Aula 01 Matrizes

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Prof. Carlos Alberto 
1 
Formação 
 
• Prof. Carlos Alberto 
 
• Licenciado em Física e Matemática. 
 
• Bacharel em Física. 
 
• Pós-graduado em Física e em Computação. 
2 
Conteúdo do semestre: 
Conteúdo Programático: 
1-Introdução à disciplina – objetivos e importância da disciplina para o curso de 
engenharia, matemática e áreas afins; 
 
-Matrizes – matrizes, determinantes e suas propriedades, multiplicação de matrizes, 
cofatores; operações com matrizes; matrizes inversíveis; 
-Sistemas Lineares –sistemas equações lineares; sistemas equivalentes; sistemas 
escalonados; discussão e resolução de sistemas lineares, sistemas de equações 
homogêneas. 
- Autovalores e Autovetores - Definição; polinômio característico; Determinação dos 
autovalores e autovetores de um operador. Vetores (livres e suas operações). Vetores: 
Produto escalar, Produto vetorial Produto misto. Retas: Formas das equações de retas no 
plano e no espaço, Ângulo entre retas. Paralelismo e perpendicularismo, Retas 
coplanares. Planos: Equação geral do plano, Determinação de um plano. Cônicas: 
parábola, A elipse. A circunferência, A hipérbole, Equação geral das cônicas. 
- Espaços vetoriais – introdução; espaços vetoriais; propriedades; sub – espaços 
vetoriais; combinações lineares; espaços vetoriais gerados. 
- Base e dimensão : dependência linear; propriedades dos conjuntos Linearmente 
Independente (LI) e dos conjuntos Linearmente Dependentes (LD); base de um espaço 
vetorial finitamente gerado, dimensão, base de um sub-espaço; dimensão de soma de 
dois subespaços; coordenadas ; mudança de base . 
- Transformações lineares – noções sobre aplicações : transformações lineares; 
propriedades das transformações lineares. Transformações não Lineares: conceituação. 
- Autovalores e Autovetores - Definição; polinômio característico; Determinação dos 
autovalores e autovetores de um operador. 
 
3 
Façam as anotações 
das aulas 
no seu caderno 
4 
Bibliografia (Livros) 
5 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA: 
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria 
Analítica. Pearson. 
 
ANTON,Howard e RORRES,Chris. - Álgebra 
linear com aplicações. Bookman. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
STEINBRUCH,A e WINTERLE,Paulo. Álgebra 
Linear.Pearson. 
 
BOULOS, Paulo e CAMARGO,Ivan. 
Geometria Analítica:um tratamento 
vetorial.Pearson. 
 
SIMMONS G. F. Cálculo com geometria 
analítica. Pearson. 
 
Como serão as aulas? 
• Poderão ser expostas com o uso de 
data-show, projetadas na própria lousa 
(fundo verde escuro). 
 
• As vezes não uso o data-show e faço as 
anotações na lousa. Nas aulas 
reservadas para exercícios. 
 
• No caso do uso de data-show o 
professor esperará vocês anotarem no 
caderno. 
6 
Faltas: apenas 25% (1/4) 
• O aluno que faltar mais do que 25 % ficará reprovado 
com qualquer nota que tiver, mesmo com DEZ). 
Ex.: 80 hs/a. Você poderá faltar no máx. 20 aulas ( 5 dias). Cada dia tem 4 aulas. 
 
• O diário é on-line, as faltas pode ser lançadas 
diáriamente ou nos primeiros 4 dias do início de cada 
mês. 
 
• Uma vez lançadas o professor não consegue retirá-las. 
O sistema não permite. Por isso a digitação é feita 
com extremo cuidado. 
 
• Atestados só na secretaria, não entregue ao professor. 
 
• Controle muito bem as suas faltas. 
7 
Critérios de avaliações 
• Avaliação continuadas (AC) até 3,0 pontos: 
– Avaliações continuadas são em forma de exercícios 
em classe (individual ou dupla) de na última aula do 
dia e listas de exercícios para o lar. 
– das avaliações continuadas serão descontadas as 2 
(duas) piores notas. 
 
• Prova Regimental até 7,0 pontos. 
média = (AC + PR) 
Se média ≥ 7,0 estará aprovado, se não atingir 7,0 deve 
fazer e reavaliação (RE). 
Exemplo: Atingiu média = 5,5, subtrai de dez: 
10,0 – 5,5 = 4,5 
Neste caso precisará tirar no mínimo 4,5 na reavaliação 
8 
Matrizes 
• A teoria das matrizes seja cada vez 
mais aplicada em áreas como 
Economia, Administração, 
Engenharia, Matemática, Física, enfim, 
muitas áreas... 
 
• Exemplo: A tabela a seguir representa 
as notas de três alunos em uma etapa: 
 
 Alunos Química Inglês Literatura Espanhol 
A 8 7 9 8 
B 6 6 7 6 
C 4 8 5 9 
 
9 
• Para saber a nota do aluno B em 
Literatura, basta procurar o número que 
fica na segunda linha e na terceira 
coluna da tabela: Nota 7 
 
 
 
 
• Chama-se matriz a uma tabela de 
números dispostos em linhas e colunas. 
 
 Alunos Química Inglês Literatura Espanhol 
A 8 7 9 8 
B 6 6 7 6 
C 4 8 5 9 
 
10 
Notação de matrizes 
• Seja uma matriz A denotaremos 
cada elemento da matriz A por aij 
• onde i é o número da linha e j é o 
número da coluna desse elemento. 
 
 
11 
Notação de matrizes: m x n 
(m linhas e n colunas) 
12 
Matrizes 
• Chama-se matriz a uma tabela de 
números dispostos em linhas e colunas. 
 
 
 
 
 
 (L X C) 
 
 
Mat Fis Qui 
Zé 7,0 5,0 6,0 
Maria 9,0 4,0 5,0 
 
13 
Matriz linha 
• Exemplo: matriz do tipo 1 x n, 
ou seja, com uma única linha. 
 
• Por exemplo: 
• A =[4 7 -3 1] , matriz do tipo 
1 x 4. 
 
 14 
Matriz coluna 
• Matriz do tipo m x 1, ou seja, 
com uma única coluna. 
 
• Exemplo: A = 
𝟏
−𝟐
−𝟏
, matriz do 
tipo 3 x 1 
15 
Matriz diagonal 
• Matriz quadrada em que todos os 
elementos que não estão na diagonal 
principal são nulos. Por exemplo: 
16 
Matriz Quadrada 
• É toda matriz onde o número de linhas é 
igual ao número de colunas. Ex.: 
 
 














205
625
021
C
17 
Matriz Quadrada 
• O número de linhas é igual 
o números de colunas. 
Exemplo: 
 
 
 A = 
18 
Matriz identidade 
• É a aatriz quadrada em que todos os 
elementos da diagonal principal são 
iguais a 1 e os demais são nulos; é 
representada por In, sendo n a ordem da 
matriz. Por exemplo: 
19 
Matriz Diagonal 
• É toda matriz quadrada onde os 
termos que não estão na diagonal 
principal são nulos. 
 











100
040
005
D
20 
Matriz Retangular : 
• O número de linhas é diferente 
do números de colunas. 
Exemplo: 
 
 B = 
 
21 
Igualdade de Duas Matrizes 
• Sejam duas matrizes A e B do mesmo 
tipo, dizemos que A = B se somente se 
os seus elementos são respectivamente 
iguais. 
 
• Simbolicamente, sendo A e B matrizes do 
tipo m x n, temos: 
𝑨 = 𝑩 ↔ 𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋 
22 
• Igualdade de matrizes, exemplo: 
 
 
 
 
 
 
𝑥 = 𝑙𝑜𝑔−1 2 ∴ 
 
∴ 𝑥 = 100 
23 
 
Matriz Transposta At 
 • É toda matriz onde os termos que estão 
na posição de linha são transpostos 
para a posição de coluna. 
 
𝑨 =
𝟓 𝟐 𝟕
𝟑 𝟎 𝟗
 𝑨𝒕 =
𝟓 𝟑
𝟐 𝟎
𝟕 𝟗
 
24 
 
Matriz Nula 
 
• Chama-se matriz nula a matriz na 
qual todos os seus elementos são 
iguais a zero. 
 
25 
Matriz oposta (-A) 
• Matriz -A obtida a partir de A trocando-
se o sinal de todos os elementos de A. 
Exemplo: 
 
26 
Operações com Matrizes 
Adição 
• Para adicionarmos duas matrizes A e B 
basta que elas sejam do mesmo tipo, isto 
é, elas devem ter o mesmo número de 
linhas e o mesmo número de colunas. 
• Define-se a adição A + B = C como 
sendo formada pelos elementos 
cij= aij + bij Exemplo: 
 
27 
– Observação: A + B existe se, e somente 
se,A e B forem do mesmo tipo. 
Propriedades da adição de matrizes 
• Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo 
( m x n), temos as seguintes 
propriedades para a adição: 
 
a) comutativa: A + B = B + A 
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C) 
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 
0 a matriz nula m x n 
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0 
 28 
Subtração 
• Para subtrairmos duas matrizes A e B 
basta que elas sejam do mesmo tipo, isto 
é, elas devem ter o mesmo número de 
linhas e o mesmo número de colunas. 
• Define-se a subtração A - B = C como 
sendo formada pelos elementos 
cij= aij – bij Exemplo: 
 
29 
• Outro exemplo de subtração: 
30 
Multiplicação de um número real 
x por uma matriz 
• Dados um número real x e uma 
matriz A do tipo m x n, o produto 
de x por A é uma matriz B do tipo m x n 
obtida pela multiplicação de cada 
elemento de A por x, ou seja, bij = x.aij . 
 Exemplo: 
 
31 
Multiplicação de matrizes 
• O produto de uma matriz por outra 
não é determinado por meio do 
produto dos seus respectivos 
elementos. Observem bem isto! 
• Sejam duas matrizes A do tipo m x n e B 
do tipo n x p, chama-se produto da matriz 
A pela matriz B que se indica C = A . B a 
matriz m x p definida por 
• Cij=ai1.bj1 + ai2.b2j + ai3.b3j + ... + ain.bnj 
 
32 
• Exemplo: Dadas as matrizes 
 
 











































2422
13
1412
4.51.42.53.4
4.01.12.03.1
4.31.22.33.2
.
42
13
54
01
32
BAC
BeA
33 
• Outro exemplo: vamos multiplicar as 
matrizes: 
 
 
 
 
 
34 
 
 
 
 
 
 
 
35 
• Outro exemplo: 
A = 
−𝟏 𝟑
𝟒 𝟐
 e B = 
𝟏 𝟐
𝟑 𝟒
 
36 
Propriedades da multiplicação de matrizes 
 
• Verificadas as condições de existência para a 
multiplicação de matrizes, valem as seguintes 
propriedades: 
a) Associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C ) 
 
b) Distributiva em relação à adição: 
A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . 
C 
 
c) Elemento neutro: A . 1n = 1n . A = A, sendo 1n a 
matriz identidade de ordem n 
 
A propriedade comutativa, geralmente, não vale 
para a multiplicação de matrizes. 
37 
Faça você mesmo (agora) 
• Multiplique as duas matrizes a 
seguir: 
 
A = 
𝟐 𝟑
𝟎 𝟏
−𝟏 𝟒
 e B = 
𝟏 𝟐 𝟑
−𝟐 𝟎 𝟒
 
38 
• Correção: 
 
39 
Exercícios (dupla ou trio, Aval. continuada) 
• Some e subtraia as seguintes matrizes 
A = 
𝟖 𝟗
𝟏 𝟑
 e B = 
−𝟑 𝟑
𝟓 𝟒
 
• Dadas as matrizes abaixo, calcule A + B, 
A – B e 5A – 3B 
A = 
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟐 𝟑 𝟕
 e B = 
𝟏 −𝟏 𝟓
𝟎 𝟏 𝟗
 
• Dadas as matrizes, calcule A x B 
𝑨 =
𝟐 𝟑
𝟏 𝟎
𝟓 −𝟐
 e 𝑩 =
𝟕 𝟎
𝟐 𝟑
 
40 
CORREÇÃO DOS EXERCÍCIOS (a.c.) DA AULA ANTERIOR 
1) A =
8 9
1 3
 B =
−3 3
5 4
 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎çã𝑜 
A + B =
8 + (−3) 9 + 3
1 + 5 3 + 4
= 
𝟓 𝟏𝟐
𝟔 𝟕
 
A − B =
8 − (−3) 9 − 3
1 − 5 3 − 4
= 
𝟏𝟏 𝟔
−𝟒 −𝟏
 
 
2) A =
0 1 −1
2 3 7
 e B =
1 −1 5
0 1 9
 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝐴 − 𝐵, 5. 𝐴 − 3. 𝐵, 𝐴 + 𝐵 
𝐴 − 𝐵 = 0 − 1 1 − −1 −1 − 5
2 − 0 3 − 1 7 − 9
=
−𝟏 𝟐 −𝟔
𝟐 𝟐 −𝟐
 
5. 𝐴 − 3. 𝐵 = 5.0 5.1 5. −1
5.2 5.3 5.7
−
3.1 3. (−1) 3.5
3.0 3.1 3.9
∴ 
∴ 5. 𝐴 − 3. 𝐵 =
0 5 −5 
10 15 35
−
3 −3 15
0 3 27
=
−𝟑 𝟖 −𝟐𝟎
𝟏𝟎 𝟏𝟐 −𝟖
 
𝐴 + 𝐵 = 0 + 1 1 + −1 −1 + 5
2 + 0 3 + 1 7 + 9
=
𝟏 𝟎 𝟒
𝟐 𝟒 𝟏𝟔
 
 
3) 𝐴 =
2 3
1 0
5 −2
 e 𝐵 =
7 0
2 3
 
A x B =
2.7 + 3.2 2.0 + 3.3
1.7 + 0.2 1.0 + 0.3
5.7 + −2 . 2 −2.0 + −2 . 3
=
14 + 6 0 + 9
7 + 0 0 + 0
35 − 4 0 − 6
=
𝟐𝟎 𝟗
𝟕 𝟎
𝟑𝟏 −𝟔
 
41