Calculo Numerico
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Calculo Numerico


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a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b uma partic¸a\u2dco do intervalo [a,b]. p(x) e´ uma
func¸a\u2dco spline de ordem 3 (ou spline cu´bico) sobre [a,b] se:
\u2022 p(x) e´ um polino\u2c6mio de grau \u2264 3 em cada sub-intervalo [x0, x1], [x1, x2], ...,
[xn\u22121, xn].
\u2022 p(x), p\u2032(x), p\u201d(x) sa\u2dco cont´\u131nuas em [a,b].
Se p(x) e´ um polino\u2c6mio de grau \u2264 3 em cada sub-intervalo enta\u2dco p\u201d(x) e´ um
polino\u2c6mio de grau \u2264 1 em cada sub-intervalo.
Considere Pi(x) = ai + bi(x\u2212 xi) + ci(x\u2212 xi)2 + di(x\u2212 xi)3, i = 0, 1, ..., n\u2212 1, um
polino\u2c6mio interpolador de terceira ordem.
Fazendo pi(xi) = ai = f(xi), enta\u2dco
ai+1 = pi+1(xi+1)
= pi(xi+1) = ai + bi(xi+1 \u2212 xi) + ci(xi+1 \u2212 xi)2 + di(xi+1 \u2212 xi)3, i = 0, 1, ..., n\u2212 2
pois, por definic¸a\u2dco pi+1(xi+1) = pi(xi+1) e semelhantemente para as suas derivadas,
supondo estas serem cont´\u131nuas no subintervalo [xi, xi+1].
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 129
Considerando h = xi+1 \u2212 xi obte´m-se
ai+1 = ai + bihi + cih
2
i + dih
3
i , i = 0, 1, ..., n \u2212 1.
Analogamente,
bi = p
\u2032(xi) e bi+1 = bi + 2cihi + 3dih2i
ci = p\u201d(xi)/2 e ci+1 = ci + 3dihi.
Isolando di, resulta
di =
ci+1 \u2212 ci
3hi
e substituindo em bi+1, vem que
bi+1 = bi + 2cihi + (ci+1 \u2212 ci)hi
= bi + hi(ci+1 + ci)
e em ai+1
ai+1 = ai + bihi + cih
2
i +
(ci+1 \u2212 ci)h2i
3
= ai + bihi +
h2i
3
(2ci + ci+1).
Isolando bi na expressa\u2dco, resulta
bi =
1
hi
[
ai+1 \u2212 ai \u2212 h
2
i
3
(2ci + ci+1)
]
(5.6)
que para bi\u22121 fornece
bi\u22121 =
1
hi\u22121
[
ai \u2212 ai\u22121 \u2212
h2i\u22121
3
(2ci\u22121 + ci)
]
130 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
e como no caso bi+1 = bi + hi(ci+1 + ci) enta\u2dco
bi = bi\u22121 + hi\u22121(ci + ci\u22121)
ou
bi =
1
hi\u22121
[
ai \u2212 ai\u22121 \u2212
h2i\u22121
3
(2ci\u22121 + ci)
]
+ hi\u22121(ci + ci\u22121). (5.7)
Igualando as espresso\u2dces (5.6) e (5.7) resulta
1
hi
»
ai+1 \u2212 ai \u2212
h2i
3
(2ci + ci\u22121)
\u2013
=
1
hi\u22121
&quot;
ai \u2212 ai\u22121 \u2212
h2i\u22121
3
(2ci\u22121 + ci)
#
+ hi\u22121(ci + ci\u22121)
para i = 1, 2, ..., n \u2212 1. A partir disto monta-se o sistema linear Ac = b, onde
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 0 · · · 0
h0 2(h0 + h1) h1
0 h1 2(h1 + h2) h2
...
. . .
. . .
. . .
...
hn\u22122 2(hn\u22122 + hn\u22121) hn\u22121
0 · · · 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
,
b =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
0
3
h1
(a2 \u2212 a1)\u2212 3h0 (a1 \u2212 a0)
3
h2
(a3 \u2212 a2)\u2212 3h1 (a2 \u2212 a1)
...
3
hn\u22121
(an \u2212 a1)\u2212 3hn\u22122 (an\u22121 \u2212 an\u22122)
0
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
e c =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
c0
c1
...
cn\u22121
cn
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
As condic¸o\u2dces de contorno implicam que cn = p\u201d(xn)/2 = 0, assim
0 = p\u201d(x0) = 2c0 + 6d0(x0 \u2212 x0)
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 131
o que fornece c0 = cn = 0.
Exemplo 5.14: Encontrar o spline cu´bico que interpola os pontos da tabela.
xi 27.7 28,2 29 31
yi 4,0 4,3 4,1 3,6
Soluc¸~ao: Sabe-se que i = 0,1,2,3 e assim c0 = 0, c1, c2, c3 = 0 por definic¸a\u2dco. Enta\u2dco
temos que encontrar:
p(x) =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 . . . . . . se x \u2208 [x0, x1]. . . . . . se x \u2208 [x1, x2]
. . . . . . se x \u2208 [x2, x3]
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
mas h0 = x1 \u2212 x0 = 0, 5, h1 = x2 \u2212 x1 = 0, 8 e h2 = x3 \u2212 x2 = 2
Para encontrar c1 e c2 resolve-se o sistema:[
h0+h1
3
h1
6
h1
6
h1+h2
3
]{
c1
c2
}
=
{
y2\u2212y1
h1
\u2212 y1\u2212y0h0
y3\u2212y2
h2
\u2212 y2\u2212y1h1
}
[
1,3
3
0,8
6
0,8
6
2,8
3
]{
c1
c2
}
=
{
\u22120,20,8 + 0,30,5
\u22120,52 + 0,20,8
}
[
1,3
3
0,8
6
0,8
6
2,8
3
]{
c1
c2
}
=
{
\u22120, 85
0, 0
}
Neste caso tem-se c1 = -2,0517 e c2 = 0,2930. Desta forma, o Spline para cada
intervalo procurado e´:
p(x) =
8>><
>>:
(x\u221227,7)3(\u22122,0517)
1.8
+
(28,2\u2212x)4.0+(x\u221227.7)4.3
0.3
\u2212 0.3(x\u221227.7)(\u22122,0517)
12
(29\u2212x)3(\u22121,638)+(x\u221228,2)3(0,2930)
6
+
(29\u2212x)4.3+(x\u221228,2)4.0
2
\u2212 (29\u2212x)(\u22121,638)+(x\u221228,2)(0,2930)
6
(31\u2212x)3(0,2930)
6
+ (31\u2212x)4.0+(x\u221229)3.6
2
\u2212 (31\u2212x)(0,2930)
6
132 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
5.5 Aplicac¸o\u2dces
Para exemplificar o uso de ajustes de curvas na determinac¸a\u2dco de para\u2c6metros de
relac¸o\u2dces semi-determin´\u131sticas sera\u2dco apresentadas aplicac¸o\u2dces no estudo de tensa\u2dco-
deformac¸a\u2dco de uma viga de ac¸o.
5.5.1 Tensa\u2dco-deformac¸a\u2dco de ac¸o
Obter a tensa\u2dco deformac¸a\u2dco de uma viga a partir de valores de tensa\u2dco \u3c3(ton.cm\u22122)
e deformac¸a\u2dco \u3b5 constantes da tabela 5.6
Tabela 5.6: Tensa\u2dco e deformac¸a\u2dco de uma barra.
k \u3b5x10\u22123 \u3c3(ton.cm\u22122)
1 0,15 0,586
2 0,76 1,946
3 1,12 2,716
4 1,52 3,591
5 1,86 4,291
6 2,27 5,047
7 2,86 5,845
Verifica-se que os dados apresentam regularidade. Para determinar os para\u2c6metros
da relac¸a\u2dco linear entre a deformac¸a\u2dco \u3b5 e a tensa\u2dco \u3c3 faz-se
\u3c3 = E.\u3b5+ \u3c30
Utilizando o me´todo dos m\u131´nimos quadrados chega-se ao seguinte sistema linear:[
14 22, 98
22, 98 48, 076
]{
t0
E
}
=
{
51, 021
103, 653
}
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 133
Resolvendo este sistema sa\u2dco obtidos os valores de t0 = 0, 489 e de E = 1, 922, ou
seja, determina-se a equac¸a\u2dco de ajustamento
\u3c3 = 1, 922 \u3b5 + 0, 489
Cabe ressaltar que a relac¸a\u2dco torna-se na\u2dco linear a partir de um certo valor da
deformac¸a\u2dco, na\u2dco mostrado na tabela, tornando a ana´lise mais complexa.
5.6 Exerc´\u131cios
1. Determine a func¸a\u2dco exponencia que melhor se ajusta aos pontos (\u22123; 2), (1; 1),
(2; 0) e (4; 4).
2. Sabendo que a intensidade do campo ele´trico no ar, de um ponto em relac¸a\u2dco a uma
carga puntiforme de 650 Coulomb, varia com a dista\u2c6ncia em cm de acordo com a
tabela:
d 5 7.5 10 12.5 15
E 26 11.56 6.50 4.16 2.88
Calcule a intensidade do campo ele´trico em um ponto situado a 8, 5cm da carga.
3. O calor espec´\u131fico (c) da a´gua em func¸a\u2dco da temperatura em oC e´:
T 30 35 40
c 0,99826 0,99818 0,99828
Calcule o calor espec´\u131fico para T = 37, 5oC.
4. Dada a tabela
x -2 -1 0 1 2 3
f(x) -7 0 1 \u3b1 9 28
determine f(1) sabendo que f(x) correspondente a um polino\u2c6mio de grau 3.
134 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco
5. Determina-se o alongamento de uma mola em (mm) em func¸a\u2dco da carga P (kgf)
que sobre ela atua, obtendo-se:
x 10 15 20 25 30 35
P 105 172 253 352 473 619
Interpolando adequadamente por meio de polino\u2c6mios de 3o grau, encontre as cargas
que produzem os seguintes alongamentos na mola:
i) 12 mm
ii) 22 mm
iii) 31 mm
6. Considere a variac¸a\u2dco da temperatura de ebulic¸a\u2dco da a´gua em func¸a\u2dco da pressa\u2dco
barome´trica dada por:
P(mm Hg) 700 710 720 730 740 780
T (oC) 97,71 98,11 98,49 98,88 99,26 100,73
Achar a func¸a\u2dco que melhor representa os dados da tabela.
7. Considere a relac¸a\u2dco entre a resiste\u2c6ncia a` trac¸a\u2dco do ac¸o e a variac¸a\u2dco da temperatura
conforme
T (oC) 250 330 412 485 617
Tr (kg/cm) 5720 5260 4450 2780 1506
a) Determinar a func¸a\u2dco que melhor se ajusta a tabela de dados.
b) Encontre a resiste\u2c6ncia a` trac¸a\u2dco para T = 380oC e 730oC.
8. A tabela mostra a variac¸a\u2dco do coeficiente de atrito entre uma roda e um trilho
seco
v(km/h) 10 20 30 40 60 70
µ 0,313 0,250 0,215 0,192 0,164 0,154
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 135
a) Determine o coeficiente de atrito quando a velocidade for 50 km/h.
b) Determine o coeficiente de atrito quando a velocidade for 120 km/h.
c) Discuta a soluc¸a\u2dco obtida no \u131´tem b).
9. Os dados da tabela fornecem a durac¸a\u2dco de uma broca (em horas) em func¸a\u2dco da
velocidade de corte. Encontre a func¸a\u2dco que melhor se ajusta aos dados da tabela.
velocidade 100 120 150 180
durac¸a\u2dco 79 28 7, 9 2, 8
10. A tabela relaciona a quantidade ideal de calorias em func¸a\u2dco da idade e da massa
para homens e mulheres que possuem atividade f´\u131sica moderada.
cota de calorias
homens (anos) mulheres (anos)
massa (kg) 25 45 65 25 45 65
40 - - - 1750 1650 1400
50 2500 2350 1950 2050 1950 1600
60 2850 2700 2250 2350 1950 1600
70 3200 3000 2550 2600 2450 2050
80 3550 3350 2800 - - -
Determine a cota