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Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 207

8.4.2 Equac¸o\u2dces Hiperbo´licas

Em termos nume´ricos, as equac¸o\u2dces hiperbo´licas podem ser tratadas de forma semel-

hante as parabo´licas, ou seja, os me´todos aqui descritos poderiam ser empregados

para ambas as situac¸o\u2dces.

A equac¸a\u2dco da onda e´ um exemplo de equac¸a\u2dco diferencial parcial hiperbo´lica. Con-

sidere o PVI

c2
\u22022u

\u2202x2
=

\u22022u

\u2202t2
, 0 < x < a, t > 0

u(0, t) = 0, u(a, t) = 0 t > 0 (8.7)

u(x, 0) = f(x), u\u2032(x, 0) = g(x), 0 < x < a

Esse problema admite soluc¸a\u2dco u´nica se as func¸o\u2dces f e g te\u2c6m derivadas segundas

cont´\u131nuas no intervalo (0, a) e se f(a) = f(0) = 0. Para aproxima´-lo substitui-se as

duas derivadas parciais de segunda ordem pelas aproximac¸o\u2dces por diferenc¸as centrais

\u22022u

\u2202x2
=

un(x+h) \u2212 2un(x) + un(x\u2212h)
\u2206x2

\u22022u

\u2202t2
=

un+1(x) \u2212 2un(x) + un\u22121(x)
t2

Assim, substitui-se c2 \u2202
2u

\u2202x2
= \u2202

2u
\u2202t2

por

c2

[
un(x+h) \u2212 2un(x) + un(x\u2212h)

\u2206x2

]
=

[
un+1(x) \u2212 2un(x) + un\u22121(x)

\u2206t2

]
. (8.8)

Fazendo \u3bb = ch , (8.8) pode ser expressa como

un+1i = \u3bb
2uni+1 + 2(1\u2212 \u3bb2)uni + \u3bb2uni\u22121 \u2212 un\u22121i (8.9)

para i = 1, 2, ..., n \u2212 1. Este procedimento implica em menos limitac¸o\u2dces quanto a`
complexidade das func¸o\u2dces f e g.

208 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s

O me´todo nume´rico empregado na equac¸a\u2dco (8.9) e´ expl´\u131cito de diferenc¸as finitas.

Sendo assim, utiliza-se a equac¸a\u2dco de diferenc¸as para aproximar a soluc¸a\u2dco u(x, t) de

(8.7) na regia\u2dco retangular no plano [x, t], definida por 0 \u2264 x \u2264 a, 0 \u2264 t \u2264 T . Se n e
m sa\u2dco inteiros positivos, enta\u2dco

\u2206x =
a

n
e \u2206t =

T

m
.

Exemplo 8.2: Aproxime a soluc¸a\u2dco do problema de contorno

c2
\u22022u

\u2202x2
=

\u22022u

\u2202t2
, 0 < x < 1, 0 < t < 1

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 0 \u2264 t \u2264 1
u(x, 0) = sen\u3c0x, u\u2032(x, 0) = 0, 0 < x < 1

utilizando (8.9) com n = 5, m = 20 e c = 2.

Soluc¸~ao: a influe\u2c6ncia das variac¸o\u2dces temporais forem grandes, o que pode ser

indicado pela ordem da derivada temporal, o emprego de um me´todo expl´\u131cito torna-

se mais conveniente. Com n = 5 e m = 5, obte´m-se \u2206x = 1/5 e \u2206t = 1/20 e \u3bb = 0.5.

Assim,

uni = 0.125(u
0
i+1 + u

0
i\u22121) + 0.75u

0
i (8.10)

un+1i = 0.25u
n
i+1 + 1.5u

n
i + 0.25u

n
i\u22121 \u2212 un\u22121i . (8.11)

Com as condic¸o\u2dces de contorno, as condic¸o\u2dces iniciais e os dados obtidos em (8.10),

decorrem dessas equac¸o\u2dces as aproximac¸o\u2dces para u no tempo. A tabela 8.2 resume

esses resultados e os ca´lculos restantes. Ve\u2c6-se que a soluc¸a\u2dco exata do problema e´

u(x, t) = sin\u3c0x cos\u3c0t [12]. Com essa func¸a\u2dco, podemos comparar os resultados exatos

com os valores aproximados obtendo-se o erro.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 209

Tabela 8.2: Soluc¸a\u2dco do problema de contorno
Tempo x = 0.00 x = 0.20 x = 0.40 x = 0.60 x = 0.80 x = 1.00
0.00 0.0000 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0000
0.05 0.0000 0.5597 0.9056 0.9056 0.5597 0.0000
0.10 0.0000 0.4782 0.7738 0.7738 0.4782 0.0000
0.15 0.0000 0.3510 0.5680 0.5680 0.3510 0.0000
0.20 0.0000 0.1903 0.3080 0.3080 0.1903 0.0000
0.25 0.0000 0.0115 0.0185 0.0185 0.0115 0.0000
0.30 0.0000 -0.1685 -0.2727 -0.2727 -0.1685 0.0000
0.35 0.0000 -0.3324 -0.5378 -0.5378 -0.3324 0.0000
0.40 0.0000 -0.4645 -0.7516 -0.7516 -0.4645 0.0000
0.45 0.0000 -0.5523 -0.8936 -0.8936 -0.5523 0.0000
0.50 0.0000 -0.5873 -0.9503 -0.9503 -0.5873 0.0000
0.55 0.0000 -0.5663 -0.9163 -0.9163 -0.5663 0.0000
0.60 0.0000 -0.4912 -0.7947 -0.7947 -0.4912 0.0000
0.65 0.0000 -0.3691 -0.5973 -0.5973 -0.3691 0.0000
0.70 0.0000 -0.2119 -0.2119 -0.2119 -0.2119 0.0000
0.75 0.0000 -0.0344 -0.0344 -0.0344 -0.0344 0.0000
0.80 0.0000 0.1464 0.1464 0.1464 0.1464 0.0000
0.85 0.0000 0.3132 0.5068 0.5068 0.3132 0.0000
0.90 0.0000 0.4501 0.7283 0.7283 0.4501 0.0000
0.95 0.0000 0.5440 0.8803 0.8803 0.5440 0.0000
1.00 0.0000 0.5860 0.9482 0.9482 0.5860 0.0000

Exato Aproximado Erro

u(0.4,0.25) = 0.0000 u25 = 0.0185 1.0000

u(0.6,0.3) = -0.2939 u36 = -0.2727 0.0777

u(0.2,0.5) = -0.5878 u1,10 = -0.5873 8.5× 10\u22124
u(0.8,0.7) = -0.1816 u4,14 = -0.2119 0.1430

Note que o me´todo de Jacobi expl´\u131cito em diferenc¸as finitas para a equac¸a\u2dco da

onda e´ esta´vel quando \u3bb \u2264 1 e insta´vel quando \u3bb > 1. Deixa-se a aplicac¸a\u2dco de um
me´todo impl´\u131cito a` equac¸a\u2dco da onda para o leitor interessado.

210 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s

8.4.3 Equac¸o\u2dces El´\u131pticas

Indica-se as equac¸o\u2dces de Laplace e Poisson como sendo representativas de equac¸o\u2dces

el´\u131pticas pelos inu´meros feno\u2c6menos f´\u131sicos que elas podem representar. Estas sa\u2dco

dadas por

Poisson \u22072\u3a8 = f
Laplace \u22072\u3a8 = 0.

No que segue, uma discussa\u2dco em diferenc¸as finitas para a soluc¸a\u2dco das mesmas e´

apresentado. Considere a equac¸a\u2dco de Laplace para o caso bidimensional, com aprox-

imac¸o\u2dces em diferenc¸as finitas centrais para as derivadas parciais segundas uxx e uyy,

dadas por
\u22022u

\u2202x2
\u2248 1

2h2
[u(x+ h, y)\u2212 2u(x, y) + u(x\u2212 h, y)] (8.12)

\u22022u

\u2202y2
\u2248 1

2h2
[u(x, y + h)\u2212 2u(x, y) + u(x, y \u2212 h)] (8.13)

Somando (8.12) e (8.13), obte´m-se a aproximac¸a\u2dco

\u22022u

\u2202x2
+
\u22022u

\u2202y2
=

1

2h2
[u(x+ h, y) + u(x, y + h)\u2212 4u(x, y) + u(x\u2212 h, y) + u(x, y \u2212 h)]

Logo, podemos substituir a equac¸a\u2dco de Laplace \u2202
2u

\u2202x2
+ \u2202

2u
\u2202y2

= 0 pela equac¸a\u2dco de

diferenc¸as

u(x+ h, y) + u(x, y + h)\u2212 4u(x, y) + u(x\u2212 h, y) + u(x, y \u2212 h) = 0 (8.14)

Adota-se a notac¸a\u2dco u(x, y) = ui,j e, neste caso, escreve-se (8.14) da seguinte forma

ui+1,j + ui,j+1 \u2212 4ui,j + ui\u22121,j + ui,j\u22121 = 0. (8.15)

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 211

Para melhor compreender a equac¸a\u2dco (8.15), considere uma malha consistindo de

retas horizontais espac¸adas de h unidades e retas verticais tambe´m espac¸adas de

h unidades, colocada sobre uma regia\u2dco S delimitada por uma curva C, em que se

procura uma soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco de Laplace. (Veja a figura 8.2). Os pontos de

Figura 8.2: Representac¸a\u2dco esquema´tica dos pontos na malha

intersecc¸a\u2dco das retas, Pi,j = P (ih, jh), com i inteiro e j inteiros, sa\u2dco chamados de

pontos da malha. De (8.15) ve\u2c6-se que

ui,j =
1

4
(ui+1,j + ui,j+1 + ui\u22121,j + ui,j\u22121) . (8.16)

conforme a Fig. 8.2; o valor de ui,j em um ponto e´ a me´dia dos valores de u nos

quatro pontos vizinhos.

Exemplo 8.3: Determine a temperatura em estado estaciona´rio u(x, y) de uma

placa retangular com as seguintes condic¸o\u2dces de contorno

\u22022u

\u2202x2
+
\u22022u

\u2202y2
= 0 0 < x < 2, 0 < y < 2

u(0, y) = 0, u(2, y) = 0, 0 < y < 2

u(x, 2) = 0, u(x, 0) = sen
\u3c0x

2

Soluc¸~ao: Para aplicar o me´todo de Gauss-Seidel, em diferenc¸as finitas, escolhe-se

212 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s

Figura 8.3: Placa retangular e condic¸o\u2dces de contorno

\u2206x = \u2206y = 1/2. Como se ve\u2c6 na figura 8.3, essa escolha fornece 9 pontos interiores

e 16 pontos de fronteira. Os valores nos pontos de fronteira sa\u2dco os valores exatos de

u obtidos das condic¸o\u2dces especificadas ao longo daquele contorno; aplica-se (8.14) a

cada ponto interior. Por exemplo, em P1,1 tem-se i = 1 e j = 1, de forma que (8.14)

se escreve como

u1,1 + u1,2 \u2212 4u1,1 + u1,0 + u0,1 = 0

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 213

Como u0,1 = 0 e u1,0 =
\u221a
2/2, a equac¸a\u2dco precedente se torna \u22124u1,1 + u2,1 + u1,2 =\u221a

2/2. Repetindo o processo nos demais pontos, obte´m-se as equac¸o\u2dces adicionais

4u1,1 \u2212 u2,1 \u2212 u1,2 =
\u221a
2/2

\u2212u1,1 + 4u1,2 \u2212 u2,2 \u2212 u1,3 = 1
\u2212u1,2 + 4u1,3 \u2212 u2,3 =

\u221a
2/2

\u2212u1,1 + 4u2,1 \u2212 u3,1 \u2212 u2,2 = 0
\u2212u1,2 \u2212 u2,1 + 4u2,2 \u2212 u2,3 \u2212 u3,2 = 0

\u2212u1,3 \u2212 u2,2 + 4u2,3 \u2212 u3,3 = 0
\u2212u2,1 \u2212 u3,2 + 4u3,1 = 0

\u2212u2,2 \u2212 u3,1 + 4u3,2 \u2212 u3,3 = 0
\u2212u2,3 \u2212 u3,2 + 4u3,3 = 0

Resolvendo-se o sistema, obte´m-se as temperaturas aproximadas nos quatro pontos

interiores:

u1,1 = 0, 3363 u1,2 = 0, 4730 u1,3 = 0, 33368,

u2,1 = 0, 1657 u2,2 = 0, 2227 u2,3 = 0, 15485,

u3,1