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. . . 199 8.2.4 Vibrac¸o˜es transversais de uma viga (unidimensional) . . . . . . 200 8.3 Escolha dos me´todos de soluc¸a˜o para as equac¸o˜es do calor e da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.3.1 Equac¸a˜o do calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.3.2 Equac¸a˜o da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.4 Escolha de me´todos de soluc¸o˜es segundo a classificac¸a˜o das EDP’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.4.1 Equac¸o˜es Parabo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.4.2 Equac¸o˜es Hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 8.4.3 Equac¸o˜es El´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.5 Me´todo de Runge-Kutta simplificado . . . . . . . . . . . . . 213 8.6 Consisteˆncia, estabilidade e convergeˆncia . . . . . . . . . . 217 8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 8.8 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 8.8.1 Transfereˆncia de calor em blocos homogeˆneos . . . . . . . . . . 223 8.8.2 Filtragem de a´guas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.8.3 Problemas em aerodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9 INTRODUC¸A˜O AO ME´TODO DE ELEMENTOS FINITOS232 9.1 Sistemas lineares unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . 232 9.2 Func¸o˜es de interpolac¸a˜o comuns para elementos lineares, triangulares e tetrae´dricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.3 Aplicac¸a˜o a` equac¸a˜o do calor unidimensional . . . . . . . 237 9.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 10 ALGORITMOS IMPLEMENTADOS EM FORTRAN 90 . 240 10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 10.2 FORTRAN (Formula Translation) . . . . . . . . . . . . . . . 242 10.2.1 Varia´veis, operac¸o˜es aritme´ticas e func¸o˜es ba´sicas . . . . . . . . 242 10.2.2 Comandos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.3 Exemplos de implementac¸o˜es em FORTRAN 90 . . . . . . 246 10.3.1 Me´todo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 10.3.2 Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 10.3.3 Regressa˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10.3.4 Interpolac¸a˜o de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 10.3.5 Me´todo de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 10.3.6 Me´todo de Runge-Kutta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 10.3.7 Me´todo de Runge-Kutta 4 para sistemas . . . . . . . . . . . . . 257 10.3.8 Me´todo de Diferenc¸as Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10.3.8.1 Equac¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10.3.8.2 Equac¸a˜o da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 9 1 INTRODUC¸A˜O A maioria dos problemas da matema´tica e´ origina´ria da necessidade de re- solver situac¸o˜es da natureza. Numa primeira etapa tem-se que obter um modelo matema´tico que representa de maneira conveniente um problema a ser anal- isado; obtido o modelo matema´tico procura-se encontrar a sua soluc¸a˜o. Modelo e´ uma reproduc¸a˜o idealizada de algumas ou todas as caracter´ısticas f´ısicas de um processo natural; e´ um sistema que consegue reproduzir, pelo menos em parte, o comportamento de um processo natural; e´ uma repre- sentac¸a˜o de algum objeto ou sistema, com o objetivo de buscar respostas para diferentes situac¸o˜es. Quando se quer resolver um problema em engenharia deve-se ter em mente o modelo que representa a situac¸a˜o f´ısica. Tal modelo e´ transformado em equac¸o˜es matema´ticas, modelo matema´tico, que sera´ resolvido ou por me´todos anal´ıticos, ou por nume´ricos. Como para a maioria das situac¸o˜es na˜o ha´ soluc¸o˜es anal´ıticas, os me´todos nume´ricos tornam-se a alternativa mais eco- noˆmica; outra possibilidade seria a experimentac¸a˜o em laborato´rio, que envolve normalmente equipamentos e te´cnicas sofisticadas ou caras, ou ate´ situac¸o˜es de risco. A meta so´ e´ atingida quando tais etapas forem cuidadosamente rea- lizadas: as mesmas sa˜o indicadas na Fig. 1.1. 1.1 Fontes de erro Dado um problema, para se chegar a um resultado nume´rico e´ necessa´rio realizar uma sequ¨eˆncia pre´-estabelecida de passos. Em cada um destes passos 10 Cap´ıtulo 1 - Introduc¸a˜o Figura 1.1: Etapas na elaborac¸a˜o de um projeto. pode existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo. Estes erros surgem basicamente de duas formas: aqueles inerentes a` formulac¸a˜o matema´tica do problema (relacionados a` aproximac¸a˜o da situac¸a˜o f´ısica e a erros nos dados) e aqueles que aparecem no processo de soluc¸a˜o nume´rica (erros de truncamento e de arredondamento). Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituic¸a˜o de um processo infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito. Exemplo 1.1: A func¸a˜o cos (x) e´ dada por cos (x) = ∞∑ n=0 (−1)n x 2n (2n) ! . Para obter o valor de cos (x) por esta se´rie e´ preciso calcular va´rias parcelas e depois parar, ou seja, truncar a se´rie, cometendo enta˜o um erro. Substituindo cos (x) pelo polinoˆmio P (x) = x+ x2 2 ! + x4 4 ! Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 11 e´ poss´ıvel calcular o valor nume´rico de P (x) e usa´-lo como aproximac¸a˜o de cos (x). O erro e´ definido por E = cos (x) − P (x). Em geral, como o valor da func¸a˜o na˜o e´ conhecido, em Ana´lise Nume´rica sa˜o pesquisados resultados que permitam estimar o valor de um determinado nu´mero e tal que | cos (x)− P (x) | ≤ e. Erros tambe´m podem surgir pelo fato que as operac¸o˜es aritme´ticas quase nunca podem ser efetuadas com precisa˜o completa; estes sa˜o denominados de erros de arredondamento. A maioria dos nu´meros teˆm representac¸o˜es decimais infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se os dados de um problema podem ser expressos exatamente por representac¸o˜es decimais finitas, a divisa˜o pode introduzir nu´meros que devem ser arredondados e a multiplicac¸a˜o pode produzir mais d´ıgitos do que podem ser razoavelmente mantidos. Os tipos de arredondamento mais utilizados sa˜o: - tipo corte: as casas em excesso sa˜o simplesmente abandonadas; - para o nu´mero de ma´quina mais pro´ximo: se a ma´quina trabalha com d algarismos significativos para a mantissa1 de um nu´mero, enta˜o analisa-se o algarismo de ordem d+1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade ao algarismo de ordem d; caso contra´rio, o algarismo de ordem d permanece inalterado. Exemplo 1.2: A soluc¸a˜o exata da soma S = 2 3 + 2 3 + 2 3 e´ S = 2, 1Mantissa e´ a parte dos nu´meros que representa seus d´ıgitos significativos. 12 Cap´ıtulo 1 - Introduc¸a˜o mas a soluc¸a˜o calculada, numa ma´quina que opere com treˆs d´ıgitos de precisa˜o, e´ S = 0, 666 + 0, 666 + 0, 666 = 1, 999. Neste caso, verifica-se que o erro de arredondamento e´ igual a 2− 1, 999 = 0, 001. Entretanto, tomando como exemplo x = 0, 6666 . . . , os dois arredondamentos na˜o produzem o mesmo resultado. Se a ma´quina em que se esta´ trabalhando opera com 2 algarismos significativos, enta˜o x¯ = 0, 66 × 100, por corte, ou x¯ = 0, 67 × 100, por arredondamento para o nu´mero mais pro´ximo. A diferenc¸a entre o valor arredondado e o valor exato pode ser medida pelo erro absoluto ou pelo relativo. O erro absoluto, indicado por EA, e´ dado por: EA = | x¯− x | e o erro relativo, indicado por ER, e´ ER = | x¯− x | | x¯ | ou ER = | x¯− x | | x |