Geometria Analítica e
Álgebra Linear

Lima, Elon Lages
 Geometria analítica e álgebra linear / Elon Lages
Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014

 324 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária)

 Inclui bibliografia.
 e-ISBN 978-85-244-0383-5

1. Geometria Analítica. 2. Álgebra Linear. I. Título.
II. Série.

 CDD-516.3

COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA

Geometria Analítica e
Álgebra Linear

Elon Lages Lima

 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Copyright  2014 by Elon Lages Lima

Impresso no Brasil / Printed in Brazil

Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz
Ilustrações: Paulo Visgueiro

Coleção Matemática Universitária
Comissão Editorial:
 Elon Lages Lima
 S. Collier Coutinho
 Paulo Sad

Títulos Publicados:
• Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima
• EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório
• Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez
• Álgebra Linear – Elon Lages Lima
• Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher
• Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves
• Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo
• Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos
• Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares
• Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima
• Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim
• Análise no Espaço Rn – Elon Lages Lima
• Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima
• Álgebra Exterior – Elon Lages Lima
• Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes
• Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima
• Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira
• Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim

Distribuição:
 IMPA
 Estrada Dona Castorina, 110
 22460-320 Rio de Janeiro, RJ
 e-mail: ddic@impa.br
 http://www.impa.br

Prefa´cio

Embora seja geralmente a primeira coisa que se leˆ num livro, o prefa´cio
e´ sempre a u´ltima a ser escrita. Tendo acabado de fazer a revisa˜o final
das provas, antes de mandar o texto para impressa˜o, cumpre-me contar
ao presumı´vel leitor o que o livro conte´m e com que intenc¸a˜o o escrevi.

Comecemos com o t´ıtulo. No estilo de antigamente, ele seria algo
como “Compeˆndio de Geometria Anal´ıtica e Ca´lculo Vetorial, servindo
de introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear.” Simplificando, restou “Geometria
Anal´ıtica e A´lgebra Linear”. Dito assim, fica a impressa˜o de que esses
dois assuntos sa˜o tratados com a mesma extensa˜o.

Na verdade, trata-se essencialmente de um livro de Geometria Anal´ı-
tica, plana e espacial. Isto significa, por um lado, o estudo da Geometria
por meio da introduc¸a˜o de coordenadas e, por outro lado, o me´todo de
olhar para problemas de A´lgebra (e de Ana´lise) sob o ponto de vista da
Geometria.

Os vetores ocorrem inicialmente como instrumento para desenvolver
a Geometria Anal´ıtica: muito u´teis no caso do plano e indispensa´veis
no espac¸o. Em seguida percebe-se que a noc¸a˜o de dependeˆncia (e inde-
pendeˆncia) linear de vetores e´ a chave para analisar o comportamento
dos sistemas de equac¸o˜es lineares e a linguagem adequada para exprimir
seus resultados. Neste ponto, estamos fazendo um pouco de A`lgebra
Linear.

A fim de identificar as coˆnicas e as superf´ıcies qua´dricas, precisamos
estudar as formas quadra´ticas a duas e treˆs varia´veis. Somos enta˜o
levados naturalmente a considerar matrizes sime´tricas 2 × 2 ou 3 × 3,
seus autovalores e autovetores. Isto e´ A´lgebra Linear.

Matrizes e determinantes ocorrem ainda na fo´rmula de Gram para a
a´rea de um paralelogramo ou o volume de um paralelep´ıpedo.

E, finalmente, transformac¸o˜es lineares sa˜o brevemente estudadas, no
plano e no espac¸o tridimensional, dando-se va´rios exemplos e mostrando-
se como um sistema de substituic¸o˜es lineares transforma uma circun-
fereˆncia numa elipse e uma esfera num elipso´ide.

Assim se mostra neste livro como o estudo da Geometria Anal´ıtica
a duas e treˆs dimenso˜es conduz a noc¸o˜es ba´sicas como dependeˆncia
linear, matrizes, formas quadra´ticas, autovalores, transformac¸o˜es li-

neares, etc. Estes conceitos sera˜o mais tarde sistematizados na A´lgebra
Linear, a qual tera´ sua aprendizagem suavizada e tornada natural para
os estudantes que ja´ possuam uma experieˆncia pre´via correspondente ao
conteu´do do presente livro. Independente disso, e´ claro, a Geometria
Anal´ıtica faz parte da cultura mı´nima necessa´ria para estudos posteri-
ores (ou simultaˆneos) de Ca´lculo, Ana´lise, Equac¸o˜es Diferenciais, etc.

Os leitores aos quais este livro se destina sa˜o os alunos do primeiro
ano da Universidade. Va´rios dos temas nele tratados constam, de uma
forma mais superficial, do programa do Ensino Me´dio mas este fato na˜o
e´ levado em conta aqui, ou seja, na˜o admitimos que o leitor possua
conhecimento anterior sobre o assunto. Os livros citados na bibliografia
conteˆm apresentac¸o˜es em certos pontos bem semelhantes a este, ale´m de
conterem uma ampla colec¸a˜o de exerc´ıcios que podera˜o complementar
aqueles aqui propostos.

E´ com grande satisfac¸a˜o que deixo consignados aqui meus agradeci-
mentos aos Professores Eduardo Wagner e Paulo Cezar P. Carvalho, que
colaboraram comigo nos livros que precederam este. Um agradecimen-
to especial e´ devido ao Professor Jonas de Miranda Gomes pelo apoio,
incentivo e valioso tempo investido na preparac¸a˜o deste livro. A todos,
um abrac¸o amigo do autor.

Rio de Janeiro, 25 de marc¸o de 2001.

Elon Lages Lima

Prefa´cio da segunda edic¸a˜o
Nesta edic¸a˜o, foi feita uma revisa˜o exaustiva do texto e dos exerc´ıcios.

Para tal, contei com a valiosa colaborac¸a˜o do Professor Floreˆncio Gui-
mara˜es. Foram tambe´m refeitas diversas figuras, com a generosa par-
ticipac¸a˜o do meu colega Moacyr Alvim. Ale´m disso, acrescentei e mo-
difiquei va´rios exerc´ıcios e reformulei a apresentac¸a˜o de alguns to´picos,
notadamente nas sec¸o˜es referentes a formas quadra´ticas. O volume in-
teiro foi redigitado por Roge´rio Trindade. A todas esta pessoas, externo
meu agradecimento.

Rio de Janeiro, 25 de marc¸o de 2005.

Elon Lages Lima

Contents

Introduc¸a˜o 1

Coordenadas na Reta 3

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Coordenadas no Plano 8

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Segmentos de Reta no Plano 15

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

A Distaˆncia entre Dois Pontos 23

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Escolhendo o Sistema de Coordenadas 31

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Outros Tipos de Coordenadas 37

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

As Equac¸o˜es da Reta 40

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Aˆngulo entre Duas Retas 56

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Distaˆncia de um Ponto a uma Reta 58

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3

A´rea de um Triaˆngulo 62

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Desigualdades Lineares 66

Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73