Calculo Numerico
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. . . 199 8.2.4 Vibrac¸o\u2dces transversais de uma viga (unidimensional) . . . . . . 200 8.3 Escolha dos me´todos de soluc¸a\u2dco para as equac¸o\u2dces do calor e da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.3.1 Equac¸a\u2dco do calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.3.2 Equac¸a\u2dco da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.4 Escolha de me´todos de soluc¸o\u2dces segundo a classificac¸a\u2dco das EDP\u2019s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.4.1 Equac¸o\u2dces Parabo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.4.2 Equac¸o\u2dces Hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.4.3 Equac¸o\u2dces El´\u131pticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.5 Me´todo de Runge-Kutta simplificado . . . . . . . . . . . . . 213 8.6 Consiste\u2c6ncia, estabilidade e converge\u2c6ncia . . . . . . . . . . 217 8.7 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.8 Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8.8.1 Transfere\u2c6ncia de calor em blocos homoge\u2c6neos . . . . . . . . . . 223 8.8.2 Filtragem de a´guas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.8.3 Problemas em aerodina\u2c6mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9 INTRODUC¸A\u2dcO AO ME´TODO DE ELEMENTOS FINITOS232 9.1 Sistemas lineares unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . 232 9.2 Func¸o\u2dces de interpolac¸a\u2dco comuns para elementos lineares, triangulares e tetrae´dricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.3 Aplicac¸a\u2dco a` equac¸a\u2dco do calor unidimensional . . . . . . . 237 9.4 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 10 ALGORITMOS IMPLEMENTADOS EM FORTRAN 90 . 240 10.1 Introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 10.2 FORTRAN (Formula Translation) . . . . . . . . . . . . . . . 242 10.2.1 Varia´veis, operac¸o\u2dces aritme´ticas e func¸o\u2dces ba´sicas . . . . . . . . 242 10.2.2 Comandos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.3 Exemplos de implementac¸o\u2dces em FORTRAN 90 . . . . . . 246 10.3.1 Me´todo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10.3.2 Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 10.3.3 Regressa\u2dco linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10.3.4 Interpolac¸a\u2dco de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.3.5 Me´todo de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.3.6 Me´todo de Runge-Kutta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.3.7 Me´todo de Runge-Kutta 4 para sistemas . . . . . . . . . . . . . 257 10.3.8 Me´todo de Diferenc¸as Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10.3.8.1 Equac¸a\u2dco do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10.3.8.2 Equac¸a\u2dco da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 9 1 INTRODUC¸A\u2dcO A maioria dos problemas da matema´tica e´ origina´ria da necessidade de re- solver situac¸o\u2dces da natureza. Numa primeira etapa tem-se que obter um modelo matema´tico que representa de maneira conveniente um problema a ser anal- isado; obtido o modelo matema´tico procura-se encontrar a sua soluc¸a\u2dco. Modelo e´ uma reproduc¸a\u2dco idealizada de algumas ou todas as caracter´\u131sticas f´\u131sicas de um processo natural; e´ um sistema que consegue reproduzir, pelo menos em parte, o comportamento de um processo natural; e´ uma repre- sentac¸a\u2dco de algum objeto ou sistema, com o objetivo de buscar respostas para diferentes situac¸o\u2dces. Quando se quer resolver um problema em engenharia deve-se ter em mente o modelo que representa a situac¸a\u2dco f´\u131sica. Tal modelo e´ transformado em equac¸o\u2dces matema´ticas, modelo matema´tico, que sera´ resolvido ou por me´todos anal´\u131ticos, ou por nume´ricos. Como para a maioria das situac¸o\u2dces na\u2dco ha´ soluc¸o\u2dces anal´\u131ticas, os me´todos nume´ricos tornam-se a alternativa mais eco- no\u2c6mica; outra possibilidade seria a experimentac¸a\u2dco em laborato´rio, que envolve normalmente equipamentos e te´cnicas sofisticadas ou caras, ou ate´ situac¸o\u2dces de risco. A meta so´ e´ atingida quando tais etapas forem cuidadosamente rea- lizadas: as mesmas sa\u2dco indicadas na Fig. 1.1. 1.1 Fontes de erro Dado um problema, para se chegar a um resultado nume´rico e´ necessa´rio realizar uma sequ¨e\u2c6ncia pre´-estabelecida de passos. Em cada um destes passos 10 Cap´\u131tulo 1 - Introduc¸a\u2dco Figura 1.1: Etapas na elaborac¸a\u2dco de um projeto. pode existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo. Estes erros surgem basicamente de duas formas: aqueles inerentes a` formulac¸a\u2dco matema´tica do problema (relacionados a` aproximac¸a\u2dco da situac¸a\u2dco f´\u131sica e a erros nos dados) e aqueles que aparecem no processo de soluc¸a\u2dco nume´rica (erros de truncamento e de arredondamento). Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituic¸a\u2dco de um processo infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito. Exemplo 1.1: A func¸a\u2dco cos (x) e´ dada por cos (x) = \u221e\u2211 n=0 (\u22121)n x 2n (2n) ! . Para obter o valor de cos (x) por esta se´rie e´ preciso calcular va´rias parcelas e depois parar, ou seja, truncar a se´rie, cometendo enta\u2dco um erro. Substituindo cos (x) pelo polino\u2c6mio P (x) = x+ x2 2 ! + x4 4 ! Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 11 e´ poss´\u131vel calcular o valor nume´rico de P (x) e usa´-lo como aproximac¸a\u2dco de cos (x). O erro e´ definido por E = cos (x) \u2212 P (x). Em geral, como o valor da func¸a\u2dco na\u2dco e´ conhecido, em Ana´lise Nume´rica sa\u2dco pesquisados resultados que permitam estimar o valor de um determinado nu´mero e tal que | cos (x)\u2212 P (x) | \u2264 e. Erros tambe´m podem surgir pelo fato que as operac¸o\u2dces aritme´ticas quase nunca podem ser efetuadas com precisa\u2dco completa; estes sa\u2dco denominados de erros de arredondamento. A maioria dos nu´meros te\u2c6m representac¸o\u2dces decimais infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se os dados de um problema podem ser expressos exatamente por representac¸o\u2dces decimais finitas, a divisa\u2dco pode introduzir nu´meros que devem ser arredondados e a multiplicac¸a\u2dco pode produzir mais d´\u131gitos do que podem ser razoavelmente mantidos. Os tipos de arredondamento mais utilizados sa\u2dco: - tipo corte: as casas em excesso sa\u2dco simplesmente abandonadas; - para o nu´mero de ma´quina mais pro´ximo: se a ma´quina trabalha com d algarismos significativos para a mantissa1 de um nu´mero, enta\u2dco analisa-se o algarismo de ordem d+1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade ao algarismo de ordem d; caso contra´rio, o algarismo de ordem d permanece inalterado. Exemplo 1.2: A soluc¸a\u2dco exata da soma S = 2 3 + 2 3 + 2 3 e´ S = 2, 1Mantissa e´ a parte dos nu´meros que representa seus d´\u131gitos significativos. 12 Cap´\u131tulo 1 - Introduc¸a\u2dco mas a soluc¸a\u2dco calculada, numa ma´quina que opere com tre\u2c6s d´\u131gitos de precisa\u2dco, e´ S = 0, 666 + 0, 666 + 0, 666 = 1, 999. Neste caso, verifica-se que o erro de arredondamento e´ igual a 2\u2212 1, 999 = 0, 001. Entretanto, tomando como exemplo x = 0, 6666 . . . , os dois arredondamentos na\u2dco produzem o mesmo resultado. Se a ma´quina em que se esta´ trabalhando opera com 2 algarismos significativos, enta\u2dco x¯ = 0, 66 × 100, por corte, ou x¯ = 0, 67 × 100, por arredondamento para o nu´mero mais pro´ximo. A diferenc¸a entre o valor arredondado e o valor exato pode ser medida pelo erro absoluto ou pelo relativo. O erro absoluto, indicado por EA, e´ dado por: EA = | x¯\u2212 x | e o erro relativo, indicado por ER, e´ ER = | x¯\u2212 x | | x¯ | ou ER = | x¯\u2212 x | | x |