Matrizes_2011.2_T

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Raphael Carvalho
Eduardo
Patrick
Rodrigo Konrad
Thaís Maria
Tópicos:
Introdução
Matrizes especiais.
Álgebra das matrizes.
Matrizes elementares.
Exercícios.
Aplicações.
Bibliografia
Tópicos:
Introdução
Matrizes especiais.
Álgebra das matrizes.
Matrizes elementares.
Exercícios.
Aplicações.
Bibliografia
Introdução.
Apesar de não ouvirmos a palavra matriz com frequência , ela está constantemente presente em nossos dias, principalmente em jornais e revistas quando dados numéricos são representados em tabelas. Essas tabelas não passam de matrizes disfarçadas
Introdução
Tabelas de futebol são exemplos de matrizes.
A tabela ao lado foi representada pela matriz A , onde as linhas são os times e as colunas suas atuações.
Representações de matrizes
Uma matriz pode ser representada de diversas maneiras: Entre colchetes, parênteses, ou duas barras duplas, como apresentadas abaixo.
Representação de matrizes.
Consideramos uma matriz A do tipo m x n. Onde os elementos serão representados pelo símbolo aij , no qual i refere-se a linha e j refere-se a coluna.
OBS: Note que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Assim a matriz A segue o modelo abaixo:
 
Representação de matrizes.
É possível fazer uma matriz através de uma equação, como no exemplo abaixo. Nesse caso os elementos da matriz é a substituição de valores na equação.
Ex.: Construir uma matriz A(2x2) onde os elementos são definidos pela equação, aij = 2i + j -1 .
Substituindo na equação...
a11 = 2.1 + 1 -1 = 0 
a12 = 2.1 + 2 -1 = 3 
a21 = 2.2 + 1 -1 = 4 
a22 = 2.2 + 2 -1 = 5 
Tópicos:
Introdução.
Matrizes especiais.
Álgebra das matrizes.
Matrizes elementares.
Exercícios.
Aplicações.
Bibliografia
Matrizes especiais.
Essas matrizes possuem essa classificação por terem algo que as diferem as matrizes em geral.
As matrizes especiais podem ser classificadas como:
Matriz quadrada.
Matriz linha.
Matriz coluna.
Matriz triangular.
Matriz nula.
Matriz identidade.
Matriz transposta.
Matrizes especiais.
Matriz quadrada:
A matriz quadrada é a matriz que possui o número de linhas igual ao número de colunas.
Ex.: 
Neste caso a matriz A é 2x2 . Podemos dizer também que a matriz quadrada é de ordem 2.
 Diagonais:
 Diagonal principal: A diagonal principal é formada pelos elementos cujo índice da linha é igual ao índice da coluna. A outra diagonal é chamada de diagonal secundária.
Ex.:
Matrizes especiais.
Matriz linha: 
Matriz coluna: 
 A matriz linha é a matriz formada por uma única linha.
Ex.:
A matriz coluna, assim como a matriz linha, é a matriz formada por uma única coluna.
Ex.:
Neste caso a matriz é do tipo 1 x 4 .
Neste caso a matriz é do tipo 4 x 1.
Matrizes especiais
Matriz diagonal:
Matriz escalar:
A matriz diagonal é aquela em que todos os elementos não pertencentes a diagonal principal são nulos.
Ex.:
A matriz escalar é muito parecida com a matriz diagonal, entretanto, os elementos da diagonal principal são todos iguais, ou seja, é a multiplicação de um escalar pela matriz identidade.
Ex.:
Neste caso a matriz A pode ser vista como a multiplicação da matriz identidade por 4.
Matrizes especiais.
Matriz triangular:
A matriz triangular é aquela que possui os elementos acima ou abaixo da linha principal iguais a zero.
Matriz triangular superior: É a matriz triangular cujo elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
Ex.:
Matriz triangular inferior: É a matriz triangular cujo elementos acima da diagonal principal são iguais a zero.
Ex.:
 
Matrizes especiais.
Matriz nula:
Matriz identidade:
A matriz nula é aquela em que todos os elementos são iguais a zero.
Ex.:
A matriz identidade é a matriz quadrada cujo os elementos da diagonal principal são iguais a um e o restante igual a zero.
Ex.:
Assim como a matriz quadrada, a matriz identidade também possui ordem, que é a mesma da matriz quadrada, no exemplo ao lado a matriz identidade é de ordem 3.
Matrizes especiais.
Matriz transposta:
Dado a matriz A = (aij)mxn , a matriz transposta, representada da forma At = (aij)nxm , será a transformação das linhas em colunas.
Ex.: 
Matrizes especiais.
Matrizes simétricas:
Matrizes anti-simétricas:
As matrizes simétricas são as matrizes que possuem os elementos aij = aji, ou seja, A = At .
Ex.:
Com características parecidas com as das matrizes simétricas, as matrizes anti-simétricas possuem elementos aij = -aij, ou seja, At = -A .
Ex.:
Álgebra das matrizes.
Introdução.
Matrizes especiais.
Álgebra das matrizes.
Matrizes elementares.
Exercícios.
Aplicações.
Bibliografia
Álgebra das matrizes
Com as matrizes é possível fazer algumas operações:
Adição.
Subtração.
Multiplicação por escalar.
Multiplicação de matrizes. 
Álgebra das matrizes.
Adição:
Tendo duas matrizes, A = (aij)(mxn) e B = (bij)(mxn), a matriz soma A+B é a matriz C = (aij + bij)(mxn), ou seja, a matriz C é do mesmo tipo que A e B.
Ex.:
Álgebra das matrizes.
Propriedades:
Comutativa:
A + B = B + A
Associativa:
(A + B) + C = A + (C + B)
Oposto:
A + (-A) = 0
Elemento Neutro:
A + 0 = A
Álgebra das matrizes.
Subtração:
Tendo duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, a matriz subtração C = A-B = (aij - bij)mxn, ou seja, a matriz C é do mesmo tipo que A e B.
Álgebra das matrizes
Propriedades:
A subtração das matrizes não obedecem a nenhuma das propriedades da adição. Assim a subtração das matrizes obedeceriam a:
A – B = A + (- B)
Logo a subtração é a soma de uma matriz pelo oposto da outra, e como não é comutativa B – A ≠ A – B. 
Álgebra das matrizes.
Multiplicação por escalar:
A multiplicação de um escalar por uma matriz é feita pela multiplicação desse escalar por cada elemento da matriz.
Seja uma matriz A = (aij)mxn e k uma constante real, a matriz 
 k x A = k x (aij)mxn .
2 x
Álgebra das matrizes.
Multiplicação de matrizes:
A multiplicação das matrizes é feita de maneira diferente. Seja uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz B = (bij)nxm a multiplicação seria feita como no exemplo abaixo:
Observa-se que o número de linhas da primeira matriz tem de ser igual ao numero de colunas da segunda matriz.
Álgebra das matrizes.
Tendo duas matrizes A e B, verificamos que A x B ≠ B x A já que a multiplicação de matrizes é a linha vezes a coluna: 
Linha 1
Linha 2
Coluna 1
Coluna 2
Coluna 3
A multiplicação será da linha 1 [2 3] pela coluna 1 [2 4] sendo que será a multiplicação do primeiro termo da linha pelo primeiro termo da primeira coluna somado com a multiplicação do segundo termo da linha multiplicado pelo segundo termo da coluna ficando assim, o primeiro termo da matriz resultante será a soma descrita acima e assim por diante para cada termo da matriz resultante.
Tópicos
Introdução.
Matrizes especiais.
Álgebra das matrizes.
Exercícios.
Aplicações.
Bibliografia
Exercícios
I - Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, determine A, de forma que A = 2 . At.
 Temos as equações:a = 2a; b = 2c; c = 2b e d =2d.
 Nessas condições só existe solução se:
 
 a = b = c = d = 0. Logo A é a matriz nula.
Exercícios.
II - Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C)  são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela: 
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: 
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho. 
Exercício.
SOLUÇÃO: O problema se resume na multiplicação das matrizes: 
Exercícios.
III - Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij = j.i e B = (bij)3x4, bij = j.i . Seja C a matriz resultante do produto entre A e B. Calcule elemento c23 da matriz C.
Cada
elemento é calculado pelo produto de sua linha e coluna. Temos:
SOLUÇÃO: c23 = 2x3 + 4x6 + 6x9 = 6 + 24 + 54 = 84. 
Não é necessário encontrar todos os resultados. Basta encontrar o elemento c23 da matriz C que é calculado pela operação da 2º linha de A com a 3º linha de B.
Tópicos
Introdução.
Matrizes especiais.
Álgebra das matrizes.
Exercícios.
Aplicações.
Bibliografia
Aplicações.
Algumas aplicações...
Computação: Cálculos estruturais, computação gráfica, aparelhos médicos tipo ressonância magnética, economia, meteorologia, oceanografia e outros...
Engenharia elétrica: Resolver problemas de circuitos elétricos e Linhas de transmissão de energia elétrica.
A Matriz de Energia Elétrica Brasileira e a Economia de Baixo Carbono
Aplicações.
Mecânica: Os tensores (grandeza muito importante pra mecânica) é só fornecido em forma de matriz.
Genética:Problemas envolvendo probabilidade.
Matriz de variância genética aditiva
o tensor tensão de Cauchy é dado por uma matriz simétrica
Na mecânica as matrizes são usadas para cálculo de tensão, deformação entre outras utilidades. 
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Tópicos
Introdução.
Matrizes especiais.
Álgebra das matrizes.
Exercícios.
Aplicações.
Bibliografia
Bibliografia.
Livro Matemática volume único - 3º edição, editora atual, Gelson Lezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo.
http://ead.pep.ufrj.br/moodle/course/view.php?id=5