matrizes-em1.2010.2

Álgebra Linear II

•

FIBRA

Rodolpho Estevam

26.04.2015

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Matrizes
Grupo:
- Arthur Travalloni
- Érica Felipe Maurício
- Gabrielle Viana Dutra
Jocarla da Silva Rogerio
 Kleby Soares 
- Lucas da Paz Nogueira Branco 
- Milena Marques Moreno
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Álgebra Linear II
Profº: Mário Jorge
Surgimento
O pai do nome Matriz:
Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e saíram da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ).
O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.
Por que Sylvester deu o nome matriz às matrizes ?
Usou o significado coloquial da palavra matriz, qual seja: local onde algo se gera ou cria. Com efeito, via-as como "...um bloco retangular de termos... o que não representa um determinante, mas é como se fosse uma MATRIZ a partir da qual podemos formar vários sistemas de determinantes, ao fixar um número p e escolher à vontade p linhas e p colunas..." ( artigo publicado na Philosophical Magazine de 1850, pag 363-370 ). 
Observe que Sylvester ainda via as matrizes como mero ingrediente dos determinantes. É só com Cayley que elas passam a ter vida própria e gradativamente começam a suplantar os determinantes em importância. 
O primeiro uso da noção de matriz
Ocorreu quando Lagrange em 1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das segundas derivadas dessa função.
Assim podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como mãe a Teoria das Formas Quadráticas, pois seus métodos e resultados básicos foram lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da Teoria das Matrizes.
Introdução
Apresentaremos os conceitos básicos sobre matrizes. Estes conceitos aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas, não apenas pelo fato de ordenar e simplificar o problema, mas também por fornecer novos métodos de resolução.
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Exemplo:
Ao pegar dados de pessoas como altura e peso, podemos colocá-los em uma tabela.
Altura(m)
Peso (Kg)
Pessoa 01
1,50
50
Pessoa 02
1,70
60
Ao retirarmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:
Representação
Tipo Especiais de Matrizes
Matriz Quadrada
Matriz Nula
Matriz Coluna
Matriz Linha
Matriz Identidade
 Matriz Escalar
Matriz Simétrica
 Matriz Anti-Simétrica
Matriz Triangular
Matriz Diagonal
Matriz Quadrada
É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas (m=n)
Exemplos:
-10
6	2
3	0
5	2 	9
8
4	-1
Matriz Nula
É aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos: 
0	0
0	0
0	0
0	0
0	0
0	0	0
0	0	0
0	0	0
Matriz Coluna
É aquela que possui uma única coluna (n= 1)
Exemplos:
 56
-36
 -8
-99
 1
13
16
2
1
 0
-1
 3
Matriz Linha
É aquela que possui uma única linha.
(m = 1)
Exemplos:
1 0 -3		0 0		5 8 -9
Matriz Identidade
É aquela em que aij = 1 (i=j) e aij = 0 (i≠j).
Exemplos:
0
0	1
0	0
0	1	0
0	0	1	
0	0 0	0
0	1	0 0	0
0	0	1 0	0
0	0	0 1	0
0	0	0 0	1
I2 =
I3 =
I5 =
Matriz Escalar
É a matriz que tem os elementos aij iguais entre si para i = j.
Exemplos:
			-2	0	0		п	0	0
A = 2		B = 	0	-2	0	C = 	0	 п 	0
			0	0	-2		0	0	 п
Matriz Simétrica
É aquela onde número de linhas (m) = número de colunas (n) e aij = aji .
Exemplos: 
2	3
5	9
9	7
0	0
0	1	0
0	0	1
5	6
2	1
1 -6
Matriz Anti-simétrica
Uma matriz anti-simétrica é aquela com a qual sua matriz transposta coincide com sua matriz oposta:
At = − A
Equivalentemente, os termos satisfazem:
	aij = - aji 
Exemplos:
 0	 a	b		 0	-3	 4
-a	 0	c		 3	 0	-2
-b	-c	0		-4	 2	 0
Matriz Triangular
Matriz Triangular Superior
É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é m=n e aij = 0, para i > j.
Exemplos:
-7	 5 2	 2
0	-2	 24 0	12
0	 0	 4 6	 5
0	 0	 0 -22	 1
0	 0	 0 0	-8
-1	3 4
0	-4	11 9
0	 0	2 -6
0	 0	0 -7
Matriz Triangular
Matriz Triangular Inferior
É aquela em que m = n e aij = 0, para i < j.
Exemplos:
 0	 0 0
-2	 0 0
-1	 6	 5 0
 7	-9	10 -4
0	0
5	0
3	6	7
0
6
Matriz Diagonal
É a matriz quadrada (m=n) onde aij = 0, para i ≠ j, isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Exemplos:
 0	 0
0	-8	 0
0	 0	 0	
Diagonal
principal
0
0	5
0	0 0
0	6	0 0
0	0	5 0
0	0	0 1
Operações com Matrizes
 Adição
 Subtração
 Multiplicação por um escalar
 Multiplicação de matrizes
 Transposição
Adição de Matrizes
A soma de duas matrizes de mesma ordem, Am x n = [aij] e Bm x n = [bij], é uma matriz m x n, que denotaremos A + B, cujos os elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Logo,
A + B = [aij + bij]m x n 
Exemplo:
 +
=
 7	-1
 0	-3
4	-3	 0
0 3 -5
 0 0
-1 -5	 3
10	-6
 0	-3
3	 -8	 3
Propriedades da 
			Adição de Matrizes
I ) A+ (B+C) = (A + B) + C 
II) A + 0 = 0 + A = A
III ) – A + A = A – A = 0
IV) A + B = B + A
Subtração de Matrizes
A subtração de duas matrizes de mesma ordem, Am x n = [aij] e Bm x n = [bij], é uma matriz m x n, que denotaremos A - B, cujos os elementos são subtrações dos elementos correspondentes de A e B. Logo,
A - B = [aij - bij]m x n 
Exemplo:
-
=
 5 7	-1
 6 0	-3
-4 3	 0
 0 3	 -5
 2 0	 0
-1 -5	 3
 5 4 	 4
 4 0	 -3
-3 8	 -3
Multiplicação por um Escalar
Seja A = [aij]m x n e k um número, então definimos uma nova matriz
K x A = [kaij]m x n 
Exemplo:
5
 6	 -2
7	-5	 3
=
5x1	 5x6	 5x(-2)
5x7	5x(-5)	 5x3
=
 30 -10
35	 -25 15
Propriedades de Multiplicação de
uma Matriz por um Escalar
I) (βα) A = β (α A)
II) (β + α) A = βA + αA
III) β (A + B) = βA + βB
IV) 1A = A
Multiplicação de Matrizes
Sejam A = [aij]m x n e B = [brs]n x p . Definimos AB = [Cuv]m x p.
Observações: 
Só pode efetuar o produto de duas matrizes Am x n e Bt x p se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, ou seja, n=t. E a matriz resultado será da ordem m x p.
O elemento cij (i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto) é obtido, multiplicando os elementos da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda matriz, e somando estes produtos.
Exemplos:
0	2
-1	3	1
x
1
1
1	0
=
(1x3 + 0x2 + 2x1)	(1x1 + 0x1 + 2x0)
(-1x3 + 3x2 + 1x1)	(-1x1 + 3x1 + 1x0)
=
1
4	2
(3 + 0 + 2)	(1 + 0 + 0)
(-3 + 6 + 1)	(-1 + 3 +0)
=
4	2
4	3	2
x
100
 90
70	120
=
(6x60 + 4x80 + 2x70)		(6x100 + 4x90 + 2x120)
(4x60 + 3x80 + 2x70)		(4x100 + 3x90 + 2x120)
=
(360 + 320 + 140)	(600 + 360 + 240)
(240 + 240 + 140)	(400 + 270 + 140)
=
 	1200
620	 810
Propriedades da Multiplicação
		de Matrizes
Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m,n), (n,p) e (p,r), respectivamente, tem-se: (AB)C = A(BC)
Dadas as matrizes A, B, C de ordem (m,n), (m,n) e (n,p), respectivamente, tem-se: (A + B)C = AC + BC
Dadas as matrizes A, B, C de ordem (n,p), (n,p) e (m,n), respectivamente, tem-se: C(A+B) = CA +CB
AI = IA = A
V)Em geral, AB ≠ BA, logo a multiplicação matricial não é, em geral, comutativa.
VI) 0 x A = 0 e A x 0 = 0
 
Propriedades da Multiplicação
		de Matrizes
Transposição
O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se A era m x n e At será 
n x m.
Cada coluna de A corresponderá a uma linha de At, e vice-versa.
Exemplos:
1
1	=	
1	0	
2	1
1	1	0
t
-6	 8
 5	-3
t
=
-6	 5
 8	-3
Propriedades da Transposição
(A + B)t
= At + Bt 
 (γA)t = γAt 
(At)t = A
(AB)t = BtAt
Aplicações de Matrizes
 Computação Gráfica 
 Efeitos Especiais
 Engenharia Elétrica
 Engenharia Mecânica
 Engenharia Civil
 Otimização
 Aparelhos Eletrônicos
 Genética
Química
 Física
 Matemática
 Economia
Exercícios
01) Dadas as matrizes A e B. Determina a matriz X sabendo que a relação entre as três é:
		
			2A – X = B
A =	5	2
 	-1	1
B = 	2	-2
	0	1
X = 	a	b
	c	d
Resolução:
A partir da relação que foi dada: 2A – X = B.
Primeiramente temos que fazer uma multiplicação da matriz A por um escalar, no caso o 2.
		2A = 2 x 5	2 =	 2x5	 2x2
			 -1	1	 2x(-1) 2x1
			2A = 10	4
				-2	2 
Agora faremos uma subtração de matrizes entre as matrizes 2A e X.
	2A – X = 10	 4 - a	b
		 -2	 2	 c	d
Então teremos a matriz:
		2A – X = 10 – a	4 – b
			 -2 – c	2 – d
Como a relação diz que 2A – X = B, então agora é só realizar uma igualdade de matrizes e achar os termos da matriz X.
 10 – a	4 – b	 = 2 -2
 -2 – c	2 – d	 0 1
Logo, teremos:
10 – a = 2  a = 8 
4 – b = -2  b = 6
-2 – c = 0  c = -2
2 – d = 1  d = 1
Logo, a matriz é:	X = 	8	6
				-2	1
02) Na fabricação de três caixas de bombons (A, B e C) são usados bombons grandes (G) e bombons pequenos (P). O número de bombons por modelo é dado pela tabela:
O número de caixas fabricadas nos meses de março e abril estão representados na tabela:
 
				 Neste caso, qual o número 					 total de cada tipo de 						 bombons utilizados nos dois 				 meses?
Caixa A
Caixa B
CaixaC
Bombons(P)
4
6
11
Bombons (G)
10
8
3
Março
Abril
CaixaA
100
150
Caixa B
70
90
Caixa C
150
130
Resolução:
O problema se resolve a partir de uma simples multiplicação de matrizes:
	4	6	11		100		 150	
	10	8	3	x	 70		 90	=
					 150		 130
= (4x100 + 6x70 + 11x150)	(4x150 + 6x90 + 11x130) =
 (10x100 + 8x70 + 3x150)	(10x150 + 8x90 + 3x130)
			= 2470	2570
			 2010	2610
Após fazer a multiplicação de matrizes obtemos o número total de bombons grandes e pequenos utilizados nos meses de março e abril para fabricação das caixas de bombons A, B e C.
Como queremos o número total de cada bombom utilizados nos dois meses, é só somar as linhas.
	 Bombons Pequenos = 2470 + 2570 = 5040
	 Bombons Grandes = 2010 + 2610 = 4620 
Março
Abril
BombonsP
2470
2570
Bombons G
2010
2610
O	0	0	0	0	0	0	0	0
0	B	0	0	0	0	0	0	0
0	0	R	0	0	0	0	0	0
0	0	0	I	0	0	0	0	0
0	0	0	0	G	0	0	0	0
0	0	0	0	0	A	0	0	0
0	0	0	0	0	0	D	0	0
0	0	0	0	0	0	0	O	0
0	0	0	0	0	0	0	0	!