Calculo Numerico
35 pág.

Calculo Numerico


DisciplinaCálculo Numérico12.057 materiais248.117 seguidores
Pré-visualização35 páginas
caso tem-se

\u22022y

\u2202t2
+ b2

\u22024y

\u2202x4
= 0

b2 =
EI

Aµ

onde I e´ o momento de ine´rcia da sec¸a\u2dco transversal, A a a´rea da sec¸a\u2dco transversal,

µ a massa espec´\u131fica e y(x, t) o deslocamento transversal, ou flexa\u2dco, no ponto x e no

instante t. Quando se aplica uma forc¸a externa F (x, t) a equac¸a\u2dco resultante assume

a forma

\u22022y

\u2202t2
+ b2

\u22024y

\u2202x4
=

b2F (x, t)

EI

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 201

8.3 Escolha dos me´todos de soluc¸a\u2dco para as equac¸o\u2dces

do calor e da onda unidimensional

A escolha do me´todo de soluc¸a\u2dco depende do cara´ter da equac¸a\u2dco: El´\u131ptica, parabo´lica

ou hiperbo´lica; alguns exemplos sa\u2dco discutidos a seguir.

8.3.1 Equac¸a\u2dco do calor unidimensional

Como vimos anteriormente, esta equac¸a\u2dco governa a variac¸a\u2dco de temperatura num

meio homoge\u2c6neo, sendo da forma

\u3b1
\u22022u

\u2202x2
=

\u2202u

\u2202t
(8.3)

A equac¸a\u2dco (8.3) pode ser resolvida por diversos me´todos, dentre eles:

a) Expl´\u131cito simples

Este me´todo e´ de primeira ordem no tempo. A Eq. 8.3 e´ discretizada conforme

un+1j \u2212 unj
\u2206t

= \u3b1
unj+1 \u2212 2unj + unj\u22121

\u2206x2
.

b) ADI

E´ um me´todo impl´\u131cito, de segunda ordem no tempo e incondicionalmente esta´vel;

apresenta bons resultados para situac¸o\u2dces bi e tridimensionais. A equac¸a\u2dco (8.3) dis-

cretizada fica

u
n+1/2
j \u2212 unj
\u2206t/2

= \u3b1(\u3b4x2u
n+1/2
j + \u3b4x

2unj )

onde

\u3b4x2un = unj+1 \u2212 2unj + unj\u22121

202 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s

c) ADE

E´ um me´todo expl´\u131cito de primeira ordem no tempo. A equac¸a\u2dco (8.3) fica da forma

un+1j \u2212 unj
\u2206t

= \u3b1
un+1j\u22121 \u2212 un+1j \u2212 unj + unj+1

\u2206x2

un+2j \u2212 un+1j
\u2206t

= \u3b1
un+1j\u22121 \u2212 un+1j \u2212 un\u22122j + un+2j\u22121

\u2206x2

d) Crank-Nikolson

E´ um me´todo impl´\u131cito de segunda ordem no espac¸o e no tempo. A equac¸a\u2dco (8.3)

discretizada por este me´todo fica

un+1j \u2212 unj
\u2206t

= \u3b1(\u3b4x2unj + \u3b4x
2un+1j )

com

\u3b4x2un = unj+1 \u2212 2unj + unj\u22121

Para a equac¸a\u2dco do calor unidimensional os me´todos impl´\u131citos sa\u2dco preferidos, como

o de Crank-Nikolson e o ADI.

8.3.2 Equac¸a\u2dco da onda unidimensional

Governa a propagac¸a\u2dco de ondas do som num meio uniforme, sendo dada pela

equac¸a\u2dco
\u2202u

\u2202t
= c

\u2202u

\u2202x
(8.4)

Esta pode ser resolvida utilizando-se os seguintes me´todos de discretizac¸a\u2dco, dentre

outros:

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 203

a) Euler expl´\u131cito

E´ um me´todo de primeira ordem no espac¸o e no tempo, portanto possui excessiva

dissipac¸a\u2dco. A Eq. (8.4) e´ discretizada como

un+1j \u2212 unj
\u2206t

= c
unj+1 \u2212 unj

\u2206x
.

b) Diferenc¸as ascendentes

E´ um me´todo expl´\u131cito de primeira ordem que pode ser escrito na forma

un+1j \u2212 unj
\u2206t

+ c
unj \u2212 unj\u22121

\u2206x
= 0.

c) LAX

E´ um me´todo de segunda ordem temporal. Conte´m erros de dissipac¸a\u2dco quando

\u3bd = c \u2206t\u2206x = 0. Resulta na forma

un+1j \u2212 (unj+1 \u2212 unj\u22121)/2
\u2206t

= c
unj+1 \u2212 unj\u22121

2\u2206x
.

d) Euler impl´\u131cito

E´ um me´todo de segunda ordem no espac¸o, sendo dissipativo para ondas inter-

media´rias e grandes. E´ dado por

un+1j \u2212 unj
\u2206t

= c
un+1j+1 \u2212 un+1j\u22121

2\u2206x
.

f) LAX-Wendroff

E´ um me´todo expl´\u131cito de segunda ordem no espac¸o e no tempo. Discretiza-se a

equac¸a\u2dco (8.4) como

un+1j = u
n
j \u2212

c

2

\u2206t

\u2206x

(
unj+1 \u2212 unj\u22121

)
+
c2

2

\u2206t2

\u2206x2
(
unj+1 \u2212 2unj + unj\u22121

)

204 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s

g) Upwind

E´ um me´todo de passo mu´ltiplo, impl´\u131cito de segunda ordem no espac¸o e no tempo.

E´ dado por

u\u2217n+1j = u
n
j + c

\u2206t

\u2206x

(
unj \u2212 unj\u22121

)
un+1j =

1

2

[
unj + u

\u2217n+1
j \u2212 c

\u2206t

\u2206x

(
u\u2217n+1j \u2212 u\u2217n+1j\u22121

)
\u2212 c\u2206t

\u2206x

(
unj \u2212 2unj\u22121 + unj\u22122

)]

Para a equac¸a\u2dco da onda unidimensional um esquema expl´\u131cito de segunda ordem,

como o LAX-Wendroff e o UPWIND, fornecem bons resultados com um esforc¸o

computacional m\u131´nimo.

8.4 Escolha de me´todos de soluc¸o\u2dces segundo a

classificac¸a\u2dco das EDP\u2019s

Uma vez observada a ordem de precisa\u2dco requerida: geralmente ordem 1 e´ pouco,

2 e´ bom e acima de dois e´ demais para problemas gerais em engenharia, discute-se

a escolha dos me´todos baseado no cara´cter da equac¸a\u2dco.

8.4.1 Equac¸o\u2dces Parabo´licas

Considere a equac¸a\u2dco diferencial

\u2202u

\u2202t
= \u3b1

\u22022u

\u2202t2
(8.5)

que representa, por exemplo, a distribuic¸a\u2dco de temperatura u em uma barra isolada

termicamente ao longo de x, no tempo t. Em tal problema, as temperaturas nos dois

extremos podem ser conhecidas ou estimadas.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 205

A soluc¸a\u2dco desta equac¸a\u2dco pode ser obtida via me´todo expl´\u131cito ou impl´\u131cito. Como

a equac¸a\u2dco e´ do tipo parabo´lica torna-se mais conveniente o emprego de um me´todo

impl´\u131cito como o de Crank-Nikolson.

Escreve-se a EDP conforme

(
\u2202U

\u2202t

)n
i+ 1

2

= c

(
\u22022U

\u2202x2

)n
i+ 1

2

que da aplicac¸a\u2dco de diferenc¸as finitas resulta

1

\u2206t

[
un+1i \u2212 uni

]
=

1

2\u2206x2
[
uni+1 \u2212 2uni + uni\u22121 + un+1i+1 \u2212 2un+1i + un+1i\u22121

]
reagrupando os termos obte´m-se

\u2212\u3bbun+1i\u22121 + (2 + 2\u3bb)un+1i \u2212 \u3bbun+1i+1 = \u3bbuni+1 + (2\u2212 2\u3bb)uni + \u3bbuni\u22121 (8.6)

onde \u3bb = c\u2206t/\u2206x2.

Exemplo 8.1: Considere que uma barra de 1m de certo material esteja inicial-

mente a temperatura de 0oC. Se, instantaneamente, a temperatura na extremidade

esquerda passa a 100oC, determine a temperatura da barra apo´s 10s, utilizando o

me´todo de Crank-Nikolson, usando \u2206x = 1/10 e \u3b1 = 1.

Ao selecionar o \u2206t verifica-se que a escolha cuidadosa de \u3bb permite simplificar a

equac¸a\u2dco (8.6). Escolhendo \u2206t = 1/10, por exemplo, tem-se \u3bb = 1 e o termo ui,n e´

removido. Enta\u2dco, a equac¸a\u2dco governante e´

\u2212un+1i\u22121 + 4un+1i \u2212 un+1i+1 = uni+1 + uni\u22121.

206 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s

Obtendo os valores de un+11 , u
n+1
2 ,u

n+1
3 , ..., u

n+1
9 e u

n+1
10 , o sistema de equac¸o\u2dces

correspondente pode ser escrito na forma matricial como

8>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>:

4 \u22121 0 0 0 0 0 0 0
\u22121 4 \u22121 0 0 0 0 0 0
0 \u22121 4 \u22121 0 0 0 0 0
0 0 \u22121 4 \u22121 0 0 0 0
0 0 0 \u22121 4 \u22121 0 0 0
0 0 0 0 \u22121 4 \u22121 0 0
0 0 0 0 0 \u22121 4 \u22121 0
0 0 0 0 0 0 \u22121 4 \u22121
0 0 0 0 0 0 0 \u22121 4

9>>>>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>>>>;

8>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>:

u1,j+1

u2,j+1

u3,j+1

u4,j+1

u5,j+1

u6,j+1

u7,j+1

u8,j+1

u9,j+1

9>>>>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>>>>;

=

8>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>:

u0,j + u2,j + u0,j+1

u1,j + u3,j

u2,j + u4,j

u3,j + u5,j

u4,j + u6,j

u5,j + u7,j

u6,j + u8,j

u7,j + u9,j

u8,j + u10,j + u10,j+1

9>>>>>>>>>>>>>>>=
>>>>>>>>>>>>>>>;

e para a soluc¸a\u2dco correspondente a cada passo \u2206t basta aplicar um me´todo para

resoluc¸a\u2dco do sistema linear visto na sec¸a\u2dco 3. Um dos me´todos mais eficientes para esta

situac¸a\u2dco e´ o TDMA - Three-diagonal matrix algorithm desenvolvido por Patankar.

A tabela (8.1) mostra os resultados obtidos nos primeiros 0,1s para cada ponto da

malha da citada barra.

Tabela 8.1: Me´todo de Crank-Nikolson aplicado ao exemplo 8.2
t [ x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0 1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1

0.01 1 0,5359 0,1436 0,0387 0,0110 0,0055 0,0110 0,0387 0,1436 0,5359 1
0.02 1 0,6189 0,3321 0,1349 0,0527 0,0319 0,0527 0,1349 0,3321 0,6189 1
0.03 1 0,6875 0,4181 0,2310 0,1212 0,0870 0,1212 0,2310 0,4181 0,6875 1
0.04 1 0,7264 0,4877 0,3056 0,1955 0,1583 0,1955 0,3056 0,4877 0,7264 1
0.05 1 0,7489 0,5080 0,2508 0,2322 0,2138 0,2322 0,2508 0,5080 0,7489 1
0.06 1 0,7614 0,5374 0,3886 0,2770 0,2546 0,2770 0,3886 0,5374 0,7614 1
0.07 1 0,7826 0,5929 0,4390 0,3488 0,3129 0,3488 0,4390 0,5929 0,7826 1
0.08 1 0,8058 0,6305 0,4945 0,4059 0,3773 0,4059 0,4945 0,6305 0,8058 1
0.09 1 0,8242 0,6664 0,5411 0,4617 0,4338 0,4617 0,5411 0,6664 0,8242 1
0.10 1 0,8410 0,6977 0,5843 0,5115 0,4866 0,5115 0,5843 0,6977 0,8410