Avaliação de Depósitos

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Prof. Marcônio P. de Magalhães 
 
AVALIAÇÃO DE 
DEPÓSITOS MINERAIS 
Geoestatística 
O que é geoestatística? 
O que é geoestatística? 
O que é geoestatística? 
Histórico 
Histórico 
Histórico 
Histórico 
Histórico 
Histórico 
Histórico 
Momentos estatísticos 
Momentos estatísticos 
Momentos estatísticos 
Estacionaridade 
Estacionaridade 
Estacionaridade 
Estacionaridade 
Estacionaridade 
Estacionaridade 
Estacionaridade 
Estacionaridade 
Estacionaridade 
Estacionaridade 
Exercícios 
SEMIVARIOGRAMA EXPERIMENTAL 
DADOS 
VARIOGRAMA EXPERIMENTAL 
VARIOGRAMA EXPERIMENTAL 
 COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
 
 Covariância é uma medida de associação (relação) linear entre 
duas variáveis aleatórias. Se X e Y são duas v.a., a covariância entre elas 
é definida por: 
 
 Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 
 
 
 Desta forma a covariância entre duas variáveis X e Y é igual a 
média de uma variável aleatória Z que por sua vez é o produto dos 
desvios de cada uma das duas variáveis X e Y em relação as suas 
respectivas medias. 
 X 
Y 
0 1 2 P(y) 
1 3/20 3/20 2/20 8/20 
2 1/20 1/20 2/20 4/20 
3 4/20 1/20 3/20 8/20 
P(x) 8/20 5/20 7/20 1 
 Exemplifiquemos com o seguinte quadro de distribuição conjunta 
de duas variáveis aleatórias discretas X e Y: 
 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
 A distribuição de probabilidade da variável aleatória Z 
 Z = (X-E(X))(Y-E(Y)) é a própria distribuição de probabilidade 
conjunta dada no quadro acima para as variáveis X e Y. 
 Como a covariância é uma esperança temos que: 
 
( , ) [( ( ))( ( )] ( ( ))( ( )) ( , )Cov X Y E X E X Y E Y X E X Y E Y p X Y     
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
 Ou seja, a covariância é o somatório do produto da 
variável Z = (X-E(X))(Y-E(Y)) pelas probabilidades conjuntas. 
Para calcular a covariância devemos calcular as esperanças 
(medias) de X e Y. Estas são: 
8 5 7 19
( ) 0 1 2
20 20 20 20
8 4 8
( ) 1 2 3 2
20 20 20
E X
E Y
      
      
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
No exemplo do quadro acima a covariância é igual a: 
19 3 19 3 19 2
( , ) (0 ) (1 2) (1 ) (1 2) (2 ) (1 2)
20 20 20 20 20 20
19 1 19 1 19 2
(0 ) (2 2) (1 ) (2 2) (2 ) (2 2)
20 20 20 20 20 20
19 4 19 1 19 3
(0 ) (3 2) (1 ) (3 2) (2 ) (3 2) 0
20 20 20 20 20 20
Cov X Y               
              
               
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 Um outro método (mais fácil) de se calcular a covariância é dado 
pela expressão: 
( , ) ( ) ( ). ( )Cov X Y E XY E X E Y 
 Sabemos que a definição de covariância é: 
 
 Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] 
 
Podemos desenvolver o segundo termo desta expressão da seguinte forma: 
( , ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))
( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( )
Cov X Y E XY E X Y E Y X E X E Y
E XY E X E Y E Y E X E X E Y E XY E X E Y
    
    
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 Apliquemos esta expressão aos dados do quadro acima para 
calcular a covariância: 
 
 Para isto precisamos calcular E(XY). Para fazer isto devemos para 
cada valor do quadro (para cada dupla de valores de X e Y) calculamos o 
valor do produto XY e multiplicamos pela probabilidade conjunta. 
( ) 0.1.3/ 20 1.1.3/ 20 2.1.2 / 20 0.2.1/ 20 1.2.1/ 20 2.2.2 / 20
0.3.4 / 20 1.3.1/ 20 2.3.3/ 20 1,9
E XY      
   
( , ) 1,9 (0,95).(2) 0Cov X Y   
Portanto a covariância será: 
 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 Concluímos que as duas variáveis aleatórias X e Y são não 
correlacionadas. 
 Se X e Y são duas variáveis aleatórias independentes, então 
Cov(X,Y) = 0 
 
 Mas a recíproca não é verdadeira. O fato de Cov(X,Y) = 0 não 
implica necessariamente que X e Y sejam independentes. 
 
 Para o último exemplo, verificamos que Cov(X,Y) = 0. No entanto 
vamos verificar que estas duas variáveis não são independentes. Para que X e 
Y sejam independentes é estritamente necessário que P(X,Y) = P(X).P(Y) para 
todos os valores de X e Y. Ou seja, para todas as células da distribuição de 
probabilidade conjunta, o valor da probabilidade conjunta deve ser igual ao 
produto das probabilidades marginais respectivas. Verifiquemos esta 
propriedade para o quadro de distribuição de probabilidade conjunta anterior. 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 X 
Y 
0 1 2 P(y) 
1 3/20 
8/20.8/20 = 
16/400 
3/20 
8/20.5/20 
= 
40/400 
2/20 
8/20.7/20 
= 
56/400 
8/20 
 
2 1/20 
4/20.8/20 
= 
32/400 
1/20 
4/20.5/20 
= 
20/400 
2/20 
4/20.7/20 
= 
28/400 
4/20 
3 4/20 
8/20.8/20 
= 
56/400 
1/20 
8/20.5/20 
= 
40/400 
3/20 
8/20.7/20 
= 
56/400 
8/20 
P(x) 8/20 5/20 7/20 1 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 No quadro acima os valores em vermelho são as probabilidades 
conjuntas. Em seguida vem o cálculo do produto das probabilidades 
marginais respectivas. Observe-se que para a primeira célula temos 
P(X=0,Y=1) = 3/20 = 0,15 e P(X=0).P(Y=1) = 16/400 = 0,04. 
 Na segunda célula da primeira linha temos P(X=1,Y=1) = 3/20 = 
0,15 e P(X=1).P(Y=1) = 40/400 = 0,1. Portanto em nenhuma destas duas 
células a probabilidade conjunta coincide com o produto das probabilidades 
marginais respectivas. Bastava que para apenas uma das células não 
ocorresse a igualdade de probabilidades e as variáveis aleatórias já 
seriam dependentes. Para que ocorra independência perfeita entre as 
variáveis aleatórias é necessário que para todas as células da 
distribuição de probabilidade conjunta ocorra a igualdade entre a 
probabilidade conjunta e o produto das probabilidades marginais 
respectivas. 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
 Sejam X e Y duas variáveis quaisquer. 
 
Então 
 
 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X,Y) 
 
 No caso de X e Y serem independentes temos o caso particular 
de: 
 
 Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y), já que Cov(X,Y) = 0 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
COVARIANCIA PARA VARIAVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS 
 
 Se X e Y são duas variáveis aleatórias continuas a 
covariância é dada pela seguinte expressão: 
 
( , ) [( ( )).( ( ))] ( )( )X YCov X Y E X E X Y E Y x y dxdy 


     
 Qual é a interpretação pratica da covariância? 
 
 A covariância serve para verificar se duas variáveis aleatórias 
movimentam-se ou não no mesmo sentido. Por exemplo, se quando uma variável X 
aumenta a variável Y também aumenta e se quando X diminui, Y também diminui 
(as variáveis) movimentam-se, covariam no mesmo sentido, a covariância é positiva. 
Ao contrario, quando X aumenta, Y diminui ou quando X diminui, Y aumenta, ou 
seja, as variáveis covariam em sentidos opostos, a covariância é negativa. 
 
 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 Podemos calcular a covariância, quando temos a distribuição 
de probabilidade conjunta como foi mostrado anteriormente. Mas 
podemos também calcular a covariância se tivermos um conjunto de 
dados observados para as variáveis X e Y. Por exemplo: 
Agente Anos de 
serviço (X) 
Número de 
clientes (Y) 
A 2 48 
B 3 50 
C 4 56 
D 552 
E 4 43 
F 6 60 
G 7 62 
H 8 58 
I 8 64 
J 10 72 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
40
50
60
70
N
úm
er
o 
de
 c
lie
nt
es
 (Y
)
2 4 6 8 10
Anos de serviço (X)
Diagrama de dispersão para as variáveis X (anos de serviço) e Y 
(numero de clientes) 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
Casal Rendimento do 
Homem (X) 
Rendimento da 
Mulher (Y) 
1 10 5 
2 10 10 
3 5 5 
4 10 5 
5 15 5 
6 10 10 
7 5 10 
8 15 10 
9 10 10 
10 5 10 
Exercício: 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
a) Construa a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y 
 
(b) Determine as distribuições marginais de X e Y 
 
(c) X e Y são v.a. Independentes? Justifique. 
 
(d) Calcule as medias e variâncias de X e Y e a covariância entre elas. 
 
Exercício: 
 
Com base na tabela anterior: 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 O sinal na covariância indica o tipo de relação que as duas 
variáveis tem. Um sinal positivo indica que elas movem juntas e um 
negativo que elas movem em direções opostas. Enquanto a covariância 
cresce com o poder do relacionamento, ainda é relativamente difícil fazer 
julgamentos sobre o poder do relacionamento entre as duas variáveis 
observando a covariância, pois ela não é padronizada. 
 A correlação é a medida padronizada da relação entre duas 
variáveis. Ela pode ser calculada da covariância: 
COVARIÂNCIA X CORRELAÇÃO 
COVARIÂNCIA X CORRELAÇÃO 
 A correlação nunca pode ser maior do que 1 ou menor do que menos 
1. Uma correlação próxima a zero indica que as duas variáveis não estão 
relacionadas. Uma correlação positiva indica que as duas variáveis movem 
juntas, e a relação é forte quanto mais a correlação se aproxima de um. Uma 
correlação negativa indica que as duas variáveis movem-se em direções 
opostas, e que a relação também fica mais forte quanto mais próxima de 
menos 1 a correlção ficar. Duas variáveis que estão perfeitamente 
correlacionadas positivamente (r=1) movem-se essencialmente em perfeita 
proporção na mesma direção, enquanto dois conjuntos que estão 
perfeitamente correlacionados negativamente movem-se em perfeita 
proporção em direções opostas. 
COVARIÂNCIA ENTRE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 A variância, que é uma medida do espalhamento da distribuição ao 
redor da média, e é calculada primeiro pela soma dos desvios quadrados da 
média, e dividindo-a pelo número de observações (se os dados representam 
a população toda) ou por este número, reduzido por um (se os dados 
representam uma amostra) 
VARIÂNCIA 
 Uma regressão simples é uma extensão do conceito 
correlação/covariância. Ela tenta explicar uma variável, a qual é chamada variável 
dependente, usando a outra variável, chamada variável independente. Mantendo a 
tradição estatística, seja Y a variável dependente e X a variável independente. Se as 
duas variáveis são plotadas uma contra a outra num gráfico de espalhamento, com Y 
no eixo vertical e X no eixo horizontal, a regressão tenta ajustar uma linha reta 
através dos pontos de tal modo que minimiza a soma dos desvios quadrados dos 
pontos da linha. Conseqüentemente, ela é chamada de regresssão ordinária dos 
mínimos quadrados (OLS). Quando tal linha é ajustada, dois parâmetros emergem - 
um é o ponto em que a linha corta o eixo Y, chamado de intercepção da regressão, e 
o outro é a inclinação da linha de regressão. 
REGRESSÃO LINEAR – CORRELAÇÃO/COVARIÂNCIA 
Regressão OLS: Y = bX + a 
REGRESSÃO LINEAR – CORRELAÇÃO/COVARIÂNCIA 
 A inclinação (b) da regressão mede ambas a direção e a magnitude da 
relação. Quando as duas variáveis estão correlacionadas positivamente, a inclinação 
também será positiva, enquanto quando as duas variáveis estão correlacionadas 
negativamente, a inclinação será negativa. A magnitude da inclinação da regressão 
pode ser lida como segue - para cada acréscimo unitário na variável (X), a variável 
dependente mudará por b (inclinação). A ligação estreita entre a inclinação da 
regressão e a correlação/covariância não seria surpreendente desde que a 
inclinação é estimada usando a covariância. 
REGRESSÃO LINEAR – CORRELAÇÃO/COVARIÂNCIA 
 A interseção(a) da regressão pode ser lida de várias maneiras. Uma 
interpretação é que ela é o valor que Y terá quando X é zero. Uma outra é mais direta, 
e está baseada em como ela é calculada. É a diferença entre o valor médio de Y, e o 
valor ajustado da inclinação de X. 
 Os parâmetros da regressão são sempre estimados com algum ruido, 
parcialmente porque o dado é medido com erro e parcialmente porque os estimamos 
de amostra de dados. Este ruido é capturado numa dupla de estatísticas. Um é o R-
quadrado da regressão, que mede a proporção da variabilidade em Y que é explicada 
por X. É uma função direta da correlação entre as variáveis. 
REGRESSÃO LINEAR – CORRELAÇÃO/COVARIÂNCIA 
 Um valor de R-quadrado muito próximo de um indica uma forte 
relação entre as duas variáveis, apesar da relação poder ser positiva ou 
negativa. 
 Uma outra medida do ruido numa regressão é o erro padrão, que 
mede o "espalhamento" ao redor de cada um dos dois parâmetros estimados - 
a interseção(a) e a inclinação(b). Cada parâmetro tem um erro padrão 
associado, que é calculado dos dados. 
Erro Padrão da Interseção = SEa = 
REGRESSÃO LINEAR – CORRELAÇÃO/COVARIÂNCIA 
 O R-quadrado mede ainda a força da relação, mas uma estatística 
adicional do R-quadrado chamada de R-quadrado ajustado é calculada para contar 
a tendência que induziria o R-quadrado a manter crescente quando as variáveis 
independentes são adicionadas à regressão. Se existem k variáveis independentes 
na regressão, o R-quadrado ajustado é calculado como segue: 
REGRESSÃO LINEAR – CORRELAÇÃO/COVARIÂNCIA 
 A regressão que mede a relação entre duas variáveis torna-se uma 
regressão múltipla quando ela é extendida para incluir mais do que uma variável 
independente (X1, X2, X3, X4..) na tentativa de explicar a variável dependente Y. 
Enquanto as apresentações gráficas tornam-se mais difícil, a regressão múltipla 
conduz a uma forma que é uma extensão da regressão simples. 
 
 Y = a + b X1 + c X2 + dX3 + eX4 
REGRESSÃO MÚLTIPLA 
 Na teoria, as variáveis independentes numa regressão precisam estar não 
correlacionadas uma com a outra. Na prática, elas são freqüentemente, e esta 
correlação cruzada das variáveis independentes é chamada multi-colinearidade. 
Quando existe multi-colinearidade, 
• Os coeficientes sobre cada uma das variáveis independentes tornam-se muito mais 
difíceis para ler isolados, pois as variáveis começam a procurar uma às outras. 
• A estatística-t relatada tende a exagerar a significância da relação. Existem 
aproximações estatísticas disponíveis para se tratar com a multi-colinearidade. 
• A regressão ainda tem poder de previsão. 
 Ambas regressões, a simples e a múltipla, estão baseadas numa relação linear 
entre a variável dependente e a variável independente. Quando a relação é não-linear, 
o uso de uma regressão linear conduzirá à predições incorretas. Em tais casos, as 
variáveis independentes precisarão ser transformadas para tornar a relação mais linear. 
REGRESSÃO MÚLTIPLA 
VARIÁVEL REGIONALIZADA 
NATUREZA DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E REGIONALIZADAS 
NATUREZA DAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E REGIONALIZADAS 
DESAGRUPAMENTO 
DESAGRUPAMENTO 
DESAGRUPAMENTO 
DESAGRUPAMENTO POLIGONAL 
DESAGRUPAMENTO POLIGONAL 
DESAGRUPAMENTO POLIGONAL 
Após o 
DESAGRUPAMENTO POLIGONAL 
DESAGRUPAMENTO POLIGONAL 
DESAGRUPAMENTO POLIGONALDESAGRUPAMENTO POLIGONAL 
DESAGRUPAMENTO POR CÉLULAS 
Conforme esse método, a área total é dividida 
DESAGRUPAMENTO POR CÉLULAS 
DESAGRUPAMENTO POR CÉLULAS 
DESAGRUPAMENTO POR CÉLULAS 
CÁLCULO E MODELAGEM DE VARIOGRAMA EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO E MODELAGEM DE VARIOGRAMA EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO E MODELAGEM DE VARIOGRAMA EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO E MODELAGEM DE VARIOGRAMA EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO E MODELAGEM DE VARIOGRAMA EXPERIMENTAIS 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA FUNÇÃO VARIOGRAMA 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA FUNÇÃO VARIOGRAMA 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA FUNÇÃO VARIOGRAMA 
FUNÇÃO VARIOGRAMA E A FUNÇÃO COVARIÂNCIA 
FUNÇÃO VARIOGRAMA E A FUNÇÃO COVARIÂNCIA 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
Distribuição Irregular 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
Distribuição Irregular 
CÁLCULO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTAIS 
Distribuição Irregular 
KRIGAGEM 
Krigagem Linear 
 O sistema de krigagem necessário para a determinação dos ponderadores, 
ou pesos, associados a cada um dos pontos estimadores baseia-se na ideia de que 
quanto maior a covariância entre uma amostra xi, i= 1,2,3,...,n, e o local que está 
sendo estimado, x0, mais essa amostra deve contribuir para a estimativa. 
 O sistema de krigagem leva em consideração tanto a distância entre as 
amostras como o seu agrupamento. 
KRIGAGEM 
Krigagem Simples ou Estacionária 
 Sob a condição de estacionaridade de segunda ordem, a média e a 
variância de todos os locais são constantes. 
 E[Z(x)] = m 
 
E[(Z(x) - m)(Z(x+h) - m)] = E[Z(x)Z(x+h) - m²] = C(h) 
 
 Assim, o estimador da krigagem simples é calculado segundo (Olea, 1999, 
p. 10-15): 
 
 Z*KS (x0) = m + Σ λi [Z(xi) - m] 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM 
KRIGAGEM