Calculo Numerico
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v(t) dt,

pode-se empregar a regra dos trape´zios com n = 10 e h = 0, 1, de forma que

T (v, h) =
0, 1

2
[4, 2 + 2 (7, 5 + 9, 0 + 10, 5) + 7, 0] .

Desta forma, a dista\u2c6ncia percorrida e´ de aproximadamente d \u2248 T (v, h) = 3,26 km.

6.2.2 Fo´rmula de Simpson

Visando obter uma melhor aproximac¸a\u2dco para integrac¸a\u2dco utiliza-se um polino\u2c6mio

de ordem 2 na fo´rmula de Simpsom. Para o intervalo [a,b], assumindo h = b\u2212a2
resulta\u222b b

a
p2(x) dx =

\u222b b
a

[
f(a) + (x\u2212 a) \u2206f(a)

h
+ (x\u2212 a)(x\u2212m) \u2206

2f(a)

2h2

]
dx

onde m = (a+b)2 corresponde ao ponto me´dio entre \u201da\u201d e \u201db\u201d; para obter um
polino\u2c6mio de segundo grau sa\u2dco necessa´rios 3 pontos. Via mudanc¸a de varia´veis
x(\u3b1) = a+\u3b1h dx = hd\u3b1 e mudanc¸a dos limites de intervalo [a,b] para [0,2], resulta

Z b
a
p2(x) dx =

Z 2
0

»
f(a) + \u3b1\u2206f(a) + \u3b1 (\u3b1 \u2212 1) \u2206

2f(a)

2

\u2013
h d\u3b1 =

h

3
[f(a) + 4 f(m) + f(b)] .

ou seja \u222b b
a
f(x) dx \u2248 h

3
[f(a) + 4 f(m) + f(b)]

Quando este processo e´ repetido em subintervalos de [a, b] tem-se a extensa\u2dco da

regra. Sejam f, f \u2032, f
\u2032\u2032

, f (3) e f (4) cont´\u131nuas no intervalo [a, b]; subdividindo o intervalo

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 145

em 2n subintervalos de espac¸amento igual h = b\u2212a2n e usando os pontos a = x0 <
x1 < · · · < x2n = b, tem-se

S(f, h) =
h

3

n\u2211
k=1

[f(x2 k\u22122) + 4 f(x2 k\u22121) + f(x2k)]

ou

S(f, h) =
h

3
{f(x0) + 4 [f(x1) + · · ·+ f(x2n\u22121)]

+ 2 [f(x2) + · · ·+ f(x2n\u22122)] + f(x2n)}

Esta e´ uma aproximac¸a\u2dco para a integral de f(x). Portanto,

\u222b b
a
f(x) dx = S(f, h) +E(f, h),

onde

E(f, h) \u2264 h
4

180
(x2n \u2212 x0) max

x\u2208[x0,x2 n]
| f (4)(x) | = O(h4)

Observe que o intervalo [a, b] deve ser dividido sempre em um nu´mero par de subin-

tervalos para poder aplicar esta fo´rmula.

Exemplo 6.3: Determine o volume de uma racha supondo que a mesma possa ser

aproximada pelos pontos da tabela, onde R(x) e´ o raio me´dio na posic¸a\u2dco x.

x 0 1 2 3 4

R(x) 0, 7 2, 6 3, 9 2, 1 0, 2

146 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica

Soluc¸~ao: Por Simpson com n = 3 e h = 1 obtem-se

V \u2248 \u3c0
3
[f(x0)

2 + 4 (f(x1)
2 + f(x3)

2) + 2 (f(x2)
2 + f(x4)

2)]

\u2248 \u3c0
3
[(0, 7)2 + 4 ((2, 6)2 + (2, 1)2 + (3, 9)2) + (0, 2)2]

\u2248 \u3c0
3
[0, 49 + 4 (6, 76 + 4, 41) + 2 (15, 21) + 0, 04]

\u2248 79, 20

6.2.3 Quadratura de Gauss

A soluc¸a\u2dco nume´rica da integral
\u222b b
a f(x)dx por trape´zios (Fig. 6.4A) e´ obtida a

partir da integrac¸a\u2dco com um polino\u2c6mio interpolador de ordem 1. Os pontos utilizados

na determinac¸a\u2dco do polino\u2c6mio interpolador foram os do limites de integrac¸a\u2dco ou

subintervalos com amplitude constante entre esses limites.

Figura 6.4: Esquema do me´todo de Quadratura de Gauss

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 147

Suponha agora que vamos gerar um polino\u2c6mio interpolador, mas utilizando outros

pontos ale´m dos limites de integrac¸a\u2dco, como mostrado na figura 6.4 (B). A reta

interpoladora e´ determinada a partir dos pontos y1 e y2. Observe que se os pontos

forem bem escolhidos, o valor de a´rea entre os pontos a e y, que se esta´ integrando

a mais, podera´ compensar as a´reas que se esta´ integrando a menos entre os pontos

y1 e a e entre os pontos y2 e b. A questa\u2dco e´ como pode-se definir estes pontos.

Para que esta ide´ia seja melhor entendida, suponha que a expressa\u2dco da Regra do

Trape´zio seja apresentada da seguinte forma:

A \u2248 C1f(a) + C2f(b)

Esta regra fornece resultado exato quando a func¸a\u2dco integrada e´ uma constante, y = c3

ou uma linha reta y = x . A partir destas considerac¸o\u2dces chega-se as expresso\u2dces:

C1f(a) + C2f(b) =

\u222b b
a
c3 dx \u21d2 C1c3 + C2c3 = c3(b\u2212 a) \u21d2 C1 + C2 = (b\u2212 a)

C1f(a) + C2f(b) =

\u222b b
a
x dx \u21d2 C1 a+ C2 b = b

2

2
\u2212 a

2

2

Resolvendo-se o sistema linear acima, chega-se a

C1 = C2 =
(b\u2212 a)

2
,

logo a expressa\u2dco resultante e´ dada por

A \u2248 (b\u2212 a)
2

[
f(a) + f(b)

]
.

De maneira geral, uma fo´rmula de Newton-Cotes que aproxima f(x) por um

polino\u2c6mio que interpola f(x) em x0, x1, . . . , xn (igualmente espac¸ados) e´ exata para

polino\u2c6mios de grau menor ou igual a n.

148 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica

As fo´rmulas de Gauss sa\u2dco exatas para polino\u2c6mios de grau menor ou igual a 2n\u2212 1
e sa\u2dco escritas como\u222b b

a
f(x) dx = A0 f(x0) +A1 f(x1) + · · ·+An f(xn) (6.14)

Para obter a fo´rmula para n = 1 e´ necessa´rio determinar A0, A1, x0 e x1 tais que\u222b b
a
f(x) dx = A0 f(x0) +A1 f(x1)

seja exata para polino\u2c6mios de grau menor ou igual a 3.

Como os polino\u2c6mios de Legendre sa\u2dco definidos no intervalo [-1,1], a fo´rmula de

Gauss-Legendre foi desenvolvida para o mesmo intervalo. Quando a integral de

interesse pertence a um intervalo [a,b] qualquer, procede-se a mudanc¸a de varia´vel

da forma

x =
1

2
[a+ b+ t (b\u2212 a)] e dx = b\u2212 a

2
dt

ou \u222b b
a
f(x) dx =

b\u2212 a
2

\u222b 1
\u22121

F (t) dt

onde F (t) = f [x(t)].

Esta fo´rmula e´ exata para polino\u2c6mios de grau menor ou igual a 3 pois se\u222b 1
\u22121

1 dt = A0 g(t0) +A1 g(t1) = A0 +A1 = 2\u222b 1
\u22121

t dt = A0 g(t0) +A1 g(t1) = A0 t0 +A1 t1 = 0\u222b 1
\u22121

t2 dt = A0 g(t0) +A1 g(t1) = A0 t
2
0 +A1 t

2
1 = 2/3\u222b 1

\u22121
t3 dt = A0 g(t0) +A1 g(t1) = A0 t

3
0 +A1 t

3
1 = 0

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 149

obte´m-se o sistema \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
A0 +A1 = 2

A0 t0 +A1 t1 = 0

A0 t
2
0 +A1 t

2
1 = 2/3

A0 t
3
0 +A1 t

3
1 = 0

cuja soluc¸a\u2dco e´

t0 = \u2212
\u221a
3

3
t1 =

\u221a
3

3
A0 = A1 = 1.

Desta forma, para n = 1 resulta

\u222b 1
\u22121

F (t) dt = F

(
\u2212
\u221a
3

3

)
+ F

(\u221a
3

3

)

que pode ser generalizada para obter a Eq. (6.14). Considere que F (t) represente os

polino\u2c6mios especiais tk para k = 0, 1, . . . , 2n \u2212 1, de forma que

\u222b 1
\u22121

tk dt = 0 se k e´ \u131´mpar

=
2

k + 1
se k e´ par

Da teoria dos polino\u2c6mios ortogonais, segue que os tk sa\u2dco as ra´\u131zes de polino\u2c6mios

de Legendre(conforme indicado no Cap. 5.4.2) e os coeficientes Ak (da Equac¸a\u2dco

6.14) sa\u2dco obtidos da soluc¸a\u2dco do sistema de equac¸o\u2dces resultantes, cujos valores sa\u2dco

indicados na tabela:

150 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica

n tk Ak k

1 \u22120, 57735027 1, 00000000 0
0, 57735027 1, 00000000 1

2 \u22120, 77459667 0, 55555556 0
0, 00000000 0, 88888889 1

0, 77459667 0, 55555556 2

3 \u22120, 86113631 0, 34785485 0
\u22120, 33998104 0, 65214515 1
0, 86113631 0, 34785485 2

0, 33998104 0, 65214515 3

4 \u22120, 90617985 0, 23692689 0
\u22120, 53846931 0, 47862867 1
0, 00000000 0, 56888889 2

0, 90617985 0, 23692689 3

0, 53846931 0, 47862867 4

Exemplo 6.4: Integre f(t) = t3 + 2 em (\u22121, 1) por quadratura gaussiana com
n = 2.

I =

\u222b 1
\u22121
(t3 + 2) dt = A0 f(t0) +A1 f(t1) +A2 f(t2)

Soluc¸~ao: Observe que

t0 = \u22120, 77459667 A0 = 0, 55555556
t1 = 0, 00000000 A1 = 0, 88888889

t2 = 0, 77459667 A2 = 0, 55555556

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 151

Desta forma,

I = 0, 55555556 [(\u22120, 77459667)3 + 2]
+ 0, 88888889 [(0, 00000000)3 + 2]

+ 0, 55555556 [(0, 77459667)3 + 2] = 4, 0

Exemplo 6.5: Aproxime a integral por quadratura gaussiana com n = 2.\u222b 4
0

dx

x2

Soluc¸~ao: O intervalo e´ I = [0, 4], transformado para [-1,1]. Assim, calcula-se a

integral conforme \u222b 4
0

dx

x2
=

b\u2212 a
2

\u222b 1
\u22121

F (t) dt

atrave´s da mudanc¸a de varia´veis

x = t

(
b\u2212 a
2

)
+
a+ b

2
= t

(
4\u2212 0
2

)
+

4 + 0

2
= 2 (t+ 1)

resulta\u222b 4
0

dx

x2
\u2248 4\u2212 0

2
[A0 F (t0) +A1 F (t1) +A2 F (t2)]

\u2248 2
[
0, 555556

1

(2 t0 + 3)2
+ 0, 888889

1

(2 t1 + 3)2
+ 0, 555556

1

(2 t2 + 3)2

]
\u2248 0, 251745

onde t0 = \u22120, 7745967, t1 = 0, 000000 e t2 = 0, 7745967.

152 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica

6.2.4 Integrac¸a\u2dco de func¸o\u2dces mal condicionadas

Func¸o\u2dces mal condicionadas sa\u2dco aquelas de dif´\u131cil