2 - Vetores

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Igualdade de Vetores 
 
Dados dois vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2), sendo 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2, então, �⃗� = 𝑣 . 
 
Base Canônica 
 
As bases são ditas ortonormais se, e somente se, os seus vetores forem ortogonais e unitários, 
como por exemplo, a base {𝑒1⃗⃗ ⃗ , 𝑒2⃗⃗ ⃗} é ortonormal pois 𝑒1⃗⃗ ⃗ ⏊ 𝑒2⃗⃗ ⃗ e |𝑒1⃗⃗ ⃗ | = |𝑒2⃗⃗ ⃗ | = 1. 
Dentre as infinitas bases ortonormais do plano , uma delas é particularmente importante, Trat-
se da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal, neste caso os são 
simbolizados por 𝑖 ⃗⃗⃗ e 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ , ambos com origem em 𝑂 e extremidades em (1,0) e (0,1) sendo 
chamada de base Canônica , representada por 𝐶 = { 𝑖 ⃗⃗⃗ , 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ }, portanto 𝑖 ⃗⃗⃗ = (1,0) e 𝑗 ⃗⃗⃗⃗ =
(0,1). 
 
Vetor no ℝ3 
 
Um vetor no ℝ3 é definido por uma tripla ordenada, ou terna ordenada sendo 
{(𝑥, 𝑦, 𝑧) ̸ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ. }. A representação geométrica é o espaço cartesiano, 
representado pelos três eixos cartesianos, dois a dois ortonormais sendo eles: 
 𝑂𝑥; eixo dos 𝑥, das abscissas, corresponde ao vetor 𝑖 . 
 𝑂𝑦; eixo dos y, das ordenadas, corresponde ao vetor 𝑗 . 
 𝑂𝑧; eixo dos y, das cotas, corresponde ao vetor �⃗� . 
Seja 𝑥, 𝑦 e 𝑧 um sistema cartesiano ortogonal, na base Canônica ∈ ℝ3 , está representado por 
𝑖 , 𝑗 e �⃗� , então: 𝑖 = (1,0,0), 𝑗 = (0,1,0) e �⃗� = (0,0,1). Logo, |𝑖 | = |𝑗 | = |�⃗� | = 1. 
 
 
 
Álgebra, Vetores e Geometria Analítica 
 
 2 - Vetores Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
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Desta forma, a expressão cartesiana de um vetor �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) é dada por: 
 
�⃗� = 𝑥1𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�⃗� 
 
 
Exemplos: 
Considerando o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os vetores 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,0,0), 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (0,4,0), 
𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0,0,3) e 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,4,3), representados no sistema, a expressão cartesiana de cada vetor 
é: 
 
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝑖 
 
 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 4𝑗 
 
 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3�⃗� 
 
 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝑖 + 4𝑗 + 3�⃗� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vetores Paralelos 
 
Dois vetores não nulos �⃗� e 𝑣 são paralelos se, e somente se, existir um escalar 𝑎 tal que 
�⃗� = 𝛼 · 𝑣 , ou seja, (𝑥1, 𝑦1) = 𝛼. (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1, 𝑦1) = (𝛼. 𝑥2, 𝛼. 𝑦2), pela condições de 
igualdade resulta em : 𝑥1 = 𝛼. 𝑥2 e 𝑦1 = 𝛼. 𝑦2, logo 
𝑥1
 𝑥2 
=
𝑦1
 𝑦2 
= 𝛼 , portanto, dois 
vetores são ditos paralelos quando suas componentes forem proporcionais. 
Considera-se o vetor nulo paralelo a qualquer vetor. 
 
Exemplos: 
 
1) Os vetores �⃗� = (3,−2) e 𝑣 = (6,−4) são paralelos pois: 
 �⃗� 
 𝑣 ⃗⃗⃗ 
= 
3
 6 
=
−2 
 −4 
∴ 𝛼 =
 1 
2
 
 
2) Os vetores �⃗� = (+5,+1,−3) e 𝑣 = (+25,+5,−14) não são paralelos pois: 
 �⃗� 
 𝑣 ⃗⃗⃗ 
= 
5
 25 
=
 1 
5
≠
 −3 
14
 
 
 
 
Vetores Coplanares 
 
Os vetores são ditos coplanares se, e somente se, estiverem no mesmo plano. 
 
Dois vetores são sempre coplanares. 
 
Três vetores �⃗� = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1), 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) e �⃗⃗� = (𝑥3, 𝑦3, 𝑧3) são coplanares se o 
determinante da matriz de ordem 3 formada pelas coordenadas dos três vetores for igual a 
zero. 
 
|
𝑥1 𝑦1 𝑧1
𝑥2 𝑦2 𝑧2
𝑥3 𝑦3 𝑧3
| = 0 
 
Exemplo: 
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Os vetores �⃗� = (2,3,5), 𝑣 = (3,0, −1) e �⃗⃗� = (7,6,9) são coplanares pois: 
 
|
2 3 5
3 0 −1
7 6 9
|
2 3
3 0
7 6
 = 2 · 0 · 9 + 3 · (−1) · 7 + 5 · 3 · 6 − 5 · 0 · 7 − 2 · (−1) · 6 − 3 · 3 · 9 = 
= 0 − 21 + 90 − 0 + 12 − 81 = 
= −102 + 102 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1) Dê a expressão cartesiana de cada um dos seguintes vetores: 
 
a) 𝑎 = (1,0,2) 
b) �⃗� = (−2,1,−1) 
c) 𝑐 = (3,4,0) 
d) 𝑑 = (0,3,2) 
e) 𝑒 = (3,−1,5) 
f) 𝑓 = (7,0,2) 
 
 
2) Determine o valor de 𝑥, sabendo que os pares de vetores dados são paralelos: 
 
a) �⃗� = (1,3,10) e 𝑣 = (−2, 𝑥, −20) 
b) �⃗� = (2, 𝑥) e 𝑣 = (8,12) 
c) �⃗� = (−4,8,−12) e 𝑣 = (−1,2, 𝑥) 
d) �⃗� = (𝑥, 1) e 𝑣 = (45,15) 
e) �⃗� = −3𝑗 + 2𝑖 − �⃗� e 𝑣 = 𝑥𝑖 − 9𝑗 − 3�⃗� 
f) �⃗� = 3�⃗� + 𝑖 + 3𝑗 e 𝑣 = 𝑥𝑗 + 12�⃗� + 4𝑖 
 
 
3) Verifique se os vetores abaixo são coplanares: 
 
a) u⃗ = (1,3,0), v⃗ = (2,1,4) e w⃗⃗⃗ = (3,4,4) 
b) u⃗ = (4,5,1), v⃗ = (−4,4,4) e w⃗⃗⃗ = (0,−1,−1) 
c) u⃗ = (−8,−1,3), v⃗ = (−4,−6,−2) e w⃗⃗⃗ = (−1,4,3) 
d) u⃗ = (2,0,0), v⃗ = (1,1,1) e w⃗⃗⃗ = (−2,6,6) 
e) u⃗ = (0,2,−1), v⃗ = (0,1,3) e w⃗⃗⃗ = (0,3,0) 
f) u⃗ = (−2,6,2), v⃗ = (2,0,0) e w⃗⃗⃗ = (1,1,1) 
 
 
4) Dado o vetor �⃗� = (𝑥 + 1,4) e o vetor v⃗ = (5,2y − 6), calcule o valor de 𝑥 e 𝑦 
sabendo-se que �⃗� = v⃗ . 
 
 
 
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5) Determine o comprimento dos vetores: 
a) 𝑣 = 𝑖 + 2𝑗 + 3�⃗� 
b) 𝑎 = −𝑖 + �⃗� 
c) 𝑔 o qual tem sua origem no ponto (2,1,1) e extremidade (0,0,3). 
 
 
6) Dados os vetores �⃗� = (𝑚 + 1,3,1)𝑒 𝑣 = (4,2,2𝑛 − 1), determine os valores de 𝑚 e 𝑛 
para que os vetores sejam paralelos.