre, de Lagrange e de Newton. A

escolha depende de condic¸o\u2dces como tempo computacional, gosto, etc; estes possuem

ordem de aproximac¸a\u2dco equivalente.

a) Polino\u2c6mios de Legendre

Um exemplo importante de uma classe de polino\u2c6mios ortogonais e´ a dos polino\u2c6mios

de Legendre, que obedecem a` seguinte definic¸a\u2dco:

( pn \u2022 pm ) =
\u222b 1
\u22121

pn(x) pm(x) dx

=

\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
0 se m 6= n

2

2n+ 1
se m = n

Como p0(x) = 1 e p1(x) = x, por definic¸a\u2dco, pode-se construir os polino\u2c6mios de

Legendre usando a seguinte relac¸a\u2dco:

pn+1 =
2n+ 1

n+ 1
xPn \u2212 n

n+ 1
Pn\u22121

de forma que

p0(x) = 1 p1(x) = x p2(x) =
1

2
(3x2 \u2212 1)

Observe que os polino\u2c6mios de Legendre sa\u2dco definidos no intervalo [-1,1].

Exemplo 5.10: Aproxime a func¸a\u2dco f(t) = sen t no intervalo 0 \u2264 t \u2264 \u3c0 por uma
para´bola utilizando polino\u2c6mios de Legendre.

Soluc¸~ao: Fazendo a mudanc¸a de varia´vel que transforma linearmente o intervalo

[0, \u3c0] em [\u22121, 1], onde os polino\u2c6mios de Legendre esta\u2dco definidos, tem-se
t(x) =

\u3c0

2
(x+ 1)

122 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

Nestas condic¸o\u2dces,

f [t(x)] = sen t(x) = sen
[\u3c0
2
(x+ 1)

]
= F (x).

O polino\u2c6mio que se quer obter pelo me´todo dos m\u131´nimos quadrados e´

G(x) + a0 1 + a1 x+ a2
1

2
(3x2 \u2212 1)

Como os polino\u2c6mios de Legendre sa\u2dco ortogonais, emprega-se (5.5) para determinar

os coeficientes a0, a1 e a2 da para´bola, ou seja,

a0 =
(F \u2022 p0 )
( p0 \u2022 p0 ) =

2

\u3c0

a1 =
(F \u2022 p1 )
( p1 \u2022 p1 ) = 0

a2 =
(F \u2022 p2 )
( p2 \u2022 p2 ) =

10

\u3c0

[
1\u2212 12

\u3c02

]
.

Desta forma,

G(x) =
2

\u3c0
+

10

\u3c0

[
1\u2212 12

\u3c02

]
1

2
(3x2 \u2212 1) para x \u2208 [\u22121, 1].

Voltando para o intervalo inicial [0, \u3c0] atrave´s da transformac¸a\u2dco inversa, x(t) =
2
pi t\u2212 1, obte´m-se

g(t) =
2

\u3c0
+

10

\u3c0

[
1\u2212 12

\u3c02

]
1

2

[
3

[
2

\u3c0
t\u2212 1

]2
\u2212 1

]

que e´ a func¸a\u2dco aproximadora desejada.

b) Polino\u2c6mios de Lagrange

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 123

Sejam x0, x1, . . . , xn n + 1 pontos distintos e yi = f(xi) para i = 0, 1, . . . , n. Seja

pn(x) o polino\u2c6mio de grau menor ou igual a n que interpola f em x0, x1, . . . , xn.

Pode-se representar pn(x) na forma

pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + · · · + ynLn(x),

onde os polino\u2c6mios Lk(x) sa\u2dco de grau n. Deseja-se que, para cada i, a condic¸a\u2dco

pn(xi) = yi seja satisfeita, ou seja:

pn(xi) = y0L0(xi) + y1L1(xi) + · · ·+ ynLn(xi) = yi.

A forma mais simples de satisfazer esta condic¸a\u2dco e´ impor:

Lk(xi) =

{
0 se k 6= i
1 se k = i

e, para isto, define-se Lk(x) por

Lk(x) =
(x\u2212 x0)(x\u2212 x1) . . . (x\u2212 xk\u22121)(x\u2212 xk+1) . . . (x\u2212 xn)

(xk \u2212 x0)(xk \u2212 x1) . . . (xk \u2212 xk\u22121)(xk \u2212 xk+1) . . . (xk \u2212 xn)

E´ fa´cil verificar, pela condic¸a\u2dco de ortogonalidade, que

Lk(xk) = 1 e Lk(xi) = 0 se i 6= k.

Como o numerador de Lk(x) e´ um produto de n fatores da forma (x \u2212 xi) para
i = 0, 1, . . . , n e i 6= k, Lk(x) e´ um polino\u2c6mio de grau n e, assim, pn(x) e´ um
polino\u2c6mio de grau menor ou igual a n.

Ale´m disto, para x = xi, i = 0, 1, . . . , n, tem-se

pn(xi) =
n\u2211

k=0

ykLk(xi) = yiLi(xi) = yi.

124 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

Enta\u2dco, a forma de Lagrange para o polino\u2c6mio interpolador e´

pn(x) =
n\u2211

k=0

ykLk(x)

onde

Lk(x) =

n\u220f
j=0
j 6=k

(x\u2212 xj)

n\u220f
j=0
j 6=k

(xk \u2212 xj)

Exemplo 5.11: Determinar o polino\u2c6mio de Lagrange para os dados que seguem:

x \u22122 1 2
f(x) 5 0 \u22123

Soluc¸~ao: Pela forma de Lagrange, temos que

p2(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x)

onde

L0(x) =
(x\u2212 x1)(x\u2212 x2)
(x0 \u2212 x1)(x0 \u2212 x2) =

x2 \u2212 3x+ 2
12

L1(x) =
(x\u2212 x0)(x\u2212 x2)
(x1 \u2212 x0)(x1 \u2212 x2) =

x2 \u2212 4
\u22123

L2(x) =
(x\u2212 x0)(x\u2212 x1)
(x2 \u2212 x0)(x2 \u2212 x1) =

x2 + x\u2212 2
4

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 125

Assim, na forma de Lagrange, resulta

p2(x) = 5

(
x2 \u2212 3x+ 2

12

)
+ 0

(
x2 \u2212 4
\u22123

)
+ (\u22123)

(
x2 + x\u2212 2

4

)
Agrupando os termos semelhantes, obte´m-se

p2(x) =
7

3
\u2212 2x\u2212 1

3
x2.

c) Forma de Newton

A forma de Newton para o polino\u2c6mio pn(x) que interpola f(x) em x0, x1, . . . , xn,

(n+ 1) pontos distintos, e´ a seguinte

pn(x) = d0 + d1 (x\u2212 x0) + d2 (x\u2212 x0)(x\u2212 x1) + . . .
+dn (x\u2212 x0)(x\u2212 x1) . . . (x\u2212 xn\u22121)

onde os coeficientes dk = f [xk, xk\u22121, . . . , x0] para k = 0, 1, . . . , n sa\u2dco diferenc¸as divi-
didas de ordem k da func¸a\u2dco tabelada f(x) sobre os k + 1 pontos: x0, x1, . . . , xk e

define-se as diferenc¸as:

f [xi] = f(xi) Ordem 0

f [xi+1, xi] =
f [xi+1]\u2212 f [xi]

xi+1 \u2212 xi =
f(xi+1)\u2212 f(xi)

xi+1 \u2212 xi Ordem 1

f [xi+2, xi+1, xi] =
f [xi+2, xi+1]\u2212 f [xi+1, xi]

x2 \u2212 x0 Ordem 2

...
...

...

f [xi+k, . . . , xi] =
f [xi+k, . . . , xi]\u2212 f [xi+k\u22121, . . . , xi]

xn \u2212 x0 Ordem k

126 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

Tambe´m pode-se compor os dados conforme mostra a tabela 5.5:

Tabela 5.5: Diferenc¸as divididas

i xi f [xi] f [xi+1, xi] f [xi+2, xi+1, xi] f [xi+3, . . . , xi] f [xi+4, . . . , xi]
0 x0 f [x0] f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1, x0] f [x4, x3, x2, x1, x0]
1 x1 f [x1] f [x2, x1] f [x3, x2, x1] f [x4, x3, x2, x1]
2 x2 f [x2] f [x3, x2] f [x4, x3, x2]
3 x3 f [x3] f [x4, x3]
4 x4 f [x4]

Exemplo 5.12: Usando a forma de Newton, o polino\u2c6mio p2(x) que interpola f(x)

nos pontos

x \u22122 1 2
f(x) 5 0 \u22123

e´ dado por

p2(x) = f(x0) + (x\u2212 x0)f [x1, x0] + (x\u2212 x0)(x\u2212 x1)f [x2, x1, x0].

Para este caso, a tabela de diferenc¸as divididas e´

i xi f [xi] f [xi+1, xi] f [xi+2, xi+1, xi]

0 \u22122 5 \u221253 \u221213
1 1 0 \u22123
2 2 \u22123

e o polino\u2c6mio,

p2(x) = 5 + (x+ 2)(\u22125
3
) + (x+ 2)(x\u2212 1)(\u22121

3
)

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 127

ou seja,

p2(x) =
7

3
\u2212 2x\u2212 1

3
x2.

Este resultado e´ ide\u2c6ntico ao obtido para polino\u2c6mios de Lagrange.

Observa-se que caso os pontos sejam equ¨idistantes as diferenc¸as divididas se trans-

formam em diferenc¸as simples.

Exemplo 5.13: Considere f(x) dada por

x 0, 4 0, 52 0, 6 0, 72

f(x) 0, 26 0, 31 0, 32 0, 37

obter f(0, 46) utilizando um polino\u2c6mio de grau 2 e obter uma estimativa para o erro.

Soluc¸~ao: A tabela de diferenc¸as divididas e´ dada por

i xi f [xi] f [xi+1, xi] f [xi+2, xi+1, xi] f [xi+3, xi+2, xi+1, xi]

0 0, 4 0, 26 0, 4167 4, 1665 \u221226, 0462
1 0, 52 0, 31 1, 2500 -4,1665

2 0, 6 0, 32 0,4167

3 0, 72 0, 37

Usando a fo´rmula de Newton, resulta

p2(x) = f [x0] + (x\u2212 x0) f [x1, x0] + (x\u2212 x0)(x\u2212 x1) f [x2, x1, x0]
= 0, 26 + (x\u2212 0, 4) 0, 4167 + (x\u2212 0, 4)(x \u2212 0, 52) 1, 4585 +

(x\u2212 0, 4)(x \u2212 0, 52)(x \u2212 0, 6)9, 1156

ou seja, f(0, 47) = p2(0, 47) = 0, 2984.

128 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

Desta forma, uma estimativa do erro de truncamento e´

|E2(x) | \u2264 | (x\u2212 x0) (x\u2212 x1) (x\u2212 x2) f [x3, x2, x1, x0] |
\u2264 | (x\u2212 0, 4) (x \u2212 0, 52) (x \u2212 0, 6) 9, 1156 |

|E2(0, 47) | \u2264 4, 148 × 10\u22123.

5.4.3 Interpolac¸a\u2dco por spline cu´bico

Objetiva-se, dada a tabela de pontos [xi, f(xi)], i = 1,2,...,n, encontrar o spline

cu´bico p(x) que interpola estes pontos. Deve-se ter, portanto, p(xi) = f(xi) = yi,

para i = 0, 1, ..., n.

Seja