2.1 Lista de Exercícios Espaços Vetoriais

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Lista de Exercícios – Espaços Vetoriais 
 
1) Verificar quais são subespaços do ℝ3. Para os que são subespaços, mostrar que as duas 
condições estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contraexemplo (STEINBRUCH & 
WINTERLE, 1995). 
 
a) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 = 4𝑦 𝑒 𝑧 = 0} 
b) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑧 = 2𝑥 − 𝑦} 
c) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 = 𝑧2} 
d) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑒 𝑧 = 0} 
e) 𝑆 = {(𝑥, 𝑥, 𝑥); 𝑥 ∈ ℝ} 
f) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 = 0 𝑒 𝑦 = |𝑧|} 
 
2) Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de 𝑀(2,2) (STEINBRUCH & 
WINTERLE, 1995): 
 
a) 𝑆 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ; 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑒 𝑑 = 0} 
b) 𝑆 = {[
𝑎 𝑏
0 𝑐
] ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ} (matrizes triangulares superiores) 
c) 𝑆 = {[
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
] ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ} (matrizes simétricas) 
d) 𝑆 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ; 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0} (conjunto de matrizes inversiveis) 
 
3) Para que valores de 𝑘 o conjunto 𝛽 = {(1, 𝑘), (𝑘, 4)} é base do ℝ2 (STEINBRUCH & 
WINTERLE, 1995)? 
 
4) Sejam 𝛽 = {(1,0), (0,1)}, 𝛽1 = {(−1,1), (1,1)}, 𝛽2 = {(√3, 1), (√3, −1)} e 𝛽3 =
{(2,0), (0,2)} bases ordenadas de ℝ2 (BOLDRINI et al., 2010). 
 
a) Ache as matrizes de mudança de base: 
i) [𝐼]𝛽
𝛽1 ii) [𝐼]𝛽1
𝛽
 iii) [𝐼]𝛽2
𝛽
 iv) [𝐼]𝛽3
𝛽
 
b) Quais são as coordenadas do vetor 𝑣 = (3, −2) em relação a base 
i) 𝛽 ii) 𝛽1 iii) 𝛽2 iv) 𝛽3 
c) As coordenadas de um vetor 𝑣 em relação a base 𝛽1 são dadas por 
[𝑣]𝛽1 = [
4
0
] 
Quais são as coordenadas de 𝑣 em relação à base: 
i) 𝛽 ii) 𝛽2 iii) 𝛽3 
 
5) Seja 𝑉 o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam 𝛽 =
{[
1 0
0 0
] , [
0 1
0 0
] , [
0 0
0 1
]} e 𝛽1 = {[
1 0
0 0
] , [
1 1
0 0
] , [
1 1
0 1
]} duas bases de 𝑉. Ache [𝐼]𝛽
𝛽1 
(BOLDRINI et al., 2010). 
 
6) Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base de 𝑃2 (STEINBRUCH & 
WINTERLE, 1995)? 
 
a) 2𝑡2 + 𝑡 − 4, 𝑡2 − 3𝑡 + 1 
b) 1, 𝑡, 𝑡2 
c) 2, 1 − 𝑥, 1 + 𝑥2 
d) 1 + 𝑥 + 𝑥2, 𝑥 + 𝑥2, 𝑥2 
e) 1 + 𝑥, 𝑥 − 𝑥2, 1 + 2𝑥 − 𝑥2 
 
7) Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [𝐼]𝛼
𝛼 (BOLDRINI et 
al., 2010)? 
 
8) O conjunto 𝐴 = {𝑡3, 2𝑡2 − 𝑡 + 3, 𝑡3 − 3𝑡2 + 4𝑡 − 1} é base de 𝑃3? Justificar 
(STEINBRUCH & WINTERLE, 1995). 
 
9) Mostrar que os vetores 𝑣1 = (1,1,1), 𝑣2 = (1,2,3), 𝑣3 = (3,0,2) e 𝑣4 = (2, −1,1) geram o 
ℝ3 e encontrar uma base dentre os vetores 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 e 𝑣4 (STEINBRUCH & WINTERLE, 
1995). 
 
10) Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais 
(STEINBRUCH & WINTERLE, 1995): 
 
a) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑦 = 3𝑥} 
b) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑦 = 5𝑥 𝑒 𝑧 = 0} 
c) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑥 + 𝑦 = 0} 
d) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑥 = 3𝑦 𝑒 𝑧 = −𝑦} 
e) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0} 
f) {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑧 = 0} 
 
11) Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de 
𝑀(2,2) (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995): 
 
a) {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ; 𝑏 = 𝑎 + 𝑐 𝑒 𝑑 = 𝑐} 
b) {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ; 𝑏 = 𝑎 + 𝑐} 
c) {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ; 𝑐 = 𝑎 − 3𝑏 𝑒 𝑑 = 0} 
d) {[
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] ; 𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐} 
 
 
 
 
Soluções: 
1) a) é b) é c) não é d) não é e) é f) não é 
2) a) é b) é c) é d) não é 
3) 𝑘 ≠ ±2 
4) a) i) [
−1 1
1 1
] ii) [
−
1
2
1
2
1
2
1
2
] iii) [
1
6
1
2
1
6
−
1
2
] iv) [
1
2
0
0
1
2
] 
b) i) [
3
−2
] ii) [
−
5
2
1
2
] iii) [
−
1
2
3
2
] iv) [
3
2
−1
] 
c) i) [
−4
4
] ii) [
4
3
−
8
3
] iii) [
−2
2
] 
5) [
1 1 1
0 1 1
0 0 1
] 
6) São bases b), c), d) 
7) A matriz identidade 
8) Não. 𝐺(𝐴) ≠ ℝ3. 
9) Base: {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} 
10) a) dim 2 b) dim 1 c) dim 1 d) dim 1 e) dim 2 f) dim 2 
11) a) dim 2 b) dim 3 c) dim 2 d) dim 3 
 
Referências 
 
■ BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra linear. 3.ed. ampl. e rev. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 411p. 
■ STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1995. 583p