Calculo Numerico
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converge\u2c6ncia para o resultado
real. O exemplo que segue torna clara a situac¸a\u2dco.
Exemplo 6.6: Discuta o procedimento de soluc¸a\u2dco de\u222b 1
0
sen x\u221a
1\u2212 x2 dx.
Soluc¸~ao: Se x = ±1, esta func¸a\u2dco apresenta singularidade, que precisa ser evitada.
Atrave´s da substituc¸a\u2dco
x = sen(u) e dx = cos(u) du
resulta Z 1
0
senx\u221a
1\u2212 x2 dx =
Z sen\u22121(u)
0
sen(sen(u))p
1\u2212 sen2(u)
cos(u) d u =
Z sen\u22121(u)
0
sen(sen(u))d u
Apo´s a mudanc¸a qualquer me´todo pode ser empregado para obter a soluc¸a\u2dco.
6.2.5 Exerc´\u131cios sobre integrac¸a\u2dco
1. Calcule a integral de f(x) =
\u221a
3x+ 5 no intervalo [2, 6] com a fo´rmula dos trape´zios
considerando h = 1. Refac¸a os ca´lculos para h = 0, 1 e compare os resultados.
2. Determine h para que por Simpson a integral\u222b 1
0
e\u2212xdx
tenha erro de truncamento menor do que 10\u22124.
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 153
3. determine h por trape´zios e por Simpson de forma que o erro ma´ximo de\u222b 3
1
dx
2x
seja da ordem de 10\u22125.
4. Calcule \u222b 1
0
1
1 + x2
dx
pelo me´todo de Simpson com erro menor que 10\u22124.
5. Determine a integral de \u222b 3
\u22122
(x5 \u2212 e\u2212x dx
pelo me´todo mais preciso.
6. Via Gauss com n = 3 obtenha \u222b 8
2
e\u22124x dx
7. Calcule o valor de \u3c0 a partir da relac¸a\u2dco
\u3c0
4
=
\u222b 1
0
dx
1 + x2
com 4 subintervalos por Simpson.
8. A func¸a\u2dco
D(x) =
3
x3
\u222b x
0
y3
ey \u2212 1 dy
e´ encontrada em termodina\u2c6mica esta´tica no ca´lculo do calor espec´\u131fico a volume
constante de certas substa\u2c6ncias. Calcule uma aproximac¸a\u2dco para esta func¸a\u2dco no
ponto x = 2 com 3 subintervalos.
154 Cap´\u131tulo 6 - Derivac¸a\u2dco e Integrac¸a\u2dco Nume´rica
6.3 Aplicac¸o\u2dces: Avaliac¸a\u2dco da capacidade de
armazenamento
Ilustra-se, a seguir, uma aplicac¸a\u2dco de integrac¸a\u2dco nume´rica. E´ apresentado um caso
comum em engenharia: a avaliac¸a\u2dco da capacidade de armazenamento de galpo\u2dces
graneleiros.
Considere que um agricultor pretende reaproveitar uma benfeitoria como depo´sito
para estocar a safra. Sabe-se que a benfeitoria tem 30m de largura, 4, 5m de altura
e 60m de comprimento. Para a curvatura, segundo a Fig. 6.5, considere que x seja
a posic¸a\u2dco de cada estaca e y a sua altura, dada na tabela 6.1. A partir destes dados,
qual a capacidade de armazenamento deste depo´sito?
Tabela 6.1: Avaliac¸a\u2dco da capacidade do depo´sito
estaca 1 2 3 4 5 6 7
x (m) 0 5 10 15 20 25 30
y (m) 0 3 4 4, 5 4 3 0
Figura 6.5: Depo´sito para o ca´lculo da capacidade de armazenamento
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 155
Usando o me´todo dos trape´zios, para n = 6, tem-se\u222b b
a
f(x)dx =
h
2
[f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)) + f(x6)]\u222b 30
0
ydy =
5
2
[0 + 2 (3 + 4 + 4, 5 + 4 + 3) + 0]\u222b 30
0
ydy = 92, 5m2
Como o depo´sito possui 60 m de comprimento a capacidade total sera´ de
Ct = 60m× 92, 5m2 = 5.550m3
156 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s
7 SOLUC¸A\u2dcO NUME´RICA DE EQUAC¸O\u2dcES
DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS
De forma geral, o que foi apresentado ate´ o momento visa preparar o leitor o
objetivo maior do ca´lculo nume´rico em engenharia: a soluc¸a\u2dco nume´rica de equac¸o\u2dces
diferenciais.
7.1 Introduc¸a\u2dco
Equac¸o\u2dces diferenciais sa\u2dco utilizadas em modelos que descrevem quantitativamente
feno\u2c6menos, como por exemplo em fluxo de fluidos, transfere\u2c6ncia de calor, vibrac¸o\u2dces,
reac¸o\u2dces qu´\u131micas, feno\u2c6menos biolo´gicos, etc. O seu surgimento e´ bem antigo; basta
lembrar da equac¸a\u2dco de Bernoulli para escoamentos simples, dentre outros
Uma EDO - equac¸a\u2dco diferencial ordina´ria de ordem n pode ser escrita como
y(n) = f(x, y, y\u2032, y
\u2032\u2032
. . . , y(n\u22121)). (7.1)
Cuja soluc¸a\u2dco \u3c6(x) e´ n vezes diferencia´vel e satisfaz (7.1), ou seja,
\u3c6(n) = f(x, \u3c6, \u3c6\u2032, \u3c6
\u2032\u2032
. . . , \u3c6(n\u22121)).
Equac¸o\u2dces diferenciais podem ser lineares ou na\u2dco, o que os torna na\u2dco lineares e´ o
produto de varia´veis.
Exemplo 7.1: Considere os exemplos de equac¸o\u2dces lineares ou na\u2dco lineares que
seguem
x y\u2032 = \u2212y linear
x y
\u2032\u2032
+ (1\u2212 y) y\u2032 + y = 0 na\u2dco linear
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 157
A soluc¸a\u2dco particular de EDO\u2019s e´ feita a partir de condic¸o\u2dces iniciais gerando os
PVI\u2019s - problemas de valor inicial.
Exemplo 7.2:Exemplos de problemas de valor inicial PVI sa\u2dco:
{
y\u2032(x) = x y
y(0) = 0, 3
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
y(3)(x) + y(x) = 2x
y(0) = y\u2032(0) = 0
y(L) = y
\u2032\u2032
(L) = 0
Existe um nu´mero muito restrito de equac¸o\u2dces diferenciais cujas soluc¸o\u2dces podem
ser expressas sob a forma anal´\u131tica simples. Desta forma, os me´todos nume´ricos
sa\u2dco muito importantes na soluc¸a\u2dco aproximada de equac¸o\u2dces diferenciais. A seguir
apresenta-se alguns me´todos usados para resolver uma grande quantidade de equac¸o\u2dces
diferenciais.
7.2 Me´todos de passo simples para soluc¸a\u2dco de um PVI
Dado um problema de valores de contorno
dy
dx
= f(x, y) (7.2)
y(x0) = y0
158 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s
Pretende-se determinar aproximac¸o\u2dces y(xl), igualmente espac¸adas em [x0, xf ], ou
seja,
xl = x0 + hl;
l = 0, 1, 2, ..., n e
h =
xf \u2212 x0
n
.
Os me´todos que seguem sa\u2dco baseados em expanso\u2dces em se´ries de Taylor de y(x), ou
seja,
y(x+ h) = y(x) + hf [x, y(x)] +
h2
2!
f [x, y(x)] + ...
7.2.1 Me´todo de Euler
Uma das primeiras tentativas de resoluc¸a\u2dco nume´rica de uma equac¸a\u2dco diferencial
foi feita provavelmente por Euler no se´culo XVIII, gerando o me´todo que se deve ao
seu nome. Seu uso e´ limitado, pois o erro acumulado a` medida que o processo se
desenvolve e´ grande (corresponde a uma aproximac¸a\u2dco de 1a ordem).
Conhecendo-se t0 e y0, o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico da soluc¸a\u2dco
em t = t0, ou seja, \u3c6
\u2032(t0) = f(t0, y0), tambe´m e´ conhecido. Portanto, e´ poss´\u131vel cons-
truir a tangente a` soluc¸a\u2dco em t0 e obter um valor aproximado y1 de \u3c6(t1) mediante
um deslocamento sobre a reta tangente desde t0 ate´ t1, conforme mostra a figura 7.1.
Via expansa\u2dco em se´rie de Taylor ate´ 1a ordem obte´m-se
yn+h = yn + h y1
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 159
Figura 7.1: Reta tangente
Admitindo que o espac¸amento h entre os pontos t0, t1, . . . seja uniforme, enta\u2dco tn+1 =
tn + h e a fo´rmula de Euler pode ser escrita como:
yn+1 = yn + h f(tn, yn)
= yn + h fn, n = 0, 1, 2, . . .
Exemplo 7.3: Obtenha y(0,2) de
y\u2032 = 2\u2212 t+ 3 y (7.3)
y(0) = 1 (7.4)
Soluc¸~ao: A equac¸a\u2dco (7.3) e´ linear de primeira ordem e o PVI apresenta como
soluc¸a\u2dco
y = \u3c6(t) =
1
3
t\u2212 5
9
+
14
9
e3 t.
Utilizado a fo´rmula de Euler e um passo h = 0, 1 obte´m-se a sua soluc¸a\u2dco aproxi-
mada em t = 0, 2.
160 Cap´\u131tulo 7 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDO\u2019s
Como f(t, y) = 2\u2212 t+ 3 y e f0 = f(0, 1) = 5; resulta
y1 = y0 + h f(0, 1)
= 1 + (0, 1) (5)
= 1, 49.
em t = 0, 1; para t = 0, 2 obte´m-se
y2 = y1 + h f(t1, y1)
= 1, 49 + (0, 1) f(0, 1 , 1, 49)
= 1, 49 + (0, 1) (6, 27) = 2, 117.
Quando o resultado e´ comparado com o valor \u201dexato\u201d, \u3c6(0, 2) = 2, 345518 o erro rel-
ativo e´ de 2, 345518\u22122, 117 = 0, 228; que na\u2dco e´ normalmente aceita´vel por ser muito
grande. Como a aproximac¸a\u2dco e´ de primeira ordem o erro cometido pode crescer
consideravelmente.
Usando a mesma ide´ia do me´todo de Euler, pode-se obter aproximac¸a\u2dco de ordem
mais elevada conduzindo aos me´todos de Runge-Kutta.
7.2.2 Me´todos de Runge-Kutta
Os me´todos de expansa\u2dco por se´ries te\u2c6m uma boa caracter´\u131stica: o erro de trunca-
mento global e´ O(hN ) e N pode ser escolhido ta\u2dco grande tal que o erro seja pequeno.
Entretanto, o problema com estes me´todos e´ a necessidade de ca´lculo de derivadas
de ordem mais alta, as quais podem ser bastante complicadas. Cada me´todo de
Runge-Kutta e´ derivado de um me´todo de Taylor apropriado de tal maneira que o
erro de truncamento global