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* * Universidade Federal do Rio de Janeiro Álgebra Linear II Professor: Mario Jorge MATRIZES Grupo: Andressa Almeida Alexia Rezende Diogo Vivório Fernanda Mencarelli Gabriella Pires Rafael Carvalho Rodrigo Jaime Thiago Amorim * * Roteiro Introdução Tipos especiais de matrizes Matriz quadrada Matriz nula Matriz-coluna Matriz-linha Matriz diagonal Matriz identidade Matriz triangular Matriz inversa Matriz oposta Matriz simétrica Matriz transposta * * Roteiro Operações com matrizes Adição e subtração Multiplicação por um escalar Multiplicação de matrizes Igualdade Propriedades Aplicações Bibliografia * * Introdução As matrizes, à primeira vista, podem parecer não mais que um conjunto de números ordenados em fileiras e colunas, isto é, uma tabela. No entanto, a matriz e suas funcionalidades e aplicações são muito mais amplas do que esta visão limitada. Através de matrizes, é possível realizar diversas funções, de maneira eficiente e de visualização mais evidente. Uma matriz pode funcionar como um vetor ou como um operador, por exemplo. * * A definição do dicionário para o verbete matriz é Matriz s. f. 1. Útero. 2. Igreja principal da localidade. 3. Lugar onde alguma coisa nasce ou se gera. 4. Fonte, manancial. 5. Molde para fundir caracteres! tipográficos. 6. Placa fotográfica. 7. Forma. 8. Registro público do que é coletável. 9. Primordial, principal. 10. Que dá origem. * * Introdução 1826 - Cauchy - tableau (tabela) 1850 - James Joseph Sylvester – matriz 1858 – Cayley – Memoir on th theory of matrices (divulgou o nome e começou a mostrar as suas utilidades) "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850) * * Notação a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 A = a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 = [a i,j] m x n a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 onde: m = número de linhas n = número de colunas i, j = indicam linha e coluna, respectivamente * * Tipos especiais de matrizes Algumas matrizes, por terem suas características e propriedades, acabam se diferenciando das demais e recebem denominações especiais. * * Tipos especiais de matrizes Matriz quadrada é uma matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas. Dizemos que a matriz é de ordem n. Exemplo: C = 2 7 é uma matriz de ordem 2 4 1 2x2 Matriz nula é uma matriz em que todos os elementos são nulos. Ela pode ser representada por 0m x n. Exemplo: O = 0 0 0 0 0 0 2x3 * * Tipos especiais de matrizes Matriz- coluna é uma matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. O número do colunas é independente. Exemplo: M= 2 1 2x1 Matriz- linha é uma matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. O número do linhas é independente. Exemplo: N= 3 5 12 4 1x4 * * Tipos especiais de matrizes Matriz diagonal é uma matriz do tipo quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Exemplo: 1 0 0 D = 0 4 0 0 0 7 3 X 3 Matriz identidade é uma matriz do tipo quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz. * * Tipos especiais de matrizes Exemplo: 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1 3x3 Matriz triangular é uma matriz do tipo quadrada em que os elementos localizados abaixo (triangular superior) ou acima (triangular inferior) da diagonal principal são nulos. * * Tipos especiais de matrizes Exemplo: 0 7 -2 S= 0 3 4 Triangular superior 0 0 9 1 0 0 F= 9 2 0 Triangular inferior 4 5 1 * * Tipos especiais de matrizes Matriz inversa: é uma matriz do tipo quadrada de ordem n que, ao ser multiplicado pela sua inicial, resulta na matriz identidade. Exemplo: 3 2 -1 a b G = ; G = 9 7 c d -1 G . G = I2 * * Tipos especiais de matrizes Matriz oposta é uma matriz obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos. Exemplo: A = 3 0 - A = -3 0 4 -1 -4 1 Matriz transposta: a transposta da matriz Amxn é a matriz Bnxm definida: bji = aij , ou seja, trocamos as linhas por colunas e as colunas por linhas. * * Tipos especiais de matrizes t Exemplos a) A= 1 2 3 A = 1 4 4 5 6 2 5 3 6 t b) B = -3 2 1 B = -3 4 1 4 3 2 2 3 2 1 2 5 1 2 5 * * Tipos especiais de matrizes Regras algébricas para matriz transposta: (AT)T = A (α A)T = α AT (A + B)T = AT + BT (AB)T = BT AT * * Tipos especiais de matrizes Matriz simétrica é uma matriz é dita simétrica quando a mesma é igual a sua transposta. T Exemplo: A = 1 0 A = 1 0 0 -4 0 -4 Um tipo de aplicação que nos leva a matrizes simétricas são problemas envolvendo redes. Esses problemas são muitas vezes resolvidos usando-se técnicas de uma área da matemática chamada teoria dos grafos. * * Operações Adição e subtração: Dadas as matrizes A e B de mesma dimensão, sua soma A + B é a matriz obtida através da soma dos elementos correspondentes: (A + B)[i,j] = A[i, j] + B[i,j]. E o mesmo para subtração. Exemplo: A= 2 4 B= 6 3 9 1 4 1 A+B= (2+6) (4+3) = 8 7 13 2 (9+4) (1+1) * * Operações Multiplicação por escalar: Para multiplicar um número k Є R , basta multiplicar cada entrada aij de A por k. Assim, a matriz resultante B será também n×m e bij = k.aij. Com isso, pode-se pensar também na noção de dividir uma matriz por um número: basta multiplicá-la pelo inverso esse número Exemplo: A= 8 2 B = 2A = 16 4 4 -2 8 -4 * * Operações Multiplicação: A multiplicação de duas matrizes é bem definida somente se o número de colunas da primeira matriz é o mesmo número de linhas da segunda. Se A é uma matriz m por n e B é uma matriz n por p, então seu produto AB é a matriz m por p (m linhas e p colunas) . Obs.: É importante notar que a comutatividade não é garantida; isto é, dadas as matrizes A e B com seu produto definido, então geralmente AB ≠ BA (Bnxp . Amxp) m ‡ p * * Operações * * Operações Igualdade: Duas matrizes são iguais se, e somente se, forem de mesma ordem e todos os elementos relacionados a uma mesma linha e a uma mesma coluna de ambas, a um tempo só, forem iguais. Isto é, se A = [aij] e B = [bij] Então A = B aij = bij para todo i e j, onde 0 < i <m e 0 < j <n ; m, n inteiros. * * Propriedades Para as matrizes, valem as seguintes propriedades: Comutativa A + B = B + A Associativa A + (B + C) = (A + B) + C Distributiva α(A + B) = α A + α B (α escalar ) * * Aplicações Uma matriz, como foi dito inicialmente, não é apenas uma tabela de dados. Uma das aplicações de matriz é levar um ponto de uma posição a outra, rotacionando eixos. Neste caso, a matriz é * * * * Observe que a matriz foi aplicada, levando todos os pontos dos eixos x e y para os eixos x’ e y’ respectivamente. Esta é uma das técnicas utilizadas, por exemplo, em animações. Em cada movimento, um pixel é levado de uma posição a outra sucessivamente. * * Aplicações As matrizes são uma grande ferramenta para a resolução de problemas em diversos casos. Suas aplicações são numerosas nos vários campos do conhecimento humano. Serão citadas algumas delas a seguir: * * a. Crescimento Populacional Um dos mais populares estudos de crescimento populacional é baseado em matrizes. Trata-se do Modelo de Leslie. Tendo como parâmetros a duração de vida de um indivíduo fêmea de dada população, faixas etárias e probabilidade de sobrevivência de uma faixa a outra, é possível obter uma matriz de Leslie, que pode ser muito útil para se analisar o crescimento de uma população a curto ou longo prazo. * * Exemplo: Uma espécie de inseto vive no máximo três anos. Pode-se considerar três faixas etárias das fêmeas: jovens (até 1 ano), adolescentes(de 1 a 2 anos) e adultas(de 2 a 3 anos). Sabe-se que as jovens não põem ovos, cada adolescente produz 4 fêmeas em média por ano e cada adulta produz uma média 3 fêmeas por ano. A probabilidade de sobrevivência para os jovens passarem a ser adolescentes é 50% e a probabilidade dos adolescentes tornarem-se adultos é de 25%. Considerando uma amostra de 100 fêmeas: 40 jovens, 40 adolescentes e 20 adultas. Qual será a previsão da população dessa espécie de insetos para os próximos 4 anos? E a longo prazo? * * Podemos criar uma matriz de transição para determinar o número de indivíduos de cada faixa etária por ano: Dessa forma, após um ano: O produto obtido nos mostra a população de cada faixa etária após um ano. * * A interpretação desses dados que devemos tomar é a seguinte: Da população jovem (40), 20(=50%) viraram adolescentes. Isto é, da população jovem no ano X, em média metade morre e metade vira adolescente no ano X + 1. Para cada adolescente, 4 jovens são geradas, e para cada adulta, 3. Isto é, 40x4 + 20x3. Este é justamente o primeiro elemento da matriz obtida. Da população adolescente, em média 10(=25%) viram adultas e o restante morre. Então, a única entrada de novas adolescentes vem das jovens: 40x0,5. Este é o segundo elemento da matriz obtida. Por fim, o número de adultas dependem unicamente do número de adolescentes, e é dado por 40x0,25 = 10. * * A matriz P nos mostra também que o número de jovens depende unicamente do número de adolescentes e de adultas (pois esses indivíduos colocarão ovos, gerando mais jovens) e não depende do número de jovens, pois nenhum indivíduo jovem do ano X continuará a ser jovem no ano X + 1. Da mesma forma, o número de adolescentes depende somente do número de jovens, que se tornarão adolescentes e o número de adultas, pelo mesmo motivo, depende apenas do número de adolescentes. * * Assim como se obteve o número de indivíduos de cada faixa etária para um ano, pode-se calcular para 2 anos: * * Observe-se que o número de jovens decresce significativamente, o de adolescentes aumenta e o de adultas também diminui. Por que? Basta analisarmos a configuração anterior: 220 jovens, 20 adolescentes e 10 adultas. Com o grande número de jovens, o número de adolescentes (110 = 50% de 220) vai crescer significativamente. No entanto, a população jovem não vai apresentar comportamento semelhante porque o número de adolescentes e adultas é relativamente pequeno, se comparado ao número de adolescentes geradas. Ou seja, a população jovem será 20x4 + 10x3 = 110 (Lembrando que cada adolescente produz 4 jovens e cada adulta produz 3). A população adulta, por sua vez, também decrescerá, pois há um pequeno número de adolescentes que passam à fase adulta (5 = 25% de 20). * * Por fim, veremos o que acontece no 3º ano, antes de observar o comportamento dessas populações a longo prazo: * * No 3º ano, a população jovem cresceu muito, a adolescente diminuiu e a adulta também cresceu. A interpretação disso é que, com um grande número de adolescentes, uma parcela razoavelmente grande contribuirá com a população adulta (27,5 = 25% de 110) assim como produzirá mais jovens: 110x4 + 5x3 = 455. No entanto, como a população jovem anterior não era tão alta, menos jovens se tornarão adolescentes e o número de indivíduos dessa faixa etária, naturalmente, diminuirá. * * Atentemos que o cálculo feito através de matrizes é relativamente descomplicado e revela o comportamento do número de indivíduos distribuídos pelas faixas etárias de uma população com o tempo. Como foi visto, não é um comportamento trivial. Existem oscilações que variam com o tempo. No entanto, pode-se determinar a distribuição de indivíduos por faixa etária a longo prazo, utilizando matrizes para efetuar este cálculo. * * Primeiramente, visualizemos o comportamento do gráfico de distribuição de indivíduos por faixa etária. A tabela gerada foi feita a partir de cálculos sucessivos utilizando-se a matriz P de transição. O gráfico a seguir representa a população em função do tempo em um período de 10 anos. * * População x Tempo 40 40 20 220 20 10 110 110 5 455 55 27.5 302.5 227.5 13.75 951.25 151.25 56.875 775.625 475.625 37.8125 2015.9375 387.8125 118.90625 1907.96875 1007.96875 96.953125 4322.734375 953.984375 251.9921875 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 Jovens Adolescentes Adultos Tempo (anos) População População x Tempo Gráf2 40 40 20 100 220 20 10 250 110 110 5 225 455 55 27.5 537.5 302.5 227.5 13.75 543.75 951.25 151.25 56.875 1159.375 775.625 475.625 37.8125 1289.0625 2015.9375 387.8125 118.90625 2522.65625 1907.96875 1007.96875 96.953125 3012.890625 4322.734375 953.984375 251.9921875 5528.7109375 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 6971.77734375 9360.95703125 2285.95703125 540.341796875 12187.255859375 10764.853515625 4680.478515625 571.4892578125 16016.8212890625 20436.3818359375 5382.4267578125 1170.1196289062 26988.9282226562 25040.0659179688 10218.1909179688 1345.6066894531 36603.8635253906 44909.5837402344 12520.0329589844 2554.5477294922 59984.1644287109 57743.7750244141 22454.7918701172 3130.0082397461 83328.5751342773 99209.192199707 28871.887512207 5613.6979675293 133694.7776794434 132328.643951416 49604.5960998535 7217.9718780518 189151.2119293213 220072.3000335693 66164.321975708 12401.1490249634 298637.7710342407 301860.7349777222 110036.1500167847 16541.080493927 428437.9654884338 Jovem Adolescente Adulta Total Tempo (anos) População População x Tempo Gráf4 40 40 20 100 220 20 10 250 110 110 5 225 455 55 27.5 537.5 302.5 227.5 13.75 543.75 951.25 151.25 56.875 1159.375 775.625 475.625 37.8125 1289.0625 2015.9375 387.8125 118.90625 2522.65625 1907.96875 1007.96875 96.953125 3012.890625 4322.734375 953.984375 251.9921875 5528.7109375 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 6971.77734375 Jovem Adolescente Adulta Total Tempo (anos) População População x Tempo Plan1 Tempo Jovem Adolescente Adulta Total 0 40 40 20 100 1 220 20 10 250 2 110 110 5 225 3 455 55 27.5 537.5 4 302.5 227.5 13.75 543.75 5 951.25 151.25 56.875 1159.375 6 775.625 475.625 37.8125 1289.0625 7 2015.9375 387.8125 118.90625 2522.65625 8 1907.96875 1007.96875 96.953125 3012.890625 9 4322.734375 953.984375 251.9921875 5528.7109375 10 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 6971.77734375 11 9360.95703125 2285.95703125 540.341796875 12187.255859375 12 10764.853515625 4680.478515625 571.4892578125 16016.8212890625 13 20436.3818359375 5382.4267578125 1170.1196289062 26988.9282226562 14 25040.0659179688 10218.1909179688 1345.6066894531 36603.8635253906 15 44909.5837402344 12520.0329589844 2554.5477294922 59984.1644287109 16 57743.7750244141 22454.7918701172 3130.0082397461 83328.5751342773 17 99209.192199707 28871.887512207 5613.6979675293 133694.7776794434 18 132328.643951416 49604.5960998535 7217.9718780518 189151.2119293213 19 220072.3000335693 66164.321975708 12401.1490249634 298637.7710342407 20 301860.7349777222 110036.1500167847 16541.080493927 428437.9654884338 Plan2 Plan3 * * De acordo com o gráfico, aparentemente a população está crescendo, sendo o crescimento de jovens o mais acentuado. Analisando um período maior, de 20 anos, obteremos o seguinte gráfico: * * População x Tempo 40 40 20 220 20 10 110 110 5 455 55 27.5 302.5 227.5 13.75 951.25 151.25 56.875 775.625 475.625 37.8125 2015.9375 387.8125 118.90625 1907.96875 1007.96875 96.953125 4322.734375 953.984375 251.9921875 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 Jovens Adolescentes Adultos Tempo (anos) População População x Tempo Gráf2 40 40 20 100 220 20 10 250 110 110 5 225 455 55 27.5 537.5 302.5 227.5 13.75 543.75 951.25 151.25 56.875 1159.375 775.625 475.625 37.8125 1289.0625 2015.9375 387.8125 118.90625 2522.65625 1907.96875 1007.96875 96.953125 3012.890625 4322.734375 953.984375 251.9921875 5528.7109375 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 6971.77734375 9360.95703125 2285.95703125 540.341796875 12187.255859375 10764.853515625 4680.478515625 571.4892578125 16016.8212890625 20436.3818359375 5382.4267578125 1170.1196289062 26988.9282226562 25040.0659179688 10218.1909179688 1345.6066894531 36603.8635253906 44909.5837402344 12520.0329589844 2554.5477294922 59984.1644287109 57743.7750244141 22454.7918701172 3130.0082397461 83328.5751342773 99209.192199707 28871.887512207 5613.6979675293 133694.7776794434 132328.643951416 49604.5960998535 7217.9718780518 189151.2119293213 220072.3000335693 66164.321975708 12401.1490249634 298637.7710342407 301860.7349777222 110036.1500167847 16541.080493927 428437.9654884338 Jovem Adolescente Adulta Total Tempo (anos) População População x Tempo Plan1 Tempo Jovem Adolescente Adulta Total 0 40 40 20 100 1 220 20 10 250 2 110 110 5 225 3 455 55 27.5 537.5 4 302.5 227.5 13.75 543.75 5 951.25 151.25 56.875 1159.375 6 775.625 475.625 37.8125 1289.0625 7 2015.9375 387.8125 118.90625 2522.65625 8 1907.96875 1007.96875 96.953125 3012.890625 9 4322.734375 953.984375 251.9921875 5528.7109375 10 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 6971.77734375 11 9360.95703125 2285.95703125 540.341796875 12187.255859375 12 10764.853515625 4680.478515625 571.4892578125 16016.8212890625 13 20436.3818359375 5382.4267578125 1170.1196289062 26988.9282226562 14 25040.0659179688 10218.1909179688 1345.6066894531 36603.8635253906 15 44909.5837402344 12520.0329589844 2554.5477294922 59984.1644287109 16 57743.7750244141 22454.7918701172 3130.0082397461 83328.5751342773 17 99209.192199707 28871.887512207 5613.6979675293 133694.7776794434 18 132328.643951416 49604.5960998535 7217.9718780518 189151.2119293213 19 220072.3000335693 66164.321975708 12401.1490249634 298637.7710342407 20 301860.7349777222 110036.1500167847 16541.080493927 428437.9654884338 Plan2 Plan3 * * Este comportamento, a grosso modo, assemelha-se a uma função exponencial. Então, a longo prazo, em relação ao número de indivíduos, só se pode deduzir que será um número muito grande. No entanto, pode-se determinar a relação entre os números de indivíduos de cada espécie. Para isso, divide-se os resultados obtidos a cada ano para jovens, adolescentes e adultos pelo total, tendo como resultado as porcentagens relativas de cada faixa etária. Repetindo este processo em um intervalo de tempo suficientemente grande, é possível observar uma convergência a determinados valores, mostrando que, a longo prazo, as populações de cada faixa estão tendendo a um valor estacionário. * * População x Tempo 40 40 20 220 20 10 110 110 5 455 55 27.5 302.5 227.5 13.75 951.25 151.25 56.875 775.625 475.625 37.8125 2015.9375 387.8125 118.90625 1907.96875 1007.96875 96.953125 4322.734375 953.984375 251.9921875 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 Jovens Adolescentes Adultos Tempo (anos) População População x Tempo Gráf2 40 40 20 100 220 20 10 250 110 110 5 225 455 55 27.5 537.5 302.5 227.5 13.75 543.75 951.25 151.25 56.875 1159.375 775.625 475.625 37.8125 1289.0625 2015.9375 387.8125 118.90625 2522.65625 1907.96875 1007.96875 96.953125 3012.890625 4322.734375 953.984375 251.9921875 5528.7109375 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 6971.77734375 9360.95703125 2285.95703125 540.341796875 12187.255859375 10764.853515625 4680.478515625 571.4892578125 16016.8212890625 20436.3818359375 5382.4267578125 1170.1196289062 26988.9282226562 25040.0659179688 10218.1909179688 1345.6066894531 36603.8635253906 44909.5837402344 12520.0329589844 2554.5477294922 59984.1644287109 57743.7750244141 22454.7918701172 3130.0082397461 83328.5751342773 99209.192199707 28871.887512207 5613.6979675293 133694.7776794434 132328.643951416 49604.5960998535 7217.9718780518 189151.2119293213 220072.3000335693 66164.321975708 12401.1490249634 298637.7710342407 301860.7349777222 110036.1500167847 16541.080493927 428437.9654884338 Jovem Adolescente Adulta Total Tempo (anos) População População x Tempo Gráf4 40 40 20 100 220 20 10 250 110 110 5 225 455 55 27.5 537.5 302.5 227.5 13.75 543.75 951.25 151.25 56.875 1159.375 775.625 475.625 37.8125 1289.0625 2015.9375 387.8125 118.90625 2522.65625 1907.96875 1007.96875 96.953125 3012.890625 4322.734375 953.984375 251.9921875 5528.7109375 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 6971.77734375 Jovem Adolescente Adulta Total Tempo (anos) População População x Tempo Gráf5 0.4 0.4 0.2 0.88 0.08 0.04 0.4888888889 0.4888888889 0.0222222222 0.8465116279 0.1023255814 0.0511627907 0.5563218391 0.4183908046 0.0252873563 0.8204851752 0.130458221 0.0490566038 0.6016969697 0.368969697 0.0293333333 0.7991328585 0.1537318055 0.047135336 0.6332685077 0.334552055 0.0321794373 0.7818702088 0.1725509591 0.0455788321 0.6557745374 0.3100166688 0.0342087938 0.7680939121 0.1875694625 0.0443366253 0.6720967489 0.2922226846 0.0356805665 0.7572135384 0.199430919 0.0433555427 0.6840825942 0.2791560763 0.0367613295 0.7486906614 0.2087223033 0.0425870353 0.6929648675 0.2694728889 0.0375622436 0.7420573483 0.2159537419 0.0419889099 0.6995918377 0.2622483652 0.0381597972 0.736920515 0.2215537631 0.0415257219 0.704561125 0.2568309974 0.0386078775 0.7329579918 0.2258735868 0.0411684214 0.7083014817 0.252753373 0.0389451453 0.7299104828 0.2291958895 0.0408936277 0.7111248376 0.2496754353 0.0391997271 0.7275721001 0.2317451241 0.0406827758 0.7132605814 0.2473471116 0.039392307 0.7257810131 0.2336977133 0.0405212736 0.7148787981 0.2455829804 0.0395382215 0.7244109889 0.2351912725 0.0403977386 0.7161064 0.2442446857 0.0396489143 0.7233641284 0.2363325283 0.0403033433 0.7170385438 0.2432284906 0.0397329657 0.7225648378 0.2372038909 0.0402312713 0.7177468408 0.2424563265 0.0397968328 0.7219549395 0.2378687837 0.0401762768 0.7182853352 0.241869276 0.0398453888 0.7214897721 0.2383758952 0.0401343327 0.7186949018 0.2414227788 0.0398823194 0.7211351156 0.2387625311 0.0401023533 0.7190065056 0.2410830778 0.0399104167 Jovens Adolescentes Adultas Tempo (anos) Porcentagem da população Porcentagem da população Plan1 Tempo Jovem Adolescente Adulta Total Percentual J Percentual Adol Percentual Adul 0 40 40 20 100 0.4 0.4 0.2 1 220 20 10 250 0.88 0.08 0.04 2 110 110 5 225 0.4888888889 0.4888888889 0.0222222222 3 455 55 27.5 537.5 0.8465116279 0.1023255814 0.0511627907 4 302.5 227.5 13.75 543.75 0.5563218391 0.4183908046 0.0252873563 5 951.25 151.25 56.875 1159.375 0.8204851752 0.130458221 0.0490566038 6 775.625 475.625 37.8125 1289.0625 0.6016969697 0.368969697 0.0293333333 7 2015.9375 387.8125 118.90625 2522.65625 0.7991328585 0.1537318055 0.047135336 8 1907.96875 1007.96875 96.953125 3012.890625 0.6332685077 0.334552055 0.0321794373 9 4322.734375 953.984375 251.9921875 5528.7109375 0.7818702088 0.1725509591 0.0455788321 10 4571.9140625 2161.3671875 238.49609375 6971.77734375 0.6557745374 0.3100166688 0.0342087938 11 9360.95703125 2285.95703125 540.341796875 12187.255859375 0.7680939121 0.1875694625 0.0443366253 12 10764.853515625 4680.478515625 571.4892578125 16016.8212890625 0.6720967489 0.2922226846 0.0356805665 13 20436.3818359375 5382.4267578125 1170.1196289062 26988.9282226562 0.7572135384 0.199430919 0.0433555427 14 25040.0659179688 10218.1909179688 1345.6066894531 36603.8635253906 0.6840825942 0.2791560763 0.0367613295 15 44909.5837402344 12520.0329589844 2554.5477294922 59984.1644287109 0.7486906614 0.2087223033 0.0425870353 16 57743.7750244141 22454.7918701172 3130.0082397461 83328.5751342773 0.6929648675 0.2694728889 0.0375622436 17 99209.192199707 28871.887512207 5613.6979675293 133694.7776794434 0.7420573483 0.2159537419 0.0419889099 18 132328.643951416 49604.5960998535 7217.9718780518 189151.2119293213 0.6995918377 0.2622483652 0.0381597972 19 220072.3000335693 66164.321975708 12401.1490249634 298637.7710342407 0.736920515 0.2215537631 0.0415257219 20 301860.7349777222 110036.1500167847 16541.080493927 428437.9654884338 0.704561125 0.2568309974 0.0386078775 21 489767.8415489197 150930.3674888611 27509.0375041962 668207.2465419769 0.7329579918 0.2258735868 0.0411684214 22 686248.5824680328 244883.9207744598 37732.5918722153 968865.095114708 0.7083014817 0.252753373 0.0389451453 23 1092733.4587144852 343124.2912340164 61220.980193615 1497078.7301421165 0.7299104828 0.2291958895 0.0408936277 24 1556160.1055169106 546366.7293572426 85781.0728085041 2188307.9076826572 0.7111248376 0.2496754353 0.0391997271 25 2442810.1358544827 778080.0527584553 136591.6823393106 3357481.8709522486 0.7275721001 0.2317451241 0.0406827758 26 3522095.258051753 1221405.0679272413 194520.0131896138 4938020.339168608 0.7132605814 0.2473471116 0.039392307 27 5469180.311277807 1761047.6290258765 305351.2669818103 7535579.207285494 0.7257810131 0.2336977133 0.0405212736 28 7960244.317048937 2734590.1556389034 440261.9072564691 11135096.37994431 0.7148787981 0.2455829804 0.0395382215 29 12259146.34432502 3980122.1585244685 683647.5389097258 16922916.041759215 0.7244109889 0.2351912725 0.0403977386 30 17971431.25082705 6129573.17216251 995030.5396311171 25096034.96262068 0.7161064 0.2442446857 0.0396489143 31 27503384.307543393 8985715.625413526 1532393.2930406276 38021493.225997545 0.7233641284 0.2363325283 0.0403033433 32 40540042.38077599 13751692.153771697 2246428.9063533815 56538163.44090107 0.7170385438 0.2432284906 0.0397329657 33 61746055.33414693 20270021.190387994 3437923.038442924 85453999.56297785 0.7225648378 0.2372038909 0.0402312713 34 91393853.87688075 30873027.667073466 5067505.2975969985 127334386.84155121 0.7177468408 0.2424563265 0.0397968328 35 138694626.56108487 45696926.938440375 7718256.9167683665 192109810.41629362 0.7219549395 0.2378687837 0.0401762768 36 205942478.5040666 69347313.28054243 11424231.734610094 286714023.5192191 0.7182853352 0.241869276 0.0398453888 37 311661948.32600003 102971239.2520333 17336828.32013561 431970015.8981689 0.7214897721 0.2383758952 0.0401343327 38 463895441.96854 155830974.16300002 25742809.813008323 645469225.9445484 0.7186949018 0.2414227788 0.0398823194 39 700552326.091025 231947720.98427 38957743.540750004 971457790.616045 0.7211351156 0.2387625311 0.0401023533 40 1044664114.55933 350276163.0455125 57986930.2460675 1452927207.85091 0.7190065056 0.2410830778 0.0399104167 Plan2 Plan3 * * Assim, pode-se concluir que, a longo prazo, a população crescerá indefinidamente, porém as três faixas etárias tenderão a uma relação estacionária: 72% da população será jovem, 24% adolescente e 4% adulta. * * b. Grafos Em diversas situações, faz-se necessário criar um modelo de redes entre elementos finitos para uma dada finalidade. Por exemplo, estradas ligando cidades, trajetória da bola em um jogo de basquete, relações interpessoais, logística de entrega de um produto de uma empresa, entre outros. * * Para uma visualização mais clara dessas redes e fluxos, constrói-se um GRAFO. No grafo, é possível observar as relações dos elementos entre si. A informação contida no grafo pode ser reproduzida por uma matriz. Esse recurso é essencialmente utilizado em uma rede complexa ou que possui um grande número de vértices e fluxos. * * Grafo representado por matriz: Se G é um grafo com N vértices, sua matriz de vértices é Anxn definida por aij = 1, se existir uma aresta entre os vértices i e j = 0, caso contrário. * * Neste exemplo, temos que a matriz de vértices é * * Aplicações Existem muitas outras aplicações de matrizes, que não se mostrará em detalhes nesta apresentação. Entre elas, pode-se citar animações em 3D, armazenamento de dados, programação, clonagem, etc. Em suma, as matrizes são uma grande ferramenta para várias aplicações do mundo moderno. * * Bibliografia POOLE, David - Álgebra Linear LEON, Steven - Álgebra Linear com Aplicações
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