Calculo Numerico
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de bases, funcionam da seguinte forma:

\u2022 Da base decimal para a bina´ria: Usa-se o processo do resto da divisa\u2dco suces-
siva por 2, conforme

(346)10 = (101011010)2 = 0.2
0 + 1.21 + 0.22 + 1.23 + 1.24 + 0.25 + 1.26 + 0.27 + 1.28

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 19

\u2022 Da base bina´ria para a decimal: procede-se conforme

(100011)2 = (35)10 = 1.2
0 + 1.21 + 0.22 + 0.23 + 0.24 + 1.25

1.4 Exerc´\u131cios

1. Calcular as ra´\u131zes da equac¸a\u2dco x2 + 75x+ 3 = 0 com precisa\u2dco de tre\u2c6s d´\u131gitos

significativos e arredondamento por corte.

2. Calcule a soluc¸a\u2dco dos sistemas de equac¸o\u2dces lineares:

a)

{
x + 3 y = 11

1, 5 x+ 4, 501 y = 16, 503
b)

{
x + 3 y = 11

1, 5 x+ 4, 501 y = 16, 501

Compare e interprete os resultados obtidos.

O pro´ximo cap´\u131tulo trata da localizac¸a\u2dco de ra´\u131zes de func¸o\u2dces. Descreve-se

alguns conceitos fundamentais e processos iterativos, tanto para o ca´lculo de

ra´\u131zes reais como complexas.

20 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

2 LOCALIZAC¸A\u2dcO DE ZEROS DE

FUNC¸O\u2dcES

Existem fo´rmulas, procedimentos, para obter ra´\u131zes de polino\u2c6mios de terceiro

e quarto grau, assim como ha´ a Bhaskara para polino\u2c6mios de segundo grau.

Para polino\u2c6mios de graus superiores a 4 os me´todos sa\u2dco do tipo iterativo;

muitas vezes preferidos tambe´m para polino\u2c6mios da ordem 3 e 4. Um me´todo

iterativo consiste de uma fo´rmula de recorre\u2c6ncia xi = f(xi\u22121), i = 1, 2, ..., n

com um certo valor inicial para x igual a x0.

Diz-se que x¯ e´ uma raiz ou zero de uma func¸a\u2dco f(x) quando f(x¯) = 0. Ta\u2dco

importante quanto a sua determinac¸a\u2dco (dos zeros) e´ a sua enumerac¸a\u2dco, que

consiste em dizer quantos sa\u2dco e de que tipo o sa\u2dco (reais ou complexas). Para

polino\u2c6mios de grau n, n ra´\u131zes existem, podendo os mesmos serem reais ou

complexas, diferentes ou na\u2dco, conforme assegura o teorema fundamental da

a´lgebra. Determinar se as ra´\u131zes sa\u2dco distintas ou na\u2dco e reais ou complexas

na\u2dco e´ uma tarefa sempre trivial. Para func¸o\u2dces que contenham senos, cossenos,

etc (transcendentais), o nu´mero de ra´\u131zes pode ser inclusive infinito e a sua

determinac¸a\u2dco uma tarefa mais elaborada. Se forem infinitas e´ normalmente

necessa´rio selecionar apenas as mais importantes e para isso exige-se entendi-

mento do problema sendo resolvido.

2.1 Regras para determinac¸a\u2dco das ra´\u131zes de func¸o\u2dces

Teorema de Bolzano: auxilia na determinac¸a\u2dco do nu´mero de ra´\u131zes num

intervalo.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 21

Seja f uma func¸a\u2dco cont´\u131nua em um intervalo [a, b].

1. Se f(a)f(b) < 0, enta\u2dco existe um nu´mero \u131´mpar (1, 3, 5, . . . ) de ra´\u131zes reais

em [a, b].

2. Se f(a)f(b) > 0, enta\u2dco existe um nu´mero par (0, 2, 4, . . . ) de ra´\u131zes reais

em [a, b].

3. Supondo que f e sua derivada f
\u2032

sejam cont´\u131nuas em [a, b] e que o sinal

de f
\u2032

seja constante neste intervalo tem-se:

- se f(a)f(b) < 0, enta\u2dco existe uma u´nica raiz real em [a, b];

- se f(a)f(b) > 0, enta\u2dco na\u2dco existe raiz real em [a, b];

Exemplo 2.1: Indique, graficamente, o intervalo que conte\u2c6m a ra´\u131z real da func¸a\u2dco

f(x) = x2 \u2212 sen(x)
Soluc¸~ao: A ra´\u131zes reais encontram-se no intervalo [-0,2;1], conforme mostra a Fig.

2.1.

Figura 2.1: Gra´fico de f(x) = x2 \u2212 sen(x).

22 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

Seja o polino\u2c6mio

Pn(x) = anx
n + an\u22121xn\u22121 + ...+ a2x2 + a1x1 + a0.

Deseja-se determinar a quantidade de ra´\u131zes reais e complexas de Pn(x). Um

polino\u2c6mio Pn(x) tem exatamente n ra´\u131zes reais e complexas. Se os coeficientes

de P (x) sa\u2dco reais, as ra´\u131zes complexas ocorrera\u2dco aos pares.

Regra de Descartes: Seja T o nu´mero de trocas de coeficientes. Enta\u2dco

P (x) = 0 tem T ou (T \u2212 2) ou (T \u2212 4) ... ra´\u131zes reais positivas.

Exemplo 2.2: Indique o nu´mero de ra´\u131zes positivas e negativas de p (x) = 3x3 +

2x2 \u2212 x\u2212 1.
Soluc¸~ao: Pela regra de Descartes os sinais de p(x) sa\u2dco + + \u2212\u2212. Sendo T = 1

pode-se afirmar que p (x) tem uma raiz real positiva. Para p (\u2212x) = \u22123x3+2x2+x\u22121,
T = 2, de onde se conclui que o nu´mero de ra´\u131zes negativas de p (x) pode ser 2 ou 0.

Desta forma conclui-se que o polino\u2c6mio p(x) podera´ ter

\u2022 1 raiz real positiva;
\u2022 2 ra´\u131zes reais negativas;
\u2022 1 raiz complexa conjugada.

Existem algumas regras para enumerac¸a\u2dco de ra´\u131zes complexas de uma equac¸a\u2dco

polinomial; dentre elas considere:

Regra da lacuna: Esta regra serve para a avaliac¸a\u2dco de ra´\u131zes complexas

de um polino\u2c6mio de grau n. Se os coeficientes de p (x) sa\u2dco todos reais e para

algum k, 1 \u2264 k < n existir

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 23

a) ak = 0 e ak\u22121ak+1 > 0, enta\u2dco p (x) tera´ ra´\u131zes complexas.

b)dois ou mais coeficientes nulos sucessivos, enta\u2dco p (x) = 0 tem ra´\u131zes com-

plexas.

Exemplo 2.3: Indique se as ra´\u131zes de p (x) = 2x4+3x3+x2\u2212 2x+3 sa\u2dco positivas
ou negativas ou complexas.

Soluc¸~ao: Aplicando a regra de Descartes para p(x) temos T = 2, o que indica

a existe\u2c6ncia de duas ou nenhuma ra´\u131z real positiva. Para p(\u2212x) tem-se tambe´m
T = 2, implicando que p(x) tem duas ou nenhuma raiz real negativa. A regra da

lacuna na\u2dco satisfaz as condic¸o\u2dces necessa´rias para inferir se as ra´\u131zes sa\u2dco complexas ou

na\u2dco. Atrave´s do gra´fico pode-se ter uma indicac¸a\u2dco da existe\u2c6ncia de ra´\u131zes complexas,

quando o gra´fico tiver um ponto de m\u131´nimo sem trocar o eixo das abscissas.

As regras discutidas anteriormente na\u2dco permitem a determinac¸a\u2dco da regia\u2dco onde

as ra´\u131zes se encontram. Existem te´cnicas que podem ser aplicadas para este fim, que

sa\u2dco indicadas a seguir.

Cota de Fujiwara e Kojima: Seja \u3b1 uma ra´\u131z de p(x) = 0; enta\u2dco pela cota de

Fujiwara tem-se

\u3ba =

{\u2223\u2223\u2223\u2223an\u22121an
\u2223\u2223\u2223\u2223 , \u2223\u2223\u2223\u2223an\u22122an

\u2223\u2223\u2223\u22231/2 , \u2223\u2223\u2223\u2223an\u22123an
\u2223\u2223\u2223\u22231/3 , ..., \u2223\u2223\u2223\u2223 a1an

\u2223\u2223\u2223\u22231/n\u22121 , \u2223\u2223\u2223\u2223a0an
\u2223\u2223\u2223\u22231/n

}

|\u3b1| \u2264 2max {\u3ba}

e pela cota de Kojima

|\u3b1| \u2264 (q1 + q2)
q1 e q2 = max {\u3ba}

24 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

Observe que a cota de Kojima corresponde a uma melhor estimativa deste intervalo.

Exemplo 2.5: Determinar a regia\u2dco do plano onde se encontram as ra´\u131zes de p(x) =

x4 + x2 \u2212 3x+ 2 pela cota de Kojima.
Soluc¸~ao: Pela cota de Kojima resulta

|\u3b1| \u2264 q1 + q2 = max
{
|0|1 , |1|1/2 , |\u22123|1/3 , |2|1/4

}
\u2264 |\u22123|1/3 + |2|1/4

|\u3b1| \u223c 2, 63

Cota de Cauchy: Semelhante as cotas anteriores; as ra´\u131zes reais ou complexas

de P (x) satisfazem |\u3b1| \u2264 \u3b3, sendo \u3b3 dado por

\u3b3 = lim
i\u2192\u221e

xi, com x0 = 0.

e

xi =

{\u2223\u2223\u2223\u2223 a1a0
\u2223\u2223\u2223\u2223xn\u22121i\u22121 + \u2223\u2223\u2223\u2223 a2a0

\u2223\u2223\u2223\u2223 xn\u22122i\u22121 + · · ·+ \u2223\u2223\u2223\u2223 an\u22121a0
\u2223\u2223\u2223\u2223x1i\u22121 + \u2223\u2223\u2223\u2223 ana0

\u2223\u2223\u2223\u2223 } 1n .

Exemplo 2.6: Determinar o intervalo onde se encontram as ra´\u131zes de p (x) =

x4 + x2 \u2212 3x+ 2 pela cota de Cauchy.
Soluc¸~ao: Tem-se, supondo x0 = 0

xi+1 =
{
x2i + 3xi + 2

} 1
4 ,

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 25

o que implica em

x1 = 1, 19

x2 = 1, 62

x3 = 1, 76

x4 = 1, 79

x5 = 1, 80

x6 = 1, 80

Desta forma, |\u3b1 | \u2264 1, 80.
Observe que na\u2dco vale a pena introduzir mais casas apo´s a v´\u131rgula quando da

estimativa do intervalo que conte´m as ra´\u131zes de uma func¸a\u2dco.

2.1.1 Exerc´\u131cios

1. Aplique as regras de Descartes e da lacuna ao polino\u2c6mio p (x) = 2x4 \u2212 x3 + 4x2 \u2212
3x+ 7.

2. Enumerar e localizar as ra´\u131zes de p (x) = x5 + x4 \u2212 9x3 \u2212 x2 + 20x\u2212 12 = 0.

3. Estimar a localizac¸a\u2dco das ra´\u131zes das p (x) = x5+x4\u22129x3\u2212x2+20x\u221212 utilizando
as cotas de Kojima e Cauchy.

4. Utilizar o me´todo gra´fico e o teorema de Bolzano para indicar as ra´\u131zes as seguintes

func¸o\u2dces:

a)f(x) = x2 + e3x \u2212 3

26 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

b) f(x) = e\u2212x \u2212 x;

c) f(x) = sen(x)\u2212 2e\u2212\u3bbx.

2.2 Processos Iterativos

Considera-se como processo iterativo todo procedimento que calcula uma sequ¨e\u2c6ncia

de aproximac¸o\u2dces x1, x2, ... da soluc¸a\u2dco desejada. O ca´lculo de uma nova aproximac¸a\u2dco

e´ feito em func¸a\u2dco das aproximac¸o\u2dces anteriores. Dentre estes processos,