Calculo Numerico
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. . . 199

8.2.4 Vibrac¸o\u2dces transversais de uma viga (unidimensional) . . . . . . 200

8.3 Escolha dos me´todos de soluc¸a\u2dco para as equac¸o\u2dces do calor

e da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.3.1 Equac¸a\u2dco do calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

8.3.2 Equac¸a\u2dco da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

8.4 Escolha de me´todos de soluc¸o\u2dces segundo a classificac¸a\u2dco das

EDP\u2019s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.4.1 Equac¸o\u2dces Parabo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.4.2 Equac¸o\u2dces Hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

8.4.3 Equac¸o\u2dces El´\u131pticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

8.5 Me´todo de Runge-Kutta simplificado . . . . . . . . . . . . . 213

8.6 Consiste\u2c6ncia, estabilidade e converge\u2c6ncia . . . . . . . . . . 217

8.7 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

8.8 Aplicac¸o\u2dces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.8.1 Transfere\u2c6ncia de calor em blocos homoge\u2c6neos . . . . . . . . . . 223

8.8.2 Filtragem de a´guas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

8.8.3 Problemas em aerodina\u2c6mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

9 INTRODUC¸A\u2dcO AO ME´TODO DE ELEMENTOS FINITOS232

9.1 Sistemas lineares unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . 232

9.2 Func¸o\u2dces de interpolac¸a\u2dco comuns para elementos lineares,

triangulares e tetrae´dricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.3 Aplicac¸a\u2dco a` equac¸a\u2dco do calor unidimensional . . . . . . . 237

9.4 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10 ALGORITMOS IMPLEMENTADOS EM FORTRAN 90 . 240

10.1 Introduc¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

10.2 FORTRAN (Formula Translation) . . . . . . . . . . . . . . . 242

10.2.1 Varia´veis, operac¸o\u2dces aritme´ticas e func¸o\u2dces ba´sicas . . . . . . . . 242

10.2.2 Comandos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.3 Exemplos de implementac¸o\u2dces em FORTRAN 90 . . . . . . 246

10.3.1 Me´todo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

10.3.2 Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

10.3.3 Regressa\u2dco linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

10.3.4 Interpolac¸a\u2dco de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

10.3.5 Me´todo de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

10.3.6 Me´todo de Runge-Kutta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

10.3.7 Me´todo de Runge-Kutta 4 para sistemas . . . . . . . . . . . . . 257

10.3.8 Me´todo de Diferenc¸as Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

10.3.8.1 Equac¸a\u2dco do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

10.3.8.2 Equac¸a\u2dco da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

9
1 INTRODUC¸A\u2dcO

A maioria dos problemas da matema´tica e´ origina´ria da necessidade de re-

solver situac¸o\u2dces da natureza. Numa primeira etapa tem-se que obter um modelo

matema´tico que representa de maneira conveniente um problema a ser anal-

isado; obtido o modelo matema´tico procura-se encontrar a sua soluc¸a\u2dco.

Modelo e´ uma reproduc¸a\u2dco idealizada de algumas ou todas as caracter´\u131sticas

f´\u131sicas de um processo natural; e´ um sistema que consegue reproduzir, pelo

menos em parte, o comportamento de um processo natural; e´ uma repre-

sentac¸a\u2dco de algum objeto ou sistema, com o objetivo de buscar respostas para

diferentes situac¸o\u2dces.

Quando se quer resolver um problema em engenharia deve-se ter em mente

o modelo que representa a situac¸a\u2dco f´\u131sica. Tal modelo e´ transformado em

equac¸o\u2dces matema´ticas, modelo matema´tico, que sera´ resolvido ou por me´todos

anal´\u131ticos, ou por nume´ricos. Como para a maioria das situac¸o\u2dces na\u2dco ha´

soluc¸o\u2dces anal´\u131ticas, os me´todos nume´ricos tornam-se a alternativa mais eco-

no\u2c6mica; outra possibilidade seria a experimentac¸a\u2dco em laborato´rio, que envolve

normalmente equipamentos e te´cnicas sofisticadas ou caras, ou ate´ situac¸o\u2dces

de risco. A meta so´ e´ atingida quando tais etapas forem cuidadosamente rea-

lizadas: as mesmas sa\u2dco indicadas na Fig. 1.1.

1.1 Fontes de erro

Dado um problema, para se chegar a um resultado nume´rico e´ necessa´rio

realizar uma sequ¨e\u2c6ncia pre´-estabelecida de passos. Em cada um destes passos

10 Cap´\u131tulo 1 - Introduc¸a\u2dco

Figura 1.1: Etapas na elaborac¸a\u2dco de um projeto.

pode existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo.

Estes erros surgem basicamente de duas formas: aqueles inerentes a` formulac¸a\u2dco

matema´tica do problema (relacionados a` aproximac¸a\u2dco da situac¸a\u2dco f´\u131sica e a

erros nos dados) e aqueles que aparecem no processo de soluc¸a\u2dco nume´rica (erros

de truncamento e de arredondamento).

Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituic¸a\u2dco de um processo

infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito.

Exemplo 1.1: A func¸a\u2dco cos (x) e´ dada por

cos (x) =

\u221e\u2211
n=0

(\u22121)n x
2n

(2n) !
.

Para obter o valor de cos (x) por esta se´rie e´ preciso calcular va´rias parcelas e depois

parar, ou seja, truncar a se´rie, cometendo enta\u2dco um erro. Substituindo cos (x) pelo

polino\u2c6mio

P (x) = x+
x2

2 !
+
x4

4 !

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 11

e´ poss´\u131vel calcular o valor nume´rico de P (x) e usa´-lo como aproximac¸a\u2dco de cos (x).

O erro e´ definido por E = cos (x) \u2212 P (x). Em geral, como o valor da func¸a\u2dco na\u2dco e´
conhecido, em Ana´lise Nume´rica sa\u2dco pesquisados resultados que permitam estimar

o valor de um determinado nu´mero e tal que

| cos (x)\u2212 P (x) | \u2264 e.

Erros tambe´m podem surgir pelo fato que as operac¸o\u2dces aritme´ticas quase

nunca podem ser efetuadas com precisa\u2dco completa; estes sa\u2dco denominados de

erros de arredondamento. A maioria dos nu´meros te\u2c6m representac¸o\u2dces decimais

infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se os dados de um problema

podem ser expressos exatamente por representac¸o\u2dces decimais finitas, a divisa\u2dco

pode introduzir nu´meros que devem ser arredondados e a multiplicac¸a\u2dco pode

produzir mais d´\u131gitos do que podem ser razoavelmente mantidos.

Os tipos de arredondamento mais utilizados sa\u2dco:

- tipo corte: as casas em excesso sa\u2dco simplesmente abandonadas;

- para o nu´mero de ma´quina mais pro´ximo: se a ma´quina trabalha com d

algarismos significativos para a mantissa1 de um nu´mero, enta\u2dco analisa-se o

algarismo de ordem d+1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade

ao algarismo de ordem d; caso contra´rio, o algarismo de ordem d permanece

inalterado.

Exemplo 1.2: A soluc¸a\u2dco exata da soma

S =
2

3
+

2

3
+

2

3
e´ S = 2,

1Mantissa e´ a parte dos nu´meros que representa seus d´\u131gitos significativos.

12 Cap´\u131tulo 1 - Introduc¸a\u2dco

mas a soluc¸a\u2dco calculada, numa ma´quina que opere com tre\u2c6s d´\u131gitos de precisa\u2dco, e´

S = 0, 666 + 0, 666 + 0, 666 = 1, 999.

Neste caso, verifica-se que o erro de arredondamento e´ igual a 2\u2212 1, 999 = 0, 001.
Entretanto, tomando como exemplo x = 0, 6666 . . . , os dois arredondamentos na\u2dco

produzem o mesmo resultado. Se a ma´quina em que se esta´ trabalhando opera com

2 algarismos significativos, enta\u2dco x¯ = 0, 66 × 100, por corte, ou x¯ = 0, 67 × 100, por
arredondamento para o nu´mero mais pro´ximo.

A diferenc¸a entre o valor arredondado e o valor exato pode ser medida pelo

erro absoluto ou pelo relativo. O erro absoluto, indicado por EA, e´ dado por:

EA = | x¯\u2212 x |

e o erro relativo, indicado por ER, e´

ER =
| x¯\u2212 x |
| x¯ | ou ER =

| x¯\u2212 x |
| x |