Calculo Numerico
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Calculo Numerico


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de bases, funcionam da seguinte forma:
\u2022 Da base decimal para a bina´ria: Usa-se o processo do resto da divisa\u2dco suces-
siva por 2, conforme
(346)10 = (101011010)2 = 0.2
0 + 1.21 + 0.22 + 1.23 + 1.24 + 0.25 + 1.26 + 0.27 + 1.28
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 19
\u2022 Da base bina´ria para a decimal: procede-se conforme
(100011)2 = (35)10 = 1.2
0 + 1.21 + 0.22 + 0.23 + 0.24 + 1.25
1.4 Exerc´\u131cios
1. Calcular as ra´\u131zes da equac¸a\u2dco x2 + 75x+ 3 = 0 com precisa\u2dco de tre\u2c6s d´\u131gitos
significativos e arredondamento por corte.
2. Calcule a soluc¸a\u2dco dos sistemas de equac¸o\u2dces lineares:
a)
{
x + 3 y = 11
1, 5 x+ 4, 501 y = 16, 503
b)
{
x + 3 y = 11
1, 5 x+ 4, 501 y = 16, 501
Compare e interprete os resultados obtidos.
O pro´ximo cap´\u131tulo trata da localizac¸a\u2dco de ra´\u131zes de func¸o\u2dces. Descreve-se
alguns conceitos fundamentais e processos iterativos, tanto para o ca´lculo de
ra´\u131zes reais como complexas.
20 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces
2 LOCALIZAC¸A\u2dcO DE ZEROS DE
FUNC¸O\u2dcES
Existem fo´rmulas, procedimentos, para obter ra´\u131zes de polino\u2c6mios de terceiro
e quarto grau, assim como ha´ a Bhaskara para polino\u2c6mios de segundo grau.
Para polino\u2c6mios de graus superiores a 4 os me´todos sa\u2dco do tipo iterativo;
muitas vezes preferidos tambe´m para polino\u2c6mios da ordem 3 e 4. Um me´todo
iterativo consiste de uma fo´rmula de recorre\u2c6ncia xi = f(xi\u22121), i = 1, 2, ..., n
com um certo valor inicial para x igual a x0.
Diz-se que x¯ e´ uma raiz ou zero de uma func¸a\u2dco f(x) quando f(x¯) = 0. Ta\u2dco
importante quanto a sua determinac¸a\u2dco (dos zeros) e´ a sua enumerac¸a\u2dco, que
consiste em dizer quantos sa\u2dco e de que tipo o sa\u2dco (reais ou complexas). Para
polino\u2c6mios de grau n, n ra´\u131zes existem, podendo os mesmos serem reais ou
complexas, diferentes ou na\u2dco, conforme assegura o teorema fundamental da
a´lgebra. Determinar se as ra´\u131zes sa\u2dco distintas ou na\u2dco e reais ou complexas
na\u2dco e´ uma tarefa sempre trivial. Para func¸o\u2dces que contenham senos, cossenos,
etc (transcendentais), o nu´mero de ra´\u131zes pode ser inclusive infinito e a sua
determinac¸a\u2dco uma tarefa mais elaborada. Se forem infinitas e´ normalmente
necessa´rio selecionar apenas as mais importantes e para isso exige-se entendi-
mento do problema sendo resolvido.
2.1 Regras para determinac¸a\u2dco das ra´\u131zes de func¸o\u2dces
Teorema de Bolzano: auxilia na determinac¸a\u2dco do nu´mero de ra´\u131zes num
intervalo.
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 21
Seja f uma func¸a\u2dco cont´\u131nua em um intervalo [a, b].
1. Se f(a)f(b) < 0, enta\u2dco existe um nu´mero \u131´mpar (1, 3, 5, . . . ) de ra´\u131zes reais
em [a, b].
2. Se f(a)f(b) > 0, enta\u2dco existe um nu´mero par (0, 2, 4, . . . ) de ra´\u131zes reais
em [a, b].
3. Supondo que f e sua derivada f
\u2032
sejam cont´\u131nuas em [a, b] e que o sinal
de f
\u2032
seja constante neste intervalo tem-se:
- se f(a)f(b) < 0, enta\u2dco existe uma u´nica raiz real em [a, b];
- se f(a)f(b) > 0, enta\u2dco na\u2dco existe raiz real em [a, b];
Exemplo 2.1: Indique, graficamente, o intervalo que conte\u2c6m a ra´\u131z real da func¸a\u2dco
f(x) = x2 \u2212 sen(x)
Soluc¸~ao: A ra´\u131zes reais encontram-se no intervalo [-0,2;1], conforme mostra a Fig.
2.1.
Figura 2.1: Gra´fico de f(x) = x2 \u2212 sen(x).
22 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces
Seja o polino\u2c6mio
Pn(x) = anx
n + an\u22121xn\u22121 + ...+ a2x2 + a1x1 + a0.
Deseja-se determinar a quantidade de ra´\u131zes reais e complexas de Pn(x). Um
polino\u2c6mio Pn(x) tem exatamente n ra´\u131zes reais e complexas. Se os coeficientes
de P (x) sa\u2dco reais, as ra´\u131zes complexas ocorrera\u2dco aos pares.
Regra de Descartes: Seja T o nu´mero de trocas de coeficientes. Enta\u2dco
P (x) = 0 tem T ou (T \u2212 2) ou (T \u2212 4) ... ra´\u131zes reais positivas.
Exemplo 2.2: Indique o nu´mero de ra´\u131zes positivas e negativas de p (x) = 3x3 +
2x2 \u2212 x\u2212 1.
Soluc¸~ao: Pela regra de Descartes os sinais de p(x) sa\u2dco + + \u2212\u2212. Sendo T = 1
pode-se afirmar que p (x) tem uma raiz real positiva. Para p (\u2212x) = \u22123x3+2x2+x\u22121,
T = 2, de onde se conclui que o nu´mero de ra´\u131zes negativas de p (x) pode ser 2 ou 0.
Desta forma conclui-se que o polino\u2c6mio p(x) podera´ ter
\u2022 1 raiz real positiva;
\u2022 2 ra´\u131zes reais negativas;
\u2022 1 raiz complexa conjugada.
Existem algumas regras para enumerac¸a\u2dco de ra´\u131zes complexas de uma equac¸a\u2dco
polinomial; dentre elas considere:
Regra da lacuna: Esta regra serve para a avaliac¸a\u2dco de ra´\u131zes complexas
de um polino\u2c6mio de grau n. Se os coeficientes de p (x) sa\u2dco todos reais e para
algum k, 1 \u2264 k < n existir
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a) ak = 0 e ak\u22121ak+1 > 0, enta\u2dco p (x) tera´ ra´\u131zes complexas.
b)dois ou mais coeficientes nulos sucessivos, enta\u2dco p (x) = 0 tem ra´\u131zes com-
plexas.
Exemplo 2.3: Indique se as ra´\u131zes de p (x) = 2x4+3x3+x2\u2212 2x+3 sa\u2dco positivas
ou negativas ou complexas.
Soluc¸~ao: Aplicando a regra de Descartes para p(x) temos T = 2, o que indica
a existe\u2c6ncia de duas ou nenhuma ra´\u131z real positiva. Para p(\u2212x) tem-se tambe´m
T = 2, implicando que p(x) tem duas ou nenhuma raiz real negativa. A regra da
lacuna na\u2dco satisfaz as condic¸o\u2dces necessa´rias para inferir se as ra´\u131zes sa\u2dco complexas ou
na\u2dco. Atrave´s do gra´fico pode-se ter uma indicac¸a\u2dco da existe\u2c6ncia de ra´\u131zes complexas,
quando o gra´fico tiver um ponto de m\u131´nimo sem trocar o eixo das abscissas.
As regras discutidas anteriormente na\u2dco permitem a determinac¸a\u2dco da regia\u2dco onde
as ra´\u131zes se encontram. Existem te´cnicas que podem ser aplicadas para este fim, que
sa\u2dco indicadas a seguir.
Cota de Fujiwara e Kojima: Seja \u3b1 uma ra´\u131z de p(x) = 0; enta\u2dco pela cota de
Fujiwara tem-se
\u3ba =
{\u2223\u2223\u2223\u2223an\u22121an
\u2223\u2223\u2223\u2223 , \u2223\u2223\u2223\u2223an\u22122an
\u2223\u2223\u2223\u22231/2 , \u2223\u2223\u2223\u2223an\u22123an
\u2223\u2223\u2223\u22231/3 , ..., \u2223\u2223\u2223\u2223 a1an
\u2223\u2223\u2223\u22231/n\u22121 , \u2223\u2223\u2223\u2223a0an
\u2223\u2223\u2223\u22231/n
}
|\u3b1| \u2264 2max {\u3ba}
e pela cota de Kojima
|\u3b1| \u2264 (q1 + q2)
q1 e q2 = max {\u3ba}
24 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces
Observe que a cota de Kojima corresponde a uma melhor estimativa deste intervalo.
Exemplo 2.5: Determinar a regia\u2dco do plano onde se encontram as ra´\u131zes de p(x) =
x4 + x2 \u2212 3x+ 2 pela cota de Kojima.
Soluc¸~ao: Pela cota de Kojima resulta
|\u3b1| \u2264 q1 + q2 = max
{
|0|1 , |1|1/2 , |\u22123|1/3 , |2|1/4
}
\u2264 |\u22123|1/3 + |2|1/4
|\u3b1| \u223c 2, 63
Cota de Cauchy: Semelhante as cotas anteriores; as ra´\u131zes reais ou complexas
de P (x) satisfazem |\u3b1| \u2264 \u3b3, sendo \u3b3 dado por
\u3b3 = lim
i\u2192\u221e
xi, com x0 = 0.
e
xi =
{\u2223\u2223\u2223\u2223 a1a0
\u2223\u2223\u2223\u2223xn\u22121i\u22121 + \u2223\u2223\u2223\u2223 a2a0
\u2223\u2223\u2223\u2223 xn\u22122i\u22121 + · · ·+ \u2223\u2223\u2223\u2223 an\u22121a0
\u2223\u2223\u2223\u2223x1i\u22121 + \u2223\u2223\u2223\u2223 ana0
\u2223\u2223\u2223\u2223 } 1n .
Exemplo 2.6: Determinar o intervalo onde se encontram as ra´\u131zes de p (x) =
x4 + x2 \u2212 3x+ 2 pela cota de Cauchy.
Soluc¸~ao: Tem-se, supondo x0 = 0
xi+1 =
{
x2i + 3xi + 2
} 1
4 ,
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 25
o que implica em
x1 = 1, 19
x2 = 1, 62
x3 = 1, 76
x4 = 1, 79
x5 = 1, 80
x6 = 1, 80
Desta forma, |\u3b1 | \u2264 1, 80.
Observe que na\u2dco vale a pena introduzir mais casas apo´s a v´\u131rgula quando da
estimativa do intervalo que conte´m as ra´\u131zes de uma func¸a\u2dco.
2.1.1 Exerc´\u131cios
1. Aplique as regras de Descartes e da lacuna ao polino\u2c6mio p (x) = 2x4 \u2212 x3 + 4x2 \u2212
3x+ 7.
2. Enumerar e localizar as ra´\u131zes de p (x) = x5 + x4 \u2212 9x3 \u2212 x2 + 20x\u2212 12 = 0.
3. Estimar a localizac¸a\u2dco das ra´\u131zes das p (x) = x5+x4\u22129x3\u2212x2+20x\u221212 utilizando
as cotas de Kojima e Cauchy.
4. Utilizar o me´todo gra´fico e o teorema de Bolzano para indicar as ra´\u131zes as seguintes
func¸o\u2dces:
a)f(x) = x2 + e3x \u2212 3
26 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces
b) f(x) = e\u2212x \u2212 x;
c) f(x) = sen(x)\u2212 2e\u2212\u3bbx.
2.2 Processos Iterativos
Considera-se como processo iterativo todo procedimento que calcula uma sequ¨e\u2c6ncia
de aproximac¸o\u2dces x1, x2, ... da soluc¸a\u2dco desejada. O ca´lculo de uma nova aproximac¸a\u2dco
e´ feito em func¸a\u2dco das aproximac¸o\u2dces anteriores. Dentre estes processos,