Matrizes_2011.1_M

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FIBRA

Rodolpho Estevam

26.04.2015

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Álgebra Linear II 
Professor: Mario Jorge
MATRIZES
Grupo: Andressa Almeida
 Alexia Rezende
 Diogo Vivório 
 Fernanda Mencarelli
 Gabriella Pires
 Rafael Carvalho
 Rodrigo Jaime
 Thiago Amorim
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Roteiro
 Introdução
 Tipos especiais de matrizes
Matriz quadrada
Matriz nula
Matriz-coluna
Matriz-linha
Matriz diagonal
Matriz identidade
Matriz triangular 
Matriz inversa
Matriz oposta
Matriz simétrica 
Matriz transposta 
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Roteiro
 Operações com matrizes
Adição e subtração
Multiplicação por um escalar
Multiplicação de matrizes
Igualdade
Propriedades
 Aplicações 
Bibliografia
 
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Introdução
As matrizes, à primeira vista, podem parecer não mais que um conjunto de números ordenados em fileiras e colunas, isto é, uma tabela.
No entanto, a matriz e suas funcionalidades e aplicações são muito mais amplas do que esta visão limitada.
Através de matrizes, é possível realizar diversas funções, de maneira eficiente e de visualização mais evidente.
Uma matriz pode funcionar como um vetor ou como um operador, por exemplo.
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A definição do dicionário para o verbete matriz é
Matriz s. f.
		1. Útero.
		2. Igreja principal da localidade.
 		3. Lugar onde alguma coisa nasce ou se gera.
 		4. Fonte, manancial.
 		5. Molde para fundir caracteres! tipográficos.
 		6. Placa fotográfica.
 		7. Forma.
 		8. Registro público do que é coletável.
 		9. Primordial, principal.
 		10. Que dá origem.
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Introdução
1826 - Cauchy - tableau (tabela)
1850 - James Joseph Sylvester – matriz 
1858 – Cayley – Memoir on th theory of matrices (divulgou o nome e começou a mostrar as suas utilidades)
"...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850)
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Notação
 
	 a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 
 A = a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 = [a i,j] m x n
 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 
 	onde: m = número de linhas
		 n = número de colunas
 i, j = indicam linha e coluna, respectivamente
 
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Tipos especiais de matrizes
 
	Algumas matrizes, por terem suas características e propriedades, acabam se diferenciando das demais e recebem denominações especiais.
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Tipos especiais de matrizes
Matriz quadrada é uma matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas. Dizemos que a matriz é de ordem n.
 Exemplo: C = 2 7  é uma matriz de ordem 2
			 4 1 2x2
 
Matriz nula é uma matriz em que todos os elementos são nulos. Ela pode ser representada por 0m x n.
	 Exemplo: O = 0 0 0 
			 0 0 0 2x3
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Tipos especiais de matrizes
Matriz- coluna é uma matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. O número do colunas é independente. 
 
 Exemplo: M= 2
			 1	 2x1 
Matriz- linha é uma matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. O número do linhas é independente.
	 Exemplo: N= 3 5 12 4 1x4
 
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Tipos especiais de matrizes
Matriz diagonal é uma matriz do tipo quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
 
 Exemplo: 1 0 0 
		 D = 0 4 0
			 0 0 7 3 X 3
 	
Matriz identidade é uma matriz do tipo quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz.
	
 
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Tipos especiais de matrizes
Exemplo: 1 0 0 
		 I = 0 1 0
 0 0 1 
 3x3
 
Matriz triangular é uma matriz do tipo quadrada em que os elementos localizados abaixo (triangular superior) ou acima (triangular inferior) da diagonal principal são nulos.
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Tipos especiais de matrizes
 Exemplo: 0 7 -2
 			S= 0 3 4  Triangular superior		 	 0 0 9 
 			
			 1 0 0
			F= 9 2 0  Triangular inferior
			 4 5 1
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Tipos especiais de matrizes
Matriz inversa: é uma matriz do tipo quadrada de ordem n que, ao ser multiplicado pela sua inicial, resulta na matriz identidade.
 
	Exemplo: 
		 3 2 -1 a b 
 G = ; G = 
			 9 7 c d
 -1
  G . G = I2
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Tipos especiais de matrizes
Matriz oposta é uma matriz obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos.
 Exemplo: A = 3 0 - A = -3 0
 			 4 -1 -4 1
Matriz transposta: a transposta da matriz Amxn é a matriz Bnxm definida: bji = aij , ou seja, trocamos as linhas por colunas e as colunas por linhas.
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Tipos especiais de matrizes
 				 t
 Exemplos a) A= 1 2 3 A = 1 4 
			 4 5 6 2 5
				 3 6
				 t
		 b) B = -3 2 1 B = -3 4 1
 		 4 3 2 2 3 2
			 1 2 5 	 1 2 5
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Tipos especiais de matrizes
Regras algébricas para matriz transposta:
(AT)T = A
(α A)T = 	α AT	
(A + B)T = AT + BT	
(AB)T = BT AT
	
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Tipos especiais de matrizes
Matriz simétrica é uma matriz é dita simétrica quando a mesma é igual a sua transposta. 
 T 
 Exemplo: A = 1 0  A = 1 0 
 0 -4 0 -4 
	Um tipo de aplicação que nos leva a matrizes simétricas são problemas envolvendo redes. Esses problemas são muitas vezes resolvidos usando-se técnicas de uma área da matemática chamada teoria dos grafos.
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Operações
Adição e subtração: Dadas as matrizes A e B de mesma dimensão, sua soma A + B é a matriz obtida através da soma dos elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j].
 E o mesmo para subtração.
 Exemplo: A= 2 4 B= 6 3 
 		 9 1 4 1 
 A+B= (2+6) (4+3) = 8 7 
 13 2
 (9+4) (1+1)
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Operações
Multiplicação por escalar:
Para multiplicar um número k Є R , basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e bij = k.aij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso esse número
 Exemplo: A= 8 2 B = 2A = 16 4
			 4 -2 8 -4
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Operações
Multiplicação: 
A multiplicação de duas matrizes é bem definida somente se o número de colunas da primeira matriz é o mesmo número de linhas da segunda. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) .
 	
	Obs.: É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠
BA (Bnxp . Amxp)  m ‡ p 
 	
 
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Operações
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Operações
 Igualdade:
Duas matrizes são iguais se, e somente se, forem de mesma ordem e todos os elementos relacionados a uma mesma linha e a uma mesma coluna de ambas, a um tempo só, forem iguais.
Isto é, se A = [aij] e B = [bij]
Então A = B  aij = bij para todo i e j, onde 0 < i <m e 0 < j <n ; m, n inteiros.
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Propriedades
Para as matrizes, valem as seguintes propriedades:
Comutativa
 A + B = B + A
Associativa 
A + (B + C) = (A + B) + C
Distributiva 
α(A + B) = α A + α B (α escalar )
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Aplicações
Uma matriz, como foi dito inicialmente, não é apenas uma tabela de dados.
Uma das aplicações de matriz é levar um ponto de uma posição a outra, rotacionando eixos. Neste caso, a matriz é
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Observe que a matriz foi aplicada, levando todos os pontos dos eixos x e y para os eixos x’ e y’ respectivamente.
Esta é uma das técnicas utilizadas, por exemplo, em animações. Em cada movimento, um pixel é levado de uma posição a outra sucessivamente.
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Aplicações
As matrizes são uma grande ferramenta para a resolução de problemas em diversos casos.
Suas aplicações são numerosas nos vários campos do conhecimento humano.
Serão citadas algumas delas a seguir:
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a. Crescimento Populacional
Um dos mais populares estudos de crescimento populacional é baseado em matrizes. Trata-se do Modelo de Leslie.
Tendo como parâmetros a duração de vida de um indivíduo fêmea de dada população, faixas etárias e probabilidade de sobrevivência de uma faixa a outra, é possível obter uma matriz de Leslie, que pode ser muito útil para se analisar o crescimento de uma população a curto ou longo prazo.
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Exemplo:
Uma espécie de inseto vive no máximo três anos. Pode-se considerar três faixas etárias das fêmeas:
jovens (até 1 ano),
adolescentes(de 1 a 2 anos) e 
adultas(de 2 a 3 anos). 
Sabe-se que as jovens não põem ovos, cada adolescente produz 4 fêmeas em média por ano e cada adulta produz uma média 3 fêmeas por ano.
A probabilidade de sobrevivência para os jovens passarem a ser adolescentes é 50% e a probabilidade dos adolescentes tornarem-se adultos é de 25%. 
Considerando uma amostra de 100 fêmeas: 40 jovens, 40 adolescentes e 20 adultas. Qual será a previsão da população dessa espécie de insetos para os próximos 4 anos? E a longo prazo?
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Podemos criar uma matriz de transição para determinar o número de indivíduos de cada faixa etária por ano:
Dessa forma, após um ano:
O produto obtido nos mostra a população de cada faixa etária após um ano.
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A interpretação desses dados que devemos tomar é a seguinte:
Da população jovem (40), 20(=50%) viraram adolescentes. Isto é, da população jovem no ano X, em média metade morre e metade vira adolescente no ano X + 1. Para cada adolescente, 4 jovens são geradas, e para cada adulta, 3. Isto é, 40x4 + 20x3. Este é justamente o primeiro elemento da matriz obtida.
Da população adolescente, em média 10(=25%) viram adultas e o restante morre. Então, a única entrada de novas adolescentes vem das jovens: 40x0,5. Este é o segundo elemento da matriz obtida.
Por fim, o número de adultas dependem unicamente do número de adolescentes, e é dado por 40x0,25 = 10.
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A matriz P nos mostra também que o número de jovens depende unicamente do número de adolescentes e de adultas (pois esses indivíduos colocarão ovos, gerando mais jovens) e não depende do número de jovens, pois nenhum indivíduo jovem do ano X continuará a ser jovem no ano X + 1.
Da mesma forma, o número de adolescentes depende somente do número de jovens, que se tornarão adolescentes e o número de adultas, pelo mesmo motivo, depende apenas do número de adolescentes.
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Assim como se obteve o número de indivíduos de cada faixa etária para um ano, pode-se calcular para 2 anos:
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Observe-se que o número de jovens decresce significativamente, o de adolescentes aumenta e o de adultas também diminui. Por que?
Basta analisarmos a configuração anterior: 220 jovens, 20 adolescentes e 10 adultas. Com o grande número de jovens, o número de adolescentes (110 = 50% de 220) vai crescer significativamente. No entanto, a população jovem não vai apresentar comportamento semelhante porque o número de adolescentes e adultas é relativamente pequeno, se comparado ao número de adolescentes geradas. Ou seja, a população jovem será 20x4 + 10x3 = 110 (Lembrando que cada adolescente produz 4 jovens e cada adulta produz 3).
A população adulta, por sua vez, também decrescerá, pois há um pequeno número de adolescentes que passam à fase adulta (5 = 25% de 20).
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Por fim, veremos o que acontece no 3º ano, antes de observar o comportamento dessas populações a longo prazo:
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No 3º ano, a população jovem cresceu muito, a adolescente diminuiu e a adulta também cresceu.
A interpretação disso é que, com um grande número de adolescentes, uma parcela razoavelmente grande contribuirá com a população adulta (27,5 = 25% de 110) assim como produzirá mais jovens: 110x4 + 5x3 = 455. No entanto, como a população jovem anterior não era tão alta, menos jovens se tornarão adolescentes e o número de indivíduos dessa faixa etária, naturalmente, diminuirá.
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Atentemos que o cálculo feito através de matrizes é relativamente descomplicado e revela o comportamento do número de indivíduos distribuídos pelas faixas etárias de uma população com o tempo.
Como foi visto, não é um comportamento trivial. Existem oscilações que variam com o tempo.
No entanto, pode-se determinar a distribuição de indivíduos por faixa etária a longo prazo, utilizando matrizes para efetuar este cálculo.
*
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Primeiramente, visualizemos o comportamento do gráfico de distribuição de indivíduos por faixa etária.
A tabela gerada foi feita a partir de cálculos sucessivos utilizando-se a matriz P de transição.
O gráfico a seguir representa a população em função do tempo em um período de 10 anos.
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População x Tempo
		40		40		20
		220		20		10
		110		110		5
		455		55		27.5
		302.5		227.5		13.75
		951.25		151.25		56.875
		775.625		475.625		37.8125
		2015.9375		387.8125		118.90625
		1907.96875		1007.96875		96.953125
		4322.734375		953.984375		251.9921875
		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375
Jovens
Adolescentes
Adultos
Tempo (anos)
População
População x Tempo
Gráf2
		40		40		20		100
		220		20		10		250
		110		110		5		225
		455		55		27.5		537.5
		302.5		227.5		13.75		543.75
		951.25		151.25		56.875		1159.375
		775.625		475.625		37.8125		1289.0625
		2015.9375		387.8125		118.90625		2522.65625
		1907.96875		1007.96875		96.953125		3012.890625
		4322.734375		953.984375		251.9921875		5528.7109375
		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375		6971.77734375
		9360.95703125		2285.95703125		540.341796875		12187.255859375
		10764.853515625		4680.478515625		571.4892578125		16016.8212890625
		20436.3818359375		5382.4267578125		1170.1196289062		26988.9282226562
		25040.0659179688		10218.1909179688		1345.6066894531		36603.8635253906
		44909.5837402344		12520.0329589844		2554.5477294922		59984.1644287109
		57743.7750244141		22454.7918701172		3130.0082397461		83328.5751342773
		99209.192199707		28871.887512207		5613.6979675293		133694.7776794434
		132328.643951416		49604.5960998535		7217.9718780518		189151.2119293213
		220072.3000335693		66164.321975708		12401.1490249634		298637.7710342407
		301860.7349777222		110036.1500167847		16541.080493927		428437.9654884338
Jovem
Adolescente
Adulta
Total
Tempo (anos)
População
População x Tempo
Gráf4
		40		40		20		100
		220		20		10		250
		110		110		5		225
		455		55		27.5		537.5
		302.5		227.5		13.75		543.75
		951.25		151.25		56.875		1159.375
		775.625		475.625		37.8125		1289.0625
		2015.9375		387.8125		118.90625
2522.65625
		1907.96875		1007.96875		96.953125		3012.890625
		4322.734375		953.984375		251.9921875		5528.7109375
		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375		6971.77734375
Jovem
Adolescente
Adulta
Total
Tempo (anos)
População
População x Tempo
Plan1
		Tempo		Jovem		Adolescente		Adulta		Total
		0		40		40		20		100
		1		220		20		10		250
		2		110		110		5		225
		3		455		55		27.5		537.5
		4		302.5		227.5		13.75		543.75
		5		951.25		151.25		56.875		1159.375
		6		775.625		475.625		37.8125		1289.0625
		7		2015.9375		387.8125		118.90625		2522.65625
		8		1907.96875		1007.96875		96.953125		3012.890625
		9		4322.734375		953.984375		251.9921875		5528.7109375
		10		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375		6971.77734375
		
		11		9360.95703125		2285.95703125		540.341796875		12187.255859375
		12		10764.853515625		4680.478515625		571.4892578125		16016.8212890625
		13		20436.3818359375		5382.4267578125		1170.1196289062		26988.9282226562
		14		25040.0659179688		10218.1909179688		1345.6066894531		36603.8635253906
		15		44909.5837402344		12520.0329589844		2554.5477294922		59984.1644287109
		16		57743.7750244141		22454.7918701172		3130.0082397461		83328.5751342773
		17		99209.192199707		28871.887512207		5613.6979675293		133694.7776794434
		18		132328.643951416		49604.5960998535		7217.9718780518		189151.2119293213
		19		220072.3000335693		66164.321975708		12401.1490249634		298637.7710342407
		20		301860.7349777222		110036.1500167847		16541.080493927		428437.9654884338
Plan2
		
Plan3
		
*
*
De acordo com o gráfico, aparentemente a população está crescendo, sendo o crescimento de jovens o mais acentuado.
Analisando um período maior, de 20 anos, obteremos o seguinte gráfico:
*
*
População x Tempo
		40		40		20
		220		20		10
		110		110		5
		455		55		27.5
		302.5		227.5		13.75
		951.25		151.25		56.875
		775.625		475.625		37.8125
		2015.9375		387.8125		118.90625
		1907.96875		1007.96875		96.953125
		4322.734375		953.984375		251.9921875
		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375
Jovens
Adolescentes
Adultos
Tempo (anos)
População
População x Tempo
Gráf2
		40		40		20		100
		220		20		10		250
		110		110		5		225
		455		55		27.5		537.5
		302.5		227.5		13.75		543.75
		951.25		151.25		56.875		1159.375
		775.625		475.625		37.8125		1289.0625
		2015.9375		387.8125		118.90625		2522.65625
		1907.96875		1007.96875		96.953125		3012.890625
		4322.734375		953.984375		251.9921875		5528.7109375
		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375		6971.77734375
		9360.95703125		2285.95703125		540.341796875		12187.255859375
		10764.853515625		4680.478515625		571.4892578125		16016.8212890625
		20436.3818359375		5382.4267578125		1170.1196289062		26988.9282226562
		25040.0659179688		10218.1909179688		1345.6066894531		36603.8635253906
		44909.5837402344		12520.0329589844		2554.5477294922		59984.1644287109
		57743.7750244141		22454.7918701172		3130.0082397461		83328.5751342773
		99209.192199707		28871.887512207		5613.6979675293		133694.7776794434
		132328.643951416		49604.5960998535		7217.9718780518		189151.2119293213
		220072.3000335693		66164.321975708		12401.1490249634		298637.7710342407
		301860.7349777222		110036.1500167847		16541.080493927		428437.9654884338
Jovem
Adolescente
Adulta
Total
Tempo (anos)
População
População x Tempo
Plan1
		Tempo		Jovem		Adolescente		Adulta		Total
		0		40		40		20		100
		1		220		20		10		250
		2		110		110		5		225
		3		455		55		27.5		537.5
		4		302.5		227.5		13.75		543.75
		5		951.25		151.25		56.875		1159.375
		6		775.625		475.625		37.8125		1289.0625
		7		2015.9375		387.8125		118.90625		2522.65625
		8		1907.96875		1007.96875		96.953125		3012.890625
		9		4322.734375		953.984375		251.9921875		5528.7109375
		10		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375		6971.77734375
		11		9360.95703125		2285.95703125		540.341796875		12187.255859375
		12		10764.853515625		4680.478515625		571.4892578125		16016.8212890625
		13		20436.3818359375		5382.4267578125		1170.1196289062		26988.9282226562
		14		25040.0659179688		10218.1909179688		1345.6066894531		36603.8635253906
		15		44909.5837402344		12520.0329589844		2554.5477294922		59984.1644287109
		16		57743.7750244141		22454.7918701172		3130.0082397461		83328.5751342773
		17		99209.192199707		28871.887512207		5613.6979675293		133694.7776794434
		18		132328.643951416		49604.5960998535		7217.9718780518		189151.2119293213
		19		220072.3000335693		66164.321975708		12401.1490249634		298637.7710342407
		20		301860.7349777222		110036.1500167847		16541.080493927		428437.9654884338
Plan2
		
Plan3
		
*
*
Este comportamento, a grosso modo, assemelha-se a uma função exponencial. Então, a longo prazo, em relação ao número de indivíduos, só se pode deduzir que será um número muito grande.
No entanto, pode-se determinar a relação entre os números de indivíduos de cada espécie. Para isso, divide-se os resultados obtidos a cada ano para jovens, adolescentes e adultos pelo total, tendo como resultado as porcentagens relativas de cada faixa etária.
Repetindo este processo em um intervalo de tempo suficientemente grande, é possível observar uma convergência a determinados valores, mostrando que, a longo prazo, as populações de cada faixa estão tendendo a um valor estacionário.
*
*
População x Tempo
		40		40		20
		220		20		10
		110		110		5
		455		55		27.5
		302.5		227.5		13.75
		951.25		151.25		56.875
		775.625		475.625		37.8125
		2015.9375		387.8125		118.90625
		1907.96875		1007.96875		96.953125
		4322.734375		953.984375		251.9921875
		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375
Jovens
Adolescentes
Adultos
Tempo (anos)
População
População x Tempo
Gráf2
		40		40		20		100
		220		20		10		250
		110		110		5		225
		455		55		27.5		537.5
		302.5		227.5		13.75		543.75
		951.25		151.25		56.875		1159.375
		775.625		475.625		37.8125		1289.0625
		2015.9375		387.8125		118.90625		2522.65625
		1907.96875		1007.96875		96.953125		3012.890625
		4322.734375		953.984375		251.9921875		5528.7109375
		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375		6971.77734375
		9360.95703125		2285.95703125		540.341796875		12187.255859375
		10764.853515625		4680.478515625		571.4892578125		16016.8212890625
		20436.3818359375		5382.4267578125		1170.1196289062		26988.9282226562
		25040.0659179688		10218.1909179688		1345.6066894531		36603.8635253906
		44909.5837402344		12520.0329589844		2554.5477294922		59984.1644287109
		57743.7750244141		22454.7918701172		3130.0082397461		83328.5751342773
		99209.192199707		28871.887512207		5613.6979675293		133694.7776794434
		132328.643951416		49604.5960998535		7217.9718780518		189151.2119293213
		220072.3000335693		66164.321975708		12401.1490249634		298637.7710342407
		301860.7349777222		110036.1500167847		16541.080493927		428437.9654884338
Jovem
Adolescente
Adulta
Total
Tempo (anos)
População
População x Tempo
Gráf4
		40		40		20		100
		220		20		10		250
		110		110		5		225
		455		55		27.5		537.5
		302.5		227.5		13.75		543.75
		951.25		151.25		56.875		1159.375
		775.625		475.625		37.8125		1289.0625
		2015.9375		387.8125		118.90625		2522.65625
		1907.96875		1007.96875		96.953125		3012.890625
		4322.734375		953.984375		251.9921875		5528.7109375
		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375		6971.77734375
Jovem
Adolescente
Adulta
Total
Tempo (anos)
População
População x Tempo
Gráf5
		0.4		0.4		0.2
		0.88		0.08		0.04
		0.4888888889		0.4888888889		0.0222222222
		0.8465116279		0.1023255814		0.0511627907
		0.5563218391		0.4183908046		0.0252873563
		0.8204851752		0.130458221
0.0490566038
		0.6016969697		0.368969697		0.0293333333
		0.7991328585		0.1537318055		0.047135336
		0.6332685077		0.334552055		0.0321794373
		0.7818702088		0.1725509591		0.0455788321
		0.6557745374		0.3100166688		0.0342087938
		0.7680939121		0.1875694625		0.0443366253
		0.6720967489		0.2922226846		0.0356805665
		0.7572135384		0.199430919		0.0433555427
		0.6840825942		0.2791560763		0.0367613295
		0.7486906614		0.2087223033		0.0425870353
		0.6929648675		0.2694728889		0.0375622436
		0.7420573483		0.2159537419		0.0419889099
		0.6995918377		0.2622483652		0.0381597972
		0.736920515		0.2215537631		0.0415257219
		0.704561125		0.2568309974		0.0386078775
		0.7329579918		0.2258735868		0.0411684214
		0.7083014817		0.252753373		0.0389451453
		0.7299104828		0.2291958895		0.0408936277
		0.7111248376		0.2496754353		0.0391997271
		0.7275721001		0.2317451241		0.0406827758
		0.7132605814		0.2473471116		0.039392307
		0.7257810131		0.2336977133		0.0405212736
		0.7148787981		0.2455829804		0.0395382215
		0.7244109889		0.2351912725		0.0403977386
		0.7161064		0.2442446857		0.0396489143
		0.7233641284		0.2363325283		0.0403033433
		0.7170385438		0.2432284906		0.0397329657
		0.7225648378		0.2372038909		0.0402312713
		0.7177468408		0.2424563265		0.0397968328
		0.7219549395		0.2378687837		0.0401762768
		0.7182853352		0.241869276		0.0398453888
		0.7214897721		0.2383758952		0.0401343327
		0.7186949018		0.2414227788		0.0398823194
		0.7211351156		0.2387625311		0.0401023533
		0.7190065056		0.2410830778		0.0399104167
Jovens
Adolescentes
Adultas
Tempo (anos)
Porcentagem da população
Porcentagem da população
Plan1
		Tempo		Jovem		Adolescente		Adulta		Total		Percentual J		Percentual Adol		Percentual Adul
		0		40		40		20		100		0.4		0.4		0.2
		1		220		20		10		250		0.88		0.08		0.04
		2		110		110		5		225		0.4888888889		0.4888888889		0.0222222222
		3		455		55		27.5		537.5		0.8465116279		0.1023255814		0.0511627907
		4		302.5		227.5		13.75		543.75		0.5563218391		0.4183908046		0.0252873563
		5		951.25		151.25		56.875		1159.375		0.8204851752		0.130458221		0.0490566038
		6		775.625		475.625		37.8125		1289.0625		0.6016969697		0.368969697		0.0293333333
		7		2015.9375		387.8125		118.90625		2522.65625		0.7991328585		0.1537318055		0.047135336
		8		1907.96875		1007.96875		96.953125		3012.890625		0.6332685077		0.334552055		0.0321794373
		9		4322.734375		953.984375		251.9921875		5528.7109375		0.7818702088		0.1725509591		0.0455788321
		10		4571.9140625		2161.3671875		238.49609375		6971.77734375		0.6557745374		0.3100166688		0.0342087938
		11		9360.95703125		2285.95703125		540.341796875		12187.255859375		0.7680939121		0.1875694625		0.0443366253
		12		10764.853515625		4680.478515625		571.4892578125		16016.8212890625		0.6720967489		0.2922226846		0.0356805665
		13		20436.3818359375		5382.4267578125		1170.1196289062		26988.9282226562		0.7572135384		0.199430919		0.0433555427
		14		25040.0659179688		10218.1909179688		1345.6066894531		36603.8635253906		0.6840825942		0.2791560763		0.0367613295
		15		44909.5837402344		12520.0329589844		2554.5477294922		59984.1644287109		0.7486906614		0.2087223033		0.0425870353
		16		57743.7750244141		22454.7918701172		3130.0082397461		83328.5751342773		0.6929648675		0.2694728889		0.0375622436
		17		99209.192199707		28871.887512207		5613.6979675293		133694.7776794434		0.7420573483		0.2159537419		0.0419889099
		18		132328.643951416		49604.5960998535		7217.9718780518		189151.2119293213		0.6995918377		0.2622483652		0.0381597972
		19		220072.3000335693		66164.321975708		12401.1490249634		298637.7710342407		0.736920515		0.2215537631		0.0415257219
		20		301860.7349777222		110036.1500167847		16541.080493927		428437.9654884338		0.704561125		0.2568309974		0.0386078775
		21		489767.8415489197		150930.3674888611		27509.0375041962		668207.2465419769		0.7329579918		0.2258735868		0.0411684214
		22		686248.5824680328		244883.9207744598		37732.5918722153		968865.095114708		0.7083014817		0.252753373		0.0389451453
		23		1092733.4587144852		343124.2912340164		61220.980193615		1497078.7301421165		0.7299104828		0.2291958895		0.0408936277
		24		1556160.1055169106		546366.7293572426		85781.0728085041		2188307.9076826572		0.7111248376		0.2496754353		0.0391997271
		25		2442810.1358544827		778080.0527584553		136591.6823393106		3357481.8709522486		0.7275721001		0.2317451241		0.0406827758
		26		3522095.258051753		1221405.0679272413		194520.0131896138		4938020.339168608		0.7132605814		0.2473471116		0.039392307
		27		5469180.311277807		1761047.6290258765		305351.2669818103		7535579.207285494		0.7257810131		0.2336977133		0.0405212736
		28		7960244.317048937		2734590.1556389034		440261.9072564691		11135096.37994431		0.7148787981		0.2455829804		0.0395382215
		29		12259146.34432502		3980122.1585244685		683647.5389097258		16922916.041759215		0.7244109889		0.2351912725		0.0403977386
		30		17971431.25082705		6129573.17216251		995030.5396311171		25096034.96262068		0.7161064		0.2442446857		0.0396489143
		31		27503384.307543393		8985715.625413526		1532393.2930406276		38021493.225997545		0.7233641284		0.2363325283		0.0403033433
		32		40540042.38077599		13751692.153771697		2246428.9063533815		56538163.44090107		0.7170385438		0.2432284906		0.0397329657
		33		61746055.33414693		20270021.190387994		3437923.038442924		85453999.56297785		0.7225648378		0.2372038909		0.0402312713
		34		91393853.87688075		30873027.667073466		5067505.2975969985		127334386.84155121		0.7177468408		0.2424563265		0.0397968328
		35		138694626.56108487		45696926.938440375		7718256.9167683665		192109810.41629362		0.7219549395		0.2378687837		0.0401762768
		36		205942478.5040666		69347313.28054243		11424231.734610094		286714023.5192191		0.7182853352		0.241869276		0.0398453888
		37		311661948.32600003		102971239.2520333		17336828.32013561		431970015.8981689		0.7214897721		0.2383758952		0.0401343327
		38		463895441.96854		155830974.16300002		25742809.813008323		645469225.9445484		0.7186949018		0.2414227788		0.0398823194
		39		700552326.091025		231947720.98427		38957743.540750004		971457790.616045		0.7211351156		0.2387625311		0.0401023533
		40		1044664114.55933		350276163.0455125		57986930.2460675		1452927207.85091		0.7190065056		0.2410830778		0.0399104167
Plan2
		
Plan3
		
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Assim, pode-se concluir que, a longo prazo, a população crescerá indefinidamente, porém as três faixas etárias tenderão a uma relação estacionária: 72% da população será jovem, 24% adolescente e 4% adulta.
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b. Grafos
Em diversas situações, faz-se necessário criar um modelo de redes entre elementos finitos para uma dada finalidade.
Por exemplo, estradas ligando cidades, trajetória da bola em um jogo de basquete, relações interpessoais, logística de entrega de um produto de uma empresa, entre outros.
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Para uma visualização mais clara dessas redes e fluxos, constrói-se um GRAFO.
No grafo, é possível observar as relações dos elementos entre si.
A informação contida no grafo pode ser reproduzida por uma matriz. Esse recurso é essencialmente utilizado em uma rede complexa ou que possui um grande número de vértices e fluxos.
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Grafo representado por matriz:
Se G é um grafo com N vértices, sua matriz de vértices é Anxn definida por
aij 
= 1, se existir uma aresta entre os vértices i e j
= 0, caso contrário.
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Neste exemplo, temos que a matriz de vértices é
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Aplicações
Existem muitas outras aplicações de matrizes, que não se mostrará em detalhes nesta apresentação.
Entre elas, pode-se citar animações em 3D, armazenamento de dados, programação, clonagem, etc.
Em suma, as matrizes são uma grande ferramenta para várias aplicações do mundo moderno.
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Bibliografia
POOLE, David - Álgebra Linear
LEON, Steven - Álgebra Linear com Aplicações