0017 Estimacao proporção populacional - Prof. Marcelo de Paula

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ESTIMAC¸A˜O DA PROPORC¸A˜O POPULACIONAL
Prof. Marcelo de Paula
1 Introduc¸a˜o
Em diversas pesquisas podemos ter o interesse em estimar a proporc¸a˜o ou porcentagem popula-
cional de um determinado evento. Alguns exemplos sa˜o: proporc¸a˜o de indiv´ıduos fumantes no Brasil,
proporc¸a˜o de clientes satisfeitos com um produto, proporc¸a˜o de alunos reprovados em uma certa disci-
plina, proporc¸a˜o de indiv´ıduos com uma certa doenc¸a na cidade de Sa˜o Paulo, proporc¸a˜o de eleitores
favora´veis a um certo candidato, etc. As pesquisas eleitorais bem como as pesquisas de mercado se
valem da metodologia de estimac¸a˜o da proporc¸a˜o populacional.
2 Distribuic¸a˜o da proporc¸a˜o amostral
Suponha uma varia´vel aleato´ria X que assume apenas dois resultados poss´ıveis. Por exemplo:
a. Face obtida em um lanc¸amento de uma moeda: cara ou coroa;
b. Nascimento de filhote macho ou feˆmea de uma espe´cie de mamı´fero;
c. Fabricac¸a˜o de uma pec¸a defeituosa ou na˜o defeituosa numa linha de produc¸a˜o;
d. Uma empresa de extrac¸a˜o de petro´leo encontra ou na˜o petro´leo num ponto de sondagem;
e. O gerente do banco libera ou na˜o libera o empre´stimo para um determinado cliente;
f. O indiv´ıduo e´ ou na˜o portador de uma determinada doenc¸a;
g. O aluno e´ aprovado ou reprovado numa determinada disciplina;
Enta˜o X e´ uma varia´vel aleato´ria discreta tal que X ∼ Bernoulli (p). Isto e´,
X =
{
1 se sucesso, tal que P (Y = 1) = p
0 se fracasso, tal que P (Y = 0) = 1− p
A esperanc¸a matema´tica e a variaˆncia de X sa˜o dadas respectivamente por
E (X) = p e V ar (X) = p (1− p) .
Considere X1, X2, ..., Xn uma amostra aleato´ria extra´ıda de X, e seja X a me´dia amostral
X =
n∑
i=1
Xi
n
=
X1 +X2 + ...+Xn
n
.
Como X1, X2, ..., Xn assumem os valores 0 ou 1, segue que
X = p̂ =
Nu´mero de sucessos
Tamanho da amostra
Resultado: Se np > 5 e np (1− p) > 5, enta˜o p̂ tem distribuic¸a˜o normal com me´dia p e com
variaˆncia p(1−p)n , isto e´,
p̂ ∼ N
[
p;
p (1− p)
n
]
.
Padronizando a varia´vel aleato´ria p̂ temos:
Z =
p̂− p√
p(1−p)
n
∼ N (0, 1) .
A partir da padronizac¸a˜o acima, temos o seguinte intervalo de confianc¸a IC (1− α) 100% para a
proporc¸a˜o populacional p:
p̂± Zα/2
√
p̂ (1− p̂)
n
1
Fato: A proporc¸a˜o amostral p̂ e´ o melhor estimador para a proporc¸a˜o populacional p pois e´ um
estimador na˜o viciado e e´ o mais preciso possui a menor variaˆncia. Prova. A esperanc¸a matema´tica
de p̂ e´ tal que
E (p̂) = E
(
1
n
n∑
i=1
Xi
)
=
1
n
n∑
i=1
E (Xi) =
E (X1) + E (X2) + ...+ E (Xn)
n
=
p+ p+ ...+ p
n
=
np
n
E (p̂) = p.
Logo, a proporc¸a˜o amostral p̂ e´ um estimador na˜o viciado para a proporc¸a˜o populacional p. A
variaˆncia de p̂, por sua vez, e´ tal que
V ar (p̂) = V ar
(
1
n
n∑
i=1
Xi
)
=
1
n2
n∑
i=1
V ar (Xi) =
V ar (X1) + V ar (X2) + ...+ V ar (Xn)
n2
=
p (1− p) + p (1− p) + ...+ p (1− p)
n
=
np (1− p)
n2
V ar (p̂) =
p (1− p)
n
.
3 Exemplo 1 de aplicac¸a˜o: pesquisa de mercado
Em uma pesquisa de mercado ha´ o interesse em saber qual o n´ıvel de aceitac¸a˜o de um novo produto.
Para isso, entrevistou-se 150 clientes, dentre os quais 92 se declaram satisfeitos com o produto. Vamos
construir o intervalo 95% de confianc¸a para a proporc¸a˜o populacional p de clientes satisfeitos. A
proporc¸a˜o amostral e´ tal que:
p̂ =
Nu´mero de sucessos
Tamanho da amostra
=
92
150
= 0, 6133.
Dessa forma temos
p̂ ± Zα/2
√
p̂ (1− p̂)
n
0, 6133 ± 1, 96
√
0, 6133 (1− 0, 6133)
150
0, 6133 ± 0, 0779
Logo, o intervalo de confianc¸a 95% para a proporc¸a˜o de clientes satisfeitos e´:
[0, 5354; 0, 6912] ou ainda [53, 54%; 69, 12%] .
Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [53, 54%; 69, 12%] contem a proporc¸a˜o
populacional de clientes satisfeitos com o produto.
4 Exemplo 2 de aplicac¸a˜o: pesquisa eleitoral
Em uma pesquisa eleitoral foram entrevistados 800 eleitores para verificar as intenc¸o˜es de votos
dos candidatos A, B e C. A tabela abaixo apresenta os resultados obtidos para esta amostra.
Candidato: Nu´mero de eleitores favora´veis:
A 246
B 118
C 274
Na˜o souberam ou na˜o quiseram responder 162
Total da amostra 800
2
Vamos construir o intervalo de confianc¸a de 95% para a proporc¸a˜o populacional para cada can-
didato. Recordemos que, para um n´ıvel de confianc¸a de 95% o valor de Zα/2 e´ 1, 96.
Intervalo de confianc¸a para a proporc¸a˜o de votos do candidato A:
A proporc¸a˜o amostral do candidato A e´
p̂A =
Nu´mero de sucessos
Tamanho da amostra
=
246
800
= 0, 3075.
Dessa forma temos
p̂A ± Zα/2
√
p̂A (1− p̂A)
n
0, 3075 ± 1, 96
√
0, 3075 (1− 0, 3075)
800
0, 3075 ± 0, 0320
Logo, o intervalo de confianc¸a 95% para a proporc¸a˜o de votos do candidato A e´:
[0, 2755; 0, 3395] ou ainda [27, 55%; 33, 95%] .
Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [27, 55%; 33, 95%] contem a proporc¸a˜o
populacional de votos para o candidato A.
Intervalo de confianc¸a para a proporc¸a˜o de votos do candidato B:
A proporc¸a˜o amostral do candidato B e´
p̂B =
Nu´mero de sucessos
Tamanho da amostra
=
118
800
= 0, 1475.
Dessa forma temos
p̂B ± Zα/2
√
p̂B (1− p̂B)
n
0, 1475 ± 1, 96
√
0, 1475 (1− 0, 1475)
800
0, 1475 ± 0, 0246
Logo, o intervalo de confianc¸a 95% para a proporc¸a˜o de votos do candidato B e´:
[0, 1229; 0, 1721] ou ainda [12, 29%; 17, 21%] .
Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [12, 29%; 17, 21%] contem a proporc¸a˜o
populacional de votos para o candidato B.
Intervalo de confianc¸a para a proporc¸a˜o de votos do candidato C:
A proporc¸a˜o amostral do candidato C e´
p̂C =
Nu´mero de sucessos
Tamanho da amostra
=
274
800
= 0, 3425.
Dessa forma temos
p̂C ± Zα/2
√
p̂C (1− p̂C)
n
0, 3425 ± 1, 96
√
0, 3425 (1− 0, 3425)
800
0, 3425 ± 0, 0329
Logo, o intervalo de confianc¸a 95% para a proporc¸a˜o de votos do candidato C e´:
[0, 3096; 0, 3754] ou ainda [30, 96%; 37, 54%] .
Interpretac¸a˜o: Temos 95% de confianc¸a de que o intervalo [30, 96%; 37, 54%] contem a proporc¸a˜o
populacional de votos para o candidato C.
Observac¸a˜o: Podemos observar que os intervalos de confianc¸a para os candidatos A e C tem uma
intersecc¸a˜o. Quando este fato ocorre, dizemos que ha´ um empate te´cnico entre os candidatos A e
C. Desta forma, na˜o e´ poss´ıvel afirmar qual candidato vai ganhar as eleic¸o˜es, por menor que seja tal
intersecc¸a˜o.
3
5 Tamanho da amostra para o caso da proporc¸a˜o populacional
Considerando o erro de estimativa para o caso da proporc¸a˜o populacional
e = Zα/2
√
p̂ (1− p̂)
n
,
temos que
n =
Z2α/2p̂ (1− p̂)
e2
.
Na pra´tica, para na˜o depender do termo p̂ (1− p̂), que e´ uma estimativa amostral da variaˆncia
populacional, substitui-se tal termo pelo valor nume´rico 0, 25. Desta forma na˜o e´ necessa´rio uma
amostra piloto e a expressa˜o para determinar o tamanho necessa´rio da amostra se reduz a:
n =
Z2α/20, 25
e2
.
Exemplo. Numa pesquisa eleitoral quantos eleitores devemos entrevistar para estimar a proporc¸a˜o
populacional de votos de um candidato considerando 95% de confianc¸a e uma margem de erro de 3%
para mais ou para menos?
n =
Z2α/20, 25
e2
=
1, 9620, 25
0, 032
= 1067 eleitores.
E considerando uma margem de erro de 2%, qual deveria ser o tamanho da amostra?
n =
Z2α/20, 25
e2
=
1, 9620, 25
0, 022
= 2401 eleitores.
A tabela abaixo apresenta alguns poss´ıveis tamanhos de amostra para diversos erros de estimativas,
considerando um n´ıvel de significaˆncia de 90%, 95% e 99%.
Tamanhos de amostra para diferentes casos.
Nı´vel de confianc¸a
Margem de erro 90% 95% 99%
25% 11 15 27
20% 17 24 41
15% 30 43 74
10% 68 96 166
5% 271384 663
4% 423 600 1036
3% 752 1067 1842
2% 1691 2401 4144
1% 6765 9604 16577
0, 5% 27060 38416 66306
Importante: Caso ja´ exista uma amostra piloto proveniente da populac¸a˜o, enta˜o devemos usar a
estimativa p̂ (1− p̂) para determinar o tamanho n da amostra, ao inve´s do valor nume´rico 0, 25.
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