Calculo Numerico
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Calculo Numerico


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um sistema linear de
equac¸o\u2dces denominado de sistema normal. Se existe um conjunto de func¸o\u2dces {gk},
k = 0, 1, . . . ,m tais que
( gk \u2022 gl ) = 0 \u2200 k 6= l, 0 \u2264 k, l \u2264 m (5.4)
o sistema normal se torna diagonal e os coeficientes ak da func¸a\u2dco aproximadora sa\u2dco
determinados por
ak =
( gk \u2022 f )
( gk \u2022 gk )
, 0 \u2264 k \u2264 m (5.5)
As func¸o\u2dces que satisfazem a relac¸a\u2dco (5.4) sa\u2dco denominadas func¸o\u2dces ortogonais. Um
polino\u2c6mio de grau k pode ser escrito na forma pk(x) = ck x
k+ck\u22121 xk\u22121+· · ·+c1 x+c0.
Os polino\u2c6mios ortogonais pk(x), k = 0, 1, . . . obedecem a`s seguintes relac¸o\u2dces:
( pk \u2022 pl ) = 0 para k 6= l
( pk \u2022 pk ) > 0 para k = 0, 1, . . .
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 121
Eles podem ter va´rias formas, como as de Legendre, de Lagrange e de Newton. A
escolha depende de condic¸o\u2dces como tempo computacional, gosto, etc; estes possuem
ordem de aproximac¸a\u2dco equivalente.
a) Polino\u2c6mios de Legendre
Um exemplo importante de uma classe de polino\u2c6mios ortogonais e´ a dos polino\u2c6mios
de Legendre, que obedecem a` seguinte definic¸a\u2dco:
( pn \u2022 pm ) =
\u222b 1
\u22121
pn(x) pm(x) dx
=
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
0 se m 6= n
2
2n+ 1
se m = n
Como p0(x) = 1 e p1(x) = x, por definic¸a\u2dco, pode-se construir os polino\u2c6mios de
Legendre usando a seguinte relac¸a\u2dco:
pn+1 =
2n+ 1
n+ 1
xPn \u2212 n
n+ 1
Pn\u22121
de forma que
p0(x) = 1 p1(x) = x p2(x) =
1
2
(3x2 \u2212 1)
Observe que os polino\u2c6mios de Legendre sa\u2dco definidos no intervalo [-1,1].
Exemplo 5.10: Aproxime a func¸a\u2dco f(t) = sen t no intervalo 0 \u2264 t \u2264 \u3c0 por uma
para´bola utilizando polino\u2c6mios de Legendre.
Soluc¸~ao: Fazendo a mudanc¸a de varia´vel que transforma linearmente o intervalo
[0, \u3c0] em [\u22121, 1], onde os polino\u2c6mios de Legendre esta\u2dco definidos, tem-se
t(x) =
\u3c0
2
(x+ 1)
122 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
Nestas condic¸o\u2dces,
f [t(x)] = sen t(x) = sen
[\u3c0
2
(x+ 1)
]
= F (x).
O polino\u2c6mio que se quer obter pelo me´todo dos m\u131´nimos quadrados e´
G(x) + a0 1 + a1 x+ a2
1
2
(3x2 \u2212 1)
Como os polino\u2c6mios de Legendre sa\u2dco ortogonais, emprega-se (5.5) para determinar
os coeficientes a0, a1 e a2 da para´bola, ou seja,
a0 =
(F \u2022 p0 )
( p0 \u2022 p0 ) =
2
\u3c0
a1 =
(F \u2022 p1 )
( p1 \u2022 p1 ) = 0
a2 =
(F \u2022 p2 )
( p2 \u2022 p2 ) =
10
\u3c0
[
1\u2212 12
\u3c02
]
.
Desta forma,
G(x) =
2
\u3c0
+
10
\u3c0
[
1\u2212 12
\u3c02
]
1
2
(3x2 \u2212 1) para x \u2208 [\u22121, 1].
Voltando para o intervalo inicial [0, \u3c0] atrave´s da transformac¸a\u2dco inversa, x(t) =
2
pi t\u2212 1, obte´m-se
g(t) =
2
\u3c0
+
10
\u3c0
[
1\u2212 12
\u3c02
]
1
2
[
3
[
2
\u3c0
t\u2212 1
]2
\u2212 1
]
que e´ a func¸a\u2dco aproximadora desejada.
b) Polino\u2c6mios de Lagrange
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 123
Sejam x0, x1, . . . , xn n + 1 pontos distintos e yi = f(xi) para i = 0, 1, . . . , n. Seja
pn(x) o polino\u2c6mio de grau menor ou igual a n que interpola f em x0, x1, . . . , xn.
Pode-se representar pn(x) na forma
pn(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + · · · + ynLn(x),
onde os polino\u2c6mios Lk(x) sa\u2dco de grau n. Deseja-se que, para cada i, a condic¸a\u2dco
pn(xi) = yi seja satisfeita, ou seja:
pn(xi) = y0L0(xi) + y1L1(xi) + · · ·+ ynLn(xi) = yi.
A forma mais simples de satisfazer esta condic¸a\u2dco e´ impor:
Lk(xi) =
{
0 se k 6= i
1 se k = i
e, para isto, define-se Lk(x) por
Lk(x) =
(x\u2212 x0)(x\u2212 x1) . . . (x\u2212 xk\u22121)(x\u2212 xk+1) . . . (x\u2212 xn)
(xk \u2212 x0)(xk \u2212 x1) . . . (xk \u2212 xk\u22121)(xk \u2212 xk+1) . . . (xk \u2212 xn)
E´ fa´cil verificar, pela condic¸a\u2dco de ortogonalidade, que
Lk(xk) = 1 e Lk(xi) = 0 se i 6= k.
Como o numerador de Lk(x) e´ um produto de n fatores da forma (x \u2212 xi) para
i = 0, 1, . . . , n e i 6= k, Lk(x) e´ um polino\u2c6mio de grau n e, assim, pn(x) e´ um
polino\u2c6mio de grau menor ou igual a n.
Ale´m disto, para x = xi, i = 0, 1, . . . , n, tem-se
pn(xi) =
n\u2211
k=0
ykLk(xi) = yiLi(xi) = yi.
124 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
Enta\u2dco, a forma de Lagrange para o polino\u2c6mio interpolador e´
pn(x) =
n\u2211
k=0
ykLk(x)
onde
Lk(x) =
n\u220f
j=0
j 6=k
(x\u2212 xj)
n\u220f
j=0
j 6=k
(xk \u2212 xj)
Exemplo 5.11: Determinar o polino\u2c6mio de Lagrange para os dados que seguem:
x \u22122 1 2
f(x) 5 0 \u22123
Soluc¸~ao: Pela forma de Lagrange, temos que
p2(x) = y0L0(x) + y1L1(x) + y2L2(x)
onde
L0(x) =
(x\u2212 x1)(x\u2212 x2)
(x0 \u2212 x1)(x0 \u2212 x2) =
x2 \u2212 3x+ 2
12
L1(x) =
(x\u2212 x0)(x\u2212 x2)
(x1 \u2212 x0)(x1 \u2212 x2) =
x2 \u2212 4
\u22123
L2(x) =
(x\u2212 x0)(x\u2212 x1)
(x2 \u2212 x0)(x2 \u2212 x1) =
x2 + x\u2212 2
4
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 125
Assim, na forma de Lagrange, resulta
p2(x) = 5
(
x2 \u2212 3x+ 2
12
)
+ 0
(
x2 \u2212 4
\u22123
)
+ (\u22123)
(
x2 + x\u2212 2
4
)
Agrupando os termos semelhantes, obte´m-se
p2(x) =
7
3
\u2212 2x\u2212 1
3
x2.
c) Forma de Newton
A forma de Newton para o polino\u2c6mio pn(x) que interpola f(x) em x0, x1, . . . , xn,
(n+ 1) pontos distintos, e´ a seguinte
pn(x) = d0 + d1 (x\u2212 x0) + d2 (x\u2212 x0)(x\u2212 x1) + . . .
+dn (x\u2212 x0)(x\u2212 x1) . . . (x\u2212 xn\u22121)
onde os coeficientes dk = f [xk, xk\u22121, . . . , x0] para k = 0, 1, . . . , n sa\u2dco diferenc¸as divi-
didas de ordem k da func¸a\u2dco tabelada f(x) sobre os k + 1 pontos: x0, x1, . . . , xk e
define-se as diferenc¸as:
f [xi] = f(xi) Ordem 0
f [xi+1, xi] =
f [xi+1]\u2212 f [xi]
xi+1 \u2212 xi =
f(xi+1)\u2212 f(xi)
xi+1 \u2212 xi Ordem 1
f [xi+2, xi+1, xi] =
f [xi+2, xi+1]\u2212 f [xi+1, xi]
x2 \u2212 x0 Ordem 2
...
...
...
f [xi+k, . . . , xi] =
f [xi+k, . . . , xi]\u2212 f [xi+k\u22121, . . . , xi]
xn \u2212 x0 Ordem k
126 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
Tambe´m pode-se compor os dados conforme mostra a tabela 5.5:
Tabela 5.5: Diferenc¸as divididas
i xi f [xi] f [xi+1, xi] f [xi+2, xi+1, xi] f [xi+3, . . . , xi] f [xi+4, . . . , xi]
0 x0 f [x0] f [x1, x0] f [x2, x1, x0] f [x3, x2, x1, x0] f [x4, x3, x2, x1, x0]
1 x1 f [x1] f [x2, x1] f [x3, x2, x1] f [x4, x3, x2, x1]
2 x2 f [x2] f [x3, x2] f [x4, x3, x2]
3 x3 f [x3] f [x4, x3]
4 x4 f [x4]
Exemplo 5.12: Usando a forma de Newton, o polino\u2c6mio p2(x) que interpola f(x)
nos pontos
x \u22122 1 2
f(x) 5 0 \u22123
e´ dado por
p2(x) = f(x0) + (x\u2212 x0)f [x1, x0] + (x\u2212 x0)(x\u2212 x1)f [x2, x1, x0].
Para este caso, a tabela de diferenc¸as divididas e´
i xi f [xi] f [xi+1, xi] f [xi+2, xi+1, xi]
0 \u22122 5 \u221253 \u221213
1 1 0 \u22123
2 2 \u22123
e o polino\u2c6mio,
p2(x) = 5 + (x+ 2)(\u22125
3
) + (x+ 2)(x\u2212 1)(\u22121
3
)
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 127
ou seja,
p2(x) =
7
3
\u2212 2x\u2212 1
3
x2.
Este resultado e´ ide\u2c6ntico ao obtido para polino\u2c6mios de Lagrange.
Observa-se que caso os pontos sejam equ¨idistantes as diferenc¸as divididas se trans-
formam em diferenc¸as simples.
Exemplo 5.13: Considere f(x) dada por
x 0, 4 0, 52 0, 6 0, 72
f(x) 0, 26 0, 31 0, 32 0, 37
obter f(0, 46) utilizando um polino\u2c6mio de grau 2 e obter uma estimativa para o erro.
Soluc¸~ao: A tabela de diferenc¸as divididas e´ dada por
i xi f [xi] f [xi+1, xi] f [xi+2, xi+1, xi] f [xi+3, xi+2, xi+1, xi]
0 0, 4 0, 26 0, 4167 4, 1665 \u221226, 0462
1 0, 52 0, 31 1, 2500 -4,1665
2 0, 6 0, 32 0,4167
3 0, 72 0, 37
Usando a fo´rmula de Newton, resulta
p2(x) = f [x0] + (x\u2212 x0) f [x1, x0] + (x\u2212 x0)(x\u2212 x1) f [x2, x1, x0]
= 0, 26 + (x\u2212 0, 4) 0, 4167 + (x\u2212 0, 4)(x \u2212 0, 52) 1, 4585 +
(x\u2212 0, 4)(x \u2212 0, 52)(x \u2212 0, 6)9, 1156
ou seja, f(0, 47) = p2(0, 47) = 0, 2984.
128 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
Desta forma, uma estimativa do erro de truncamento e´
|E2(x) | \u2264 | (x\u2212 x0) (x\u2212 x1) (x\u2212 x2) f [x3, x2, x1, x0] |
\u2264 | (x\u2212 0, 4) (x \u2212 0, 52) (x \u2212 0, 6) 9, 1156 |
|E2(0, 47) | \u2264 4, 148 × 10\u22123.
5.4.3 Interpolac¸a\u2dco por spline cu´bico
Objetiva-se, dada a tabela de pontos [xi, f(xi)], i = 1,2,...,n, encontrar o spline
cu´bico p(x) que interpola estes pontos. Deve-se ter, portanto, p(xi) = f(xi) = yi,
para i = 0, 1, ..., n.
Seja