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96 1 51 1 Lista de Problemas ( Clique no Nº do exercício para ver a solução ) 1 ) Se y = 2x² - 6x + 5 , calcule o acréscimo ∆y para x = 3 e ∆x = 0,01 2 ) Se y = 6x² - 4 , calcule ∆y e dy para x = 2 e ∆x = 0,001 3 ) Calcule um valor aproximado para 3 5,65 usando diferenciais. 4 ) Calcule um valor aproximado para 50 usando diferenciais. 5 ) Calcule um valor aproximado para 3 5,63 usando diferenciais. 6 ) Calcule um valor aproximado para 4 13 usando diferenciais. 7 ) Calcule um valor aproximado para 5 35 usando diferenciais. 8 ) Calcule um valor aproximado para °46tg usando diferenciais. 9 ) Calcule um valor aproximado para °62sen usando diferenciais. 10 ) Calcule um valor aproximado para °61cos usando diferenciais. 11 ) Calcule um valor aproximado para °59sen usando diferenciais. 11.1 ) ( Granville ) Se e o possível erro na medida de x é 0,9 quando x = 27 , qual será erro possível no valor de y ? Use este resultado para obter valores aproximados de : ( ) ( )3232 1,26e9,27 11.2 ) ( Granville ) Se Ln(10) = 7,303 , aproxime Ln(10,2) por diferenciais 11.3 ) ( Granville ) Use diferenciais para achar um valor aproximado de . 11.4 ) ( Granville ) Use diferenciais para achar um valor aproximado de . 11.5 ) ( Granville ) Se , aproxime por meio de diferenciais . 11.6 ) ( Granville ) Mostre com o uso de diferenciais que (aproximadamente). 11.7 ) ( Granville ) Mostre que erro relativo no volume de uma esfera, devido a um erro na medida do diâmetro, é três vezes o erro relativo no raio . 11.8 ) ( Granville ) Mostre que o erro relativo na n-ésima potência de um número é n vezes o erro relativo no número. 11.9 ) ( Granville ) Mostre que o erro relativo na raiz n-ésima de um número é 1/n vezes o erro relativo no número. 11.10 ) ( Granville ) Ache uma fórmula aproximada para o volume de uma delgada coroa cilíndrica de raio R , altura h e espessura t . 11.11 ) ( Piskounov ) Utilizando a noção de diferencial, explicar a proveniência das fórmulas aproximadas de 2 3 32 a3 b abae a2 b aba +≈++≈+ , em que | b | é um número pequeno em relação a a . 12 ) Encontre a diferencial das seguintes funções : a) ( )x4x3Lny 2 −= b) xe 1x y + = c) ( )6x5seny 2 += 39,7e2 = 1,2e 2x dx x 1 dxx 1 −= + 3 2 xy = 13 ) ( Diva Flemming ) Uma caixa em forma de um cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm. Se o lado da caixa é de 2 m, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária. 14 ) ( Righetto e Ferraudo ) Ache o valor aproximado do volume de uma parede cilíndrica de altura 10 cm, cujo raio interno mede 5 cm e o externo 5,25 cm . 15 ) ( Diva Flemming ) Ache o valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12m, raio interior 7m e espessura 0,05m . Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais ? 16 ) ( Diva Flemming ) Use diferenciais para obter o aumento aproximado no volume da esfera quando o raio varia de 3 cm a 3,1 cm. 17 ) ( Diva Flemming ) Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é 12 cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 2cm³ no volume da pilha 18 ) ( Diva Flemming ) Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que cada um de seus lados mede 1200m, com um erro máximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o possível erro no cálculo da área do terreno. 19 ) ( Diva Flemming ) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm de lado. Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham 1/2 cm a mais. Usando diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada. 20 ) ( Leithold ) A medida da aresta de um cubo é 15 cm, com um erro possível de 0,01 cm. Use diferenciais para encontrar o erro aproximado do cálculo (a) do volume ; (b) da área de uma das faces 21 ) ( Leithold ) Uma caixa de metal na forma de um cubo deve ter um volume interior de 1.000 cm³. Os seis lados são feitos de metal com 1/2 cm de espessura. Se o custo do material for de R$ 0,20 por centímetro cúbico, use diferenciais para encontrar o custo aproximado do metal a ser usado na confecção da caixa. 22 ) ( Leithold ) O talo de determinado cogumelo tem uma forma cilíndrica e um talo com 2 cm de altura e r cm de raio tem um volume de V cm³, onde V = 2 pi r². Use a diferencial para encontrar o aumento aproximado no volume do talo, quando o raio passa de 0,4 para 0,5 cm. 23 ) ( Leithold ) Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo, tal que se r cm for o raio e A cm² for a área da queimadura, então A = pi r². Use a diferencial para encontrar o decréscimo aproximado da área da queimadura quando o raio passa de 1 para 0,8cm. 24 ) ( James Stewart ) Use diferenciais para estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma camada de 0,05 cm de tinta a um domo com diâmetro de 50 m . 25 ) ( Leithold ) A medida da resistência elétrica de um fio é proporcional à medida de seu comprimento e inversamente proporcional ao quadrado da medida de seu diâmetro. Suponha que a resistência de um fio de um determinado comprimento seja calculada a partir da medida de seu diâmetro, com um erro possível de 2% . Ache o erro percentual possível no cálculo do valor da resistência. 26 ) ( Granville ) O tempo de uma oscilação de um pêndulo é dado pela fórmula onde T é medido em segundos, g = 32,2 e L , o comprimento do pêndulo, é medido em centímetros. Achar : (a) o comprimento de um pêndulo oscilando uma vez por segundo; (b) a mudança em T quando o pêndulo de (a) é alongado de 0,01 cm; (c) de quanto se atrasará ou se adiantará por dia um relógio com este erro ? 27 ) ( Leithold ) Se t segundos for o tempo necessário a uma oscilação completa de um pêndulo simples com L metros, então 4 pi² L = g t² , onde g = 9,8 m/s². Um relógio tendo um pêndulo com 1 m de comprimento adianta 5 min por dia. Ache aproximadamente o quanto deve aumentar o comprimento do pêndulo para que o relógio seja acertado. g L..4 T 2 2 pi = 28 ) ( Munen Foulis ) O período de oscilação de um pêndulo de comprimento L unidades é dado por g/L2T pi= , onde g é a aceleração da gravidade em unidades de comprimento por segundo e T está em segundos. Ache a percentagem aproximada que o pêndulo de um relógio de pé terá se alongado se o relógio adianta 3 minutos em 24 horas. 28.1 ) ( H. B. Phillips ) O período de vibração de um pêndulo simples de comprimento L é g L 2T pi= Se um relógio atrasa 1 segundo por dia, determinar aproximadamente o erro do comprimento do seu pêndulo. 28.2 ) ( George B Thomas ) Quando o comprimento L do pêndulo de um relógio é mantido constante, controlando-se a temperatura, o período T do pêndulo depende da aceleração g da gravidade. Portanto, o período variará ligeiramente à medida que o relógio for deslocado para diferentes posições na superfície da Terra, dependendo das variações de g . Acompanhando-se as variações de ∆T , podemos estimar a variação de g pela equação ( ) 21g/L2T pi= que relaciona T , g e L . (a) Mantendo-se L constante e sendo g a variável independente, calcule dT e use-o para responder aos itens (b) e (c) . (b) Se g aumenta, T vai aumentar ou diminuir ? Um relógio de pêndulo adiantará ou atrasará ? Explique. (c) Um relógio cujo pêndulo mede 100cm é deslocado de um lugar (onde g = 980cm/s2 para outro. Isso aumenta o período em dT =0,001 s. Determine dg e estime o valor de g nesse outro lugar. 28.3 ) ( Swokowski ) A fórmula g L2T pi= relaciona o comprimento L de um pêndulo com seu período T ; g é uma constante gravitacional. Que variação percentual do comprimento L corresponde a um aumento de 30% no período T ? 29 ) ( Munen Foulis ) A força atrativa entre partículas elétricas de cargas opostas é dada por F = k/x² , onde x é a distância entre as partículas e k é uma certa constante. Se x cresce de 2%, ache a porcentagem aproximada de decréscimo de F . 30 ) ( Munen Foulis ) A região entre dois círculos concêntrico no plano é chamada de ânulo . Achar : (a) a área de um ânulo de raio interno 5 cm e raio externo 81/16 cm ; (b) uma aproximação para a área exata encontrada na parte a) pelo uso de diferenciais. 31 ) ( Munen Foulis ) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta segundo a equação 3t2tS 331 +−= , onde t é o tempo decorrido em segundos e S é a distância orientada, medida em metros, da origem até a partícula. Ache a distância aproximada coberta pela partícula no intervalo de t = 2 até t = 2,1 segundos. 32 ) ( James Stewart ) Sabe-se que um lado de um triângulo retângulo mede 20 cm de comprimento e o ângulo oposto foi medido como 30°, com um erro possível de ± 1°. (a) use diferenciais para estimar o erro no cálculo da hipotenusa; (b) qual é o erro percentual ? 33 ) ( James Stewart ) A circunferência de uma esfera mede 84 cm, com erro possível de 0,5 cm. (a) Use diferenciais para estimar o erro máximo na área calculada da superfície. Qual o erro relativo? (b) Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo no volume calculado. Qual o erro relativo? 34 ) ( James Stewart ) Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguíneo, o fluxo Φ (o volume de sangue por unidade de tempo que passa por um ponto dado) é proporcional à quarta potência do raio R do vaso : Φ = k R4 . Esta equação é conhecida como a Lei de Poiseuille . Uma artéria parcialmente obstruída pode ser alargada por uma operação chamada angioplastia, na qual um cateter-balão é inflado dentro da artéria a fim de aumentá-la e restaurar o fluxo normal do sangue. Mostre que uma variação relativa em Φ é cerca de quatro vezes a variação relativa em R . Como um aumento de 5% no raio afeta o fluxo do sangue ? 35 ) ( James Stewart ) Se uma corrente i passar por um resistor com resistência R, a Lei de Ohm afirma que a queda de voltagem é V = Ri . Se V for constante e R for medida com um certo erro, use diferenciais para mostrar que o erro relativo no cálculo de I é aproximadamente o mesmo (em módulo) que o erro relativo em R . 36 ) ( George B Thomas ) Um agrimensor a 30 metros da base de um edifício mede o ângulo de elevação até o topo do edifício como 75°. Que exatidão deve apresentar a medição desse ângulo para que o erro percentual na estimativa da altura do edifício seja inferior a 4% ? 36.1 ) ( George B Thomas ) A altura e o raio de um cilindro reto são iguais. Sendo o volume desse cilindro dado por V = piR²h , o mesmo deve ser calculado com erro não maior que 1% em relação ao valor real. Determine aproximadamente o maior erro que pode ser tolerado na medida de h , expressando-o como porcentagem de h . 37 ) ( George B Thomas ) Aproximadamente que exatidão deve ter a medição do diâmetro interno de um tanque cilíndrico de armazenagem com 10 m de altura para que o cálculo de seu volume fique a 1% do valor real ? Aproximadamente que exatidão deve ter a medição do diâmetro externo desse tanque para que o cálculo da quantidade de tinta para pintar sua parede fique a no máximo 5% da quantidade real ? 38 ) ( George B Thomas ) Uma empresa foi contratada para cunhar moedas para o governo federal. Que variação dr pode ser tolerada no raio r das moedas para que o peso das moedas não exceda 1/1.000 do peso ideal ? Suponha que não haja variação da espessura das moedas. 39 ) ( George B Thomas ) O lucro P de certo fabricante, ao vender x itens, é 400 x ex200)x(P − = reais Estime a variação e a variação percentual conforme as vendas aumentam de x = 145 para x = 150 itens. 40 ) ( George B Thomas ) A quantidade de trabalho realizado pela principal câmara de bombeamento do coração, o ventrículo esquerdo, é dada pela equação g2 vV PVW 2δ += onde W é o trabalho por unidade de tempo, P é a pressão arterial média, V é o volume de sangue bombeado por unidade de tempo, δ é a densidade do sangue, v é a velocidade média do sangue ejetado e g é a aceleração da gravidade. Quando P, V, δ e v permanecem constantes, W se torna uma função de g e a equação toma a forma de ) constantes b a, ( g b aW += Como membro da equipe médica da Nasa, você quer saber qual é a sensibilidade de W às variações aparentes de g causadas pelas manobras de vôo, e isso depende do valor inicial de g . Como parte de seu estudo você decide comparar o efeito em W causado por dada variação dg na superfície da Lua, onde g = 5,2 pés/s2, com o efeito que a mesma variação dg teria na Terra, onde g = 32 pés/s2. Utilize a equação simplificada para determinar a razão dWLua sobre dWTerra . 41 ) ( Munen Foulis ) O preço total em reais de produção de x brinquedos é 75x11 100 x3 15000 x C 23 ++−= , e cada brinquedo é vendido a R$ 10,00 . (a) Ache o lucro total L em função de x. (b) Ache dL em termos de x e dx. (c) Quando o nível de produção varia de x = 350 para x = 355 qual a variação aproximada em P 42 ) ( Munen Foulis ) A lei de expansão adiabática de um certo gás é CPV 7,1 = , onde V é o volume do gás, P é a pressão do gás e C é uma constante. Deduza a equação 0 V dV7,1 P dP =+ 43 ) ( Howard Anton ) Uma barra de metal medindo 15 cm de comprimento e 5 cm de diâmetro está coberta, exceto nas pontas, por uma camada de isolante com uma espessura de 0,1 cm Use diferenciais para estimar o volume do isolante. {Sugestão : Seja ∆V a variação no volume da barra.} 44 ) ( Howard Anton ) O tempo necessário para uma oscilação completa de um pêndulo é denominado período . Se o comprimento L do pêndulo e a oscilação forem pequenos, então o período será dado por g/L2P pi= , onde g é a aceleração constante devida à gravidade. Use diferenciais para mostrar que o erro percentual em P é aproximadamente a metade do erro percentual em L . 45 ) ( Howard Anton ) Se a temperatura T de uma barra de metal medindo L de comprimento variar por uma quantidade ∆T, então o comprimento irá variar por uma quantidade ∆L = α L ∆T , onde α é denominado coeficiente de expansão linear . Para variações moderadas na temperatura, α pode ser considerado constante. (a) Suponha que a barra tem 40 cm de comprimento a 20°C e, quando a temperatura passa a ser 30°C, o comprimento encontrado é de 40,006 cm. Encontre α . (b) Se um poste de alumínio tem um comprimento de 180 cm a 15°C, qual será seu comprimento se a temperatura for elevada para 40°C ? { Tome α = 2,3x10-5 /°C. } 46 ) ( Howard Anton ) O lado de um quadrado mede aproximadamente 10 m, com erro possível de ± 0,1 m. (a) Use diferenciais para estimar o erro na área calculada. (b) Estime o erro percentual no lado e na área. 47 ) ( Howard Anton ) O lado de um cubo mede aproximadamente 25 cm, com erro possível de ± 1 cm (a) Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado. (b) Estime os erros percentuais no lado e no volume. 48 ) ( Howard Anton ) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede exatamente 10 cm, e um dos ângulos agudos mede 30°, com erro possível de ± 1°. (a) Use diferenciais para estimar os erros nos lados opostos e adjacente ao ângulo medido. (b) Estime os erros percentuais nos lados. 49 ) ( Howard Anton ) Um lado de um triânguloretângulo mede exatamente 25 cm. O ângulo oposto a este lado mede 60°, com erro possível de ± 0,5°. (a) Use diferenciais para estimar o erro no lado adjacente e na hipotenusa. (b) Estime os erros percentuais no lado adjacente e na hipotenusa. 50 ) ( Howard Anton ) A resistência elétrica R de um fio é dada por R = k/r 2 , onde k é uma constante e r , o raio do fio. Supondo que o raio tenha um erro possível de ±5% , use diferenciais para estimar o erro percentual em R ( supondo k exato ). 51 ) ( Howard Anton ) Uma escada com 12 m está apoiada em uma parede e faz um ângulo θ com o chão. Se o topo da escada está a uma altura de h metros na parede, expresse h em termos de θ e, então, use dh para estimar a variação em h se θ variar de 60° a 59° . 52 ) ( Howard Anton ) A área de um triângulo retângulo com uma hipotenusa H é calculada pela fórmula θ= 2senHA 2 4 1 , onde θ é um dos ângulos agudos. Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H = 4 cm (exatamente) e θ = 30° com erro possível de ± 15’ . 53 ) ( Howard Anton )Se a temperatura T de um sólido ou líquido com volume V for alterada por uma quantidade ∆T, então o volume irá variar por uma quantidade ∆V = β.V. ∆T , onde β é denominado coeficiente de expansão volumétrica. Para variações moderadas na temperatura, β pode ser considerado constante. Suponha que um caminhão-tanque carregue 4.000 galões de álcool etílico a uma temperatura de 35°C e entregue sua carga, mais tarde, a uma temperatura de 15°C. Usando β = 7,5 x 10-4/°C para o álcool etílico, encontre o número de galões entregues. 54 ) ( Swokowski ) - A Grande Pirâmide do Egito tem uma base quadrada de 230 m. Para estimar a altura h da pirâmide, um observador se coloca no ponto médio de um dos lados e olha para o vértice da pirâmide. O ângulo de elevação observado Φ é 52° . Qual deve ser a precisão desta medida para que o erro em h fique entre -1 m e 1 m ? 55 ) ( Swokowski ) Um laboratório espacial circunda a Terra a uma altura de 240 km. Quando um astronauta olha para o horizonte, o ângulo da figura é de 74,525° , com um erro máximo possível de ± 0,5°. Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo do raio da Terra feito pelo astronauta. 56 ) ( Swokowski ) Se um objeto pesando W quilos é puxado ao longo de um plano horizontal por uma força aplicada a uma corda amarrada ao objeto e se a corda faz um ângulo θ com a horizontal, então a magnitude da força é dada por ( ) θ+θµ µ =θ cossen W F , onde µ é uma constante chamada coeficiente de fricção. Suponhamos uma caixa de 40 kg puxada ao longo do assoalho, e que µ = 0,2. Se θ varia de 45° para 46° , use diferenciais para aproximar a variação na força que deve ser aplicada. 57 ) ( Swokowski ) Na eletricidade a lei de Ohm afirma que I = V/R , onde I é a corrente (em ampére), V é a força eletromotriz (em volts) e R é a resistência (em ohms). Mostre que dI e dR estão relacionados pela fórmula R .dI + I .dR = 0 58 ) ( Swokowski ) Se um projétil é lançado com velocidade inicial v0 a um ângulo α com a horizontal, sua altura máxima h e o alcance R são dados por g2 senv h 22 0 α = e Suponha que v0 = 30 m/s e g = 9,8 m/s 2 . Se α aumenta de 30° para 30°30’ , estime, por meio de diferenciais, as variações em h e R . 59 ) ( Swokowski ) Quando um foco luminoso percorre uma trajetória semicircular, a iluminância Φ na superfície é inversamente proporcional ao quadrado da distância d do foco e diretamente proporcional ao cosseno do ângulo θ entre a direção do fluxo luminoso e a normal à superfície. Se θ diminui de 21° para 20° e d é constante, aproxime, por diferenciais, o aumento percentual da iluminância . 60 ) ( Swokowski ) A lei de atração gravitacional de Newton afirma que a força F de atração entre duas partículas de massas m1 e m2 é dada por , onde G é uma constante e s é a distância entre as partículas. Se s = 20 cm, use diferenciais para aproximar a variação de s que aumente F em 10 %. 61 ) ( Swokowski ) Em um ponto situado a 60 m da base de uma torre elétrica, o ângulo de elevação do topo do poste acusa uma medida de 60° , com erro possível de ± 0,15°. Use diferenciais para aproximar o erro na altura calculada da torre. 62 ) ( Swokowski ) A areia que vaza de um depósito vai formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se, em certo instante, o raio é 10 cm, aproxime, por meio de diferenciais, a variação do raio que cause uma variação de 2 cm³ no volume da pilha. 63 ) ( Swokowski ) Pequenos erros em medidas de dimensões de grandes depósitos, ou containers, podem ter efeito grave sobre os volumes calculados. Um silo tem a forma de um cilindro circular encimado por um hemisfério. A altura do cilindro é exatamente 15 metros. O comprimento da circunferência da base é estimado em 10 m, com erro de ±0,15 m. Calcule o volume do silo e use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo. Aproxime o erro médio e o erro percentual. g cossenv2 R 2 0 αα = 2 21 s mm GF = 64 ) ( Swokowski ) Um balão esférico está sendo inflado com gás. Por meio de diferenciais, aproxime o aumento da área da superfície do balão quando o diâmetro varia de 1 m para 1,01 m. 65 ) ( Swokowski ) A frente de uma casa tem o formato de um quadrado encimado por um triângulo equilátero. Se o comprimento da base é de 5 m, com erro máximo de 0,01 m, calcule a área desta frente. Use diferenciais para estimar o erro máximo no cálculo da frente. Aproxime o erro médio e o erro percentual. 66 ) ( Swokowski ) Um triângulo isósceles tem os lados iguais com 25 cm cada. Se o ângulo θ entre esses lados aumenta de 30° para 33° , use diferenciais para aproximar a variação da área do triângulo. Encontre o erro médio e o erro percentual. 67 ) ( Swokowski ) A constrição de arteríolas é uma das causas de pressão elevada. Verificou-se experimentalmente que, quando o sangue flui por uma arteríola de comprimento fixo, a diferença de pressão entre as duas extremidades da arteríola é inversamente proporcional à quarta potência do raio. Se o raio de uma arteríola diminui de 10%, calcule, por meio de diferenciais, a variação percentual na diferença de pressão. 68 ) ( Swokowski ) A resistência elétrica R de um fio é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional ao quadrado do seu diâmetro. Se o comprimento é fixo, qual deve ser a precisão da medida do diâmetro (em termos de erro percentual) para manter o erro percentual de R entre -3% e 3% ? 69 ) ( H. B. Phillips ) Determina-se a área de um retângulo medindo seus lados x e y . Se a medida x é feita com um erro de 1% para mais e a de y com 1/2% para menos , determinar o erro percentual da área. 70 ) ( H. B. Phillips ) Determina-se o volume de um cilindro partindo do seu raio e da sua altura. Se as medidas destes comprimentos tiverem erro inferior a 1%, determinar o erro máximo do volume calculado. 71 ) ( H. B. Phillips ) O período de vibração de um pêndulo de comprimento L é determinado pela equação g L 2T pi= . Determinar o erro máximo do valor calculado para T em conseqüência de erros de 1% nas medidas de L e g . 72 ) ( H. B. Phillips ) Calcula-se o raio de uma bola esférica partindo do seu peso e da densidade do material de que é feita. Admitindo que se tenha cometido um erro de 0,5% na pesagem da bola e de 1% na determinação da sua densidade, que erro máximo pode resultar na determinação do raio ? 73 ) ( Granville ) Ache uma fórmula aproximada para a área de uma coroa circular de raio R e largura dR. Qual a fórmula exata ? 74 ) ( Granville ) Quais os erros aproximados no volume e na área de um cubo de aresta igual a 6 cm seum erro de 0,02 cm foi feito ao se medir a aresta ? 75 ) ( Granville ) As fórmulas para a área e o volume de uma esfera são, respectivamente, 32 R 3 4 VeR4A pi=pi= Mediu-se o raio e achou-se 3 cm. Pergunta-se (a) qual o máximo erro aproximado em A e em V se se mediu com a aproximação de 0, 01 cm ? (b) qual o máximo erro percentual em dada caso ? 01) Se y = 2x² - 6x + 5 , calcule o acréscimo ∆y para x = 3 e ∆x = 0,01 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0602,0y53.63.2501,3.601,3.2y 3f01,3fy 3f01,03fy xfxxfy 22 11 =∆→+−−+−=∆ −=∆ −+=∆ −∆+=∆ 02) Se y = 6x² - 4 , calcule ∆y e dy para x = 2 e ∆x = 0,001 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 024006,0y 204001,2.6y 42.64001,2.6y 2f001,2fy 2f001,02fy xfxxfy 2 22 11 =∆ ∴ −−=∆ −−−=∆ −=∆ −+=∆ −∆+=∆ 024,0dy001,0.2.12dy dx.x12dy dx.)x('fdy =→= = = 03) Calcule um valor aproximado para 3 5,65 usando diferenciais. Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ ou seja, 03125,45,65 03125,045,65 5,1. 643 1 645,164 x. x3 1 xxx dyxxx 3 3 3 2 33 3 2 33 33 ≅∴ +≅ +≅+ ∆+≅∆+ +≅∆+ x.)x('fdy ∆= 04) Calcule um valor aproximado para 50 usando diferenciais. Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ ou seja, 071,750 071,0750 1. 492 1 49149 x. x2 1 xxx dyxxx ≅∴ +≅ +≅+ ∆+≅∆+ +≅∆+ 05) Calcule um valor aproximado para 3 5,63 usando diferenciais. Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ ou seja, 9895,35,63 0104,045,63 5,0. 643 1 645,064 x. x3 1 xxx dyxxx 3 3 3 2 33 3 2 33 33 ≅∴ −≅ −≅− ∆+≅∆+ +≅∆+ x.)x('fdy ∆= 06) Calcule um valor aproximado para 4 13 usando diferenciais. Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ ou seja, 906,113 09375,0213 3. 164 1 16316 x. x4 1 xxx dyxxx 4 4 4 3 44 4 3 44 44 ≅∴ −≅ −≅− ∆+≅∆+ +≅∆+ 07) Calcule um valor aproximado para 5 35 usando diferenciais. Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ ou seja, 0375,235 0375,0235 3. 325 1 32332 x. x5 1 xxx dyxxx 5 5 5 4 55 5 4 55 55 ≅∴ +≅ +≅+ ∆+≅∆+ +≅∆+ x.)x('fdy ∆= x.)x('fdy ∆= 08) Calcule um valor aproximado para °46tg usando diferenciais. Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 034,146tg 034,01145tg 0174,0. 5,0 1 1145tg 180 . 45cos 1 45tg145tg 1.45sec.145tg145tg x.xsec.1xtgxxtg dyxtgxxtg 2 2 2 ≅°∴ +≅°+° +≅°+° ° pi ° +°≅°+° °°+°≅°+° ∆+≅∆+ +≅∆+ 09) Calcule um valor aproximado para °62sen usando diferenciais. Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8835,062sen 01745,086603,062sen 180 2 .5,086603,062sen 2.60cos.160sen260sen x.xcos.1xsenxxsen dyxsenxxsen ≅°∴ +≅° ° pi +≅° °°+°≅°+° ∆+≅∆+ +≅∆+ x.)x('fdy ∆= x.)x('fdy ∆= 10) Calcule um valor aproximado para °61cos usando diferenciais. Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4849,061cos 01512,05,061cos 180 .86603,05,061cos 1.60sen.160cos160cos x.xsen.1xcosxxcos dyxcosxxcos ≅°∴ −≅° ° pi −≅° °°−°≅°+° ∆−≅∆+ +≅∆+ 11) Calcule um valor aproximado para °59sen usando diferenciais. Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8573,061sen 00872,086603,061sen 180 .5,086603,061sen 1.60cos.160sen160sen x.xcos.1xsenxxsen dyxsenxxsen ≅°∴ −≅° ° pi −≅° °°−°≅°−° ∆+≅∆+ +≅∆+ x.)x('fdy ∆= x.)x('fdy ∆= 11.1) ( Granville ) Se 3 2 xy = e o possível erro na medida de x é 0,9 quando x = 27 , qual o erro possível no valor de y ? Use este resultado para obter valores aproximados de : ( ) ( )3232 1,26e9,27 As funções são do tipo : nxy = e, daí, diferenciando tem-se : 2,0dy9,0. 27 1 3 2 dx. x 1 3 2 dx.xdy 333 2 3 1 =∴=== − Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : )1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser escrita como (2) e, daí, diferenciando ter-se-á : ( ) ( ) ( ) ( ) 2,99,272,092,0279,027 dyxxx )2(dy)x(f)xx(f 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 ≅∴+≅+≅+ +≅∆+ +≅∆+ ( ) ( ) ( ) ( ) 8,81,262,099,0279,027 dyxxx )2(dy)x(f)xx(f 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 ≅∴−≅−≅− +≅∆+ +≅∆+ 11.2) ( Granville ) Se Ln(10) = 2,303 , aproxime Ln (10,2) por diferenciais . A função é do tipo : )x(Lny = Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : )1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser escrita como (2) e, daí, diferenciando ter-se-á : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 323,22,10ln02,0303,22,010ln 2,0. 10 1 10ln2,010ln dx. x 1 xLnxxln dyxLnxxln )2(dy)x(f)xx(f ≅∴+≅+ +≅+ +≅∆+ +≅∆+ +≅∆+ Usando calculadora encontramos ln (10,2) = 2,322 11.3) ( Granville ) Use diferenciais para achar um valor aproximado de 96 1 . A função é do tipo : x 1 y = Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : )1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser escrita como (2) e, daí, diferenciando ter-se-á : 0096,0 96 1 4.0004,001,0 96 1 4. 100 1 100 1 4100 1 dx. x 1 x 1 xx 1 dy x 1 xx 1 )2(dy)x(f)xx(f 2 2 ≅∴+≅ −≅ − −+≅ ∆+ +≅ ∆+ +≅∆+ Usando calculadora encontramos 0104,0 96 1 ≅ 11.4) ( Granville ) Use diferenciais para achar um valor aproximado de 51 1 . A função é do tipo : x 1 y = Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : )1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser escrita como (2) e, daí, diferenciandoter-se-á : 1399,0 51 1 343 1 7 1 51 1 2. 49.49.2 1 49 1 249 1 dx. x.x2 1 x 1 xx 1 dy x 1 xx 1 )2(dy)x(f)xx(f ≅∴−≅ −≅ + −+≅ ∆+ +≅ ∆+ +≅∆+ Usando calculadora encontramos 1400,0 51 1 ≅ 11.5) ( Granville ) Se 39,7e2 = , aproxime 1,2e por meio de diferenciais . A função é do tipo : xey = Usando a definição de acréscimo ∆y, tem-se : )1(y)x(f)xx(f ∆+≅∆+ Para pequenos valores de ∆x , temos que dyy ≅∆ e, daí, a expressão (1) pode ser escrita como (2) e, daí, diferenciando ter-se-á : ( ) ( ) 13,8e1,139,7e 1,0139,7e dx1ee dx.eee dyee )2(dy)x(f)xx(f 1,21,2 1,02 21,02 xxxx xxx ≅∴×≅ +≅ +≅ +≅ +≅ +≅∆+ + + ∆+ ∆+ Usando calculadora encontramos 17,8e 1,2 ≅ 11.6) ( Granville ) Mostre com o uso de diferenciais que 2x dx x 1 dxx 1 −= + (aproximadamente). Seja a função : x 1 y = Temos : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Para valores pequenos de ∆x, temos que dxx =∆ e dyy ≅∆ e a expressão (1) pode ser escrita como (2) e, daí, diferenciando tem-se : ( ) ( ) 22 x dx x 1 dxx 1 dx. x 1.10.x x 1 dxx 1 )2(dyxfdxxf −≅ + ∴ − +≅ + +≅+ 11.7) ( Granville ) Mostre que erro relativo no volume de uma esfera, devido a um erro na medida do diâmetro, é três vezes o erro relativo no raio . Temos que 3R 3 4 V pi= e como 2 D R = , temos : 6 D V 8 D 3 4 V 33 pi =⇒ pi = Diferenciando V, tem-se : dD. 2 D dV 2pi = Daí, ( ) R dR .3 R2 dR.2.3 R2 R2d .3 D dD .3dD. D 6 2 D 6 D dD. 2 D V dV V3 2 3 2 V V =ε⇒=== pi pi = pi pi =ε =ε 11.8) ( Granville ) Mostre que o erro relativo na n-ésima potência de um número é n vezes o erro relativo no número. Sendo nxy = ⇒ dx.x.ndy 1n−= Daí, x dx .n .x dx.x.x.n x dx.x.n y dy rn 1n n 1n r =ε⇒===ε − − 11.9) ( Granville ) Mostre que o erro relativo na raiz n-ésima de um número é 1/n vezes o erro relativo no número. Sendo n xy = ⇒ dx. x.n 1 dy n 1n− = Daí, x dx . n 1 x.n dx x.x.n dx x.x.n dx x dx. x.n 1 y dy rn 1nnn 1n r n n 1n r r =ε⇒===ε =ε =ε −− − 11.10) ( Granville ) Ache uma fórmula aproximada para o volume de uma delgada coroa cilíndrica de raio R , altura h e espessura t . Volume do cilindro : hRV 2pi= Diferenciando V, tem-se : dr.h.R.2dV pi= Como dR = t , temos : t.h.R.2dV pi= 11.11) ( Piskounov ) Utilizando a noção de diferencial, explicar a proveniência das fórmulas aproximadas de 2 3 32 a3 b abae a2 b aba +≈++≈+ , em que | b | é um número pequeno em relação a a . Seja a função : xy = O incremento ∆y será : ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+⇒−∆+≅∆ No entanto, ∆x = dx e para pequenos valores de ∆x temos que dyy ≅∆ , o que nos permite escrever (1) como : ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ , onde x'.ydy ∆= Daí, a2 b abab. a2 1 aba dx. x2 1 xxx 2 2 22 +≅+⇒+≅+ +≅∆+ Analogamente, Seja a função : 3 xy = ( ) ( ) )2(dyxfxxf +≅∆+ Daí, 2 2 3 2 3 33 3 3 2 33 a3 b abab. a3 1 aba dx. x3 1 xxx +≅+⇒+≅+ +≅∆+ 12) Encontre a diferencial das seguintes funções : a) ( )x4x3Lny 2 −= Temos : dx.)x('fdy ou x.)x('fdy =∆= ( ) dx. x4x3 4x6 dy dx. x4x3 'x4x3 dy 2 2 2 − − = ∴ − − = b) xe 1x y + = Temos : dx.)x('fdy ou x.)x('fdy =∆= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] dx. e x dydx. e 1x1e dy dx. e e.1.1xe dy dx. e e.'x.1x1.e dy dx. e 'e.1x'1x.e dy xx2 x x2 xx x2 xx 2x xx − =∴ +− = +− = +− = +−+ = c) ( )6x5seny 2 += Temos : dx.)x('fdy ou x.)x('fdy =∆= ( ) ( ) ( ) dx.6x5cos.x10dy dx.6x5cos'.6x5dy 2 22 += ∴ ++= 13) ( Diva Flemming ) Uma caixa em forma de um cubo deve ter um revestimento externo com espessura de 1/4 cm. Se o lado da caixa é de 2 m, usando diferencial, encontrar a quantidade de revestimento necessária. O volume do cubo é dado por : 3xV = Note que o lado interno da caixa é 2m ou 200 cm . Ao acrescentar 1/4 cm (0,25 cm) de revestimento, o lado externo da caixa aumenta 0,5cm . Usando a definição de ∆y , temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ) exato volume( cm125,150.60V 2005,200V V2005,0200 Vxxx yxfxxf 3 33 33 33 ≅∆∴ −≅∆ ∆+≅+ ∆+≅∆+ ∆+≅∆+ Usando a definição de diferencial, temos: 3 2 2 cm000.60dV 5,0.2003dV x.x3dV x.)x('fdV =∴ ×= ∆= ∆= 14) ( Righetto e Ferraudo ) Ache o valor aproximado do volume de uma parede cilíndrica de altura 10 cm, cujo raio interno mede 5 cm e o externo 5,25 cm . O volume de um cilindro é dado por: h.r.V 2pi= Usando a definição de ∆y , temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ) exato volume( cm625,25V 250625,275V V25010.25,5. V10.5.10.25,05. yxfxxf 3 2 22 pi≅∆∴ pi−pi≅∆ ∆+pi≅pi ∆+pi≅+pi ∆+≅∆+ Usando a definição de diferencial, temos: 3cm25dV25,0.10.5..2dV x.h.r..2dV x.)x('fdV pi=∴pi= ∆pi= ∆= 10 cm 15) (Diva Flemming ) Ache o valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12m, raio interior 7m e espessura 0,05m . Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais ? O volume de um cilindro é dado por: h.r.V 2pi= Usando a definição de ∆y , temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) exato volume( m43,8V 705,7.12V 12.7.12.05,7.V V12.7.12.05,7. V12.7.12.05,07. yxfxxf 3 22 22 22 22 pi≅∆∴ −pi≅∆ pi−pi≅∆ ∆+pi≅pi ∆+pi≅+pi ∆+≅∆+ Usando a definição de diferencial, temos: 3m4,8dV 05,0.12.7..2dV x.h.r..2dV x.)x('fdV pi=∴ pi= ∆pi= ∆= Portanto, o erro cometido na aproximação usada vale : ∆V – dV = 8,43 pi - 8,4 pi = 0,03 pi m³ 16) ( Diva Flemming ) Use diferenciais para obter o aumento aproximado no volume da esfera quando o raio varia de 3 cm a 3,1 cm. O volume de esfera é dado por: 3R.. 3 4 V pi= Usando diferenciais, temos : 32 2 cm3097,11dV1,0.3..4dV R.R..4dV R.)V('fdV x.)x('fdy =∴pi= ∆pi= ∆= ∆= Observação: Usando a definição de ∆y , tem-se o aumento exato do volume : ( ) ( ) ( ) ( )[ ] cm6909,11V V31,3.. 3 4 V3.. 3 4 1,03.. 3 4 yxfxxf 3 33 33 ≅∆∴ ∆≅−pi ∆+pi≅+pi ∆+≅∆+ 17) ( Diva Flemming ) Um material está sendo escoado de um recipiente, formando uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é 12 cm, use diferenciais para obter a variação do raio que origina um aumento de 2cm³ no volume da pilha O volume de um cone é dado por : h.R.. 3 1 V 2pi= Como a altura h é sempre igual a R , podemos escrever o volume como : 3R.. 3 1 V pi= Usando a definição de diferencial, temos : ( ) x.x'fdy ∆= Adaptando ao exercício, temos :( ) cm0044209,0RR.12.2 R.r.dV R.r..3. 3 1 dV R.x'fdV 2 2 2 =∆→∆pi= ∆pi= ∆pi= ∆= Se usarmos a definição de ∆y , teremos: ( ) ( ) ( ) ( ) )1(yxfxxfxfxxfy ∆+≅∆+→−∆+≅∆ Adaptando ao problema, temos: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 0,0044193R : se-acima tem equaçãoa resolvendo ) grau 3º do equação ( 0R432R36)R( )R()R(.12.3R.12.3 3 2 )R()R(R3RR3 3 V R)R()R(R3RR3R 3 V RRR 3 V VR.. 3 1 RR.. 3 1 VVfRRf 623 322 322 33223 33 33 =∆ =−∆+∆+∆ ∆+∆+∆pi≅ ∆+∆+∆pi≅∆ −∆+∆+∆+pi≅∆ −∆+pi≅∆ ∆+pi≅∆+pi ∆+≅∆+ pi 18) ( Diva Flemming ) Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Estima-se que cada um de seus lados mede 1200m, com um erro máximo de 10 m. Usando diferencial, determinar o possível erro no cálculo da área do terreno. A área do quadrado é dada por : A = x2 Sendo o erro estimado de no máximo 10 m , tal erro pode ser para mais ou para menos . Usando a definição de diferencial, tem-se: ( ) ( ) ( ) 2m000.24dA10.1200.2dA 10.x.2dA x.x'fdy ±=∴±= ±= ∆= 19) ( Diva Flemming ) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de 50 placas quadradas com 40 cm de lado. Depois que recebeu as placas verificou que os lados das placas tinham 1/2 cm a mais. Usando diferencial, encontrar o aumento aproximado da porcentagem de tinta a ser usada. A área de um quadrado é dada por : 2xA = Como temos duas faces de cada placa a ser pintada, então : 2x.2A = E como temos 50 placas a serem pintadas, teremos finalmente : ∴= 2x.2.50A 2x.100A = Usando diferenciais, temos : 2cm000.4dA5,0.40.200dA 5,0.x.200dA x.x.200dA x.)x('fdy =∴= = ∆= ∆= A área total a ser pintada é : 22 cm000.160A40.2.50A =∴= Logo, o aumento percentual aproximado de tinta a ser usado vale: %5,2x 000.160 400.000 x % x ---------- 4.000 100% --------- 000.160 =∴= > > 20) ( Leithold ) A medida da aresta de um cubo é 15 cm, com um erro possível de 0,01 cm. Use diferenciais para encontrar o erro aproximado do cálculo (a) do volume ; (b) da área de uma das faces O volume de um cubo é dado por : 3xA = Usando a definição de diferencial , temos: ( ) 322 3 cm75,6dV01,0153dVx.x3dV x'.xdV x).x('fdy =∴××=→∆= ∆= ∆= A área de uma face do quadrado é dada por : 2xA = Usando a definição de diferencial, temos: ( ) 2 2 cm3,0dA01,0152dAx.x2dA x'.xdA x).x('fdy =∴××=→∆= ∆= ∆= 21) ( Leithold ) Uma caixa de metal na forma de um cubo deve ter um volume interior de 1.000 cm³. Os seis lados são feitos de metal com 1/2 cm de espessura. Se o custo do material for de R$ 0,20 por centímetro cúbico, use diferenciais para encontrar o custo aproximado do metal a ser usado na confecção da caixa. Como o volume interno 1000xV 3 == , então : 3 1000x = que é o lado interno do cubo. Aplicando a diferencial, temos: ( ) 3 3 2 23 2 cm300dV 1000.3dV 0,5)0,5 ( 1.1000.3dV x.x3dV x.)x('fdV =∴ = += ∆= ∆= Sendo R$ 0,20 o custo por cm³ na fabricação do metal, teremos: 00,60$RCusto30020,0Custo =→×= 22) ( Leithold ) O talo de determinado cogumelo tem uma forma cilíndrica e um talo com 2 cm de altura e r cm de raio tem um volume de V cm³, onde V = 2 pi r². Use a diferencial para encontrar o aumento aproximado no volume do talo, quando o raio passa de 0,4 para 0,5 cm. r..4'Vr..2V 2.r.V h.r.V 2 2 2 pi=→pi= pi= pi= Se o raio passa de 0,4 para 0,5 cm , então ∆ r = 0,1 cm Usando diferenciais, teremos: ( ) ( ) 3cm628,0dV1,0.5,0..4dV 0115,0.r..4dV r'.VdV x).x('fdy =∴pi= −pi= ∆= ∆= 23) ( Leithold ) Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo, tal que se r cm for o raio e A cm² for a área da queimadura, então A = pi r². Use a diferencial para encontrar o decréscimo aproximado da área da queimadura quando o raio passa de 1 para 0,8cm. r..2'Vr.V 2 pi=→pi= Se o raio passa de 1 para 0,8 cm , então ∆ r = - 0,2 cm Usando diferenciais, teremos: ( ) 3cm4,0dV2,0.1..2dV 2,0.r..2dV r'.VdV x).x('fdy pi=∴−pi= −pi= ∆= ∆= Observação : Sendo ∆V = - 0,2 é imediato que devemos usar o módulo do mesmo, pois caso contrário teríamos um volume negativo , o que não teria sentido. 24) ( James Stewart ) Use diferenciais para estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma camada de 0,05 cm de tinta a um domo com diâmetro de 50 m . O volume de esfera é dado por: 3R.. 3 4 V pi= Usando diferenciais, temos : 33 2 2 m500.12oucm000.250.1dV 05,0.2500..4dV R.R..4dV R.)V('fdV x.)x('fdy pipi=∴ pi= ∆pi= ∆= ∆= Usando a definição de ∆y , tem-se o aumento exato do volume : ( ) ( ) ( ) ( )[ ] cm.025.250.1V V250005,2500.. 3 4 VR.. 3 4 xx.. 3 4 yxfxxf 3 33 33 pi≅∆∴ ∆≅−pi ∆+pi≅∆+pi ∆+≅∆+ 25) ( Leithold ) A medida da resistência elétrica de um fio é proporcional à medida de seu comprimento e inversamente proporcional ao quadrado da medida de seu diâmetro. Suponha que a resistência de um fio de um determinado comprimento seja calculada a partir da medida de seu diâmetro, com um erro possível de 2% . Ache o erro percentual possível no cálculo do valor da resistência. Pela informação dada no problema, temos que: 2e D L kR = onde, Ré é a resistência elétrica e k uma constante de proporcionalidade. Como o comprimento do fio é determinado, então L também é constante. Aplicando a diferencial, temos: ( ) ( ) ( ) eeee2e4 2 e 4e 4e ee R%4dRouR04,0dR D L.k.04,0 dR D D.04,0.L.k dR D D02,0.D2.L.k dR D D.D2.L.k dR D'.RdR ±=±=∴ ± =→ ± = ±− = ∆− = ∆= ** O erro percentual equivale a 4% do valor da resistência calculada. 26) ( Granville ) O tempo de uma oscilação de um pêndulo é dado pela fórmula g L..4 T 2 2 pi = onde T é medido em segundos, g = 32,2 e L , o comprimento do pêndulo, é medido em centímetros. Achar (a) o comprimento de um pêndulo oscilando uma vez por segundo; (b) a mudança em T quando o pêndulo de (a) é alongado de 0,01 cm; (c) de quanto se atrasará ou se adiantará por dia um relógio com este erro ? O tempo necessário para uma oscilação completa ( ida e volta ) de um pêndulo, é denominado de período (T ). a) Se o pêndulo oscila uma vez por segundo, então T = 1 seg. e, daí, cm815,0L 4 2,32 L 2,32 L..4 1 g L..4 T 2 2 2 2 2 =∴ pi =⇒ pi =⇒ pi = b) Podemos escrever a fórmula dada como : .seg00613,0T 2 T12,32 01,0T. 2 T.g dL : teremosl,diferenciaa aplicando e 4 T.g L 22 2 2 =∆∴ pi ∆×× =⇒∆ pi = pi = c) A fórmula dada nos diz que T é diretamente proporcional a L , ou seja, quanto maior o comprimento do pêndulo, maior o tempo gasto para uma oscilação completa. Logo, ocorrendo um aumento de 0,01 cm no comprimento, ocorrerá um atraso de 0,00613 seg. / oscilação. Durante um dia, ou seja, 24 h , temos : dia/oscilações86400h24.seg3600min60h1 =×⇒⇒ Como em cada oscilação ocorre um atraso de 0,00613 seg., temos : dia/.seg632,52900613,086400.osc seg dia .osc =× daí, .seg49yseg. ymin 0,8272 seg. 60 min1 e .min8272,8xseg. 529,632 x seg 60 min1 =⇒ → → =⇒ → → Portanto, em 24 horas , teremos um atraso de 8 min 49 seg. Solução Alternativa : seg006,0seg 163 1 dT 815,02 01,01 L2 dLT dT T dT 2 L dL dT. gT 4 . 2 Tg 4 gT dT. 2 Tg L dL 2 2 2 2 2 2 ≈≈∴ × × ==∴=→ pi pi = pi pi = Como queremos dT por dia, multiplicamos por 24h e depois por 60 minutos : dia porseg49min8dTdiamin/83,8 163 1440 6024 163 1 dT ≈∴≈=××= 27) ( Leithold ) Se t segundos for o tempo necessário a uma oscilação completa de um pêndulo simples com L metros, então 4 pi² L = g t² , onde g = 9,8 m/s². Um relógio tendo um pêndulo com 1 m de comprimento adianta 5 min por dia. Ache aproximadamente o quanto deve aumentar o comprimento do pêndulo para que o relógio seja acertado. Temos : seg2t02,4t 8,9 1..4 g L..4 t 22 2 ≅∴=⇒ pi = pi = Ou seja, t = 2 seg é o tempo de uma oscilação completa. Sabemos que em 1 dia temos 86.400 seg. e como uma oscilação completa leva 2 seg. , então em 1 dia temos 43.200 oscilações, isto é, 43.200 osc./dia . Se o relógio adianta 5 min/dia ou 300 seg./dia , temos : .osc/.seg00694,0 dia/.osc200.43 dia/.seg300 = ou seja, a cada oscilação completa (de 2 seg.) , o relógio adianta 0,00694 seg. Aplicando a diferencial, temos: cm7,0dLoum00689,0dL 2 00694,028,9 dL t. 2 t.g dL t.' 4 t.g dL 2 2 2 2 ≅=∴ pi ×× = ∆ pi = ∆ pi = ou seja, o comprimento do pêndulo deve ser aumentado de aproximadamente 0,7 cm a fim de que o relógio seja acertado. Solução alternativa : 144 1 L dL 60.24 5 .2 t dt .2dt. gt 4 . 2 t.g 4 gt dt. 2 t.g L dL 2 2 2 2 2 2 =∴== pi pi = pi pi = Segue daí, que : cm7,0m007,0m 144 1 dL 144 1 144 L dL 144 1 L dL ≈≈≈∴==⇒= Acréscimo ou decréscimo no período Período total 28) ( Munen Foulis ) O período de oscilação de um pêndulo de comprimento L unidades é dado por g/L2T pi= , onde g é a aceleração da gravidade em unidades de comprimento por segundo e T está em segundos. Ache a percentagem aproximada que o pêndulo de um relógio de pé terá se alongado se o relógio adianta 3 minutos em 24 horas. De g/L2T pi= 2 22 2 .4 T.g L g L..4 T : deduz se pi =⇒ pi = ou seja, T seg é o tempo de uma oscilação completa . Sabemos que em 1 dia temos 86.400 seg. e como uma oscilação completa leva T seg. , então em 1 dia temos T 400.86 osc./dia . Se o relógio adianta 3 min/dia ou 180 seg./dia , temos : .osc/.segT.002,0 dia/.osc T 400.86 dia/.seg180 ≅ ou seja, a cada oscilação completa (de T seg.) , o relógio adianta 0,002.T seg. Aplicando a diferencial, temos: compr. de unidades T.g.001,0 dL 2 T.002,0Tg dL t. 2 T.g dL 2 2 2 2 pi =∴ pi ×× = ∆ pi = Daí, % 0,4xx x dL 100% 100% L 2 2 2 2 gT0,001 4 gT =∴→→ → → pi pi ou seja, o comprimento do pêndulo será alongado em aproximadamente 0,4% Solução alternativa : 144 1 L dL 60.24 5 .2 t dt .2dt. gt 4 . 2 t.g 4 gt dt. 2 t.g L dL 2 2 2 2 2 2 =∴== pi pi = pi pi = Segue daí, que : cm7,0m007,0m 144 1 dL 144 1 144 L dL 144 1 L dL ≈≈≈∴==⇒= Acréscimo ou decréscimo no período Período total 28.1) ( H. B. Phillips ) O período de vibração de um pêndulo simples de comprimento L é g L 2T pi= Se um relógio atrasa 1 segundo por dia, determinar aproximadamente o erro do comprimento do seu pêndulo. Temos : ( ) 2 22 2 4 Tg L 2 gT L g L 2 g L 2T pi =∴ pi =⇒pi=pi= onde T é o tempo de uma oscilação completa (em segundos) . Sabemos que em 1 dia temos 86400 segundos e como uma oscilação completa leva T segundos , então em 1 dia temos T 400.86 osc./dia . Se o relógio atrasa 1 seg/dia, temos : .osc/.seg 86400 T dia/.osc T 400.86 dia/.seg1 ≈ ou seja, a cada oscilação completa (de T seg.) , o relógio atrasa 86400 T segundos . Aplicando a diferencial, temos: compr. de unidades 86400.2 T.g dL 86400.2 TTg dL dT. 2 T.g dL 2 2 2 2 pi =∴ pi ×× = pi = Daí, 43200 L dL 43200 1 L dL Tg 4 . 86400.2 Tg 4 gT 86400.2 Tg L dL 2 2 2 2 2 2 2 2 =⇒=∴ pi pi = pi pi = Solução alternativa : 43200 1 L dL 60.60.24 1 .2 t dt .2dt. gt 4 . 2 t.g 4 gt dt. 2 t.g L dL 2 2 2 2 2 2 =∴== pi pi = pi pi = Segue daí, que : 43200 L dL 43200 1L dL 43200 1 L dL ≈∴ × =⇒= Acréscimo ou decréscimo no período Período total 28.2) ( George B Thomas ) Quando o comprimento L do pêndulo de um relógio é mantido constante, controlando-se a temperatura, o período T do pêndulo depende da aceleração g da gravidade. Portanto, o período variará ligeiramente à medida que o relógio for deslocado para diferentes posições na superfície da Terra, dependendo das variações de g . Acompanhando-se as variações de ∆T , podemos estimar a variação de g pela equação ( ) 21g/L2T pi= que relaciona T , g e L . (a) Mantendo-se L constante e sendo g a variável independente, calcule dT e use-o para responder aos itens (b) e (c) . (b) Se g aumenta, T vai aumentar ou diminuir ? Um relógio de pêndulo adiantará ou atrasará ? Explique. (c) Um relógio cujo pêndulo mede 100cm é deslocado de um lugar (onde g = 980cm/s2 para outro. Isso aumenta o período em dT = 0,001 s. Determine dg e estime o valor de g nesse outro lugar. (a) Diferenciando, com L constante, tem-se dg. g L. dTdg. g L. dT dg. g L . g L .dT dg. g L . g L .2. 2 1 dT dg'.TdT 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 pi− =⇒ pi− −= pi−= − pi= = − − − (b) Se g aumenta ⇒ dT diminui ( inversamente proporcionais ) ; Se o período dT diminui ⇒ comprimento L diminui ⇒ o pêndulo do relógio aumenta de velocidade adiantando o horário pois fará mais oscilações por unidade de tempo. (c) Estimativa de g na outra localidade : 2 3 3 3 s/cm976,0dg 100. 980.001,0 dg dg. 980 100. 001,0 dg. g L. dT −≈⇒ pi− = pi− = pi− = Daí, ( ) ( ) ( ) ( ) 23 2223 3 3 3 3 s/cm979g9770g9770g9760g 9760g 001,0 976,0.100. g 976,0. g 100. 001,0 dg. g L. dT 3 2 ≈⇒pi=⇒pi=⇒pi= pi= pi = − pi− = pi− = 28.3) ( Swokowski ) A fórmula g L2T pi= relaciona o comprimento L de um pêndulo com seu período T ; g é uma constante gravitacional. Que variação percentual do comprimento L corresponde a um aumento de 30% no período T ? Podemos escrever a fórmula do período da seguintemaneira : g L 2T g L 2T pi=→pi= Diferenciando, tem-se : dL. Lg dTdL. L2 1 . g 2 dT pi =∴ pi = Daí, L dL 2 1 T dT dL L2 g . Lg g L2 dL. Lg T dT =∴ pi pi = pi pi = Sendo o aumento no período T de 30% ou 0,3 , então dT/T = 0,3 e, daí, %601006,0100 L Ld 6,0 L dL L dL 2 1 3,0 percentvariação ≈×=× →= = Verificação : Suponha L = 10 cm e que dL = 6 cm , isto é, 60% de L . Então, g 96,5 dT6. 10g dL. Lg dT ≈⇒ pi = pi = Daí, %303,0 T dT 102 96,5 102 g g 96,5 g 102 g 96,5 T dT ≈≈⇒=== pipipi 29) ( Munen Foulis ) A força atrativa entre partículas elétricas de cargas opostas é dada por F = k/x² , onde x é a distância entre as partículas e k é uma certa constante. Se x cresce de 2%, ache a porcentagem aproximada de decréscimo de F . Se 2x k F = Então : F%4dF x k .04,0 x x02,0.x.k.2 dF x x.x.k.2 dF x'.FdF 24 4 −=∴−= − = ∆− = ∆= Obviamente o sinal negativo de dF pode ser desconsiderado, uma vez tratar-se de um decréscimo de F . Perceba que F é inversamente proporcional à distância x . 30) ( Munen Foulis ) A região entre dois círculos concêntrico no plano é chamada de ânulo . Achar : (a) a área de um ânulo de raio interno 5 cm e raio externo 81/16 cm ; (b) uma aproximação para a área exata encontrada na parte a) pelo uso de diferenciais. a) Utilizando a definição de ∆y, temos: ( ) ( ) ( ) ( ) cm6289,0A A25.6289,25. A5.0625,05. AR.RR. yxfxxf 2 22 22 pi≅∆∴ ∆+pi≅pi ∆+pi≅+pi ∆+pi≅∆+pi ∆+≅∆+ b) Utilizando diferenciais, temos: ( ) 2 2 cm625,0dA 0625,052dA R.R..2dA R.'R.dA pi=∴ ××pi×= ∆pi= ∆pi= 31) ( Munen Foulis ) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta segundo a equação 3t2tS 33 1 +−= , onde t é o tempo decorrido em segundos e S é a distância orientada, medida em metros, da origem até a partícula. Ache a distância aproximada coberta pela partícula no intervalo de t = 2 até t = 2,1 segundos. De t = 2 até t = 2,1 seg. temos ∆t = 0,1 seg. Aplicando diferenciais, temos : ( ) ( ) m2,0dS1,0.22dSt.2tdS t'.SdS 22 =∴−=→∆−= ∆= 32) ( James Stewart ) Sabe-se que um lado de um triângulo retângulo mede 20 cm de comprimento e o ângulo oposto foi medido como 30°, com um erro possível de ± 1°. (a) use diferenciais para estimar o erro no cálculo da hipotenusa; (b) qual é o erro percentual ? a) Sabendo que : a 20 hipotenusa oposto cateto sen ==θ Então : θ = sen 20 a Daí , usando a diferencial, tem-se: ( ) cm21,1da 180 . 30sen 30cos.20 da 180 . sen cos.20 da 1. sen cos.20 da . sen cos.20 da '.ada 2 2 2 2 ±=→ ° pi± ° °− = ° pi± θ θ− = °± θ θ− = θ∆ θ θ− = θ∆= Conclusão : Um aumento (diminuição) de 1° implica na diminuição (aumento) de aproximadamente 1,21 cm na medida da hipotenusa . b) O erro percentual será: %303,0 40 21,121,1 a da 30sen 20 ±=ε→±= ± = ± ==ε ° Conclusão : Um aumento (diminuição) de 1° implica na diminuição (aumento) de aproximadamente 3% na medida da hipotenusa . Para efeitos de melhor visualização foi feito um corte transversal na esfera . 33) ( James Stewart ) A circunferência de uma esfera mede 84 cm, com erro possível de 0,5 cm. (a) Use diferenciais para estimar o erro máximo na área calculada da superfície. Qual o erro relativo? (b) Utilize as diferenciais para estimar o erro máximo no volume calculado. Qual o erro relativo? a) O comprimento C da circunferência é dado por : cm 42 RR284R2C pi =∴pi=→pi= O erro possível na medida da circunferência da esfera é a variação ∆C do comprimento da circunferência da esfera, ou seja, ∆C = 0,5 cm . Para esta variação temos uma correspondente variação ∆R no raio da circunferência ( ou da esfera ) : cm 25,0 RR.25,0R2C pi =∆∴∆pi=⇒pi=∆ A área de uma superfície esférica é dada por : 2R4A pi= Daí, 2 2 cm27dA 25,0428 dA 25,0R 8dA R'.AdA ≈∴ pi ××pi× =→ pi × pi pi= ∆= O erro relativo ε obtém-se pela relação A dA =ε : ( ) %2,1ou012,02422 4 27 R4 27 =ε≈ε∴==ε pi pipi b) O volume da esfera é dado por : 3 3 4 RV pi= Daí , ³cm179 1764 dV 25,0 . 42 4dV R.R4dV V'.VdV 2 2 2 ≈ pi =→ pi pi pi= ∆pi= ∆= O erro relativo ε obtém-se pela relação V dV =ε : ( ) %8,1018,056 1 424 31764 R 3342 3 4 1764 3 3 4 1764 22 =≈=ε→ × × = pi = pi =ε pi pipi 34) ( James Stewart ) Quando o sangue flui ao longo de um vaso sanguíneo, o fluxo Φ (o volume de sangue por unidade de tempo que passa por um ponto dado) é proporcional à quarta potência do raio R do vaso : Φ = k R4 . Esta equação é conhecida como a Lei de Poiseuille . Uma artéria parcialmente obstruída pode ser alargada por uma operação chamada angioplastia, na qual um cateter-balão é inflado dentro da artéria a fim de aumentá-la e restaurar o fluxo normal do sangue. Mostre que uma variação relativa em Φ é cerca de quatro vezes a variação relativa em R . Como um aumento de 5% no raio afeta o fluxo do sangue ? a) dR.kR4d dR'.FR'.d kR 3 4 =Φ =∆Φ=Φ =Φ A variação relativa do fluxo Φ obtém-se fazendo-se dΦ/Φ : R dR 4 d kR dRkR4d 4 3 = Φ Φ →= Φ Φ expressão esta que nos mostra que a variação relativa de Φ é quatro vezes a variação relativa de R . b) F2,0dkR2,0dR05,0.kR4d dR.kR4d 43 3 =Φ∴=Φ→=Φ =Φ Logo, um aumento de 5% no raio acarreta um aumento de 20% no fluxo . 35) ( James Stewart ) Se uma corrente i passar por um resistor com resistência R, a Lei de Ohm afirma que a queda de voltagem é V = Ri . Se V for constante e R for medida com um certo erro, use diferenciais para mostrar que o erro relativo no cálculo de I é aproximadamente o mesmo (em módulo) que o erro relativo em R . Sendo RiV = , podemos escrever : R V i = Aplicando diferenciais, temos : dR. R V di dR'.idi 2−= = Sendo R dR Ri di i e =ε=ε os erros relativos no cálculo de i e R respectivamente, teremos: RiR R V R V i R dRdR.2 ε=ε→ε== − =ε 36) ( George B Thomas ) Um agrimensor a 30 metros da base de um edifício mede o ângulo de elevação até o topo do edifício como 75°. Que exatidão deve apresentar a medição desse ângulo para que o erro percentual na estimativa da altura do edifício seja inferior a 4% ? Temos : θ=∴=θ tg.30h 30 h tg Aplicando diferenciais, temos: ( ) θ θ =⇒θθ= θθ= 2 2 cos d.30 dhd.sec.30dh d'.tg.30dh Queremos que: rad01,0d75cos.75tg.04,0d cos.tg.04,0d tg.30.%4 cos d.30 h%4dh 2 2 2 <θ⇒°°<θ θθ<θ θ< θ θ < Por uma regra de três, temos: °=∴°> °>pi 57,0x x ----- rad 0,01 180 ----- rad Portanto, dθ = 0,57 o , ou seja, o ângulo deve ser medido com um erro menor que 0,57 o , que é um erro percentual de aproximadamente 0,76% . 36.1) (George B Thomas ) A altura e o raio de um cilindro reto são iguais. Sendo o volume desse cilindro dado por V = piR²h , o mesmo deve ser calculado com erro não maior que 1% em relação ao valor real. Determine aproximadamente o maior erro que pode ser tolerado na medida de h , expressando-o como porcentagem de h . A fórmula do volume é dada por : hRV 2pi= Como R = h , temos : 3hV pi= Diferenciando, temos : 22 2 2 h V003,0 dh h3 V01,0 dh dh.h3V01,0 dh.h3dV dh'.VdV pi =→ pi = pi= pi= = Logo, o maior erro percentual na medida da altura será: %003,0 V V003,0 h V003,0 hh dh 3 1 3 h V003,0 2 =ε⇒== pi ===ε pi O maior erro admissível no cálculo do volume é de 1% sobre o próprio volume (original) , ou seja, dV = 0,01.V 37) ( George B Thomas ) Aproximadamente que exatidão deve ter a medição do diâmetro interno de um tanque cilíndrico de armazenagem com 10 m de altura para que o cálculo de seu volume fique a 1% do valor real ? Aproximadamente que exatidão deve ter a medição do diâmetro externo desse tanque para que o cálculo da quantidade de tinta para pintar sua parede fique a no máximo 5% da quantidade real ? (a) O volume do cilindro é , podendo ser escrito como : 4 hD V 2pi = Então : ii iiii dD.D5dV 4 dD.10.D2 dV 4 dD.hD2 dV pi=∴ pi =→ pi = Devemos ter que : iiii i i 2 i ii D% 2 1 dDD 200 1 dD 54 10D01,0 dD 4 hD .01,0dD.D5 V%1dV ≤∴≤⇒ × ×× ≤ pi ≤pi ≤ Nota: perceba que V%1dVV%1V.dVV dV ≤⇒=ε=⇒=ε , o que irá recair na equação anteriormente encontrada em (b) A área do cilindro é : Rh2S pi= , podendo ser escrito como : e ee D10S 2 10D2 2 hD2 S pi=⇒ pi = pi = Então : edD.10dS pi= Devemos ter que : eeee D%5dDD10%5dD.10 S%5dS ≤∴×pi×≤pi ≤ Nota: perceba que : S%5dSS%.5S.dSS/dS ≤∴=ε=⇒=ε , o que irá recair na equação anteriormente encontrada em hRV 2pi= (*) (*) (**) (**) 38) ( George B Thomas ) Uma empresa foi contratada para cunhar moedas para o governo federal. Que variação dr pode ser tolerada no raio r das moedas para que o peso das moedas não exceda 1/1.000 do peso ideal ? Suponha que não haja variação da espessura das moedas. Em outras palavras, o problema pede a variação dr do raio das moedas para que o volume das mesmas não exceda ( )%001,0 10 1 000.1 1 == do volume real, isto é, ( )V%V001,0VdV 2 1 000.1 1 ==≤ O volume é : hRV 2pi= e como não há variação na espessura, temos h = constante . Daí, dR.h2dVdR'.VdV pi=⇒= Logo, ( ) R%05,0dRR%dRRdR hR001,0dR.Rh2 V001,0dV 20 1 2 001,0 2 ≤⇒≤⇒≤ pi≤pi ≤ ou seja, a tolerância admitida no raio das moedas poderá ser de até 0,05% . 39) ( George B Thomas ) O lucro P de certo fabricante, ao vender x itens, é 400 x ex200)x(P − = reais Estime a variação e a variação percentual conforme as vendas aumentam de x = 145 para x = 150 itens. Para o cálculo da variação percentual, podemos calculá-la de duas formas : %2,2022,0 145 5. 400 145 1 x dx. 400 x 1 e.x.200 dx. 400 x 1e.200 P dP 400 x 400 x =ε⇒= − = − = − ==ε − − ou por simples regra de três : ( ) reais66,443dp5. 400 145 1e.200dP dx. 400 x 1e.200dP dx.1.ee..x200dP dx'.PdP 400 145 400 x 400 x 400 x 400 1 =⇒ −= −= += = − − −− − ( variação do lucro ) 40) ( George B Thomas ) A quantidade de trabalho realizado pela principal câmara de bombeamento do coração, o ventrículo esquerdo, é dada pela equação g2 vV PVW 2δ += onde W é o trabalho por unidade de tempo, P é a pressão arterial média, V é o volume de sangue bombeado por unidade de tempo, δ é a densidade do sangue, v é a velocidade média do sangue ejetado e g é a aceleração da gravidade. Quando P, V, δ e v permanecem constantes, W se torna uma função de g e a equação toma a forma de ) constantes b a, ( g b aW += Como membro da equipe médica da Nasa, você quer saber qual é a sensibilidade de W às variações aparentes de g causadas pelas manobras de vôo, e isso depende do valor inicial de g . Como parte de seu estudo você decide comparar o efeito em W causado por dada variação dg na superfície da Lua, onde g = 5,2 pés/s2, com o efeito que a mesma variação dg teria na Terra, onde g = 32 pés/s2. Utilize a equação simplificada para determinar a razão dWLua sobre dWTerra . Aplicando a diferencial na Lua, temos Lua2LuaLua2 Lua Lua LuaLuaLua dg. 2,5 b dWdg. g b dW dg.'WdW −=⇒−= = Aplicando a diferencial na Terra, temos Terra2TerraTerra2 Terra Terra TerraTerraTerra dg. 32 b dWdg. g b dW dg.'WdW −=⇒−= = A razão procurada é Terra Lua dg.04,27 dg.1024 Terra Lua Terra1024 b Lua04,27 b Terra Lua Terra 32 b Lua 2,5 b Terra Lua dg dg .87,37 dW dW dg. dg. dW dW dg. dg. dW dW Terra Lua 2 2 ⇒= − − = − − = Como o problema diz que uma variação dg na Lua deverá ter a mesma variação dg na Terra, então Terra dgdgLua = , e a equação acima pode ser escrita como 87,37 dW dW dg dg .87,37 dW dW Terra Lua Lua Lua Terra Lua =⇒= Portanto, uma mudança de gravidade na Lua tem cerca de 37,87 vezes o efeito que uma mudança da mesma magnitude tem na Terra . 41) ( Munen Foulis ) O preço total em reais de produção de x brinquedos é 75x11 100 x3 15000 x C 23 ++−= , e cada brinquedo é vendido a R$ 10,00 . (a) Ache o lucro total L em função de x. (b) Ache dL em termos de x e dx. (c) Quando o nível de produção varia de x = 350 para x = 355 qual a variação aproximada em P (a) O lucro total será : 75x 100 x3 15000 x L75x11 100 x3 15000 x x10L Cx10L 2323 −−+=⇒−−+−= −= (b) dx.1 50 x3 5000 x dLdx.1 100 x6 15000 x3 dL dx'.LdL 22 −+=⇒ −+= = (c) Como ∆x = dx = 355 – 350 ⇒ dx = 5 e, daí, reais 52,227dL5.1 50 3553 5000 355 dL dx.1 50 x3 5000 x dL 2 2 =⇒ − × += −+= 42) ( Munen Foulis ) A lei de expansão adiabática de um certo gás é CPV 7,1 = , onde V é o volume do gás, P é a pressão do gás e C é uma constante. Deduza a equação 0 V dV7,1 P dP =+ Se P for função de V ⇒ P = f(V) ⇒ 7,1V C P = Diferenciando, temos dV.V.C.7,1dPdV. V V.C.7,1 dP dV'.VdP 7,2 4,3 7,0 − −=⇒ − = = Daí, V dV7,1 dV.V.7,1 C dV.V.V.C.7,1 V C dV.V.C.7,1 P dP 1 7,17,2 7,1 7,2 − =−= − = − = − −− A sequência de igualdades acima se resume a : 0 V dV7,1 P dP V dV7,1 P dP =+⇒ − = 43) ( Howard Anton ) Uma barra de metal medindo 15 cm de comprimento e 5 cm de diâmetro está coberta, exceto nas pontas, por uma camada de isolante com uma espessurade 0,1 cm Use diferenciais para estimar o volume do isolante. {Sugestão : Seja ∆V a variação no volume da barra.} CRV 2pi= onde C é o comprimento do fio e R = D/2 3cm56,23 2 15 dV 1,0.15.5,2.2dV dR.C.R.2dV dR'.VdV ≈ pi =⇒ pi= pi= = 44) ( Howard Anton ) O tempo necessário para uma oscilação completa de um pêndulo é denominado período . Se o comprimento L do pêndulo e a oscilação forem pequenos, então o período será dado por g/L2P pi= , onde g é a aceleração constante devida à gravidade. Use diferenciais para mostrar que o erro percentual em P é aproximadamente a metade do erro percentual em L . g L2 Pg/L2P pi =⇒pi= Então, L.g dL. dPdL. L2 1 . g 2 dP pi =⇒ pi = Daí, L2 dL L2 g . L.g dL. g L2 L.g dL. P dP = pi pi = pi pi = A seqüência de igualdades acima se reduz a : L dL %50 L dL 5,0 L dL 2 1 P dP === Û LP %50 ε=ε 45) ( Howard Anton ) Se a temperatura T de uma barra de metal medindo L de comprimento variar por uma quantidade ∆T, então o comprimento irá variar por uma quantidade ∆L = α L ∆T , onde α é denominado coeficiente de expansão linear . Para variações moderadas na temperatura, α pode ser considerado constante. (a) Suponha que a barra tem 40 cm de comprimento a 20°C e, quando a temperatura passa a ser 30°C, o comprimento encontrado é de 40,006 cm. Encontre α . (b) Se um poste de alumínio tem um comprimento de 180 cm a 15°C, qual será seu comprimento se a temperatura for elevada para 40°C ? { Tome α = 2,3x10-5 /°C. } (a) C/105,1 400 006,40 10.40.006,0 T.L.L 5 °×=α∴=α⇒α= ∆α=∆ − (b) cm1,0L25.180.103,2L T.L.L 5 =∆⇒×=∆ ∆α=∆ − Logo, o comprimento total do poste será de L = 180,1 cm 46) ( Howard Anton ) O lado de um quadrado mede aproximadamente 10 m, com erro possível de ± 0,1 m. (a) Use diferenciais para estimar o erro na área calculada. (b) Estime o erro percentual no lado e na área. ( ) 2 2 m2dS1,0102dS dL.L2dS LS ±=⇒±××= = = Erro percentual no lado : %1100. 10 1,0 100. L dL LL ±=ε⇒ ± ==ε Erro percentual na área : %2100. 100 2 100. S dS SS ±=ε⇒ ± ==ε 47) ( Howard Anton ) O lado de um cubo mede aproximadamente 25 cm, com erro possível de ± 1 cm (a) Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado. (b) Estime os erros percentuais no lado e no volume. ( ) 32 2 3 cm1875dV1253dV dL.L3dV LV ±=⇒±××= = = Erro percentual no lado : %4100. 25 1 100. L dL LL ±=ε⇒±==ε Erro percentual no volume : %12100. 25 1875 100. V dV V3V ±=ε⇒ ± ==ε ou ( ) %12100%43100. L dL.3 100. L dL.L3 100. V dV V3 2 V ±=ε⇒×±×====ε 48) ( Howard Anton ) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede exatamente 10 cm, e um dos ângulos agudos mede 30°, com erro possível de ± 1°. (a) Use diferenciais para estimar os erros nos lados opostos e adjacente ao ângulo medido. (b) Estime os erros percentuais nos lados. (a) Estimativa do erro na medida dos lados oposto e adjacente : senx10.asenxhipotenusaa =⇒×= ( ) cm151,0da 180 . 2 3 .10da 1.30cos.10da dx.xcos.10da ±=⇒pi±= °±°= = xosc10.bxoschipotenusab =⇒×= ( ) cm087,0db 180 . 2 1 .10db 1.30sen.10db dx.senx.10db ±=⇒pi±= °±°−= −= (b) Estimativa dos erros percentuais dos lados : %3100. 30sen.10 151,0 100. a da aa ±=ε⇒ ° ± ==ε %1100. 30cos.10 087,0 100. b db bb ±=ε⇒ ° ± ==ε ± 4% = 0,04 49) ( Howard Anton ) Um lado de um triângulo retângulo mede exatamente 25 cm. O ângulo oposto a este lado mede 60°, com erro possível de ± 0,5°. (a) Use diferenciais para estimar o erro no lado adjacente e na hipotenusa. (b) Estime os erros percentuais no lado adjacente e na hipotenusa. Considerando o triângulo retângulo cinza, seja : x = cateto adjacente ao ângulo θ = 60° ; y = hipotenusa ; 25 = cateto oposto ao ângulo θ = 60° . Então, θ =⇒=θ sen 25 y y 25 sen e θ =⇒=θ tg 25 x x 25 tg Daí, ( ) ( ) cm145,0dy 180 5,0 . 60sen 60cos.25 60sen 5,0.60cos.25 dy sen dx.xcos.25 dy 22 2 ±≈⇒ ° pi± ° °− = ° °±°− = θ − = ( ) ( ) cm291,0dx 180 5,0 . 60tg.60cos 25 60tg 5,0.60sec.25 dx xtg dx.xsec.25 dx 222 2 2 2 ≈⇒ ° pi± °° − = ° °±°− = − = Erro percentual no lado adjacente : %2100 291,0 100 x dx x 60tg 25x ±≈ε⇒× ± =×=ε ° Erro percentual na hipotenusa : %5,0100 145,0 100 y dy y 60sen 25y ±≈ε⇒× ± =×=ε ° 50) ( Howard Anton ) A resistência elétrica R de um fio é dada por R = k/r 2 , onde k é uma constante e r , o raio do fio. Supondo que o raio tenha um erro possível de ±5% , use diferenciais para estimar o erro percentual em R ( supondo k exato ). Se o raio tem um erro de ± 5% (ou ± 0, 05), então dr = ± 0,05.r Diferenciando a função ℜ , tem-se : ( ) 2442 r k1,0 d r r.05,0.r.k.2 r dr.r.k.2 d r k ± =ℜ∴±−=−=ℜ⇒=ℜ daí, %10d1,0 r k r k1,0 d 2 2 ±=ℜ⇒±= ± = ℜ ℜ =εℜ 51) ( Howard Anton ) Uma escada com 12 m está apoiada em uma parede e faz um ângulo θ com o chão. Se o topo da escada está a uma altura de h metros na parede, expresse h em termos de θ e, então, use dh para estimar a variação em h se θ variar de 60° a 59° . A função a ser utilizada será : θ=⇒=θ sen.12h 12 h sen Se θ varia de 60° para 59° , temos dθ = - 1° daí, ( ) cm5,10dhoum105,0dh 180 . 2 1 .12dh 1.60cos.12dh d.cos.12dh −≈−≈∴ pi− = °−°= θθ= Logo, uma diminuição de 1° no ângulo da escada com o chão fará com que a mesma desça aproximadamente 10,5 cm. 52) ( Howard Anton ) A área de um triângulo retângulo com uma hipotenusa H é calculada pela fórmula θ= 2senHA 2 4 1 , onde θ é um dos ângulos agudos. Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H = 4 cm (exatamente) e θ = 30° com erro possível de ± 15’ . Sendo H = 4 fixo (constante), podemos escrever a fórmula dada como: θ=∴θ=→θ= 2sen4A2sen4A2senHA 2 4 12 4 1 Diferenciando, tem-se : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 180 25,0 cm017,0dA. 2 1 .8dA 25,0.60cos.8dA 25,0.30.2cos.8dA d.2cos.2.4dA ±≈→ ±= °±°= °±°= θθ= pi Nota : 15’ é a quarta parte de 1° , ou seja, 0,25° 53) ( Howard Anton ) Se a temperatura T de um sólido ou líquido com volume V for alterada por uma quantidade ∆T, então o volume irá variar por uma quantidade ∆V = β.V. ∆T , onde β é denominado coeficiente de expansão volumétrica. Para variações moderadas na temperatura, β pode ser considerado constante. Suponha que um caminhão-tanque carregue 4.000 galões de álcool etílico a uma temperatura de 35°C e entregue sua carga, mais tarde, a uma temperatura de 15°C. Usando β = 7,5 x 10-4/°C para o álcool etílico, encontre o número de galões entregues. Como a variação da temperatura foi de -20°C ( 35°C para 15°C ), tem-se : ( ) galões60V C20. galões 4000. C 105,7 V T.V.V 4 −=∆∴
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