Calculo Numerico
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converge\u2c6ncia para o resultado

real. O exemplo que segue torna clara a situac¸a\u2dco.

Exemplo 6.6: Discuta o procedimento de soluc¸a\u2dco de\u222b 1
0

sen x\u221a
1\u2212 x2 dx.

Soluc¸~ao: Se x = ±1, esta func¸a\u2dco apresenta singularidade, que precisa ser evitada.
Atrave´s da substituc¸a\u2dco

x = sen(u) e dx = cos(u) du

resulta Z 1
0

senx\u221a
1\u2212 x2 dx =

Z sen\u22121(u)
0

sen(sen(u))p
1\u2212 sen2(u)

cos(u) d u =

Z sen\u22121(u)
0

sen(sen(u))d u

Apo´s a mudanc¸a qualquer me´todo pode ser empregado para obter a soluc¸a\u2dco.

6.2.5 Exerc´\u131cios sobre integrac¸a\u2dco

1. Calcule a integral de f(x) =
\u221a
3x+ 5 no intervalo [2, 6] com a fo´rmula dos trape´zios

considerando h = 1. Refac¸a os ca´lculos para h = 0, 1 e compare os resultados.

2. Determine h para que por Simpson a integral\u222b 1
0
e\u2212xdx

tenha erro de truncamento menor do que 10\u22124.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 153

3. determine h por trape´zios e por Simpson de forma que o erro ma´ximo de\u222b 3
1

dx

2x

seja da ordem de 10\u22125.

4. Calcule \u222b 1
0

1

1 + x2
dx

pelo me´todo de Simpson com erro menor que 10\u22124.

5. Determine a integral de \u222b 3
\u22122
(x5 \u2212 e\u2212x dx

pelo me´todo mais preciso.

6. Via Gauss com n = 3 obtenha \u222b 8
2
e\u22124x dx

7. Calcule o valor de \u3c0 a partir da relac¸a\u2dco

\u3c0

4
=

\u222b 1
0

dx

1 + x2

com 4 subintervalos por Simpson.

8. A func¸a\u2dco

D(x) =
3

x3

\u222b x
0

y3

ey \u2212 1 dy

e´ encontrada em termodina\u2c6mica esta´tica no ca´lculo do calor espec´\u131fico a volume

constante de certas substa\u2c6ncias. Calcule uma aproximac¸a\u2dco para esta func¸a\u2dco no

ponto x = 2 com 3 subintervalos.

154 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica

6.3 Aplicac¸o\u2dces: Avaliac¸a\u2dco da capacidade de

armazenamento

Ilustra-se, a seguir, uma aplicac¸a\u2dco de integrac¸a\u2dco nume´rica. E´ apresentado um caso

comum em engenharia: a avaliac¸a\u2dco da capacidade de armazenamento de galpo\u2dces

graneleiros.

Considere que um agricultor pretende reaproveitar uma benfeitoria como depo´sito

para estocar a safra. Sabe-se que a benfeitoria tem 30m de largura, 4, 5m de altura

e 60m de comprimento. Para a curvatura, segundo a Fig. 6.5, considere que x seja

a posic¸a\u2dco de cada estaca e y a sua altura, dada na tabela 6.1. A partir destes dados,

qual a capacidade de armazenamento deste depo´sito?

Tabela 6.1: Avaliac¸a\u2dco da capacidade do depo´sito
estaca 1 2 3 4 5 6 7

x (m) 0 5 10 15 20 25 30

y (m) 0 3 4 4, 5 4 3 0

Figura 6.5: Depo´sito para o ca´lculo da capacidade de armazenamento

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 155

Usando o me´todo dos trape´zios, para n = 6, tem-se\u222b b
a
f(x)dx =

h

2
[f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)) + f(x6)]\u222b 30

0
ydy =

5

2
[0 + 2 (3 + 4 + 4, 5 + 4 + 3) + 0]\u222b 30

0
ydy = 92, 5m2

Como o depo´sito possui 60 m de comprimento a capacidade total sera´ de

Ct = 60m× 92, 5m2 = 5.550m3

156 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s

7 SOLUC¸A\u2dcO NUME´RICA DE EQUAC¸O\u2dcES

DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS

De forma geral, o que foi apresentado ate´ o momento visa preparar o leitor o

objetivo maior do ca´lculo nume´rico em engenharia: a soluc¸a\u2dco nume´rica de equac¸o\u2dces

diferenciais.

7.1 Introduc¸a\u2dco

Equac¸o\u2dces diferenciais sa\u2dco utilizadas em modelos que descrevem quantitativamente

feno\u2c6menos, como por exemplo em fluxo de fluidos, transfere\u2c6ncia de calor, vibrac¸o\u2dces,

reac¸o\u2dces qu´\u131micas, feno\u2c6menos biolo´gicos, etc. O seu surgimento e´ bem antigo; basta

lembrar da equac¸a\u2dco de Bernoulli para escoamentos simples, dentre outros

Uma EDO - equac¸a\u2dco diferencial ordina´ria de ordem n pode ser escrita como

y(n) = f(x, y, y\u2032, y
\u2032\u2032

. . . , y(n\u22121)). (7.1)

Cuja soluc¸a\u2dco \u3c6(x) e´ n vezes diferencia´vel e satisfaz (7.1), ou seja,

\u3c6(n) = f(x, \u3c6, \u3c6\u2032, \u3c6
\u2032\u2032

. . . , \u3c6(n\u22121)).

Equac¸o\u2dces diferenciais podem ser lineares ou na\u2dco, o que os torna na\u2dco lineares e´ o

produto de varia´veis.

Exemplo 7.1: Considere os exemplos de equac¸o\u2dces lineares ou na\u2dco lineares que

seguem

x y\u2032 = \u2212y linear
x y

\u2032\u2032

+ (1\u2212 y) y\u2032 + y = 0 na\u2dco linear

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 157

A soluc¸a\u2dco particular de EDO\u2019s e´ feita a partir de condic¸o\u2dces iniciais gerando os

PVI\u2019s - problemas de valor inicial.

Exemplo 7.2:Exemplos de problemas de valor inicial PVI sa\u2dco:

{
y\u2032(x) = x y
y(0) = 0, 3

\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
y(3)(x) + y(x) = 2x

y(0) = y\u2032(0) = 0
y(L) = y

\u2032\u2032

(L) = 0

Existe um nu´mero muito restrito de equac¸o\u2dces diferenciais cujas soluc¸o\u2dces podem

ser expressas sob a forma anal´\u131tica simples. Desta forma, os me´todos nume´ricos

sa\u2dco muito importantes na soluc¸a\u2dco aproximada de equac¸o\u2dces diferenciais. A seguir

apresenta-se alguns me´todos usados para resolver uma grande quantidade de equac¸o\u2dces

diferenciais.

7.2 Me´todos de passo simples para soluc¸a\u2dco de um PVI

Dado um problema de valores de contorno

dy

dx
= f(x, y) (7.2)

y(x0) = y0

158 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s

Pretende-se determinar aproximac¸o\u2dces y(xl), igualmente espac¸adas em [x0, xf ], ou

seja,

xl = x0 + hl;

l = 0, 1, 2, ..., n e

h =
xf \u2212 x0

n
.

Os me´todos que seguem sa\u2dco baseados em expanso\u2dces em se´ries de Taylor de y(x), ou

seja,

y(x+ h) = y(x) + hf [x, y(x)] +
h2

2!
f [x, y(x)] + ...

7.2.1 Me´todo de Euler

Uma das primeiras tentativas de resoluc¸a\u2dco nume´rica de uma equac¸a\u2dco diferencial

foi feita provavelmente por Euler no se´culo XVIII, gerando o me´todo que se deve ao

seu nome. Seu uso e´ limitado, pois o erro acumulado a` medida que o processo se

desenvolve e´ grande (corresponde a uma aproximac¸a\u2dco de 1a ordem).

Conhecendo-se t0 e y0, o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico da soluc¸a\u2dco

em t = t0, ou seja, \u3c6
\u2032(t0) = f(t0, y0), tambe´m e´ conhecido. Portanto, e´ poss´\u131vel cons-

truir a tangente a` soluc¸a\u2dco em t0 e obter um valor aproximado y1 de \u3c6(t1) mediante

um deslocamento sobre a reta tangente desde t0 ate´ t1, conforme mostra a figura 7.1.

Via expansa\u2dco em se´rie de Taylor ate´ 1a ordem obte´m-se

yn+h = yn + h y1

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 159

Figura 7.1: Reta tangente

Admitindo que o espac¸amento h entre os pontos t0, t1, . . . seja uniforme, enta\u2dco tn+1 =

tn + h e a fo´rmula de Euler pode ser escrita como:

yn+1 = yn + h f(tn, yn)

= yn + h fn, n = 0, 1, 2, . . .

Exemplo 7.3: Obtenha y(0,2) de

y\u2032 = 2\u2212 t+ 3 y (7.3)
y(0) = 1 (7.4)

Soluc¸~ao: A equac¸a\u2dco (7.3) e´ linear de primeira ordem e o PVI apresenta como

soluc¸a\u2dco

y = \u3c6(t) =
1

3
t\u2212 5

9
+

14

9
e3 t.

Utilizado a fo´rmula de Euler e um passo h = 0, 1 obte´m-se a sua soluc¸a\u2dco aproxi-

mada em t = 0, 2.

160 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s

Como f(t, y) = 2\u2212 t+ 3 y e f0 = f(0, 1) = 5; resulta
y1 = y0 + h f(0, 1)

= 1 + (0, 1) (5)

= 1, 49.

em t = 0, 1; para t = 0, 2 obte´m-se

y2 = y1 + h f(t1, y1)

= 1, 49 + (0, 1) f(0, 1 , 1, 49)

= 1, 49 + (0, 1) (6, 27) = 2, 117.

Quando o resultado e´ comparado com o valor \u201dexato\u201d, \u3c6(0, 2) = 2, 345518 o erro rel-

ativo e´ de 2, 345518\u22122, 117 = 0, 228; que na\u2dco e´ normalmente aceita´vel por ser muito
grande. Como a aproximac¸a\u2dco e´ de primeira ordem o erro cometido pode crescer

consideravelmente.

Usando a mesma ide´ia do me´todo de Euler, pode-se obter aproximac¸a\u2dco de ordem

mais elevada conduzindo aos me´todos de Runge-Kutta.

7.2.2 Me´todos de Runge-Kutta

Os me´todos de expansa\u2dco por se´ries te\u2c6m uma boa caracter´\u131stica: o erro de trunca-

mento global e´ O(hN ) e N pode ser escolhido ta\u2dco grande tal que o erro seja pequeno.

Entretanto, o problema com estes me´todos e´ a necessidade de ca´lculo de derivadas

de ordem mais alta, as quais podem ser bastante complicadas. Cada me´todo de

Runge-Kutta e´ derivado de um me´todo de Taylor apropriado de tal maneira que o

erro de truncamento global