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Matrizes_2012.1_M

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INTEGRANTES:
 Daniel Lee Moraes (DRE:111194538 )
 Felipe Cortat Btechs (DRE :111023842)
 João Paulo Braga De Oliveira (DRE :111272302)
 José Victor Pereira Barros (DRE : 111194839)
 Tom Cerginer (DRE :111194693)
ORIENTADOR:
 Prof. Mário Jorge
MATRIZES E SEUS CONCEITOS BÁSICOS
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Como Surgiu o Conceito de Matriz?
O pai do nome matriz Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ?  Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ).
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Representação
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Tipos de Matriz
Matriz Escalar
Matriz Simétrica
Matriz Antissimétrica
Matriz Triangular
Matriz Diagonal
Matriz Oposta
Matriz Inversa
Matriz Escalar
Matriz Quadrada
Matriz Nula
Matriz Coluna
Matriz Linha
Matriz Identidade
Matriz Transposta
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Matriz Quadrada
		Matriz quadrada é aquela que possui o mesmo número de linhas (m) e o mesmo número de colunas (n). 
		É o único tipo de matriz que contém determinantes, além de ser o único que engloba matrizes simétricas e anti-simétricas.
Ex:
T = 
 
1 2 3
3 2 1
4 5 6
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Características da Matriz Quadrada
Diagonais 
Cálculo do Determinante: 
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Matriz Nula
Todos os elementos dessa matriz são nulos.
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Exemplos:
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Matriz Coluna
		Matriz coluna é aquela que possui apenas uma coluna. O número de linhas é independente. 
Exemplo:
 5
43
 17
-2
 
 7
29
15
66
-14
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Matriz Linha
Matriz linha é aquela que possui apenas uma linha. O número de colunas é independente. 
Exemplo:
 5 43 17 -2
 
 7 29
15 66 -14
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Matriz Identidade
É a matriz na qual os elementos da diagonal principal são iguais a 1, e todos os outros elementos não pertencentes a diagonal principal são iguais a 0.
Exemplos:
0	0 0	0
0	1	0 0	0
0	0	1 0	0
0	0	0 1	0
0	0	0 0	1
0
0 1
0 0
0 1 0
0 0 1
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Matriz Escalar
É a matriz na qual os elementos da diagonal principal são iguais entre si, e todos os outros elementos não pertencentes a diagonal principal são iguais a 0.
Exemplo:
5 0
0 5
16 0 0
0 16 0
0 0 16
7 0	0 0	0
0	7	0 0	0
0	0	7 0	0
0	0	0 7	0
0	0	0 0	7
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Matriz Simétrica
É uma matriz quadrada na qual aij = aji .
Exemplo:
99 12	0
12 14	 5
0 5	13
0	0
0	1	0
0	0	1
8	19
5	-3
19 -3 25
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Matriz Anti-Simétrica
É uma matriz quadrada na qual aij = -aji .
Exemplo:
0 12 0
-12 0 5
0 -5	 0
0 6	 12
-6	 0	 8
-12	 -8	 0
0 8	 19
 0	 -3
19 -3 0
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Matriz Triangular
É a matriz na qual os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a 0. Matriz triangular superior é aquela em que os elementos abaixo da diagonal são zero. matriz triangular inferior é aquela em que os elementos acima da diagonal são zero.
Exemplo:
1 12 -3
0 65 5
0 0	 30
1 0	 0
6	 54 0
12	 -8	 9
9 8	 19
0 1	 -7
0 0 14
Matriz Triangular Superior
Matriz Triangular Inferior
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Matriz Diagonal
É a matriz na qual os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a 0.
Exemplo:
1 0 0
0 65 0
0 0	 30
1 0	 0
0	 54 0
0	 0	 9
9 0	 0
0 1	 0
0 0 14
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Matriz Oposta 
 A matriz oposta da matriz A é aquela que possui elementos opostos correspondentes ao da matriz A.  A matriz oposta de A = (aij)m x n é a matriz – A = (– aij) m x n. 
Exemplo: 
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Matriz Transposta
A matriz transposta é a matriz original onde suas linhas são trocadas pelas colunas
Exemplo:
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Matriz Inversa
Dizemos que uma matriz terá uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras. Dada duas matrizes quadradas C e D, C será inversa de D se, somente se, C . D ou D . C for igual a I(matriz identidade). Portanto, dizemos que C = D-1 ou D = C-1
Exemplo:
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Operações com Matrizes
 Adição
Subtração
Multiplicação por um escalar
Multiplicação por uma matriz
Transposição
*
Adição de Matrizes
 A soma de duas matrizes de mesma ordem, Am x n = [aij] e Bm x n = [bij], é uma matriz m x n, que denotaremos A + B, cujos os elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Logo,
A + B = [aij + bij]m x n 
Exemplos:
		
 +
=
 7	-1
 0	-3
4	-3	 0
10	-6
 0	-3
3	 -8	 3
0 3 -5
 0 0
-1 -5	 3
*
Propriedades da Adição de Matrizes
A+ (B+C) = (A + B) + C 
A + 0 = 0 + A = A
 – A + A = A – A = 0
A + B = B + A
*
Subtração de Matrizes
A subtração de duas matrizes de mesma ordem, Am x n = [aij] e Bm x n = [bij], é uma matriz m x n, que denotaremos A - B, cujos os elementos são subtrações dos elementos correspondentes de A e B. Logo,
A - B = [aij - bij]m x n 
Exemplos:
-
=
 5 7	-1
 6 0	-3
-4 3	 0
 0 3	 -5
 2 0	 0
-1 -5	 3
 5 4 	 4
 4 0	 -3
-3 8	 -3
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Multiplicação por um Escalar
Seja A = [aij]m x n e k um número, então definimos uma nova matriz
K x A = [kaij]m x n 
Exemplos:
5
 6	 -2
7	-5	 3
=
5x1	 5x6	 5x(-2)
5x7	5x(-5)	 5x3
=
 30 -10
35	 -25 15
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Propriedades da Multiplicação de uma Matriz por um Escalar
(βα) A = β (α A)
(β + α) A = βA + αA
β (A + B) = βA + βB
1A = A
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Multiplicação de Matrizes
Sejam A = [aij]m x n e B = [brs]n x p . Definimos AB = [Cuv]m x p.
Condições da multiplicação: 
Só pode efetuar o produto de duas matrizes Am x n e Bt x p se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, ou seja, n=t. E a matriz resultado será da ordem m x p.
O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.
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Multiplicação de Matrizes
 Exemplo 1:
0	2
-1	3	1
x
1
1
1	0
=
(1x3 + 0x2 + 2x1)	(1x1 + 0x1 + 2x0)
(-1x3 + 3x2 + 1x1)	(-1x1 + 3x1 + 1x0)
=
1
4	2
(3 + 0 + 2)	(1 + 0 + 0)
(-3 + 6 + 1)	(-1 + 3 +0)
=
*
Multiplicação de Matrizes
 Outro modo de visualizar:
Representação da multiplicação AxB
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Propriedades da Multiplicação
 Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m,n), (n,p) e (p,r), respectivamente, tem-se: (AB)C = A(BC)
Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m,n), (m,n) e (n,p), respectivamente, tem-se: (A + B)C = AC + BC
Dadas as matrizes A, B, C de ordem (n,p), (n,p) e (m,n), respectivamente, tem-se: C(A+B) = CA +CB
AI = IA = A
Em geral, AB ≠ BA, logo a multiplicação matricial não é, em geral, comutativa.
VI) 0 x A = 0 e A x 0 = 0
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Transposição
Seja uma matriz Am×n. A matriz transposta de A, usualmente simbolizada por AT, é uma matriz n×m tal que aTij = aji para 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ m  Na prática, as linhas de uma são as colunas da outra. Exemplo: 
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Propriedades
da Transposição
(AT)T = A 
(A + B)T = AT + BT 
(kA)T = k AT 
(AB)T = BT AT 
Se A = AT, então A é simétrica   
det(AT) = det(A)  
*
Aplicações
 Computação Gráfica 
 Efeitos Especiais
 Engenharia Elétrica
 Engenharia Mecânica
 Engenharia Civil
 Otimização
 Aparelhos Eletrônicos
 Genética
Química
 Física
 Matemática
 Economia
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Exercícios
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Exercícios
 
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Exercícios
 
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Exercícios
 
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Exercícios
 
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