Calculo Numerico
35 pág.

Calculo Numerico


DisciplinaCálculo Numérico12.094 materiais248.254 seguidores
Pré-visualização35 páginas
de calorias aproximada para um homem de 30 anos que pesa

70kg e para uma mulher de 40 anos que pesa 56kg.

11. Observa-se que o sinal de um oscilosco´pio tem comportamento perio´dico. Depois

de feitas as medidas, a seguinte tabela e´ obtida

x 0 pi2 \u3c0
3pi
2 2\u3c0

f(x) \u22120, 9 1, 5 3, 1 3, 0 1, 1

136 Cap´\u131tulo 5 - Ajuste de curvas e Interpolac¸a\u2dco

Ajuste estes dados utilizando g(x) = a0 +
\u22112

k=1 ak cos kx+ bk sen kx.

12. A tabela fornece a demanda dia´ria ma´xima de energia ele´trica em uma cidade.

Encontre a data do pico ma´ximo e o valor deste pico.

x (data) 5 outubro 15 outubro 25 outubro 4 novembro

y (demanda) 10 15 20 13

137

6 DERIVAC¸A\u2dcO E INTEGRAC¸A\u2dcO

NUME´RICA

Neste cap´\u131tulo tem-se por objetivo apresentar fo´rmulas de derivac¸a\u2dco e integrac¸a\u2dco

nume´rica que sera\u2dco usadas nos me´todos de diferenc¸as finitas para resolver equac¸o\u2dces

diferenciais. Outro to´pico abordado sera´ o estudo de te´cnicas nume´ricas para calcular

a integral definida de uma func¸a\u2dco, ou seja, I =
\u222b b
a f(x) dx, onde f e´ limitada e

cont´\u131nua, exceto possivelmente em um nu´mero finito de pontos em [a, b].

6.1 Derivac¸a\u2dco nume´rica

Derivar e´ geralmente mais fa´cil que integrar. A ide´ia deste me´todo de aproximac¸a\u2dco

e´ bastante simples, pois baseia-se em expanso\u2dces em se´ries de Taylor.

Considere a definic¸a\u2dco de derivada de uma func¸a\u2dco f(x) no ponto x

f \u2032(x) = lim
h\u21920

f(x+ h)\u2212 f(x)
h

. (6.1)

Esta expressa\u2dco e´ uma aproximac¸a\u2dco para o valor exato de f \u2032(x) se h tende a zero.
Para qualquer valor finito de h, um erro de truncamento e´ introduzido. A ordem da

aproximac¸a\u2dco a diferenc¸as pode ser obtida atrave´s de um desenvolvimento em se´rie

de Taylor de f(x+ h), por exemplo, em torno do ponto x. Desenvolvendo f(x+ h),

obte´m-se

f(x+ h) = f(x) + h f \u2032(x) +
h2

2
f
\u2032\u2032

(x) + . . . (6.2)

e, portanto,

f(x+ h)\u2212 f(x)
h

= f \u2032(x) +
h

2
f
\u2032\u2032

(x) + . . . . (6.3)

138 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica

Diz-se que a aproximac¸a\u2dco f \u2032(x) e´ de primeira ordem em h e escreve-se

f \u2032(x) =
f(x+ h)\u2212 f(x)

h
+O(h). (6.4)

Em diferenc¸as um dom\u131´nio e´ substitu´\u131do por um dom\u131´nio discreto conforme mostra

a Fig. 6.1.

Figura 6.1: Representac¸a\u2dco esquema´tica dos pontos no eixo das abcissas

Aproximac¸o\u2dces de primeira ordem em diferenc¸as finitas podem ser obtidas para

f \u2032(x)i, conforme

f \u2032i =
fi+1 \u2212 fi

h
+O(h), (6.5)

f \u2032i =
fi \u2212 fi\u22121

h
+O(h). (6.6)

A primeira e´ denominada de diferenc¸a ascendente (para frente) e a segunda de

diferenc¸a descendente (para tra´s); ambas sa\u2dco aproximac¸o\u2dces de primeira ordem para

f \u2032(x)i. Fo´rmulas com diferentes ordens de aproximac¸a\u2dco podem ser obtidas; a mais
importante e´ a de segunda ordem. Por expanso\u2dces em se´rie de Taylor em torno do

ponto x resultam

f(x+ h) = f(x) + h fx(x) +
h2

2
f \u2032\u2032(x)(x) + . . . (6.7)

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 139

e

f(x\u2212 h) = f(x)\u2212 h fx(x) + h
2

2
f
\u2032\u2032

(x) + . . . , (6.8)

resultando de (6.8) de (6.7)

f \u2032(x) =
f(x+ h)\u2212 f(x\u2212 h)

2h
+O(h2), (6.9)

uma aproximac¸a\u2dco de segunda ordem para f \u2032(x). Em termos dos pontos da malha
em diferenc¸as finitas esta resulta

f \u2032i =
fi+1 \u2212 fi\u22121

2h
+O(h2). (6.10)

Ilustra-se estas aproximac¸o\u2dces na Fig. (6.2).

Figura 6.2: Ilustrac¸a\u2dco das aproximac¸o\u2dces de f \u2032(x)

140 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica

Empregando o mesmo procedimento, para as derivadas de ordem superior resulta

f
(2)
i =

fi+1 \u2212 2 fi + fi\u22121
h2

+O(h2), (6.11)

f
(3)
i =

fi+2 \u2212 2 fi+1 + 2 fi\u22121 \u2212 fi\u22122
2h3

+O(h2), (6.12)

f
(4)
i =

fi+2 \u2212 4 fi+1 + 6 fi \u2212 4 fi\u22121 + fi\u22122
h4

+O(h2), (6.13)

Assim como ha´ aproximac¸o\u2dces centrais para derivadas de ordem superior, existem

aproximac¸o\u2dces para frente e para tra´s utilizando mais pontos da malha computacional,

visando obter maior precisa\u2dco. Na maioria das aplicac¸o\u2dces da engenharia ordem 1 e´

pouco, 2 esta´ bom e acima de 2 e´ geralmente demais; parece que esta mesma ide´ia

pode ser empregada em outras a´reas.

Exemplo 6.1: Calcular f \u2032(1, 4) usando diferenc¸as ascendentes, descendentes e cen-
trais conforme os dados da tabela

x 1, 3 1, 4 1, 5

f(x) 1, 700 1, 869 2, 037

Soluc¸~ao: Para a derivada resulta em

1. Diferenc¸as ascendentes:

f \u2032(1, 4) =
f(1, 5) \u2212 f(1, 4)

0, 1
= 1, 68

2. Diferenc¸as descendentes:

f \u2032(1, 4) =
f(1, 4) \u2212 f(1, 3)

0, 1
= 1, 69

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 141

3. Diferenc¸as centrais:

f \u2032(1, 4) =
f(1, 5)\u2212 f(1, 3)

2 0, 1
= 1, 685

sendo a u´ltima a mais precisa.

6.1.1 Exerc´\u131cios sobre derivac¸a\u2dco

1. Calcule aproximac¸o\u2dces da segunda derivada de f(x) = cos2x em x = 0, 7 com

h = 0, 1, h = 0, 01, h = 0, 001. Utilize 6 casas decimais apo´s a v´\u131rgula em seus

ca´lculos. Compare os resultados com o valor real f\u201d(0, 7) = \u2212 cos 1, 4.

2. Usando expanso\u2dces em se´ries de Taylor para a primeira derivada, encontre aproxi-

mac¸o\u2dces para f \u2032(x) e f\u201d(x) em diferenc¸as ascendentes.

3. Considere a seguinte tabela de dados:

x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

f(x) 2,415 2,637 2,907 3,193 3,381

utilize as fo´rmulas apropriadas para aproximar f \u2032(0, 4), f \u2032\u2032(0, 4) e f \u2032\u2032\u2032(0, 4).

6.2 Integrac¸a\u2dco nume´rica

Embora na maioria das situac¸o\u2dces pra´ticas tem-se derivadas, que constituem equac¸o\u2dces

diferenciais, para resolver, em outras situac¸o\u2dces objetiva-se determinar o valor aprox-

imado da integral

I =

\u222b b
a
f(x) dx

142 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica

onde a func¸a\u2dco integrando f(x) pode ser dada analiticamente ou por meio de uma

tabela de pontos ([xi, f(xi)], i = 0, 1, . . . , n. Se f(x) for dada para um conjunto

discreto de pontos contidos no intervalo [a, b] ou se for conhecida uma regra para o

ca´lculo de f(x), para qualquer valor de x, enta\u2dco e´ poss´\u131vel realizar a interpolac¸a\u2dco

de f(x) por meio de um polino\u2c6mio e integrar este polino\u2c6mio para que um valor

aproximado de I seja obtido.

A seguir sa\u2dco apresentadas algumas fo´rmulas para intervalos igualmente espac¸ados:

Trape´zios e Simpson.

6.2.1 Fo´rmula dos trape´zios

A integral de uma func¸a\u2dco f no intervalo [a, b] pode ser aproximada pela a´rea de

um trape´zio, conforme a Fig. 6.3 de forma que

Figura 6.3: A´rea sob f(x) aproximada por um trape´zio

\u222b b
a
f(x) dx \u2248 [f(a) + f(b)] b\u2212 a

2
.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 143

O valor fornecido por esta fo´rmula e´ uma aproximac¸a\u2dco de ordem 1 do valor exato

da integral. Assim, existe um erro, dado pela diferenc¸a:

E =

\u222b b
a
f(x) dx\u2212 [f(a) + f(b)] b\u2212 a

2

Para reduzir este erro pode-se obter uma melhor aproximac¸a\u2dco com a soma de

va´rios trape´zios. Sejam f(x), f \u2032(x) e f \u2032\u2032(x) cont´\u131nuas em [a, b] e seja n um inteiro
positivo. Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos de mesmo comprimento

h = b\u2212an , considerando x0 = a, xn = b e os pontos intermedia´rios xi+1 = xi+ h, para
i = 0, 1, . . . , n\u2212 1, obte´m-se, para cada subintervalo [xi\u22121, xi], uma integral\u222b xi

xi\u22121

f(x) dx \u2248 h
2
[f(xi\u22121) + f(xi)]

Somando todos os subintervalos obte´m-se a fo´rmula dos trape´zios (composta) para

f(x) com espac¸amento h:

T (f, h) =
h

2
[f(x0) + 2 (f(x1) + · · · + f(xn\u22121)) + f(xn)]

que e´ uma aproximac¸a\u2dco da integral de f(x) e, portanto, escreve-se\u222b b
a
f(x) dx = T (f, h) + E(f, h).

e o erro de truncamento e´ estimado por

E(f, h) \u2264 h
2

12
(b\u2212 a) max

x\u2208[a,b]
| f \u2032\u2032(x) |.

Exemplo 6.2: Na tabela e´ fornecida a velocidade (km/h) de um cavalo em func¸a\u2dco

do tempo. Deseja-se determinar a distancia percorrida pelo cavalo apo´s 24 min.

t(h) 0, 00 0, 10 0, 20 0, 30 0, 40

v(t) 4,2 7, 5 9, 0 10, 5 7, 0

144 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica

Soluc¸~ao: Como a dista\u2c6ncia percorrida (d) e´ calculada como

d =

\u222b 0,4
0