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1 Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 207 8.4.2 Equac¸o\u2dces Hiperbo´licas Em termos nume´ricos, as equac¸o\u2dces hiperbo´licas podem ser tratadas de forma semel- hante as parabo´licas, ou seja, os me´todos aqui descritos poderiam ser empregados para ambas as situac¸o\u2dces. A equac¸a\u2dco da onda e´ um exemplo de equac¸a\u2dco diferencial parcial hiperbo´lica. Con- sidere o PVI c2 \u22022u \u2202x2 = \u22022u \u2202t2 , 0 < x < a, t > 0 u(0, t) = 0, u(a, t) = 0 t > 0 (8.7) u(x, 0) = f(x), u\u2032(x, 0) = g(x), 0 < x < a Esse problema admite soluc¸a\u2dco u´nica se as func¸o\u2dces f e g te\u2c6m derivadas segundas cont´\u131nuas no intervalo (0, a) e se f(a) = f(0) = 0. Para aproxima´-lo substitui-se as duas derivadas parciais de segunda ordem pelas aproximac¸o\u2dces por diferenc¸as centrais \u22022u \u2202x2 = un(x+h) \u2212 2un(x) + un(x\u2212h) \u2206x2 \u22022u \u2202t2 = un+1(x) \u2212 2un(x) + un\u22121(x) t2 Assim, substitui-se c2 \u2202 2u \u2202x2 = \u2202 2u \u2202t2 por c2 [ un(x+h) \u2212 2un(x) + un(x\u2212h) \u2206x2 ] = [ un+1(x) \u2212 2un(x) + un\u22121(x) \u2206t2 ] . (8.8) Fazendo \u3bb = ch , (8.8) pode ser expressa como un+1i = \u3bb 2uni+1 + 2(1\u2212 \u3bb2)uni + \u3bb2uni\u22121 \u2212 un\u22121i (8.9) para i = 1, 2, ..., n \u2212 1. Este procedimento implica em menos limitac¸o\u2dces quanto a` complexidade das func¸o\u2dces f e g. 208 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s O me´todo nume´rico empregado na equac¸a\u2dco (8.9) e´ expl´\u131cito de diferenc¸as finitas. Sendo assim, utiliza-se a equac¸a\u2dco de diferenc¸as para aproximar a soluc¸a\u2dco u(x, t) de (8.7) na regia\u2dco retangular no plano [x, t], definida por 0 \u2264 x \u2264 a, 0 \u2264 t \u2264 T . Se n e m sa\u2dco inteiros positivos, enta\u2dco \u2206x = a n e \u2206t = T m . Exemplo 8.2: Aproxime a soluc¸a\u2dco do problema de contorno c2 \u22022u \u2202x2 = \u22022u \u2202t2 , 0 < x < 1, 0 < t < 1 u(0, t) = 0, u(1, t) = 0 0 \u2264 t \u2264 1 u(x, 0) = sen\u3c0x, u\u2032(x, 0) = 0, 0 < x < 1 utilizando (8.9) com n = 5, m = 20 e c = 2. Soluc¸~ao: a influe\u2c6ncia das variac¸o\u2dces temporais forem grandes, o que pode ser indicado pela ordem da derivada temporal, o emprego de um me´todo expl´\u131cito torna- se mais conveniente. Com n = 5 e m = 5, obte´m-se \u2206x = 1/5 e \u2206t = 1/20 e \u3bb = 0.5. Assim, uni = 0.125(u 0 i+1 + u 0 i\u22121) + 0.75u 0 i (8.10) un+1i = 0.25u n i+1 + 1.5u n i + 0.25u n i\u22121 \u2212 un\u22121i . (8.11) Com as condic¸o\u2dces de contorno, as condic¸o\u2dces iniciais e os dados obtidos em (8.10), decorrem dessas equac¸o\u2dces as aproximac¸o\u2dces para u no tempo. A tabela 8.2 resume esses resultados e os ca´lculos restantes. Ve\u2c6-se que a soluc¸a\u2dco exata do problema e´ u(x, t) = sin\u3c0x cos\u3c0t [12]. Com essa func¸a\u2dco, podemos comparar os resultados exatos com os valores aproximados obtendo-se o erro. Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 209 Tabela 8.2: Soluc¸a\u2dco do problema de contorno Tempo x = 0.00 x = 0.20 x = 0.40 x = 0.60 x = 0.80 x = 1.00 0.00 0.0000 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0000 0.05 0.0000 0.5597 0.9056 0.9056 0.5597 0.0000 0.10 0.0000 0.4782 0.7738 0.7738 0.4782 0.0000 0.15 0.0000 0.3510 0.5680 0.5680 0.3510 0.0000 0.20 0.0000 0.1903 0.3080 0.3080 0.1903 0.0000 0.25 0.0000 0.0115 0.0185 0.0185 0.0115 0.0000 0.30 0.0000 -0.1685 -0.2727 -0.2727 -0.1685 0.0000 0.35 0.0000 -0.3324 -0.5378 -0.5378 -0.3324 0.0000 0.40 0.0000 -0.4645 -0.7516 -0.7516 -0.4645 0.0000 0.45 0.0000 -0.5523 -0.8936 -0.8936 -0.5523 0.0000 0.50 0.0000 -0.5873 -0.9503 -0.9503 -0.5873 0.0000 0.55 0.0000 -0.5663 -0.9163 -0.9163 -0.5663 0.0000 0.60 0.0000 -0.4912 -0.7947 -0.7947 -0.4912 0.0000 0.65 0.0000 -0.3691 -0.5973 -0.5973 -0.3691 0.0000 0.70 0.0000 -0.2119 -0.2119 -0.2119 -0.2119 0.0000 0.75 0.0000 -0.0344 -0.0344 -0.0344 -0.0344 0.0000 0.80 0.0000 0.1464 0.1464 0.1464 0.1464 0.0000 0.85 0.0000 0.3132 0.5068 0.5068 0.3132 0.0000 0.90 0.0000 0.4501 0.7283 0.7283 0.4501 0.0000 0.95 0.0000 0.5440 0.8803 0.8803 0.5440 0.0000 1.00 0.0000 0.5860 0.9482 0.9482 0.5860 0.0000 Exato Aproximado Erro u(0.4,0.25) = 0.0000 u25 = 0.0185 1.0000 u(0.6,0.3) = -0.2939 u36 = -0.2727 0.0777 u(0.2,0.5) = -0.5878 u1,10 = -0.5873 8.5× 10\u22124 u(0.8,0.7) = -0.1816 u4,14 = -0.2119 0.1430 Note que o me´todo de Jacobi expl´\u131cito em diferenc¸as finitas para a equac¸a\u2dco da onda e´ esta´vel quando \u3bb \u2264 1 e insta´vel quando \u3bb > 1. Deixa-se a aplicac¸a\u2dco de um me´todo impl´\u131cito a` equac¸a\u2dco da onda para o leitor interessado. 210 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s 8.4.3 Equac¸o\u2dces El´\u131pticas Indica-se as equac¸o\u2dces de Laplace e Poisson como sendo representativas de equac¸o\u2dces el´\u131pticas pelos inu´meros feno\u2c6menos f´\u131sicos que elas podem representar. Estas sa\u2dco dadas por Poisson \u22072\u3a8 = f Laplace \u22072\u3a8 = 0. No que segue, uma discussa\u2dco em diferenc¸as finitas para a soluc¸a\u2dco das mesmas e´ apresentado. Considere a equac¸a\u2dco de Laplace para o caso bidimensional, com aprox- imac¸o\u2dces em diferenc¸as finitas centrais para as derivadas parciais segundas uxx e uyy, dadas por \u22022u \u2202x2 \u2248 1 2h2 [u(x+ h, y)\u2212 2u(x, y) + u(x\u2212 h, y)] (8.12) \u22022u \u2202y2 \u2248 1 2h2 [u(x, y + h)\u2212 2u(x, y) + u(x, y \u2212 h)] (8.13) Somando (8.12) e (8.13), obte´m-se a aproximac¸a\u2dco \u22022u \u2202x2 + \u22022u \u2202y2 = 1 2h2 [u(x+ h, y) + u(x, y + h)\u2212 4u(x, y) + u(x\u2212 h, y) + u(x, y \u2212 h)] Logo, podemos substituir a equac¸a\u2dco de Laplace \u2202 2u \u2202x2 + \u2202 2u \u2202y2 = 0 pela equac¸a\u2dco de diferenc¸as u(x+ h, y) + u(x, y + h)\u2212 4u(x, y) + u(x\u2212 h, y) + u(x, y \u2212 h) = 0 (8.14) Adota-se a notac¸a\u2dco u(x, y) = ui,j e, neste caso, escreve-se (8.14) da seguinte forma ui+1,j + ui,j+1 \u2212 4ui,j + ui\u22121,j + ui,j\u22121 = 0. (8.15) Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 211 Para melhor compreender a equac¸a\u2dco (8.15), considere uma malha consistindo de retas horizontais espac¸adas de h unidades e retas verticais tambe´m espac¸adas de h unidades, colocada sobre uma regia\u2dco S delimitada por uma curva C, em que se procura uma soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco de Laplace. (Veja a figura 8.2). Os pontos de Figura 8.2: Representac¸a\u2dco esquema´tica dos pontos na malha intersecc¸a\u2dco das retas, Pi,j = P (ih, jh), com i inteiro e j inteiros, sa\u2dco chamados de pontos da malha. De (8.15) ve\u2c6-se que ui,j = 1 4 (ui+1,j + ui,j+1 + ui\u22121,j + ui,j\u22121) . (8.16) conforme a Fig. 8.2; o valor de ui,j em um ponto e´ a me´dia dos valores de u nos quatro pontos vizinhos. Exemplo 8.3: Determine a temperatura em estado estaciona´rio u(x, y) de uma placa retangular com as seguintes condic¸o\u2dces de contorno \u22022u \u2202x2 + \u22022u \u2202y2 = 0 0 < x < 2, 0 < y < 2 u(0, y) = 0, u(2, y) = 0, 0 < y < 2 u(x, 2) = 0, u(x, 0) = sen \u3c0x 2 Soluc¸~ao: Para aplicar o me´todo de Gauss-Seidel, em diferenc¸as finitas, escolhe-se 212 Cap´\u131tulo 8 - Soluc¸a\u2dco Nume´rica de EDP\u2019s Figura 8.3: Placa retangular e condic¸o\u2dces de contorno \u2206x = \u2206y = 1/2. Como se ve\u2c6 na figura 8.3, essa escolha fornece 9 pontos interiores e 16 pontos de fronteira. Os valores nos pontos de fronteira sa\u2dco os valores exatos de u obtidos das condic¸o\u2dces especificadas ao longo daquele contorno; aplica-se (8.14) a cada ponto interior. Por exemplo, em P1,1 tem-se i = 1 e j = 1, de forma que (8.14) se escreve como u1,1 + u1,2 \u2212 4u1,1 + u1,0 + u0,1 = 0 Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 213 Como u0,1 = 0 e u1,0 = \u221a 2/2, a equac¸a\u2dco precedente se torna \u22124u1,1 + u2,1 + u1,2 =\u221a 2/2. Repetindo o processo nos demais pontos, obte´m-se as equac¸o\u2dces adicionais 4u1,1 \u2212 u2,1 \u2212 u1,2 = \u221a 2/2 \u2212u1,1 + 4u1,2 \u2212 u2,2 \u2212 u1,3 = 1 \u2212u1,2 + 4u1,3 \u2212 u2,3 = \u221a 2/2 \u2212u1,1 + 4u2,1 \u2212 u3,1 \u2212 u2,2 = 0 \u2212u1,2 \u2212 u2,1 + 4u2,2 \u2212 u2,3 \u2212 u3,2 = 0 \u2212u1,3 \u2212 u2,2 + 4u2,3 \u2212 u3,3 = 0 \u2212u2,1 \u2212 u3,2 + 4u3,1 = 0 \u2212u2,2 \u2212 u3,1 + 4u3,2 \u2212 u3,3 = 0 \u2212u2,3 \u2212 u3,2 + 4u3,3 = 0 Resolvendo-se o sistema, obte´m-se as temperaturas aproximadas nos quatro pontos interiores: u1,1 = 0, 3363 u1,2 = 0, 4730 u1,3 = 0, 33368, u2,1 = 0, 1657 u2,2 = 0, 2227 u2,3 = 0, 15485, u3,1