Calculo Numerico
267 pág.

Calculo Numerico


DisciplinaCálculo Numérico15.867 materiais267.782 seguidores
Pré-visualização35 páginas
caso tem-se
\u22022y
\u2202t2
+ b2
\u22024y
\u2202x4
= 0
b2 =
EI
Aµ
onde I e´ o momento de ine´rcia da sec¸a\u2dco transversal, A a a´rea da sec¸a\u2dco transversal,
µ a massa espec´\u131fica e y(x, t) o deslocamento transversal, ou flexa\u2dco, no ponto x e no
instante t. Quando se aplica uma forc¸a externa F (x, t) a equac¸a\u2dco resultante assume
a forma
\u22022y
\u2202t2
+ b2
\u22024y
\u2202x4
=
b2F (x, t)
EI
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 201
8.3 Escolha dos me´todos de soluc¸a\u2dco para as equac¸o\u2dces
do calor e da onda unidimensional
A escolha do me´todo de soluc¸a\u2dco depende do cara´ter da equac¸a\u2dco: El´\u131ptica, parabo´lica
ou hiperbo´lica; alguns exemplos sa\u2dco discutidos a seguir.
8.3.1 Equac¸a\u2dco do calor unidimensional
Como vimos anteriormente, esta equac¸a\u2dco governa a variac¸a\u2dco de temperatura num
meio homoge\u2c6neo, sendo da forma
\u3b1
\u22022u
\u2202x2
=
\u2202u
\u2202t
(8.3)
A equac¸a\u2dco (8.3) pode ser resolvida por diversos me´todos, dentre eles:
a) Expl´\u131cito simples
Este me´todo e´ de primeira ordem no tempo. A Eq. 8.3 e´ discretizada conforme
un+1j \u2212 unj
\u2206t
= \u3b1
unj+1 \u2212 2unj + unj\u22121
\u2206x2
.
b) ADI
E´ um me´todo impl´\u131cito, de segunda ordem no tempo e incondicionalmente esta´vel;
apresenta bons resultados para situac¸o\u2dces bi e tridimensionais. A equac¸a\u2dco (8.3) dis-
cretizada fica
u
n+1/2
j \u2212 unj
\u2206t/2
= \u3b1(\u3b4x2u
n+1/2
j + \u3b4x
2unj )
onde
\u3b4x2un = unj+1 \u2212 2unj + unj\u22121
202 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s
c) ADE
E´ um me´todo expl´\u131cito de primeira ordem no tempo. A equac¸a\u2dco (8.3) fica da forma
un+1j \u2212 unj
\u2206t
= \u3b1
un+1j\u22121 \u2212 un+1j \u2212 unj + unj+1
\u2206x2
un+2j \u2212 un+1j
\u2206t
= \u3b1
un+1j\u22121 \u2212 un+1j \u2212 un\u22122j + un+2j\u22121
\u2206x2
d) Crank-Nikolson
E´ um me´todo impl´\u131cito de segunda ordem no espac¸o e no tempo. A equac¸a\u2dco (8.3)
discretizada por este me´todo fica
un+1j \u2212 unj
\u2206t
= \u3b1(\u3b4x2unj + \u3b4x
2un+1j )
com
\u3b4x2un = unj+1 \u2212 2unj + unj\u22121
Para a equac¸a\u2dco do calor unidimensional os me´todos impl´\u131citos sa\u2dco preferidos, como
o de Crank-Nikolson e o ADI.
8.3.2 Equac¸a\u2dco da onda unidimensional
Governa a propagac¸a\u2dco de ondas do som num meio uniforme, sendo dada pela
equac¸a\u2dco
\u2202u
\u2202t
= c
\u2202u
\u2202x
(8.4)
Esta pode ser resolvida utilizando-se os seguintes me´todos de discretizac¸a\u2dco, dentre
outros:
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 203
a) Euler expl´\u131cito
E´ um me´todo de primeira ordem no espac¸o e no tempo, portanto possui excessiva
dissipac¸a\u2dco. A Eq. (8.4) e´ discretizada como
un+1j \u2212 unj
\u2206t
= c
unj+1 \u2212 unj
\u2206x
.
b) Diferenc¸as ascendentes
E´ um me´todo expl´\u131cito de primeira ordem que pode ser escrito na forma
un+1j \u2212 unj
\u2206t
+ c
unj \u2212 unj\u22121
\u2206x
= 0.
c) LAX
E´ um me´todo de segunda ordem temporal. Conte´m erros de dissipac¸a\u2dco quando
\u3bd = c \u2206t\u2206x = 0. Resulta na forma
un+1j \u2212 (unj+1 \u2212 unj\u22121)/2
\u2206t
= c
unj+1 \u2212 unj\u22121
2\u2206x
.
d) Euler impl´\u131cito
E´ um me´todo de segunda ordem no espac¸o, sendo dissipativo para ondas inter-
media´rias e grandes. E´ dado por
un+1j \u2212 unj
\u2206t
= c
un+1j+1 \u2212 un+1j\u22121
2\u2206x
.
f) LAX-Wendroff
E´ um me´todo expl´\u131cito de segunda ordem no espac¸o e no tempo. Discretiza-se a
equac¸a\u2dco (8.4) como
un+1j = u
n
j \u2212
c
2
\u2206t
\u2206x
(
unj+1 \u2212 unj\u22121
)
+
c2
2
\u2206t2
\u2206x2
(
unj+1 \u2212 2unj + unj\u22121
)
204 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s
g) Upwind
E´ um me´todo de passo mu´ltiplo, impl´\u131cito de segunda ordem no espac¸o e no tempo.
E´ dado por
u\u2217n+1j = u
n
j + c
\u2206t
\u2206x
(
unj \u2212 unj\u22121
)
un+1j =
1
2
[
unj + u
\u2217n+1
j \u2212 c
\u2206t
\u2206x
(
u\u2217n+1j \u2212 u\u2217n+1j\u22121
)
\u2212 c\u2206t
\u2206x
(
unj \u2212 2unj\u22121 + unj\u22122
)]
Para a equac¸a\u2dco da onda unidimensional um esquema expl´\u131cito de segunda ordem,
como o LAX-Wendroff e o UPWIND, fornecem bons resultados com um esforc¸o
computacional m\u131´nimo.
8.4 Escolha de me´todos de soluc¸o\u2dces segundo a
classificac¸a\u2dco das EDP\u2019s
Uma vez observada a ordem de precisa\u2dco requerida: geralmente ordem 1 e´ pouco,
2 e´ bom e acima de dois e´ demais para problemas gerais em engenharia, discute-se
a escolha dos me´todos baseado no cara´cter da equac¸a\u2dco.
8.4.1 Equac¸o\u2dces Parabo´licas
Considere a equac¸a\u2dco diferencial
\u2202u
\u2202t
= \u3b1
\u22022u
\u2202t2
(8.5)
que representa, por exemplo, a distribuic¸a\u2dco de temperatura u em uma barra isolada
termicamente ao longo de x, no tempo t. Em tal problema, as temperaturas nos dois
extremos podem ser conhecidas ou estimadas.
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 205
A soluc¸a\u2dco desta equac¸a\u2dco pode ser obtida via me´todo expl´\u131cito ou impl´\u131cito. Como
a equac¸a\u2dco e´ do tipo parabo´lica torna-se mais conveniente o emprego de um me´todo
impl´\u131cito como o de Crank-Nikolson.
Escreve-se a EDP conforme
(
\u2202U
\u2202t
)n
i+ 1
2
= c
(
\u22022U
\u2202x2
)n
i+ 1
2
que da aplicac¸a\u2dco de diferenc¸as finitas resulta
1
\u2206t
[
un+1i \u2212 uni
]
=
1
2\u2206x2
[
uni+1 \u2212 2uni + uni\u22121 + un+1i+1 \u2212 2un+1i + un+1i\u22121
]
reagrupando os termos obte´m-se
\u2212\u3bbun+1i\u22121 + (2 + 2\u3bb)un+1i \u2212 \u3bbun+1i+1 = \u3bbuni+1 + (2\u2212 2\u3bb)uni + \u3bbuni\u22121 (8.6)
onde \u3bb = c\u2206t/\u2206x2.
Exemplo 8.1: Considere que uma barra de 1m de certo material esteja inicial-
mente a temperatura de 0oC. Se, instantaneamente, a temperatura na extremidade
esquerda passa a 100oC, determine a temperatura da barra apo´s 10s, utilizando o
me´todo de Crank-Nikolson, usando \u2206x = 1/10 e \u3b1 = 1.
Ao selecionar o \u2206t verifica-se que a escolha cuidadosa de \u3bb permite simplificar a
equac¸a\u2dco (8.6). Escolhendo \u2206t = 1/10, por exemplo, tem-se \u3bb = 1 e o termo ui,n e´
removido. Enta\u2dco, a equac¸a\u2dco governante e´
\u2212un+1i\u22121 + 4un+1i \u2212 un+1i+1 = uni+1 + uni\u22121.
206 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s
Obtendo os valores de un+11 , u
n+1
2 ,u
n+1
3 , ..., u
n+1
9 e u
n+1
10 , o sistema de equac¸o\u2dces
correspondente pode ser escrito na forma matricial como
8>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>:
4 \u22121 0 0 0 0 0 0 0
\u22121 4 \u22121 0 0 0 0 0 0
0 \u22121 4 \u22121 0 0 0 0 0
0 0 \u22121 4 \u22121 0 0 0 0
0 0 0 \u22121 4 \u22121 0 0 0
0 0 0 0 \u22121 4 \u22121 0 0
0 0 0 0 0 \u22121 4 \u22121 0
0 0 0 0 0 0 \u22121 4 \u22121
0 0 0 0 0 0 0 \u22121 4
9>>>>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>>>>;
8>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>:
u1,j+1
u2,j+1
u3,j+1
u4,j+1
u5,j+1
u6,j+1
u7,j+1
u8,j+1
u9,j+1
9>>>>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>>>>;
=
8>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>:
u0,j + u2,j + u0,j+1
u1,j + u3,j
u2,j + u4,j
u3,j + u5,j
u4,j + u6,j
u5,j + u7,j
u6,j + u8,j
u7,j + u9,j
u8,j + u10,j + u10,j+1
9>>>>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>>>>;
e para a soluc¸a\u2dco correspondente a cada passo \u2206t basta aplicar um me´todo para
resoluc¸a\u2dco do sistema linear visto na sec¸a\u2dco 3. Um dos me´todos mais eficientes para esta
situac¸a\u2dco e´ o TDMA - Three-diagonal matrix algorithm desenvolvido por Patankar.
A tabela (8.1) mostra os resultados obtidos nos primeiros 0,1s para cada ponto da
malha da citada barra.
Tabela 8.1: Me´todo de Crank-Nikolson aplicado ao exemplo 8.2
t [ x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0 1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1
0.01 1 0,5359 0,1436 0,0387 0,0110 0,0055 0,0110 0,0387 0,1436 0,5359 1
0.02 1 0,6189 0,3321 0,1349 0,0527 0,0319 0,0527 0,1349 0,3321 0,6189 1
0.03 1 0,6875 0,4181 0,2310 0,1212 0,0870 0,1212 0,2310 0,4181 0,6875 1
0.04 1 0,7264 0,4877 0,3056 0,1955 0,1583 0,1955 0,3056 0,4877 0,7264 1
0.05 1 0,7489 0,5080 0,2508 0,2322 0,2138 0,2322 0,2508 0,5080 0,7489 1
0.06 1 0,7614 0,5374 0,3886 0,2770 0,2546 0,2770 0,3886 0,5374 0,7614 1
0.07 1 0,7826 0,5929 0,4390 0,3488 0,3129 0,3488 0,4390 0,5929 0,7826 1
0.08 1 0,8058 0,6305 0,4945 0,4059 0,3773 0,4059 0,4945 0,6305 0,8058 1
0.09 1 0,8242 0,6664 0,5411 0,4617 0,4338 0,4617 0,5411 0,6664 0,8242 1
0.10 1 0,8410 0,6977 0,5843 0,5115 0,4866 0,5115 0,5843 0,6977 0,8410