exercicios resolvidos de taxas relacionadas calculo 1

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Exercício 1   Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de compriment,o 9 ft de profundidade no lado mais fundo e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a piscina está sendo enchida a uma taxa de 0.8 ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5 ft?
 
	Figure 1: Piscina
	
	Solução do Problema 1  
O volume de água na piscina em função de h, a altura quando h está próximo de 5 é 
Como l=20 ft simplificando obtemos 
isto é 
Derivando implicitamente obtemos: 
Como  temos 
isto é 
 
	Figure 1: Piscina
	
Exercício 2   Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa de 20cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.
Solução do Problema 2  
A variação do volume de água é dada pela fórmula 
Por outro lado como o volume de um cone é  e da figura sabemos que temos que  e portanto 
que derivando implicitamente obtemos 
logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200cm era 
Exercício 3   Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m?
Solução do Problema 3  
	
Usamos a figura e a lei dos cossenos para expressar a distância entre os dois e obter: 
Derivando implicitamente obtemos 
e então 
Mas como  temos  e como  m/s temos que . Finalmente sabendo que a distância entre eles era 200 m podemos determinar o ângulo  a saber: 
implicando que . Portanto 
Exercício 4   Encontre os pontos P e Q sobre a parábola y=1-x2 tal que o triângulo ABC formado pelo eixo-x e as tangentes em P e Q seja equilátero.
olução do Problema 4  
	
Como f(x)=1-x2 e f'(x)=-2x temos que uma das tangentes, a que passa no ponto Q=(x,1-x2) tem equação 
w-1+x2=-2x(v-x).
Portanto os pontos A e C são obtidos fazendo v=0 e então w=1-x2+2x2=1+x2, isto é A=(0,1+x2) e fazendo w=0 e neste caso 
isto é . A distância entre os dois é portanto: 
e como o triângulo deve ser equilátero devemos ter: 
que resolvendo obtemos  isto é 1+4x2=4 e portanto 
Segue que os pontos são: 
Exercício 5   Um homem começa a andar para o norte a 4 ft/s de um ponto P. 5 minutos mais tarde uma mulher inicia sua caminhadada para o sul a uma velocidade de 5 ft/s partindo de um ponto localizado 500 ft a leste de P. Qual a taxa de afastamento entre o homem e a mulher 15 minutos após a mulher ter iniciado a caminhada?
Solução do Problema 5  
	
Sejam yh(t) a posição do homem sobre o eixo-y no instante t e (500,ym(t)) a da mulher que se desloca sobre a vertical x=500. Como as velocidades são respectivamente vh=4 e vm=5 tem-se que 
Da figura ve-se que 
d2=[yh(t)-ym(t)]2+5002
que derivando implicitamente temos 
dd'=[yh-ym](yh'-ym')
Logo: 
No instante t=15 como  e  tem-se que: 
Exercício 6   Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera de raio R. Encontre o maior volume possível de um tal cilindro. (Mesmo problema quando é um cone de altura h e raio r que circunscreve o cilindro.
Solução do Problema 6  
	
Da figura temos: R2=r2+h2 e portanto . Como o volume de um cilindro é dado por  temos: 
Derivando obtemos 
isto é 
2R2-3r2=0
e portanto  
Portanto o volume máximo é 
Exercício 7   Um barco deixa as docas às 14:00 h e navega para o sul a uma velocidade de 20km/h. Um outro barco está se dirigindo para leste a uma velocidade de 15km/h e atinge a mesma doca as 15:00 h. A que horas estiveram os dois barcos mais próximos.
Solução do Problema 7  
	
Da figura, se denotamos y(t) e x(t) as posições dos barcos cujas velocidades são respectivamente 20km/h e 15 km/h temos que 
como x(3)=0 temos x(3)=45-x0=0 e portanto x0=-45 o que acarreta x(t)=15t-45. Logo a distância entre eles será dada por: 
que derivando obtemos: 
e igualando a zero temos: 
isto é 400(t-2)+225(t-3)=0 ou equivalentemente 
625t=800+675
cuja solução é: 
Exercício 8   Em uma colmeia, cada célula é um prisma regular hexagonal, aberto em uma extremidade com uma ângulo triedral na outra extremidade. Acredita-se que as abelhas constroem seus favos de modo a minimizar a área da superfície para um dado volume fixo, usando desde modo a menor quantidade possível de cera. O exame dos favos tem mostrado que a medida do ângulo do ápice  é impressionantemente consistente. Usando geometria pode-se provar que a área da superfície é dada por 
onde s, é o comprimento dos lados do hexágono e h a altura.
a) Calcule .
b) Determine o ângulo que as abelhas preferem.
c) Determine a área superfície mínima escolhida.
Solução do Problema 8  
Para responder a) derivamos S para obter: 
Para responder b) igualamos o resultado obtido a zero 
donde temos 
isto é  a saber as abelhas preferem o ângulo 
Da trigonometria sabemos que 
e portanto 
Exercício 9   Um carro está trafegando à noite ao longo de uma rodovia na forma de uma parábola y=x2. O carro começa em um ponto a 100 m oeste e 100 norte da origem na direção leste. Há uma estátua localizada a 100 m leste e 50 m norte da origem. Determine o ponto sobre a estrada no qual os faróis do carro estarão iluminando a estátua.
 
	Figure 2: Carro na estrada
	
Solução do Problema 9  
	
Como y=x2 e y'=2x a reta tangente à parábola no ponto (x,x2)será: 
w-x2=2x(v-x).
Como esta reta deverá conter o ponto onde está a estátua que é (100,50) devemos ter: 
50-x2=2x(100-x)
isto é 
x2-200x+50=0
cuja solução que nos interessa é 
e portanto o ponto sobre a estrada no qual os faróis iluminarão diretamente a estátua é 
(0.25, 0.252).
Exercício 10   Um pedaço de fio de 16 cm de comprimento será cortado em duas partes. Uma delas será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um círculo. Como deverá ser feito o corte de modo a minimizar a área total das figuras?
Solução do Problema 10  
Vamos assumir que o quadrado tem lado x e que o círculo tem raio r. Então sabemos que e portanto . A área total é 
Calculando a derivada obtemos: 
e portanto o único ponto crítico ocorre em . Como estamos tratando com uma função quadrática com coeficiente do termo quadrático positivo sabemos que este é um ponto de mínimo. Portanto o corte deverá ser feito a 4x unidades da extremidade esquerda isto é a distância de 
desta extremidade.
Exercício 11   Um observatório será construido na forma de um cilindro circular reto com uma abóboda esférica como cobertura. Se o custo da construção da abóboda será duas vezes mais caro que na parede do cilindro quais deverão ser as proporções mais econômicas do observatório supondo que o volume é fixo?
Solução do Problema 11  
Se o cilindro (e portanto a abóboda) tem raio r e altura h, então o volume do observatório será
Logo 
A área da superfície cilíndrica é  e a da abóboda . Portanto para minimizarmos o custo da obra devemos minimizar a função: 
Derivando e derivando mais uma vez obtemos: 
Segue que o ponto crítico de C ocorre quando  e que neste ponto a derivada segunda é positiva sendo portanto um mínimo. Logo a configuração mais econômica se dá quando