Calculo Numerico
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considere os

seguintes:

2.2.1 Me´todos da bissecc¸a\u2dco e da posic¸a\u2dco falsa

Estes me´todos sa\u2dco os mais intuitivos geometricamente, mas sa\u2dco os que convergem

mais lentamente. Para aplica´-los e´ preciso ter um intervalo [a, b] onde a func¸a\u2dco

f(x) troca de sinal. Parte-se o intervalo em dois subintervalos e verifica-se qual dos

dois conte´m a raiz desejada. Toma-se este intervalo e repete-se o processo em sub-

intervalos menores ate´ que seja conveniente parar o processo (o que e´ definido por

um crite´rio de parada adequado). A diferenc¸a entre os me´todos de bissecc¸a\u2dco e da

posic¸a\u2dco falsa e´ indicado a seguir.

Me´todo da bissecc¸a\u2dco:

Seja [a, b] um intervalo que contenha uma raiz de f(x) = 0, onde f(x) e´ uma func¸a\u2dco

que corta o eixo das abcissas em algum ponto deste intervalo [ou seja, f(a)f(b) < 0].

Assim,

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 27

1. calcula-se f(x) no ponto me´dio de [a, b]:

xm =
a+ b

2
;

2. se f(xm) 6= 0 e f(a)f(xm) < 0 ou f(xm)f(b) < 0, escolhe-se um novo intervalo de
modo que f tenha sinais opostos nas suas extremidades;

3. repete-se o processo, voltando ao passo 1, ate´ que um crite´rio de parada seja sat-

isfeito, neste caso o DIGSE(xm, xm+1 \u2265 t, para t \u2208 R pre´ definido). Graficamente,
as iterac¸o\u2dces sa\u2dco representadas na Fig. 2.2.

Figura 2.2: Representac¸a\u2dco gra´fica para auxiliar no entendimento do me´todo da
bissecc¸a\u2dco.

x0 =
a+b
2

{
f(a) < 0

f(b) > 0

}

x1 =
a+x0
2

{
f(a) < 0

f(x0) > 0

}

x2 =
x1+x0

2

{
f(x0) > 0

f(x1) < 0

}
...

...
...

Exemplo 2.7: Encontre
\u221a
5.

28 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

Soluc¸~ao:
\u221a
5 \u2248 2, 234375

\u221a
5 \u21d2

[a,b] Aproximac¸a\u2dco

22 = 4

32 = 9

2.52 = 6.25

2.252 = 5.0625

2.1252 = 4.515625

2.18752 = 4.785156

2.218752 = 4.922852

2.2343752 = 4.992432

Exemplo 2.8: Obter a raiz de f(x) = ex \u2212 sen(x)\u2212 2, conforme mostra a Fig. 2.3
Soluc¸~ao: Os valores calculados pelo me´todo da bissecc¸a\u2dco sa\u2dco indicados na tabela

Figura 2.3: Gra´fico da func¸a\u2dco f(x) = ex \u2212 sen(x)\u2212 2.

2.1.

As caracter´\u131sticas do me´todo da bissecc¸a\u2dco sa\u2dco as seguintes:

\u2022 permite isolar ra´\u131zes reais;
\u2022 o limite de erro e´ obtido diretamente;
\u2022 possui baixa velocidade de converge\u2c6ncia, mas a converge\u2c6ncia e´ garantida;

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 29

Tabela 2.1: Me´todo da Bissecc¸a\u2dco aplicado a f(x) = ex \u2212 sen(x)\u2212 2
m a sinalf(a) b sinalf(b) xm f(xm)

1 0,5 - 1,5 + 1 -0,123189
2 1 - 1,5 + 1,25 0,541358
3 1 - 1,25 + 1,1 0,112959
4 1 - 1,1 + 1,05 -0,009772
5 1,05 - 1,1 + 1,075 0,062570
6 1,05 - 1,075 + 1,0625 0,020021
7 1,05 - 1,0625 + 1,05625 0,005051
8 1,05 - 1,05625 + 1,053125 -0,002378

\u2022 e´ simples;
\u2022 possui alto custo computacional.

Me´todo da posic¸a\u2dco falsa

Figura 2.4: Representac¸a\u2dco esquema´tica do me´todo da posic¸a\u2dco falsa.

Este me´todo e´ semelhante ao da bissecc¸a\u2dco, sendo mais elaborado. Veja a sua

representac¸a\u2dco esquema´tica na Fig. 2.4:

30 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

O algoritmo para este me´todo e´ dado pela seguinte sequ¨e\u2c6ncia de passos:

1. Arbitra-se x0 e x1, tais que f(x0)f(x1) < 0.

2. Aproximar x2 a partir da expressa\u2dco

x2 =
x1f(x0)\u2212 x0f(x1)
f(x0)\u2212 f(x1) .

3. Se o crite´rio de parada e´ satisfeito, enta\u2dco x2 e´ a resposta. Caso contra´rio, segue-se.

4. Se f(x0)f(x2) < 0, mante´m x0 inalterado e substitui-se x1 por x2; e retorne ao

passo 2. Caso contra´rio, manter x1 inalterado e substituir x0 por x2; calcule a nova

aproximac¸a\u2dco como no passo 2.

Exemplo 2.9: Calcular a raiz real do polino\u2c6mio p (x) = x3 \u2212 5x2 + 17x + 21 com
DIGSE 5 pelo me´todo da posic¸a\u2dco falsa.

Soluc¸~ao: Considerando x0 = \u22121 e x1 = 0 a aplicac¸a\u2dco do me´todo da posic¸a\u2dco falsa
fornece os seguintes valores:

Tabela 2.2: Me´todo da posic¸a\u2dco falsa aplicado ao polino\u2c6mio p (x) = x3 \u2212 5x2 +
17x+ 21.

iterac¸a\u2dco x0 x1 x2 f(x2)

0 -1,0 0,0 -0,91304 0,549
1 -1,0 -0,913043 -0,931768 1.00E-2
2 -1,0 -0,931768 -0,932109 1,82E-2
3 -1,0 -0,932108 -0,932115 3,291E-6

Logo, segundo a tabela 2.2, DIGSE(x3, x4) \u2265 5 e a raiz calculada e´ aproximada-
mente \u22120, 932115.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 31

2.2.2 Me´todos de Newton-Raphson, Newton Vie´te e das secantes

Os me´todos da fam\u131´lia Newton sa\u2dco os mais eficientes pela sua simplicidade, veloci-

dade de converge\u2c6ncia e precisa\u2dco apresentadas.

Me´todo de Newton-Raphson ou das tangentes

Consiste num me´todo de aproximac¸o\u2dces sucessivas da forma

xn+1 = xn \u2212 f(xn)
f \u2032(xn)

que resulta da equac¸a\u2dco da reta tangente, onde:

y \u2212 y0 = m(x\u2212 x0)
y \u2212 f(xi) = f \u2032(xi)(x\u2212 xi)

y = 0\u21d2 \u2212f(xi) = f \u2032(xi)(xi+1 \u2212 xi)

O procedimento iterativo e´ assim realizado:

\u2022 arbitra-se x0 e observa-se a converge\u2c6ncia durante o processo iterativo;
\u2022 caso na\u2dco convirja, escolhe-se outro x0 e reinicia-se o processo iterativo.
\u2022 geometricamente, conforme Fig. 2.5, dado um ponto (xk, f(xk)), trac¸a-se uma
tangente a` curva neste ponto. Faz-se, enta\u2dco, xk+1 = xk ate´ obter a converge\u2c6ncia.

Exemplo 2.10: Para a func¸a\u2dco f(x) = 2x \u2212 cos x tem-se f \u2032(x) = 2 + senx, o que
resulta em

xn+1 = xn \u2212 2xn \u2212 cosxn
2 + senxn

Comec¸ando com x0 =
pi
8 \u2243 0,3927 obte´m-se os dados da tabela 2.3. Observe a grande

velocidade de converge\u2c6ncia.

32 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

Figura 2.5: Representac¸a\u2dco do me´todo de Newton.

Tabela 2.3: Me´todo de Newton aplicado a func¸a\u2dco f(x) = 2x\u2212 cosx.
n xn xn+1
0 0.3927 0.4508
1 0.4508 0.4502
2 0.4502 0.4502

O me´todo de Newton pode ser aplicado de maneira um pouco diferente, pore´m

mais precisa quando a func¸a\u2dco f(x) e´ um polino\u2c6mio.

Me´todo de Newton-Vie´te

E´ uma outra forma de escrever o me´todo de Newton para polino\u2c6mios, sendo p (x) =

a0x
n+a1x

n\u22121+ · · ·+an\u22121x+an; para cada iterac¸a\u2dco resulta a fo´rmula de recorre\u2c6ncia

xi+1 = xi \u2212 p (x)
p\u2032 (x)

= xi \u2212 (. . . (a0xi + a1)xi + a2) xi + · · ·+ an\u22121) xi + an
(. . . (na0xi + (n\u2212 1)a1)xi + · · ·+ 3an\u22123) xi + 2an\u22122)xi + an\u22121

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 33

Exemplo 2.11: Encontrar as ra´\u131zes de p (x) = 5x4 + 3x3 \u2212 3x2 + x\u2212 1.
Soluc¸~ao: Antes de aplicar o algoritmo de Newton-Vie´te e´ conveniente fazer a

enumerac¸a\u2dco, a localizac¸a\u2dco e a separac¸a\u2dco das ra´\u131zes de p (x).

1) Da aplicac¸a\u2dco da regra de Descartes resulta:

- para p (x) : + + \u2212 + \u2212 \u21d2 T = 3;
- para p (\u2212x) : + \u2212 \u2212 \u2212 \u2212 \u21d2 T = 1.

Infere-se que p (x) tem exatamente uma ra´\u131z real negativa. As outras duas sa\u2dco

ambas reais positivas ou ambas complexas.

2) Cota de Cauchy:

x0 = 0 e xk+1 =

(
3

5
x3k +

2

5
x2k + xk +

1

5

) 1
4

, para k = 0, 1, . . . ,

o que resulta

x1 = 1, 00

x2 = 1, 62
...

x20 = 3, 64

x21 = 3, 64

Pode-se dizer que as ra´\u131zes de p (x) pertencem a` regia\u2dco |x | \u2264 3, 64.
3) Monta-se a tabela

34 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

Tabela 2.4: Regra de Descartes aplicado ao polino\u2c6mio p (x) = x3+2x2\u22123x\u22125
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

p (x) 1051 302 45 -2 -1 6 97 470 1443

De acordo com a tabela 2.4, a raiz real positiva esta´ entre 0 e 1; a ra´\u131z real negativa

esta´ entre \u22122 e \u22121. As demais ra´\u131zes sa\u2dco complexas.
4) Na tabela indica-se os valores aproximados de 2 ra´\u131zes (positiva e negativa) de

p(x). Na primeira, x0 = \u22122 e na segunda, x0 = 1 .
i xi p (xi)

0 -2,000 45,000

1 -1,609 13,212

2 -1,357 3,424

3 -1,230 6,124E-01

4 -1,196 3,781E-02

5 -1,193 1,776E-04

i xi p (xi)

0 1,000E-00 6,000

1 7,962E-01 1,702

2 6,314E-01 3,842E-01

3 5,773E-01 4,340E-02

4 5,695E-01 8,032E-04

5 5,693E-01 2,996E-07

Para DIGSE 2, o suficiente para alguns problemas em engenharia, 3 casa decimais

apo´s a v´\u131rgula sa\u2dco o suficiente para nu´meros de ordem 1. Desta forma, as duas ra´\u131zes

reais de p(x) sa\u2dco: \u3b11 = \u22121, 193 e \u3b12 = 0, 5693.
Como o me´todo de Newton requer o ca´lculo de duas func¸o\u2dces por iterac¸a\u2dco,