matrizes_2014-2

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Grupo:Christian Yungtai , Fernando Paulo e Mariana Lapenda
Matriz
Introdução:
 O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange c. 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à uma conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. 
 Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Observemos, ademais, que os determinantes em nada contribuiram para o desenvolvimento da Teoria das Matrizes.
Definição de Matrizes 
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn = 
 = [aij]mxn
matriz A de m linhas e n colunas 
Elemento da linha i
e coluna j 
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna 
Propriedades:
Soma de matrizes
Comutativa 
A + B = B + A 
Associativa
A + (B + C) = B + (A + C) = C + (A + B)
Determinante é um número real associado a uma matriz quadrada
Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem.
Seja a matriz A = (a11). O determinante de A será o próprio elemento a11
.
A = ( 3 ) , logo | A | = 3
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem.
Seja a matriz de 2ª ordem:
A = 
a11
a12
a21
a22
O determinante associado à matriz A é o número real obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
a11
a12
a21
a22
a11 · a22
- (a12 · a21)
 
= a11 · a22 – a11 · a22
 
Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem.
Neste caso utilizamos um processo prático chamado Regra de Sarrus.
Ex: 1)
16 – 3 + 15 –18 –2 + 20 = 28
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando todos os elementos de uma fila são nulos
Ex: 
1)
2)
• Quando possui duas filas paralelas iguais ou proporcionais
3)
4)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
• Quando uma das filas é a combinação linear de outras filas paralelas.
5)
6)
Casos em que um determinante é igual a ZERO:
 Matriz identidade
 Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero
A identidade é uma matriz diagonal cujo elementos da diagonal principal são todos iguais a um.
Obs: Todas as Triangulares são quadradas, logo, a diagonal e a identidade são quadradas.
 Matriz nula 
Todos os elementos são nulos.
 Igualdade de Matrizes
Duas matrizes são ditas idênticas quando seus elementos correspondentes são iguais.
Transposta  troca de linha por coluna (m x n => n x m ) 
Matriz A transposta
Simétrica  Matriz quadrada tal que At = A
Matriz A transposta
Anti-Simétrica  Matriz quadrada tal que At = -A
=
Os elementos da transposta são os opostos da original.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B.
Nem sempre é possivel somar as matrizes,somente quando estas forem de mesma ordem.
+
=
O mesmo serve para a subtração
Multiplicação por escalar
 Quando um número real multiplica todos os elementos da matriz
Matriz A
Matriz -2A
Multiplicação de matriz por matriz 
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.
Em geral AB  BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
O produto da primeira linha pela primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela segunda coluna, gera o elemento C12.
2.1 + 1.0
2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0
4.(-1) + 2.4
5.1 + 3.0
5.(-1) + 3.4
multiplicamos o primeiro elemento da elemento com o primeiro da coluna e por aí vai...
Exercícios
A+B-C=?
  
Calcule x e y , usando a multiplicação de matrizes como ferramenta , de forma que At x B seja uma matriz nula 
 
Encontrar a matriz transposta At
Utilizar sistema indutivo lógico 
 
Como poderíamos montar uma tabela que dê a produção por produto e região nos dois anos conjuntamente?
Representemos cada tabela dada por uma matriz, digamos que a matriz da produção do ano de 2005 seja a matriz P2005 e a de 2006 a matriz P2006, conforme a figura abaixo. Ao somarmos as duas matrizes, obtemos uma nova matriz, a qual nos fornece a produção nos dois anos conjuntamente.