circuitos resistivos

Prévia do material em texto

C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 1
CIRCUITOS ELÉTRICOS
CIRCUITOS RESISTIVOS
1. LEI DE OHM
É assim chamada em homenagem ao físico alemão Georg Simon Ohm, a
quem coube estabelecer a relação tensão-corrente em resistores. Como resultado
de seu trabalho, a unidade de resistência leva seu nome.
A lei de Ohm estabelece que a tensão em um resistor é diretamente
proporcional à corrente que flui através dele.
Um componente de circuito cuja característica elétrica é resistiva, é chamado
de resistor e é representado pelo símbolo mostrado na figura 1.
Um resistor é um componente físico que pode ser encontrado em valores
padronizados em qualquer loja de componentes eletrônicos.
Figura 1
A lei de Ohm é descrita pela equação v(t) = R.i(t) onde R ³ 0
A característica tensão-corrente é mostrada na figura 2.
Figura 2
O símbolo W (Ômega) é usado para representar Ohms: 1 W = 1 V/A.
Além da característica linear, os resistores são componentes passivos (a
curva característica é uma reta que passa pela origem).
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 2
A potência fornecida aos terminais é consumida pelo resistor.
R
tv
tiRtitvtp
)(
)(.)().()(
2
2 === [W]
Portanto a potência é uma função não linear ou da corrente ou da tensão e
que tem sempre um valor positivo.
Condutância, representada pelo símbolo G, é uma outra quantidade com
ampla aplicação em análise de circuitos. Por definição, condutância é o inverso da
resistência. 
R
G
1
= [S]
A unidade de condutância é o siemens (S) 1 S = 1 A/V
Equações: )(.)( tvGti = e )(.
)(
)( 2
2
tvG
G
ti
tp ==
Dois valores específicos de resistência e, portanto de condutância são
consideravelmente importantes: R = 0 e R = ¥.
Se a resistência R = 0, temos o curto circuito Þ v(t) = 0 e a corrente pode
assumir qualquer valor.
Se a resistência R = ¥ , temos um circuito aberto, i(t) = 0, independente do
valor da tensão através dos terminais abertos.
2. AS LEIS DE KIRCHHOFF
Assumiremos que os condutores (fios) que fazem a interconexão tem
resistência zero (condutores perfeitos).
Algumas definições importantes.
NÓ: um ponto de conexão de dois ou mais componentes do circuito.
LAÇO ou MALHA: qualquer caminho fechado através do circuito no qual nenhum nó
é encontrado mais de uma vez.
RAMO: é a porção de um circuito contendo somente um elemento e os nós
conectados aos terminais do elemento.
Figura 3 - 5 nós, 8 ramos
As leis de Kirchhoff, chamadas em homenagem ao cientista alemão Gustav
Robert Kirchhoff.
As duas leis são consideravelmente simples, mas extremamente importantes.
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 3
A primeira lei é a Lei de Kirchhoff para corrente, a qual estabelece que a
soma algébrica das correntes entrando em qualquer nó é zero.
0)(
1
=å
=
N
j
j ti onde ij(t) é o j-ésima corrente entrando no nó através do ramo j e N é o
número de ramos conectado ao nó.
Podemos afirmar que a soma das correntes entrando em um nó é igual a
soma das correntes deixando o nó.
Da figura 4, obtemos:
Figura 4
I1(t) + [-i2(t)] + i3(t) + i4(t) + [-i5(t)} = 0
Generalizando a Lei de Kirchhoff para corrente para uma superfície fechada,
pode ser enunciada da seguinte forma: “ a soma algébrica das correntes entrando
em qualquer superfície fechada é zero”. Por uma superfície fechada podemos
entender um conjunto de elementos interconectados que estão completamente
contidos dentro dessa superfície.
A segunda lei é a Lei de Kirchhoff para tensão, afirma que a soma algébrica
das tensões ao longo de qualquer laço é zero. Matematicamente 0)(
1
=å
=
N
j
j tv
O sinal algébrico é usado para indicar a polaridade da tensão. Considerando
a afirmação da 2ª Lei de Kirchhoff, o circuito da figura 5 pode ser resolvido por 4
maneiras, segundo a convenção dos sinais.
convenção ( - ® + )
aumentando nível de
energia
( + ® - )
diminuindo nível de
energia
Sentido do
percurso
1 + - S.H.
2 + - S.A.H.
3 - + S.H.
4 - + S.A.H.
Aplicando a convenção da tabela acima no circuito da figura 5, obtemos:
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 4
Convenção 1 : 030155
321
=+-+-+- RRR VVV
Convenção 2 : 051530
123
=+-+-+- RRR VVV
Convenção 3 : 030155
321
=-+-+-+ RRR VVV
Convenção 4 : 051530
123
=-+-+-+ RRR VVV
Figura 5
que analisando-as, podemos concluir que todas as equações são iguais.
Outro ponto a ser considerado é a convenção Vab para indicar a tensão no
ponto a com relação a ponto b, isto é, a variável tensão entre os pontos a e b, com
o ponto a considerado positivo. O uso de seta entre os dois pontos facilita a sua
identificação, com a ponta da seta indicando o nó positivo.
É de suma importância enfatizar um ponto muito importante, relacionado a Lei
de Ohm. A equação V = R.I, referente à relação entre a tensão e a corrente, o
sentido da tensão é invertido em relação a corrente. Vide figura 6.
Figura 6
Circuitos de laço único
Os elementos de laço (malha) único transportam a mesma corrente, portanto
estão em série. Aplicando-se a Lei de Kirchhoff para tensão e a Lei de Ohm para o
circuito da figura 7, tem-se:
2121
)(0)( RRRR vvtvvvtv +=Þ=--+ onde )(.11 tiRvR = e )(.22 tiRvR =
portanto )(.)(.)( 21 tiRtiRtv += Þ
21
)(
)(
RR
tv
ti
+
=
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 5
Conhecendo a corrente i(t), podemos determinar a tensão em cada resistor:
)(.)(.
21
1
11
tv
RR
R
tiRvR +
== e )(.)(.
21
2
22
tv
RR
R
tiRvR +
==
Figura 7
Estas expressões descrevem a operação chamada de divisor de tensão, ou
seja a fonte de tensão v(t) está dividida entre os resistores R1 e R2 em proporção
direta às respectivas resistências.
Generalizando nossa análise para laço com N fontes, a soma de diversas
fontes de tensão em série pode ser substituída por uma fonte cujo valor é a soma
algébrica das fontes individuais.
Consideremos agora o circuito com N resistores em série como mostrado na
figura 8.
Figura 8
Aplicando a Lei de Kirchhoff para tensão a esse circuito, obtemos:
)(.......)(.)(.......)( 2121 tiRtiRtiRvvvtv NRRR N +++=+++=
portanto )(.)( tiRtv s= e Ns RRRR +++= .....21 e 
sR
tv
ti
)(
)( =
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 6
A tensão sobre Ri é dada pela expressão )(. tv
R
R
v
s
i
Ri
= que é a propriedade
de divisão de tensão para múltiplos resistores em série.
A resistência equivalente de N resistores em série é simplesmente a soma da
resistências individuais: Rs.
3. CIRCUITOS COM ÚNICO PAR DE NÓS.
Os elementos têm sobre si a mesma tensão e, portanto, estão em paralelo.
Para determinar os valores desconhecidos no circuito aplicaremos a Lei de
Kirchhoff para corrente e a Lei de Ohm.
Da figura 9, podemos deduzir que a corrente )()()( 21 tititi += , pela aplicação
da Lei de Kirchhoff para corrente no nó superior.
Figura 9
Empregando a Lei de Ohm, temos:
pR
tv
tv
RRR
tv
R
tv
ti
)(
)(
11)()(
)(
2121
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+=+= onde 
21
111
RRRp
+= e
21
21.
RR
RR
Rp +
=
e Rp = resistência equivalente de dois resistores conectados em paralelo.
Se R1 = R2, a resistência equivalente é igual à metade do valor dos resistores
individuais.
A maneira como a corrente i(t) da fonte se divide entre os dois ramos é
chamada divisor de corrente e pode ser calculada da seguinte forma:
)(.
.
)(.)(
21
21 ti
RR
RR
tiRtv p +
==
)(.
)(
)(
21
2
1
1 tiRR
R
R
tv
ti
+
== e )(.
)(
)(
21
1
2
2 tiRR
R
R
tv
ti
+
==
Portanto a corrente se divide na proporção inversa das resistências.
Se empregarmos a condutância 
i
i R
G
1
= em vez de resistênciana análise,
podemos mostrar que: )().()( 21 tvGGti += 21 GGGp +=
)(.)(
21
1
1 tiGG
G
ti
+
= e )(.)(
21
2
2 tiGG
G
ti
+
=
Portanto a corrente se divide na proporção definida pela razão entre a
condutância do ramo e a condutância total.
Para o circuito com várias fontes de correntes em paralelo, a soma destas
fontes pode ser substituída por uma fonte cujo valor é a soma algébrica das fontes
individuais.
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 7
Estendendo este conceito para qualquer número de resistores em paralelo e
para tanto, considere o circuito da figura 10
Figura 10
Aplicando-se a Lei de Kirchhoff para corrente no nó superior, temos:
)(.
1
....
11
)(....)()()(
21
210 tvRRR
titititi
N
N ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+++=+++= ou ( ) )(....)( 210 tvGGGti N+++=
)(.
)(
)(0 tvGR
tv
ti p
p
== onde å
=
=
N
i ip RR 1
11
e å
=
=
N
i
ip GG
1
A divisão de corrente para qualquer ramo pode ser calculada usando-se a Lei
de Ohm e as equações anteriores. Para j-ésimo ramos, temos:
)(.)( 0 tiR
R
ti
j
p
j = ou )(.)( 0 tiG
G
ti
p
j
j = , que são casos gerais do divisor de corrente.
4. COMBINAÇÕES DE RESISTORES EM SÉRIE E PARALELO
Nos itens anteriores vimos que:
a) a resistência equivalente de N resistores em série é Ns RRRR +++= ....21
b) a resistência equivalente de N resistores em paralelo é 
Np RRRR
1
....
111
21
+++=
5. APLICAÇÃO DE VÁRIAS TÉCNICAS À ANÁLISE DE CIRCUITOS COM
COMBINAÇÕES DE RESISTORES EM SÉRIE E EM PARALELO.
Aplicaremos os recursos até aqui desenvolvidos na resolução de circuitos
resistivos.
Exemplo 1: Determinar todas as correntes e tensões no circuito em cascata
mostrado na figura EX- 1a
Figura EX – 1a
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 8
Iniciar a análise do circuito pelo lado direito e combinar os resistores para
determinar a resistência total vista pela fonte, o que permite calcular a corrente I1.
Do lado direito do circuito, os resistores de 3 W e 9 W estão em série, cuja
resistência equivalente de 12 W ( 3 + 9 ) está em paralelo com o resistor de 4 W, e a
combinação dos dois é um resistor equivalente de 3 W (Figura EX – 1b)
Figura EX – 1b
Na figura EX – 1b, os dois resistores de 3 W estão em série e sua combinação
está em paralelo com o resistor de 6 W. Combinando-se todas as três resistências
tem-se o circuito da figura EX – 1c.
Figura EX – 1c
Aplicando a Lei de Kirchhoff para tensão no último circuito, temos:
AII .8
8
64
64)35.( 11 ==Þ=+
aV pode ser calculada a partir da Lei de Ohm: VVIV aa .243.1 =Þ=
ou, usando-se a Lei de Kirchhoff para tensão: VVIV aa .244064.564 1 =Þ-=-=
Conhecendo-se 1I e aV , podemos determinar todas as correntes e tensões na
figura EX – 1b. A corrente I2 pode ser calculada usando-se a Lei de Ohm.
A
V
I a .4
6
24
62
===
Utilizando-se a Lei de Kirchhoff para corrente, temos:
AIIIII .448 33321 =Þ+=Þ+=
A corrente I3 poderia ser calculada usando a Lei de Ohm:
 AIIVa .46
24
).33( 33 ==Þ+=
As correntes I2 e I3, poderia também ser calculada usando a regra do divisor
de corrente, conhecida a corrente I1.
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 9
AIII .48.
12
6
.
6)33(
)33(
212 ==Þ++
+
= AIII .48.
12
6
.
6)33(
6
313 ==Þ++
=
Aplicando a Lei de Kirchhoff para tensão à malha do lado direito na figura da
EX – 1b, temos: VVVIVV bbba .121224.3 3 =Þ=-Þ=-
ou usando a Lei de Ohm: VVIV bb .12.3 3 =Þ=
Com estes dados já determinados, podemos calcular os demais incógnitas,
utilizando a figura EX –1a
Usando a Lei de Ohm: AIIVb .34
12
.4 44 ==Þ=
Com I4 determinado, aplicando a Lei de Kirchhoff para corrente, obtemos a
corrente I5. AIIIII .134 55543 =Þ+=Þ+= ou pela aplicação da regra do divisor
de corrente AII .1.
)39(4
4
35 =++
=
Finalmente. VIVc .33.5 ==
Na figura EX – 1d, estão representadas todas os valores de tensão e de
corrente no circuito.
Figura EX – 1d
Exemplo 2: Dado o circuito da figura EX – 2a, com V0 = 72 V, determine todas as
correntes e tensões.
Figura EX – 2a
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 10
O circuito da figura EX – 2a, pode ser simplificado como mostrado na
progressão da figura EX – 2a para a figura EX – 2b para a figura EX – 2c.
 Figura EX – 2b Figura EX – 2c
Aplicando a Lei de Kirchhoff para tensão na figura EX – 2c, temos:
mA
kkk
IIkkk .6
426
72
).426(72 11 =++
=Þ++=
Aplicando a Lei de Ohm, obtemos: VVVIkVV baba .12.2 1 =+Þ=+
A partir da Lei de Ohm na figura EX – 2b, temos:
mA
k
VV
IIkkVV baba .34
).22( 22 =
+
=Þ+=+
Aplicando a Lei de Ohm, temos: VIkVa .6.2 2 == e VIkVb .6.2 2 ==
Aplicando a Lei de Kirchhoff para corrente no nó x da figura EX – 2a, temos:
mAIIIIII .3215521 =-=Þ+=
Uma vez que Vb é conhecido, as correntes I3 e I4 podem ser obtidas a partir
da Lei de Ohm. mA
k
V
I b .2
33
== e mA
k
V
I b .1
64
==
ou à partir de I2, aplicando a regra do divisor de corrente:
mAI
kk
k
I .2.
63
6
23 =+
= e mAI
kk
k
I .1.
63
3
24 =+
=
6. TRANSFORMAÇÃO Y (estrela) Û D (triângulo ou delta)
Figura 11
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 11
Para o circuito da figura 11, a tentativa de simplificar o circuito com as
técnicas já conhecidas não é possível, pois nenhum dos resistores está em série ou
em paralelo com outro.
Para solucionar este problema, aplicaremos a técnica de transformação de Y
para delta ou delta para Y.
Considere os circuitos da figura 12, onde os resistores da figura (a) forma um
delta e os resistores na figura (b) forma um estrela.
Figura 12
Analisando os circuitos obtemos:
312
312 )(
RRR
RRR
RRR baab ++
+
=+= 
123
213 )(
RRR
RRR
RRR cbbc ++
+
=+= 
321
321 )(
RRR
RRR
RRR acca ++
+
=+=
Resolvendo esse conjunto de equações para Ra, Rb e Rc, tem-se:
321
21.
RRR
RR
Ra ++
=
321
32 .
RRR
RR
Rb ++
=
321
31.
RRR
RR
Rc ++
=
e de forma semelhante
b
cacbba
R
RRRRRR
R
++
=1
c
cacbba
R
RRRRRR
R
++
=2
a
cacbba
R
RRRRRR
R
++
=3
Para o caso equilibrado onde Ra = Rb = Rc e R1 = R2 = R3,
DU = RR 3
1
e UD = RR .3
7. CIRCUITOS COM FONTES DEPENDENTES
As fontes controladas são extremamente importantes porque são usadas para
modelar componentes físicos como transistores, amplificadores operacionais, etc.
Mostraremos agora como solucionar circuitos simples de laço único e nó
único que contêm as fontes dependentes.
Exemplo 3: Considere o circuito da figura EX – 3.
Para calcular a tensão V0, empregamos a Lei de Kirchhoff para tensão:
AIIIIIVs .4)235(240.3.2.5 11111 =Þ-+=Þ=-+-
e portanto V0 = 5.I1 = 5.4 = 20 V
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 12
Figura EX – 3
Exemplo 4 . Dado o circuito da figura EX – 4, contendo uma fonte de tensão
controlada por corrente, determinar a tensão V0.
Figura EX – 4
Aplicando a Lei de Kirchhoff para corrente no nó superior, tem-se:
10.4
333 0
-=+
+
I
k
V
kk
V ss e
k
V
I s
30
=
Portanto VV
k
V
k
V
k
V
s
sss .1210
3
.4
36
=Þ-=-+
Aplicando a regra do divisor de tensão, temos: V
k
k
V
kk
k
V s .612.6
3
.
33
3
0 ==+
=
Exemplo 5 O circuito da figura EX – 5 contém uma fonte de tensão controlada por
tensão. Determine V0.
Aplicando-se a Lei de Kirchhoff para tensão, tem-se:
10 ).321(.230 IV ++=- e 10 .2 IV =
Portanto,
C E 2 CIRCUITOS ELÉTRICOS - CIRCUITOS RESISTIVOS 13
AIII .3.6.430 111 =Þ=- e VIV .6.2 10 ==
Figura EX – 5