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* INTEGRANTES: Daniel Lee Moraes (DRE:111194538 ) Felipe Cortat Btechs (DRE :111023842) João Paulo Braga De Oliveira (DRE :111272302) José Victor Pereira Barros (DRE : 111194839) Tom Cerginer (DRE :111194693) ORIENTADOR: Prof. Mário Jorge MATRIZES E SEUS CONCEITOS BÁSICOS * Como Surgiu o Conceito de Matriz? O pai do nome matriz Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ? Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ). * Representação * Tipos de Matriz Matriz Escalar Matriz Simétrica Matriz Antissimétrica Matriz Triangular Matriz Diagonal Matriz Oposta Matriz Inversa Matriz Escalar Matriz Quadrada Matriz Nula Matriz Coluna Matriz Linha Matriz Identidade Matriz Transposta * Matriz Quadrada Matriz quadrada é aquela que possui o mesmo número de linhas (m) e o mesmo número de colunas (n). É o único tipo de matriz que contém determinantes, além de ser o único que engloba matrizes simétricas e anti-simétricas. Ex: T = 1 2 3 3 2 1 4 5 6 * Características da Matriz Quadrada Diagonais Cálculo do Determinante: * Matriz Nula Todos os elementos dessa matriz são nulos. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Exemplos: * Matriz Coluna Matriz coluna é aquela que possui apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Exemplo: 5 43 17 -2 7 29 15 66 -14 * Matriz Linha Matriz linha é aquela que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. Exemplo: 5 43 17 -2 7 29 15 66 -14 * Matriz Identidade É a matriz na qual os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e todos os outros elementos não pertencentes a diagonal principal são iguais a 0. Exemplos: 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 * Matriz Escalar É a matriz na qual os elementos da diagonal principal são iguais entre si, e todos os outros elementos não pertencentes a diagonal principal são iguais a 0. Exemplo: 5 0 0 5 16 0 0 0 16 0 0 0 16 7 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 7 * Matriz Simétrica É uma matriz quadrada na qual aij = aji . Exemplo: 99 12 0 12 14 5 0 5 13 0 0 0 1 0 0 0 1 8 19 5 -3 19 -3 25 * Matriz Anti-Simétrica É uma matriz quadrada na qual aij = -aji . Exemplo: 0 12 0 -12 0 5 0 -5 0 0 6 12 -6 0 8 -12 -8 0 0 8 19 0 -3 19 -3 0 * Matriz Triangular É a matriz na qual os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a 0. Matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal são zero. matriz triangular inferior é aquela em que os elementos acima da diagonal são zero. Exemplo: 1 12 -3 0 65 5 0 0 30 1 0 0 6 54 0 12 -8 9 9 8 19 0 1 -7 0 0 14 Matriz Triangular Superior Matriz Triangular Inferior * Matriz Diagonal É a matriz na qual os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a 0. Exemplo: 1 0 0 0 65 0 0 0 30 1 0 0 0 54 0 0 0 9 9 0 0 0 1 0 0 0 14 * Matriz Oposta A matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos opostos correspondentes ao da matriz A. A matriz oposta de A = (aij)m x n é a matriz – A = (– aij) m x n. Exemplo: * Matriz Transposta A matriz transposta é a matriz original onde suas linhas são trocadas pelas colunas Exemplo: * Matriz Inversa Dizemos que uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras. Dada duas matrizes quadradas C e D, C será inversa de D se, somente se, C . D ou D . C for igual a I(matriz identidade). Portanto, dizemos que C = D-1 ou D = C-1 Exemplo: * Operações com Matrizes Adição Subtração Multiplicação por um escalar Multiplicação por uma matriz Transposição * Adição de Matrizes A soma de duas matrizes de mesma ordem, Am x n = [aij] e Bm x n = [bij], é uma matriz m x n, que denotaremos A + B, cujos os elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Logo, A + B = [aij + bij]m x n Exemplos: + = 7 -1 0 -3 4 -3 0 10 -6 0 -3 3 -8 3 0 3 -5 0 0 -1 -5 3 * Propriedades da Adição de Matrizes A+ (B+C) = (A + B) + C A + 0 = 0 + A = A – A + A = A – A = 0 A + B = B + A * Subtração de Matrizes A subtração de duas matrizes de mesma ordem, Am x n = [aij] e Bm x n = [bij], é uma matriz m x n, que denotaremos A - B, cujos os elementos são subtrações dos elementos correspondentes de A e B. Logo, A - B = [aij - bij]m x n Exemplos: - = 5 7 -1 6 0 -3 -4 3 0 0 3 -5 2 0 0 -1 -5 3 5 4 4 4 0 -3 -3 8 -3 * Multiplicação por um Escalar Seja A = [aij]m x n e k um número, então definimos uma nova matriz K x A = [kaij]m x n Exemplos: 5 6 -2 7 -5 3 = 5x1 5x6 5x(-2) 5x7 5x(-5) 5x3 = 30 -10 35 -25 15 * Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por um Escalar (βα) A = β (α A) (β + α) A = βA + αA β (A + B) = βA + βB 1A = A * Multiplicação de Matrizes Sejam A = [aij]m x n e B = [brs]n x p . Definimos AB = [Cuv]m x p. Condições da multiplicação: Só pode efetuar o produto de duas matrizes Am x n e Bt x p se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, ou seja, n=t. E a matriz resultado será da ordem m x p. O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos. * Multiplicação de Matrizes Exemplo 1: 0 2 -1 3 1 x 1 1 1 0 = (1x3 + 0x2 + 2x1) (1x1 + 0x1 + 2x0) (-1x3 + 3x2 + 1x1) (-1x1 + 3x1 + 1x0) = 1 4 2 (3 + 0 + 2) (1 + 0 + 0) (-3 + 6 + 1) (-1 + 3 +0) = * Multiplicação de Matrizes Outro modo de visualizar: Representação da multiplicação AxB * Propriedades da Multiplicação Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m,n), (n,p) e (p,r), respectivamente, tem-se: (AB)C = A(BC) Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m,n), (m,n) e (n,p), respectivamente, tem-se: (A + B)C = AC + BC Dadas as matrizes A, B, C de ordem (n,p), (n,p) e (m,n), respectivamente, tem-se: C(A+B) = CA +CB AI = IA = A Em geral, AB ≠ BA, logo a multiplicação matricial não é, em geral, comutativa. VI) 0 x A = 0 e A x 0 = 0 * Transposição Seja uma matriz Am×n. A matriz transposta de A, usualmente simbolizada por AT, é uma matriz n×m tal que aTij = aji para 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m Na prática, as linhas de uma são as colunas da outra. Exemplo: * Propriedades da Transposição (AT)T = A (A + B)T = AT + BT (kA)T = k AT (AB)T = BT AT Se A = AT, então A é simétrica det(AT) = det(A) * Aplicações Computação Gráfica Efeitos Especiais Engenharia Elétrica Engenharia Mecânica Engenharia Civil Otimização Aparelhos Eletrônicos Genética Química Física Matemática Economia * Exercícios * Exercícios * Exercícios * Exercícios * Exercícios * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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