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. . . 199
8.2.4 Vibrac¸o˜es transversais de uma viga (unidimensional) . . . . . . 200
8.3 Escolha dos me´todos de soluc¸a˜o para as equac¸o˜es do calor
e da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3.1 Equac¸a˜o do calor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3.2 Equac¸a˜o da onda unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4 Escolha de me´todos de soluc¸o˜es segundo a classificac¸a˜o das
EDP’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.4.1 Equac¸o˜es Parabo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.4.2 Equac¸o˜es Hiperbo´licas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.4.3 Equac¸o˜es El´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.5 Me´todo de Runge-Kutta simplificado . . . . . . . . . . . . . 213
8.6 Consisteˆncia, estabilidade e convergeˆncia . . . . . . . . . . 217
8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.8 Aplicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.8.1 Transfereˆncia de calor em blocos homogeˆneos . . . . . . . . . . 223
8.8.2 Filtragem de a´guas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.8.3 Problemas em aerodinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9 INTRODUC¸A˜O AO ME´TODO DE ELEMENTOS FINITOS232
9.1 Sistemas lineares unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . 232
9.2 Func¸o˜es de interpolac¸a˜o comuns para elementos lineares,
triangulares e tetrae´dricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.3 Aplicac¸a˜o a` equac¸a˜o do calor unidimensional . . . . . . . 237
9.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10 ALGORITMOS IMPLEMENTADOS EM FORTRAN 90 . 240
10.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.2 FORTRAN (Formula Translation) . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.2.1 Varia´veis, operac¸o˜es aritme´ticas e func¸o˜es ba´sicas . . . . . . . . 242
10.2.2 Comandos Ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.3 Exemplos de implementac¸o˜es em FORTRAN 90 . . . . . . 246
10.3.1 Me´todo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.3.2 Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.3.3 Regressa˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.3.4 Interpolac¸a˜o de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
10.3.5 Me´todo de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
10.3.6 Me´todo de Runge-Kutta 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.3.7 Me´todo de Runge-Kutta 4 para sistemas . . . . . . . . . . . . . 257
10.3.8 Me´todo de Diferenc¸as Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.3.8.1 Equac¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
10.3.8.2 Equac¸a˜o da onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9
1 INTRODUC¸A˜O
A maioria dos problemas da matema´tica e´ origina´ria da necessidade de re-
solver situac¸o˜es da natureza. Numa primeira etapa tem-se que obter um modelo
matema´tico que representa de maneira conveniente um problema a ser anal-
isado; obtido o modelo matema´tico procura-se encontrar a sua soluc¸a˜o.
Modelo e´ uma reproduc¸a˜o idealizada de algumas ou todas as caracter´ısticas
f´ısicas de um processo natural; e´ um sistema que consegue reproduzir, pelo
menos em parte, o comportamento de um processo natural; e´ uma repre-
sentac¸a˜o de algum objeto ou sistema, com o objetivo de buscar respostas para
diferentes situac¸o˜es.
Quando se quer resolver um problema em engenharia deve-se ter em mente
o modelo que representa a situac¸a˜o f´ısica. Tal modelo e´ transformado em
equac¸o˜es matema´ticas, modelo matema´tico, que sera´ resolvido ou por me´todos
anal´ıticos, ou por nume´ricos. Como para a maioria das situac¸o˜es na˜o ha´
soluc¸o˜es anal´ıticas, os me´todos nume´ricos tornam-se a alternativa mais eco-
noˆmica; outra possibilidade seria a experimentac¸a˜o em laborato´rio, que envolve
normalmente equipamentos e te´cnicas sofisticadas ou caras, ou ate´ situac¸o˜es
de risco. A meta so´ e´ atingida quando tais etapas forem cuidadosamente rea-
lizadas: as mesmas sa˜o indicadas na Fig. 1.1.
1.1 Fontes de erro
Dado um problema, para se chegar a um resultado nume´rico e´ necessa´rio
realizar uma sequ¨eˆncia pre´-estabelecida de passos. Em cada um destes passos
10 Cap´ıtulo 1 - Introduc¸a˜o
Figura 1.1: Etapas na elaborac¸a˜o de um projeto.
pode existir uma parcela de erro que se acumula ao montante do processo.
Estes erros surgem basicamente de duas formas: aqueles inerentes a` formulac¸a˜o
matema´tica do problema (relacionados a` aproximac¸a˜o da situac¸a˜o f´ısica e a
erros nos dados) e aqueles que aparecem no processo de soluc¸a˜o nume´rica (erros
de truncamento e de arredondamento).
Os erros de truncamento surgem, em geral, pela substituic¸a˜o de um processo
infinito (de somas ou integrais) ou infinitesimal por outro finito.
Exemplo 1.1: A func¸a˜o cos (x) e´ dada por
cos (x) =
∞∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n) !
.
Para obter o valor de cos (x) por esta se´rie e´ preciso calcular va´rias parcelas e depois
parar, ou seja, truncar a se´rie, cometendo enta˜o um erro. Substituindo cos (x) pelo
polinoˆmio
P (x) = x+
x2
2 !
+
x4
4 !
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 11
e´ poss´ıvel calcular o valor nume´rico de P (x) e usa´-lo como aproximac¸a˜o de cos (x).
O erro e´ definido por E = cos (x) − P (x). Em geral, como o valor da func¸a˜o na˜o e´
conhecido, em Ana´lise Nume´rica sa˜o pesquisados resultados que permitam estimar
o valor de um determinado nu´mero e tal que
| cos (x)− P (x) | ≤ e.
Erros tambe´m podem surgir pelo fato que as operac¸o˜es aritme´ticas quase
nunca podem ser efetuadas com precisa˜o completa; estes sa˜o denominados de
erros de arredondamento. A maioria dos nu´meros teˆm representac¸o˜es decimais
infinitas que devem ser arredondadas. Mesmo se os dados de um problema
podem ser expressos exatamente por representac¸o˜es decimais finitas, a divisa˜o
pode introduzir nu´meros que devem ser arredondados e a multiplicac¸a˜o pode
produzir mais d´ıgitos do que podem ser razoavelmente mantidos.
Os tipos de arredondamento mais utilizados sa˜o:
- tipo corte: as casas em excesso sa˜o simplesmente abandonadas;
- para o nu´mero de ma´quina mais pro´ximo: se a ma´quina trabalha com d
algarismos significativos para a mantissa1 de um nu´mero, enta˜o analisa-se o
algarismo de ordem d+1. Se este for maior ou igual a 5, soma-se uma unidade
ao algarismo de ordem d; caso contra´rio, o algarismo de ordem d permanece
inalterado.
Exemplo 1.2: A soluc¸a˜o exata da soma
S =
2
3
+
2
3
+
2
3
e´ S = 2,
1Mantissa e´ a parte dos nu´meros que representa seus d´ıgitos significativos.
12 Cap´ıtulo 1 - Introduc¸a˜o
mas a soluc¸a˜o calculada, numa ma´quina que opere com treˆs d´ıgitos de precisa˜o, e´
S = 0, 666 + 0, 666 + 0, 666 = 1, 999.
Neste caso, verifica-se que o erro de arredondamento e´ igual a 2− 1, 999 = 0, 001.
Entretanto, tomando como exemplo x = 0, 6666 . . . , os dois arredondamentos na˜o
produzem o mesmo resultado. Se a ma´quina em que se esta´ trabalhando opera com
2 algarismos significativos, enta˜o x¯ = 0, 66 × 100, por corte, ou x¯ = 0, 67 × 100, por
arredondamento para o nu´mero mais pro´ximo.
A diferenc¸a entre o valor arredondado e o valor exato pode ser medida pelo
erro absoluto ou pelo relativo. O erro absoluto, indicado por EA, e´ dado por:
EA = | x¯− x |
e o erro relativo, indicado por ER, e´
ER =
| x¯− x |
| x¯ | ou ER =
| x¯− x |
| x |